Tiểu luận đường đi HAMILTON

1. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TOÁN
LỚP CAO HỌC PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP K25
*****
Đề tài : ĐƯỜNG ĐI HAMILTON
Tiểu luận kết thúc học phần
Môn : Lý thuyết đồ thị
NHÓM THỰC HIỆN :
Lê Thị Sơn, Nguyễn Hạ Thi Giang, Nguyễn Ngọc Mỹ,
Nguyễn Phương Thảo, Lê Thiện Trung.
Người Hướng Dẫn : PGS.TSKH Trần Quốc Chiến
Đà Nẵng – 2012
1

2. MỤC LỤC
Lời giới thiệu………………………………………………………………………2
CHƯƠNG 1 : CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐỒ THỊ.
1. Đồ thị - Cạnh - Đỉnh………………………………………………………..5
2. Bậc – Nửa bậc……………………………………………………………....6
3. Dãy – Đường đi – Chu trình………………………………………………..8
4. Đồ thị liên thông…………………………………………………………..10
5. Đồ thị con - Thành phần liên thông……………………………………….10
6. Đồ thị k-chính quy………………………………………………………...12
CHƯƠNG 2 : ĐƯỜNG ĐI HAMILTON.
1. Định nghĩa………………………………………………………………...14
2. Điều kiện cần……………………………………………………………...14
3. Điều kiện đủ………………………………………………………………16
• Đồ thị vô hướng………………………………………………..17
• Đồ thị có hướng………………………………………………..21
• Một số kết quả cho đồ thị k-liên thông………………………...23
• Một số kết quả cho đồ thị t- khó……………………………….25
• Một số kết quả cho đồ thị k – chính quy……………………….27
CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG VÀ BÀI TẬP.
Lời cảm ơn.
Tài liệu tham khảo.
2

3. Giới thiệu
Sự ra đời của Lý thuyết đồ thị bắt nguồn từ những bài toán tưởng chừng rất
đơn giản. Từ bài toán 7 cây cầu ở Konigsberg đến đường đi Hamilton là 1 bước
phát triển vượt bậc của Toán học trong lĩnh vực này. Cùng với thời gian và sự
vươn lên mạnh mẽ của lĩnh vực công nghệ, khoa học kỹ thuật, Lý thuyết đồ thị đã
có những đóng góp cực kỳ to lớn về mạng máy tính, mạng lưới giao thông vận tải,
lý thuyết tối ưu.
Về mặt thuật toán, có những định lý, bài tập được chứng minh đơn giản
nhưng lại có hàm lượng tư duy rất cao. Nhiều bài toán đã ra đời để lại những dấu
ấn mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực khoa học như : Đường đi Euler, đường đi
Hamilton, Luồng vận tải…
Trong khuôn khổ 1 tiểu luận chúng em chỉ xin được khai thác về bài toán
đường đi Hamilton và những phương pháp vận dụng giải bài tập. Đã có nhiều ứng
dụng trong mạng tin học ra đời từ thuật toán này nhưng vì lý do hạn hẹp về thời
gian và hạn chế số lượng trang nên Tiểu luận này gồm có :
• Chương 1 : Các khái niệm cơ bản trong LTĐT.
• Chương 2 : Bài toán đường đi Hamilton và các định lý liên quan.
• Chương 3 : Ứng dụng giải những bài tập.
Vì những lý do trên mà tiểu luận chỉ hệ thống lại các định lý, khái niệm mà
không chứng minh các mệnh đề, hệ quả và ví dụ.
*****
3

4. Nhóm thực hiện :
STT Họ Và Tên Công Việc Chữ Ký Nhận Xét của giáo viên
1 Lê Thị Sơn Chương 2
2 Nguyễn Hạ Thi Giang Chương 3
3 Nguyễn Thị Ngọc Mỹ Chương 2
4 Nguyễn Phương Thảo Chương 1
5 Lê Thiện Trung Chương 1
4

5. CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ
*****
1. Đồ thị - Cạnh – Đỉnh :
a) Đồ thị vô hướng : G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập
E các cạnh. Mỗi cạnh e ∈ E được liên kết với một cặp đỉnh v, w ( không
kể thứ tự).
v w
b) Đồ thị có hướng : G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập
E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cạnh e ∈ E được liên kết với một
cặp đỉnh v, w có thứ tự.
v w
c) Đồ thị lót : Cho đồ thị có hướng G = (V,E). Nếu ta thay đổi
mỗi cung của G bằng một cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ
thị lót của G.
Ghi chú : Đồ thị vô hướng có thể xem là đồ thị có hướng trong đó mỗi
cạnh e = (v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v).
d) Đỉnh – cạnh :
Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V,E).
• Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói đỉnh e liên
thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các
đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề với đỉnh w.
• Cho đồ thị G, A(G) là tập các đỉnh không kề nhau (các
đỉnh độc lập nhau). Số phần tử lớn nhất của A(G) được gọi chỉ số độc
lập.
Kí hiệu :β
• Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên thuộc với cặp đỉnh
v, w, ta viết e = (v, w). Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là
đỉnh cuối của cung e.
5

6. • Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta
nói đó là cạnh song song.
• Cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên.
• Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập.
• Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị.
• Số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị.
e) Các loại đồ thị liên quan :
• Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn.
• Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song.
• Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau.
• Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ.
2. Khái niệm Bậc :
a) Bậc :
Cho đồ thị G = (V, E)
• Bậc của đỉnh v ∈V là tổng số cạnh liên thuộc với nó và ký hiệu là d(v).
• Nếu đỉnh có khuyên thì mỗi khuyên được tính là 2 khi tính bậc, như
vậy:
d(v) :=Số cạnh liên thuộc + 2*Số khuyên
Từ định nghĩa suy ra , đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0.
• Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là G
∆ .
• Số bậc nhỏ nhất của G gọi là G
δ .
• Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1.
b) Nửa bậc:
Cho G = (V,E) là đồ thị có hướng, v ∈V.
• Nửa bậc ra của đỉnh v, kí hiệu là dO(v), là số cung đi ra từ đỉnh v (v là
đỉnh đầu).
• Nửa bậc vào của đỉnh v ∈V, kí hiệu dI(v), là số cung đi tới đỉnh v (v là
đỉnh cuối).
Ví dụ về bậc :
6

7. Trong đồ thị này, ta có :
d(x1) = 6 , d(x2) = d(x3) = 4, d(x4) = 3 , d(x5) = 0 , d(x6) = 1
Đỉnh x1 có hai khuyên liên thuộc.
Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x2
và đỉnh x3.
Đỉnh x5 là đỉnh cô lập.
Đỉnh x6 là đỉnh treo.
Ví dụ về nửa bậc :
Xét đồ thị có hướng sau :
Trong đồ thị có hướng này ta có:
dI(x1) = 0 , dO(x1) = 2, dI(x2) = 1 , dO(x2) = 2
dI(x3) = 2 , dO(x3) = 1, dI(x4) = 2 , dO(x4) = 2
dI(x5) = 1 , dO(x5) = 1, dI(x6) = 2 , dO(x6) = 0
Bổ đề bắt tay ( Hand Shaking Lemma) : Cho đồ thị G = (V,E). Khi đó :
i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và
( ) 2* ard(E)
v V
d v c
∈
=
∑ .
ii) Nếu G là đồ thị có hướng thì :
( ) ( ) ard(E)
O I
v V v V
d v d v c
∈ ∈
= =
∑ ∑ , trong đó
card(E) là số phần tử của tập E.
Hệ quả 1.1 : Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.
Ghi chú : Bổ đề trên có tên bổ đề bắt tay từ bài toán thực tế sau:
Trong một hội thảo, các đại biểu bắt tay nhau. Khi đó tổng số lần bắt tay của
tất cả đại biểu bao giờ cũng là số chẵn.
c) Các loại đồ thị liên quan :
• Đồ thị đầy đủ : Đồ thị Kn là đồ thị đơn, đủ n đỉnh đều có duy nhất
một cạnh liên kết).
Ví dụ: sau đâylà đồ thị K5
7
e4
e3
e1
e2
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x5
x4
x3
x2
x1
x6

