Bai 4 bieu dien do thi va thuat toan tim kiem

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CNTT iSPACE Website:
http://www.ispace.edu.vn
BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ VÀ CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM
MÔN HỌC: TOÁN ỨNG DỤNG
Bài 1: CƠ SỞ LOGIC
Bài 2: BÀI TOÁN ĐẾM VÀ BÀI TOÁN TỒN TẠI
Bài 3: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
Bài 4: BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ VÀ CÁC THUẬT
TOÁN TÌM KIẾM
Bài 5: CÂY VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Bài 4: BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ
VÀ CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM
1. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ
1.1 Danh sách liền kề
1.2 Ma trận kề
1.3 Ma trận trọng số
1.4 Ma trận liên thuộc
2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
2.1 Giới thiệu bài toán
2.2 Thuật toán Dijkstra
2.3 Thuật toán Floyd
3. CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM
3.1 Giới thiệu
3.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâu
3.3 Duyệt đồ thị theo chiều rộng
1. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ
1.2 Ma trận kề
2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
3. CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM
3.1 Giới thiệu

1. Biểu diễn đồ thị
- Danh sách liền kề là một cách biểu diễn đồ thị không có
cạnh bội bằng cách liệt kê tất cả các đỉnh nối với mỗi
đỉnh của đồ thị

Ví dụ: Danh sách liền kề của đồ thị vô hướng G
Đỉnh Đỉnh liền kề
1
2
3
4
5
6
3,2
1,3,5
1,2,4
3,5,6
2,4,6
4,5

Ví dụ: Danh sách liền kề của đồ thị có hướng G1
Đỉnh đầu Đỉnh cuối
1
2
3
4
5
6
2,3
2
3
4,6
5

1.2 Ma trận liền kề
Xét đơn đồ thị vô hướng G=(V,E), với tập đỉnh V={v1,
v2, ...,vn } và tập cạnh E={e1, e2, ..., em }. Ma trận liền kề AG
của đồ thị G là ma trận 0-1 vuông cấp nxn.
AG= (aij), trong đó:
1, nếu (vi,vj) là một cạnh của G
0,nếu không có cạnh nối đỉnh vi với vj
aij =

Ví dụ: Ma trận liền kề của đơn đồ thị vô hướng G
0 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1
3
6
42
5
1- Ma trận liền kề của đơn đồ thị vô hướng G có dòng, cột đối xứng qua đường chéo
2- Tổng giá trị trên một dòng (hoặc cột) bằng số bậc của đỉnh i.

Ví dụ: Ma trận liền kề của đa đồ thị vô hướng G
1
3
6
42
0 1 1 0 0 0
1 0 2 2 0 0
1 2 0 0 1 0
0 2 0 0 1 1
0 0 1 1 0 3
0 0 0 1 3 0
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
5
aij = k - tổng số cạnh nối hai đỉnh

Ví dụ: Ma trận liền kề của đơn đồ thị có hướng G*
1 2
543
0 1 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
Ma trận liền kề của đơn đồ thị có hướng G không có dòng, cột đối xứng

- Trong thực tế chúng ta thường giải quyết những tình
huống như sau: từ địa điểm A đến địa điểm B trong thành
phố, chúng ta chọn đường đi ngắn nhất (xét đến độ dài),
có lúc lại cần chọn đường đi nhanh nhất (xét đến thời
gian) và có lúc phải cân nhắc để chọn đường đi có chi phí
thấp nhất, v.v...
- Khi chúng ta gán một giá trị số thực dương cho mỗi cạnh
của đồ thị G thì chúng ta có đồ thị có trọng số.
- Chúng ta có thể xem đồ thị G bất kỳ là đồ thị có trọng số
mà tất cả các cạnh có trọng số bằng 1.

- Đồ thị G = (V,E) gọi là đồ thị có trọng số nếu mỗi cạnh
(hay cung) e được gán với một số thực w(e), gọi là trọng
số của e (hay chiều dài, trọng lượng của cạnh e).
v1
v2
v6
v5v3
v4
3
7
3
9
5
86
6

- Mỗi đường đi m(u,v) từ đỉnh u đến đỉnh v, có trọng
số bằng tổng trọng số các cạnh mà nó đi qua.
- Khoảng cách d(u,v) giữa hai đỉnh u và v là đường
đi có trọng số nhỏ nhất trong các đường đi từ u đến v.
d(u,v)=min(m(u,v))

Ma trận trọng số D= d(ij), xác định như sau:
0, khi đỉnh trùng
w(i,j), trọng số của cạnh nối giữa hai đỉnh
∞, nếu không có cạnh nối giữa hai đỉnh
dij =

