Tài liệu hướng dẫn ôn tập môn Toán lớp 9, tập trung vào lý thuyết đại số và hình học, bao gồm các phương trình bậc hai, hệ phương trình, và các định lý trong hình học. Nội dung tài liệu bao gồm các công thức nghiệm, định lý về cung, dây, góc, và một số bài tập để thực hành. Các khái niệm như hình tròn, hình trụ, hình nón và diện tích cũng được trình bày chi tiết.

1. Lê Công Thuận THCS Bình Thành
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN 9 HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2009 -2010
A. LÝ THUYẾT:
ĐẠI SỐ:
* Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình baäc nhaát hai aån :
ax + by = c ⇔ by = -ax +c ⇔
a c
y x
b b
= − + . Vaäy nghieäm toång quaùt :
x R
a c
y x
b b
∈


= − +
* Heä 2 phöông trình baäc nhaát hai aån ' ' '
ax by c
a x b y c
+ =

+ =
(vôùi a,a’,b,b’ vaø c,c’
cuøng khaùc 0 )
+ Coù voâ soá nghieäm , neáu ' ' '
a b c
a b c
= =
+ Voâ nghieäm , neáu ' ' '
a b c
a b c
= ≠
+ Coù moät nghòeâm duy nhaát , neáu ' '
a b
a b
≠
* Giải hệ pt bằng phöông phaùp coäng :
 Böôùc 1 : Bieán ñoåi 2 phöông trình cuûa heä sao cho heä soá cuûa x
hoaëc y trong 2 phöông trình baèng nhau hoaëc ñoái nhau
Böôùc 2 : + Neáu heä soá cuûa x hoaëc y baèng nhau ( hoặc đối nhau )
thì ta tröø ( hoặc cộng )veá theo veá .
Böôùc 3 : Giaûi phöông trình moät aån vöøa tìm ñöôïc
Böôùc 4 : Thay giaù trò cuûa aån vöøa tìm ñöôïc vaøo 1 trong hai
phöông trình cuûa heä ñaõ cho ñeå tìm giaù trò cuûa aån thöù 2.
* Tính bieán thieân cuûa y = ax2
Haøm soá y = ax
2
(a >0) Haøm soá y = ax
2
( a < 0)
 Nghòch bieán khi x < 0
 Ñoàng bieán khi x > 0
 Giaù trò nhoû nhaát y = 0 taïi x = 0
 Ñoà thò naèm phía treân truïc
hoaønh
 O laø ñieåm thaáp nhaát cuûa ñoà
thò
 Ñoàng bieán khi x < 0
 Nghòch bieán khi x < 0
 Giaù trò lôùn nhaát y = 0 taïi x = 0
 Ñoà thò naèm phía döôùi truïc
hoaønh
 O laø ñieåm cao nhaát cuûa ñoà thò

2. Lê Công Thuận THCS Bình Thành
Caùch veõ ñoà thò :
 Laäp baûng gía trò cuûa haøm soá y = ax
2
Cho x nhaän caùc giaù trò -2,-1,0,1,2 … ta laàn löôït tính ñöôïc caùc giaù trò töông
öùng cuûa y = ax
2
 Veõ caùc caëp ñieåm trong baûng giaù trò treân cuøng heä truïc toaï ñoä vaø
noái caùc ñieåm laïi vôùi nhau bôûi ñöôøng cong liền neùt ta ñöôïc ñoà thò cuûa
haøm soá y = ax
2
* Vieát coâng thöùc nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình baäc hai:
∆ = b2
– 4ac
• ∆ > 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân
bieät: x1 = a
b
2
∆+−
; x1 = a
b
2
∆−−
• ∆ = 0 phöông trình coù nghieäm keùp :x1
= x2 = a
b
2
−
• ∆ < 0 phöông trình voâ nghieäm
Lưu ý: trường hợp b chẳn nên giải theo công thức nghiệm thu gọn.
* Khi naøo phöông trình baäc hai coù hai nghieäm phaân bieät , coù nghieäm
keùp , voâ nghieäm , coù nghieäm
 Phöông trình baäc hai coù hai nghieäm phaân bieät khi ∆ > 0 ( hoaëc ∆’ > 0 )
 Phöông trình baäc hai coù nghieäm kép khi ∆= 0( hoaëc ∆’ = 0 )
 Phöông trình baäc hai voâ nghieäm khi ∆ < 0( hoaëc ∆’ < 0 )
 Phöông trình baäc hai coù nghieäm khi ∆ ≥ 0 ( hoaëc ∆’ ≥ 0 )
 Neáu a vaø c traùi daáu thì phöông trình baäc hai luoân coù hai nghieäm phaân
bieät.
* Caùc tröôøng hôïp nhaåm nghieäm ñaëc bieät
 Neáu phöông trình ax
2
+bx + c = 0 coù a + b + c = 0 thì phöông trình coù hai
nghieäm x1 = 1 ; x2 = a
c
 Neáu phöông trình ax
2
+bx + c = 0 a - b + c = 0 thì phöông trình coù hai
nghieäm x1 = -1 ; x2 = - a
c
* Đònh lyù VIET
Neáu x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình ax
2
+bx + c = 0 (a ≠ 0) thì x1 +x2 =
a
b−
; x1 .x2 = a
c