8. Mệnh đề 1.1 : Mọi đỉnh của đồ thị Kn có bậc n-1 và có n(n-1)/2 cạnh.
• Đồ thị lưỡng phân :
Đồ thị lưỡng phân : G = (V,E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2
tập rời nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V1 và
một đỉnh thuộc V2 .
ký hiệu : G = ({V1 ,V2},E).
Đồ thị lưỡng phân đầy đủKm,n : là đồ thị lưỡng phân ({V1 ,V2},E) với tập
V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh và mỗi đỉnh của V1được nối với mỗi đỉnh của V2
bằng một cạnh duy nhất.
Ví dụ : sau đây là đồ thị K3,3
Mệnh đề 1.2 : Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km,n=({V1 ,V2},E) với tập V1 có m
đỉnh và tập V2 có n đỉnh. Khi đó mỗi đỉnh trong V1 có bậc là n và mỗi đỉnh trong
V2 có bậc là m và Km,n có m.n cạnh.
• Đồ thị chính quy : là đồ thị mà các đỉnh kề nhau có bậc bằng nhau.
Đồ thị k- chính quy : là đồ thị chính quy mà mỗi đỉnh có số bậc bằng k.
Ví dụ :
Đồ thị 0 - chính quy là : Đồ thị gồm các đỉnh cô lập.
Đồ thị 1 - chính quy là : Đồ thị gồm các cạnh không nối với nhau.
Đồ thị 2 – chính quy là : Đồ thị gồm các chu trình không nối với nhau
Đồ thị chính quy mạnh : là đồ thị chính quy mà các đỉnh không kề nhau
có bậc bằng nhau.
Ví dụ : n
K là đồ thị k – chính quy mạnh với mọi n.
3. Dãy - Đường đi - chu trình :
8
b c
a
x y z

9. a) Dãy :
• Dãy µ từ đỉnh v đền đỉnh w : là dãy các đỉnh và các cạnh nối tiếp nhau
bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dãy µ gọi là độ
dài của dãy µ.
• Độ dài của Dãy :
Dãy µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài n được biểu diễn như sau :
µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w )
trong đó : vi(i=1,…,n-1) là các đỉnh trên dãy và ei(i=1,…,n) là các cạnh trên
dãy liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và các cạnh trên dãy có thể lắp
lại.
• Dãy có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối
tiếp nhau (e1, e2,….,en) thỏa mãn đỉnh cuối cùng của cung ei là đỉnh đầu
của cung ei+1, i=1,…n-1.
• Định lý 1.1 :
(i) Trong đồ thị vô hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi sơ
cấp từ v đến w.
(ii) Trong đó đồ thị có hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường
đi có hướng sơ cấp từ v đến w.
b) Vòng :
• Vòng là dãy có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau
• Vòng có hướng là dãy có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.
c) Đường đi :
• Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó
cá cạnh không lặp lại.
• Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần.
• Đường đi có hướng trong đó đồ thị có hướng là dãy có hướng,
trong đó các cung không lặp lại.
9

10. • Đường đi có hướng sơ cấp là đường đi có hướng không đi qua một
đỉnh quá 1 lần.
d) Chu trình :
• Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.
• Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá 1 lần.
• Chu trình có hướng là đường đi có hướng đỉnh đầu và đỉnh cuối
trùng nhau.
• Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua một
đỉnh qua 1 lần.
• Định lý 1.2 : Đồ thị G lưỡng phân khi và chỉ khi G không chứa chu
trình độ dài lẻ.
e) Trọng đồ :
• Trọng đồ (có hướng ) là đồ thị (có hướng ) mà mỗi cạnh (cung) của nó
được gán một số .
• Trọng đồ được biểu diễn bởi G =(V,E,w), trong đó V là tập các đỉnh ,
E là tập các cạnh (cung) và w: E→R là hàm số trên E,w(e) là trọng số
của cạnh (cung) e với mọi e∈E .
Trong trọng đồ độ dài trọng số của đương đi µ là tổng các trọng số trên
đường đi đó.
4. Đồ thị liên thông :
• Đồ thị vô hướng gọi là liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có
đường đi nối chúng với nhau.
• Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều
có đường đi có hướng nối chúng với nhau.
• Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu, nếu đồ thị lót (vô hướng) của nó
liên thông.
• Đồ thị có hướng gọi là bán liên thông, nếu với mọi cặp đỉnh (u,v) bao
giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u.
10