Ví dụ: Vẽ ma trận trọng số biểu diễn đồ thị vô hướng G
0 3 7 ∞ ∞ ∞
3 0 6 6 ∞ ∞
7 6 0 ∞ 3 ∞
∞ 6 ∞ 0 8 5
∞ ∞ 3 8 0 9
∞ ∞ ∞ 5 9 0
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
v2
v6
v5v3
v4
3
7
3
9
5
86
6

Ví dụ:
Lập ma trận
trọng số
biểu diễn
đồ thị
có hướng G

Ví dụ:
0 5 31 40
0 27 73
26 0 8 49 25 38
0 16
70 0 9
23 0 12
10 0
D
∞ ∞ ∞ 
 ÷
∞ ∞ ∞ ∞ ÷
 ÷∞
 ÷
= ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ÷
 ÷∞ ∞ ∞ ∞
 ÷
∞ ∞ ∞ ∞ ÷
 ÷∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 

Ma trận liên thuộc biểu diễn quan hệ giữa cạnh liên thuộc
và đỉnh kề.
Ma trận M= (mij), xác định như sau:
1 nếu cạnh ej nối với đỉnh vi
0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi
mij =

Ví dụ: Xây dựng ma trận liên thuộc cho đồ thị G dưới đây
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1
v2
v3
v4
v5

2. Bài toán đường đi ngắn nhất
Cho đơn đồ thị liên thông, có trọng số dương G=(V,E).
Bài toán 1:
Tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh u đến mỗi đỉnh v của đồ thị G.
Bài toán 2:
Tìm đường đi ngắn nhất giữa mỗi cặp đỉnh của đồ thị G.
1
5
3
DB
C E
A Z
2
1 28
6
10

Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến mỗi đỉnh v
của đồ thị G, được nhà toán học người Hà Lan E. Dijkstra
đề xuất vào năm 1959.
Thuật toán thực hiện theo cách gán nhãn tại mỗi đỉnh.
Thuật ngữ:
w(x,y) : trọng số dương của cạnh (x,y);
w(x,y) là ∞ (vô cùng lớn) nếu hai đỉnh không kề nhau.
d(v) : độ dài đường đi từ đỉnh xuất phát tới đỉnh v.
p(v) : đỉnh đứng ngay trước đỉnh v trên đường đi từ đỉnh
xuất phát đến đỉnh v.
Nhãn của đỉnh v : gồm cặp (d(v), p(v))
T : Tập các nút mà đường đi ngắn nhất đã được xác định.

Gán T = ø; p(v) = NULL với mọi đỉnh v
d(a)=0; /* a là đỉnh xuất phát
Với mỗi đỉnh v còn lại thì d(v) = ∞;
Repeat
u =(u∉T | d(u) là bé nhất);
T = T {u};∪
for ((v là đỉnh kề của u) và v∉T)
if d(v) > d(u) + w(u,v) then
d(v) = d(u) + w(u,v)
p(v) = u
Until (T=V)

Ví dụ 1:
Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến mỗi đỉnh khác của đồ thị
G dưới đây
1
5
3
10
DB
C E
A Z
6
2
1 28

Ví dụ 1:
1 5
3
10
DB
C E
A Z
6
2
1 2
8
1 5
3
10
DB
C E
A Z
6
2
1 2
8
(0,-)
(∞,-) (∞,-)
(∞,-) (∞,-)
(∞,-)
(0,-)*
(∞,-)
(2,a)
(∞,-)
(∞,-)
(∞,-)
(1,a)
(∞,-)
d(D) =∞ = d(A)+w(A,D)=0+∞=∞
d(E) =∞ = d(A)+w(A,E)=0+∞=∞
d(Z) =∞ = d(A)+w(A,Z)=0+∞=∞
d(B) =∞ > d(A)+w(A,B)=0+1=1
d(C) =∞ > d(A)+w(A,C)=0+2=2

Ví dụ 1:
1 5
3
10
D
E
A Z
6
2
1 2
8
C
B
(0,-)*
(1,a)*
(2,a)
(6,b)
(∞,-)
(∞,-)
1 5
3
10
D
E
A Z
6
2
1 2
8
B
C
(0,-)*
(1,a)*
(2,a)*
(6,b)
(∞,-)
(12,c)
d(C) =2 = d(B)+w(B,C)=1+1=2
d(D) =∞ > d(B)+w(B,D)=1+5=6
d(E) =∞ = d(B)+w(B,E)=0+∞=∞
d(Z) =∞ = d(B)+w(B,Z)=0+∞=∞
d(D) =6 > d(C)+w(C,D)=2+8=10
d(E) =∞ > d(C)+w(C,E)=2+10=12
d(Z) =∞ = d(C)+w(C,Z)=0+∞=∞
(∞,-)
(∞,-)