3. Lê Công Thuận THCS Bình Thành
* Caùch tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng:neáu hai soá u vaø v coù
toång u + v = S vaø tích u.v = P thì u vaø v laø hai nghieäm cuûa phöông trình baäc
hai:x
2
–Sx +P =0
 ÑK ñeå coù 2 soá: S
2
–4P ≥ 0
HÌNH HỌC
CÁC ĐỊNH LÝ:
1. Định lý cộng số đo cung: Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì sđ »AB = sđ »AC + sđ
»CB
2. So sánh cung: Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
3. Định lý hệ giữa cung và dây: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai
đường tròn bằng nhau:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại.
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại.
- Trong 1 đường tròn hai cung bị chắn giữa 2 dây song song thì bằng nhau.
4. Định lý liên hệ giữa đường kính, cung và dây:
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì
đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung
( không phải là đường kính ) thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì
vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
5. Định lý góc nội tiếp: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
6. Hệ quả góc nội tiếp: Trong một đường tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng
nhau.
+ Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 900
) có số đo bằng nửa số đo của góc ở
tâm cùng
chắn một cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
7. Định lý góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị
chắn.
8. Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Trong một đường tròn, góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
9.Định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
có số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.
10. Định lý góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Góc có đỉnh ở bên ngoài đường
tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.
11.Quỹ tích (tập hợp ) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc α

4. Lê Công Thuận THCS Bình Thành
Không đổi là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng đó (00
< α < 1800
).
12. Định lý tứ giác nội tiếp:
+ ( Thuận ) : Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
.
+ ( Đảo) : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800
thì tứ giác đó
nội tiếp
được đường tròn.
13. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
.
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. Điểm đó gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp
tứ giác.
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α .
+ Hình thang cân nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm 2 đường trung trực của hai
cạnh bên.
+ Hình vuông , hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo.
14. Độ dài đường tròn bán kính R: 2= =C R dπ π
15. Độ dài l của một cung n0
bán kính R:
180
=
Rn
l
π
16. Diện tích hình tròn bán kính R: 2
=S Rπ
17. Diện tích hình quạt tròn cung n0
bán kính R:
2
360 2
quat
R n R
S
lπ
= =
18. Hình trụ bán kính r, chiều cao h: + Diện tích xung quanh: 2xqS rhπ=
+ Diện tích toàn phần: 2
2 2tpS rh rπ π= + + Thể tích: 2
V Sh r hπ= = ( S là diện tích
đáy)
19. Hình nón bán kính đáy r, đường sinh l
+ Diện tích xung quanh: xqS rlπ= + Diện tích toàn phần: 2
tpS rl rπ π= +
+ Thể tích:
2
ón
1 1
3 3
= =n truV V r hπ
20. Hình nón cụt bán kính đáy r1, r2 , đường sinh l :
+ Diện tích xung quanh: ( )1 2xqS r r lπ= + + Thể tích: ( )2 2
1 2 1 2
1
3
V h r r r rπ= + +
21. Hình cầu bán kính R: + Diện tích mặt cầu: 2 2
4S R dπ π= =
+ Thể tích hình cầu:
34
3
V Rπ=
B. BÀI TẬP
Câu 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)



+−=−
+−=+
)1(232
543
yxyx
xyyx
b)
33
. 70
x y
x y
+ =

= −
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) 3x2
- x - 6 = 0 c) (x + 1)(x +2)(x + 3)(x + 4) = 5