11. 5. Đồ thị con – Thành phần liên thông :
a) Đồ thị con : Cho đồ thị G = ( V, E ). Đồ thị G’ = ( V’, E’ ) gọi là đồ thị
con của G nếu V’⊂ V và E’ ⊂ E
• Nếu F⊂ E, thì ký hiệu G – F là đồ thị con ( V, E-F ) của G gồm tập đỉnh
V và tập cạnh ( cung ) E – F
• Nếu U ⊂ V, thì ký hiệu G- U là đồ thị con của G thu được từ G sau đó
loại bỏ các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng
• Cho U⊂ V, đồ thị con của G sinh bởi U (ký hiệu < U >) là đồ thị ( U,
EU) với
EU = { e ∈ E / e liên thuộc đỉnh trong U }
• Đồ thị tự do 1,3 1,3
{ , }
K K x
+ : là đồ thị không nhận 1,3 1,3
{ , }
K K x
+ làm đồ thị
con.
b) Thành phần liên thông :
• Đồ thị con G’ = ( V’, E’ ) của đồ thị ( có hướng ) G (V,E) gọi là thành
phần liên thông (mạnh ) của đồ thị G.
• Nếu nó là đồ thị con liên thông (mạnh) tối đại của G, tức là không tồn
tại đồ thị con liên thông (mạnh) G’’= (V”,E”) ≠ G’ của G thỏa V’ ⊂ V”,
E’⊂ E”
Ví dụ : Xét đồ thị G = ( V,E) ở ví dụ trước.
Đồ thị G1 = (V1, E1), với V1 = { x1, x2, x3, x4} và E1= { e1, e2, e3, e4} là đồ thị
con của đồ thị G nhưng khong phải thành phần liên thông.
Đồ thị G2 = { V – {x5} , E } = < V – {x5} > là thành phần liên thông của G.
Định lý 1.3 : Cho đồ thị đơn G = (V,E ) với n đỉnh, và k thành phần liên
thông. Khi đó số cạnh m của đồ thị thỏa bất đẳng thức
n – k ≤ m ≤
( )( 1)
2
n k n k
− − +
11
e4
e3
e1
e2
x1
x2
x3
x4
x5
x6

12. Hệ quả 1.2: Mọi đơn đồ thị n đỉnh với số cạnh lớn hơn
(n -1)(n -2)
2
là liên
thông.
6. Đồ thị k – liên thông :
a) Đồ thị k – cạnh liên thông :
Cho đồ thị G = (V,E).
• Tập tách cạnh : Tập cạnh F⊂ E gọi là tập hợp tách cạnh của đồ thị liên
thông G, nếu G-F không liên thông.
• Tập cắt cạnh : Hơn nữa, nếu F là tập hợp tách cạnh cực tiểu ( tức
không tồn tại F’⊂ F, F’ ≠ F, F’ là tập tách cạnh ), thì F gọi là tập cắt
cạnh. Nếu tập cắt cạnh chỉ có một cạnh,thì cạnh đó gọi là cầu
Đại lượng
( )
G
λ = min{card (F) /F là tập tách cạnh của G}
gọi là số liên thông cạnh của G.
• Đồ thị k – cạnh liên thông : Đồ thị G gọi là k - cạnh liên thông, nếu
mọi tập tách cạnh có ít nhất k cạnh.
Ghi chú. Từ định nghĩa ta có
( )
G
λ ≥ k ∀ k, G là k - cạnh liên thông
và ( )
G
λ = max {k / G là k - cạnh liên thông}
b) Đồ thị k – liên thông :
• Tập tách đỉnh : Tập đỉnh U⊂ V gọi là tập hợp tách đỉnh của đồ thị liên
thông G, nếu G- U không có liên thông.
• Tập cắt đỉnh : Hơn nữa, nếu U là tập hợp tách đỉnh cực tiểu (tức không
tồn tại U’⊂ U, U’≠ U, U’ là tập hợp tách đỉnh) thì U gọi là tập cắt đỉnh.
Nếu tập tách đỉnh chỉ có 1 đỉnh, thì đỉnh đó gọi là đỉnh tách .
Đại lượng k(G ) = min{card (U) /U là tập tách đỉnh của G} gọi là số liên
thông đỉnh của G
• Đồ thị k – liên thông : Đồ thị G gọi là k- liên thông, nếu mọi tập tách
đỉnh có ít nhất k đỉnh.
Ghi chú : Từ định nghĩa ta có
12