Ví dụ 1:
1 5
3
10
E
A Z
6
2
1 2
8
B
C
D
(0,-)*
(1,a)*
(2,a)*
(6,b)*
(12,d)
(8,d) (12,c)
d(E) =12 > d(D)+w(D,E)=6+2=8
d(Z) =∞ = d(D)+w(D,Z)=6+6=12 d(Z) =12 >d(E)+w(E,Z)=8+3=11
1 5
3
10
A Z6
2
1
2
8
B
C
D
E
(0,-)*
(1,a)*
(2,a)*
(6,b)* (12,d)
(8,d)*
(11,e)

Ví dụ 1:
1 5
3
10
A
6
2
1 2
8
B
C
D
E
Z
(0,-)*
(1,a)*
(2,a)*
(6,b)*
(8,d)*
(11,e)*

Ví dụ 1: Lập bảng để giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất
Bước Tập T a b d c e z
0 ø (0,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)
1 a (0,-)* (1,a) (∞,-) (2,a) (∞,-) (∞,-)
2 ba - (1,a)* (6,b) (2,a) (∞,-) (∞,-)
3 cba - - (6,b) (2,a) * (12,c) (∞,-)
4 dcba - - (6,b)* - (8,d) (12,d)
5 edcba - - - - (8,d)* (11,e)
6 zedcba - - - - - (11,e)*

Ví dụ 1: Nhận xét bảng kết quả đã thu được.
1/. Độ dài đường đi ngắn nhất từ A đến các đỉnh là
->B: 1
->C: 2
->D: 6
->E: 8
->Z: 11
2/. Để vẽ đường đi ngắn nhất từ A đến đỉnh Z, chúng ta sử
dụng cách đi ngược từ Z về A. Cụ thể là Z <- E <- D <- B <-
A. 3/. Đường đi ngắn nhất từ A đến Z không đi qua C. Vậy
đường đi ngắn nhất không đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị.

Ví dụ 2:
Tìm đường đi ngắn nhất giữa A và W trong đồ thị G
dưới đây
a
yx
wv
z
2
2
1
3
1
1
2
5
3
5

Ví dụ 2:
Do bài toán chỉ cần tìm đường đi ngắn nhất từ A đến W trong
đồ thị G nên chúng ta đổi điều kiện kết thúc thuật toán Dijkstra
như sau:
...
Repeat
u =(u∉T | d(u) là bé nhất);
T = T ∪ {u};
for ((v là đỉnh kề của u) và v∉T)
if d(v) > d(u) + w(u,v) then
d(v) = d(u) + w(u,v)
p(v) = u
Until ( đỉnh đích chứa trong tập T)

Ví dụ 2:
Tìm đường đi ngắn nhất giữa A và W trong đồ thị G
Bước Tập T a v x y w z
0 ø (0.-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-)
1 a (0,-)* (2,a) (1,a) (∞,-) (5,a) (∞,-)
2 xa - (2,a) (1,a)* (2,x) (4,x) (∞,-)
3 yxa - (2,a) - (2,x)* (3,y) (4,y)
4 vyxa - (2,a)* - - (3,y) (4,y)
5 wvyxa - - - - (3,y)* (4,y)
6 Kết thúc vì đỉnh đến w chứa trong tập T

Ví dụ 3:
Cho đồ thị có trọng số G.
Tìm đường đi
ngắn nhất từ
A đến mỗi đỉnh
của đồ thị. 12
10
9
9
5
4
9
9
9
9
6 4
A
B
D
C
E
F
G
H
K
Z
2
2
8
4
1
3
3
8

Ví dụ 4:
Cho đồ thị có trọng số G = (V, E), tìm đường đi ngắn nhất
giữa A và H.
6
A
GD
E
b
B
K
3
2
3
5
4
3
2
2
4
C
4
H
4
4

Ví dụ 5:
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v1 0 5 30 40 ∞ ∞ ∞
v2 ∞ 0 27 ∞ 73 ∞ ∞
v3 ∞ 26 0 8 40 25 38
v4 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 16 20
v5 ∞ 70 ∞ ∞ 0 20 12
v6 ∞ ∞ 22 ∞ 22 12 ∞
v7 50 ∞ ∞ ∞ 10 ∞ ∞
Tìm đường đi
ngắn nhất từ v1
đến các đỉnh
khác của
đồ thị
có trọng số
được biểu diễn
trong
ma trận M
hình bên.

Giới thiệu
Để tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh của đồ
thị G=(V,E), chúng ta sử dụng thuật toán Floyd được công
bố năm 1962.
Việc tìm đường đi ngắn nhất dựa trên nguyên tắc sau:
" Nếu k là đỉnh nằm trên đường đi ngắn nhất từ i đến j thì
đoạn đường từ i đến k và từ k đến j cũng ngắn nhất"
Ak[i,j]=min(Ak-1[i,j], Ak-1[i,k]+Ak-1[k,j])

BEGIN
for i := 1 to n do
for j := 1 to n do
begin D[i,j] := C[i,j] ; P[i,j] := 0 end ;
for k := 1 to n do
for i := 1 to n do
for j := 1 to n do
if D[i,k] + D[k,j] < D[i,j] then
begin
D[i,j] := D[i,k] + D[k,j] ;
P[i,j] := k
end
END.