5. Lê Công Thuận THCS Bình Thành
c) x4
- 3x2
- 4 =0 d) 2
1
1
=−
− xx
x
Câu 3: Với giá trị nào của m thì phương trình x2
- 3x + m - 1 = 0
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có nghiệm kép.
Câu 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d): y = x và tiếp
xúc với Parabol (P): y =
4
2
x
Câu 5 : Cho parabol
2
(P) : y x vµ ®­ êngth¼ng(d) : y x 2= = +
a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.
b) Tìm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng phương pháp đại số.
c) Từ A và B vẽ AH ⊥ xx’;BK ⊥ x’x.Tính diện tích của tứ giác AHBK.
Câu 6: Cho phương trình x2
- 5x + 4m -3 = 0. Biết phương trình có nghiệm x1 = 2.
Tìm m và nghiệm x2 của phương trình.
Câu 7: Tìm phương trình có hai nghiệm là 4 và -12
Câu 8: Cho phương trình x2
- 2(m+1)x +4m = 0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm thỏa x1
2
+ x2
2
= 20.
Câu 9: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 3
2
chiều dài, diện tích hình chữ nhật
bằng 2400. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Câu 10: Một ca nô xuôi dòng 44 km rồi ngược dòng 27 km. Hết tất cả 3 giờ 30 phút.
Biết vận tốc thực của ca nô là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nước.
Câu 11 : Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đường vào thôn trong bốn
giờ thì xong. Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 sáu giờ. Hỏi mỗi tổ làm một
mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Câu 12: Hai xe khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 60 km.
Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km/giờ nên đến nơi sớm hơn xe thứ hai 30
phút. Tính thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường.
Câu 13: Cho đường tròn tâm O đường kính EF. Trên EF lấy điểm N và vẽ đường tròn
tâm O’
đường kính NF. Gọi M là trung điểm của EN. Từ M kẻ dây AB vuông góc với
EN, AF cắt (O’
) tại K.
a) Tứ giác AEBN là hình gì? Vì sao?
b) CM: Tứ giác MBFK nội tiếp.
c) Cho EF = 10cm, · 0
30AFE = . Gọi cung của (O) bị chắn bởi góc này là ¼AnE.
Tính diện tích hình quạt tròn OEnA.
Câu 14: Cho tam giác ABC có góc B bằng 900
và có BC > BA, đường cao BH. Trên
nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính CH cắt BC
tại M, vẽ nửa đường tròn tâm O’ đường kính HA cắt AB tại N. Chứng minh:
a) BMHN là hình chữ nhật.
b) Tứ giác CMNA là tứ giác nội tiếp.
c) BM . BC = BN .BA

6. Lê Công Thuận THCS Bình Thành
d) Cho · 0
60CHM = , CH = 8 cm. Tính diện tính hình quạt COM.
Câu 15: Cho (O;R), kẻ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn OA
lấy điểm E bất kì ( E nằm giữa O, A ). Qua E kẻ đường thẳng d CDP , CE cắt đường
tròn tại F. Kẻ tiếp tuyến Fx cắt d tại I.
a) Chứng minh tứ giác OEFI nội tiếp.
b) Tứ giác OIEC là hình gì?
c) Cho · 0
30FCD = , CD = 10 cm. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây
FD và cung FD.
d) Khi E di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đường nào?
Câu 16:Cho tam giác ABC (AB = AC) nội tiếp (O). Các đường cao AG, BE,CF gặp
nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác đó.
b) Chứng minh AF . AC = AH . AG.
c) Chứng minh GE là tiếp tuyến của (I).
d) Cho bán kính của đường tròn tâm I là 2 cm, · 0
50BAC = . Tính diện tích hình
quạt IFHE.
Câu 17: Cho tam giác ABC đều ngoại tiếp (O;R). Gọi D, E là hai tiếp điểm trên AB,
BC. Tia OB cắt (O) tại I. Chứng minh:
a) Tứ giác BDOE nội tiếp.
b) I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
c) Cho R = 2 cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đoạn thẳng BD, BE
và ¼DIE .
Câu 18:Cho A là một điểm ở ngoài (O, R ). Vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE
với (O).
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) AC2
= AD . AE VÀ AD .AE = OA2
– R2
.
c) Biết · 0
60BAC = . Tính diện tích hình quạt OBC theo R.
a) .
Câu 19:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax, By là hai tiếp tuyến với
nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
a) CMR:
b) Chứng minh: AM .BN = R2
.
c) Tính tỉ số 2
MON
APB
S R
khi AM
S
=
d) Tính thể tích của hình do tam giác APB quay quanh AB sinh ra.
Câu 20: Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bóng hình cầu đặt vừa khít
vào hộp đó. Tính tỉ số
tru
cau
V
V
?
Câu 21: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 314 cm2
, chiều cao bằng bán kính
đường tròn đáy. Tính thể tích của hình trụ ?
MON APB

7. Lê Công Thuận THCS Bình Thành
Câu 22: Biết bán kính đáy của một hình nón bằng 3cm2
và diện tích diện tích xung
quanh gấp ba lần diện tích đáy của hình nón. Tính thể tích của hình nón ?