13. o k(G) ≥ k ∀ k thì G là k - liên thông và k(G) = max { k / G là k -
liên thông}
o Nếu k(G) = k thì G là k – liên thông chặt.
Ví dụ : Với G là đơn đồ thị bất kì, ta có :
k(G) = 3. Khi đó, (G) là đồ thị 2-liên thông hoặc 3-liên thông hoặc 3-
liên thông chặt.
Ghi chú :
(i) Tập V và V – {v}∀ v∈V đều không phải là tập tách đỉnh
(ii) Đồ thị đủ Kn không có tập tách đỉnh. Vì vậy ta qui ước số liên thông đỉnh
của Kn là (n-1).
Ví dụ : Xét đồ thị sau.
Các tập cạnh sau.
{b,c} , {e,g} , {b,c,d} , {d,e,g} , {d}
Là tập tách cạnh, trong đó cạnh d là cầu, {b,c} và {e,g} là các tập cắt cạnh.
Các tập đỉnh sau
{2,3} , {3,4} , {3} , {4} , {5,7}
Là tập tách đỉnh, trong đó đỉnh {3,4} là đỉnh tách , {5,7} là các tập cắt đỉnh.
• Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Whiney). Với mọi đồ thị G ta có
k(G) ≤ ( )
G
λ ≤ δ (G)
• Định lý 1.5: Đồ thị G = (V,E) bậc n là k-liên thông (1 1
k n
≤ ≤ − ) nếu
( ) ( 2)/ 2
G n k
δ ≥ + −
13
f
b
h
g
e
d
c
a
7
6
5
4
3
1
2

14. CHƯƠNG II: ĐƯỜNG ĐI HAMILTON
*****
1. Định nghĩa :
Cho đồ thị (có hướng) G=(V,E).
a. Chu trình (có hướng) Hamilton là chu trình (có hướng) sơ cấp qua mọi
đỉnh đồ thị.
b. Đường đi (có hướng) Hamilton là đường đi (có hướng) sơ cấp qua mọi
đỉnh của đồ thị.
Như vậy mọi chu trình Hamilton có độ dài bằng số đỉnh, và mọi đường
đi Hamilton có độ dài bằng số đỉnh trừ 1.
c. Đồ thị Hamilton là đồ thị chứa chu trình (có hướng) Hamilton.
Ví dụ 2.1:
Hình 2.1
Đồ thị trên có cả chu trình Euler và chu trình Hamilton:
1 3 5 7 2 4 6 1
→ → → → → → → .
2. Điều kiện cần
a. Định lí 2.1 :
Giả sử đồ thị G có chu trình Hamilton C. Khi đó:
• Đồ thị G liên thông.
• Mọi đỉnh của G có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, và có đúng hai cạnh liên
thuộc nằm trên chu trình C.
• Nếu xóa đi k đỉnh bất kì cùng các cạnh liên thuộc chúng, thì đồ thị còn
lại sẽ có tối đa k thành phần liên thông.
14