Ví dụ:
W = D0
=
40 5
2 0 ∞
∞ 3 0
1 2 3
1
2
3
00 0
0 0 0
0 0 0
1 2 3
1
2
3
P =
1
2
3
5
3
24

D1
=
40 5
2 0 7
∞ 3 0
1 2 3
1
2
3
00 0
0 0 1
0 0 0
1 2 3
1
2
3
P =
1
2
3
5
3
24
D1
[2,3] = min( D0
[2,3], D0
[2,1]+D0
[1,3] )
= min (∝, 7)
= 7
P[2,3]=1
D1
[3,2] = min( D0
[3,2], D0
[3,1]+D0
[1,2] )
= min (3,∝)
= 3
40 5
2 0 ∞
∞ 3 0
1 2 3
1
2
3
D0
=
k = 1

D2
[1,3] = min( D1
[1,3], D1
[1,2]+D1
[2,3] )
= min (5, 4+7)
= 5
D2
[3,1] = min( D1
[3,1], D1
[3,2]+D1
[2,1] )
= min (∝, 3+2)
= 5
P[3,1] = 2
D2
=
40 5
2 0 7
5 3 0
1 2 3
1
2
3
00 0
0 0 1
2 0 0
1 2 3
1
2
3
P =
1
2
3
5
3
24
D1
= 40 5
2 0 7
∞ 3 0
1 2 3
1
2
3
k = 23

D3
=
40 5
2 0 7
5 3 0
1 2 3
1
2
3
00 0
0 0 1
2 0 0
1 2 3
1
2
3
P =
D3
[1,2] = min(D2
[1,2], D2
[1,3]+D2
[3,2] )
= min (4, 5+3))
= 4
D3
[2,1] = min(D2
[2,1], D2
[2,3]+D2
[3,1] )
= min (2, 7+ 5)
= 2
D2
=
40 5
2 0 7
5 3 0
1 2 3
1
2
3
1
2
3
5
3
24 k = 3

3.1 Giới thiệu
Với một đồ thị có nhiều nút, việc kiểm tra tính liên thông của
đồ thị là bài toán lớn, cần có cách thức để thực hiện
nhanh, chính xác.
Hai cách duyệt đồ thị phổ biến được áp dụng:
1. Duyệt đồ thị theo chiều sâu (Depth First Search - DFS)
2. Duyệt đồ thị theo chiều rộng (Breadth First Search - BFS)
3. Duyệt đồ thị
BFSDFS

Xuất từ một đỉnh v bất kỳ của đồ thị G, chúng ta thực hiện
như sau:
Bước 1: đánh dấu v đã được duyệt.
Bước 2: thực hiện đánh dấu đã duyệt với mỗi đỉnh w chưa
duyệt kề với v,
Bước 3: làm lại bước 2 cho đến khi tất cả các đỉnh được
duyệt.
DFS

Ví dụ:
Thực hiện duyệt đồ thị theo chiều sâu trên đồ thị G dưới
đây:
v1 v2
v6
v3 v4
v7 v8v5
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8
v1 v2 v6 v3 v4 v8 v7 v5Bảng duyệt

Xuất từ một đỉnh v bất kỳ của đồ thị G, chúng ta thực hiện
như sau:
Bước 1: đánh dấu đã duyệt cho một đỉnh v bất kỳ.
Bước 2: chọn đỉnh v đã được duyệt nhưng có đỉnh kề chưa
được duyệt. Việc chọn đỉnh v được xét ưu tiên cho các đỉnh
được đánh dấu duyệt sớm.
Bước 3: thực hiện đánh dấu đã duyệt với tất cả các đỉnh w
kề với v,
Bước 4: làm lại bước 2 cho đến khi tất cả các đỉnh được
duyệt.
BFS

Ví dụ:
Thực hiện duyệt đồ thị theo chiều rộng trên đồ thị G dưới
đây:
v1 v2
v6
v3 v4
v7 v8v5
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8
v1 v2 v5 v6 v3 v7 v4 v8Bảng duyệt

Ví dụ:
Thực hiện duyệt đồ thị theo chiều rộng trên đồ thị G dưới
đây:
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

Bai 4 bieu dien do thi va thuat toan tim kiem

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Bai 4 bieu dien do thi va thuat toan tim kiem

Similar to Bai 4 bieu dien do thi va thuat toan tim kiem (20)

More from Duy Vọng

More from Duy Vọng (20)

Bai 4 bieu dien do thi va thuat toan tim kiem