15. b. Hệ quả :
Giả sử đồ thị n đỉnh G có đường đi Hamilton P. Khi đó:
• Đồ thị G liên thông.
• Có ít nhất n-2 đỉnh bậc 2,và mỗi đỉnh đó có đúng 2 cạnh liên thuộc
nằm trên đường đi P.
• Nếu xóa đi k đỉnh bất kì cùng các cạnh liên thuộc chúng, thì đồ thị còn
lại sẽ có tối đa k+1 thành phần liên thông.
Ví dụ 2. :
Xét đồ thị:
Hình 2.2
Đồ thị có đường đi Hamilton: 1 2 3 4 5
v v v v v
→ → → →
Đồ thị không có chu trình Hamilton
Thật vậy, nếu tồn tại chu trình Hamilton C thì nó phải có 5 cạnh. Vì bậc
deg(v2)=deg(v4)=3 nên phải có 1 cạnh tới v2 và 1 cạnh tới v4 không thuộc chu trình
C. Số cạnh còn lại là 4 nên C không thể có 5 cạnh được, mâu thuẫn.
Ta cũng có thể áp dụng trực tiếp định lý 2.4.1. Nếu bỏ đi 2 đỉnh v2 và v4
cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại 3 đỉnh độc lập, có 3 thành phần
liên thông. Như vậy theo mệnh đề (iii) của định lý 2.4.1 thì đồ thị không có chu
trình Hamilton.
Ví dụ 2.3: (Bài toán xếp chỗ ngồi) 9 người bạn cùng ngồi ăn trong bàn tròn
4 lần. Mỗi lần họ được xếp ngồi theo một thứ tự. Hãy thay đổi chỗ ngồi mỗi lần
sao cho không có 2 người ngồi gần nhau hơn 1 lần.
V1
V2
V3
V4
V5
15

16. Ta lập đồ thị 9 đỉnh 1, 2, ...,9, đỉnh i chỉ người i. Ta đặt đỉnh 1 tại tâm và
các đỉnh còn lại trên đường tròn như hình vẽ. Mỗi cách xếp là một chu trình
Hamilton của đồ thị.
Chu trình thứ nhất như hình vẽ là
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
→ → → → → → → → →
1
5
6
9
8
7
2
4
3
Hình 2.3
Xoay lần lượt chu trình các góc
4
π
theo chiều kim đồng hồ ta nhận được
các chu trình, cũng là các cách xếp sau:
1 3 5 2 7 4 9 6 8 1
→ → → → → → → → →
1
5
6
9
8
7
2
4
3
Hình 2.4
1 5 7 3 9 2 8 4 6 1
→ → → → → → → → →
16

17. 1
5
6
9
8
7
2
4
3
Hình 2.5
1 7 9 5 8 3 6 2 4 1
→ → → → → → → → →
1
5
6
9
8
7
2
4
3
Hình 2.6
3. Điều kiện đủ
a. Điều kiện đủ cho đơn đồ thị vô hướng:
• Định lý 2.2. Đồ thị đủ Kn với n lẻ (n ≥ 3) có (n− 1)/2 chu trình
Hamilton từng đôi một không giao nhau (tức là không có cạnh chung).
Chứng minh :
Tương tự như lời giải bài toán xếp 9 người trên bàn tròn, ta xây dựng cách
xếp theo chu trình Hamilton trên đồ thị sau (n=2k+1):
1 2 3 ... 2 2 1 1
k k
→ → → → → + →
17

18. 1
2k+1
2k
2k-1
2
4
3
Hình 2.7
Xoay chu trình lần lượt một góc
k
π
theo chiều kim đồng hồ ta nhận được k
chu trình.
• Định lý 2.3 (Dirac). Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( 3)
n ≥ . Nếu bậc
deg( )
2
n
v ≥ với mọi đỉnh v của G, thì G có chu trình Hamilton.
Ví dụ 2.4 :
Hình 2.9
Theo định lý Dirac, xét đồ thị W6 như hình vẽ.
Trong đồ thị này ta có
6
deg( ) 3
2
v = ≥ . Khi đó đồ thị W6 có chu trình
Hamilton.
1 2 3 4 5 6 1
→ → → → → →
• Hệ quả : Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( 3)
n ≥ . Nếu bậc
1
deg( )
2
n
v
−
≥ với
mọi đỉnh v của G, thì G có đường đi Hamilton.
18
Tải bản FULL (39 trang): https://bit.ly/3vgLjMv
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

19. • Định lý 2.4. Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( 3)
n ≥ . Giả sử u và v là hai đỉnh
không kề nhau của G sao cho deg( ) deg( )
u v n
+ ≥ .Khi đó G có chu trình
Hamilton khi và chỉ khi đồ thị G+(u,v) (đồ thị G thêm cạnh (u,v)) có
chu trình Hamilton.
• Định lý 2.5. Cho G là đồ thị đơn giản n đỉnh. Giả sử G’ và G” là hai đồ
thị thu được từ G bằng quy nạp nối tất cả cặp đỉnh không kề nhau có
tổng các bậc ít nhất bằng n. Khi đó ta có G’ =G”.
 Định nghĩa (Bao đóng) :
Bao đóng C(G) của đồ thị G n đỉnh là đồ thị thu được từ G bằng cách :
Theo quy nạp, nối tất cả các cặp đỉnh không kề nhau mà tổng số bậc ít nhất
bằng n cho đến khi không còn cặp đỉnh nào như vậy nữa.
• Định lý 2.6 : Đồ thị G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi bao đóng
của G có chu trình Hamilton.
• Định lý 2.7 : Nếu bao đóng C(G) =Kn ( 3)
n ≥ thì đồ thị G có chu trình
Hamilton.
• Định lý 2.8 (Ore). Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( 3)
n ≥ . Nếu
deg( ) deg( )
u v n
+ ≥ với mọi cặp đỉnh không kề nhau thì đồ thị G có chu
trình Hamilton.
Ví dụ 2.5. Đồ thị W6 ở ví dụ trên cũng thỏa mãn định lý Ơre
Ta có: deg( ) deg( ) 6
u v
+ ≥ với mọi cặp đỉnh không kề nhau
nên đồ thị W6 có chu trình Hamilton.
Ví dụ 2.6. Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( 3)
n ≥ và có deg( ) deg( ) 1
u v n
+ ≥ −
với mọi cặp đỉnh không kề nhau của đồ thị G. CMR: G có đường đi Hamilton.
Chứng minh
19
Tải bản FULL (39 trang): https://bit.ly/3vgLjMv
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

20. Ta thêm vào đồ thị G một đỉnh x và nối x với mỗi đỉnh của G bởi một cạnh,
ta thu được đồ thị G’ có n+1đỉnh. Bậc của mọi đỉnh trong G’ đều lớn hơn bậc cũ
của nó một đơn vị (trừ z), còn bậc của z bằng n.
Do đó trong G’thì ta có:
' '
deg ( ) deg ( ) deg ( ) 1 deg ( ) 1 1 1 1 1
G G G G
u v u v n n
+ = + + + ≥ − + + = + ,
u v z
∀ ≠
' '
deg ( ) deg ( ) deg ( ) 1 1
G G G
u z u n n
+ = + + ≥ + u z
∀ ≠
Theo ĐL Ore thì G’ có chu trình Hamilton, suy ra G có đường đi Hamilton.
• Định lý 2.9 : Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( 3)
n ≥ và m cạnh. Nếu
( 1,2) 2
m C n
≥ − + thì đồ thị G có chu trình Hamilton.
• Định lý 2.10 : Cho đồ thị đơn G là đồ thị lưỡng phân với hai tập đỉnh V1
và V2 sao cho 1 2
ard(V ) ard(V ) 2
c c n
= = ≥ . Nếu bậc deg( )
2
n
v > với mọi
đỉnh v của G, thì G có chu trình Hamilton.
Ví dụ 2.7
Hình 2.10
Cho hai tập đỉnh V1 và V2 sao cho 1 2
ard(V ) ard(V ) 3
c c
= = như hình vẽ.
Ta có: với mọi đỉnh v của G đều có bậc ít nhất là 2, mà
3
2
2
> , do đó G có
chu trình Hamilton.
Ví dụ 2.8. Đồ thi sau đây có chu trình Hamilton không?
20
4163764