HHSC-tổng-hợp-ND.docx

SƠ LƯỢC VỀ VECTƠ
Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Thanh Hưng
Nhóm thực hiện: 2
Thuyết trình:
Nguyễn Thị Thảo Vy
Lưu Đức Thọ
 Đặt vấn đề và đưa ra kết luận: Nguyễn Thúy Hiền
 Lí thuyết về vectơ
 Định nghĩa: Phan Minh Đức
 Các phép toán: Đinh Thị Hiếu
 Các dạng toán về vectơ (nội dung các dạng toán, PP giải/CM)
Trần Thị Hồng Hạnh
Trần Thị Hậu
Y Đôi Bol
 Tài liệu tham khảo: Phan Minh Đức, Định Thi Hiếu
 Làm Power point:
Trần Thị Kim Anh Nguyễn Văn Thịnh
Phạm Lan Chi Nguyễn Triệu Vĩ

CẤU TRÚC BÁO CÁO
1. Đặt vấn đề
2. Lí thuyết về vectơ
3. Vận dụng
4. Kết luận
5. Tài liệu tham khảo
1. Đặt vấn đề
Vectơ quan trọng trong toán học, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khác nhau.
Một trong những vấn đề cần xem xét là định nghĩa vectơ. Chúng ta cần hiểu
cách vectơ được biểu diễn và mô tả trong không gian, và các tính chất cơ bản của
chúng như độ dài, hướng và định hướng.
Ngoài ra, cần tìm hiểu về phép toán trên vectơ, bao gồm cộng, trừ và nhân
vectơ với số.
Cuối cùng, vấn đề cần xem xét là ứng dụng của vectơ trong các lĩnh vực khác
nhau. Việc hiểu và áp dụng vectơ vào vật lí, đồ họa máy tính, xử lí ảnh,... giúp ta tận
dụng được tiềm năng to lớn của vectơ trong việc mô phỏng và giải quyết các vấn đề
thực tế.
Tổng quan về các vấn đề cơ bản liên quan đến vectơ sẽ giúp ta nhìn sâu hơn, là
công cụ giải toán và ứng dụng vào thực tế của chúng.
Việc tiếp tục khám phá và nghiên cứu các vấn đề này sẽ mang lại những kiến thức
quan trọng và ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực liên quan đến vectơ.

2. LÍ THUYẾT VỀ VECTƠ
2.1. ĐỊNH NGHĨA VECTƠ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Chú ý: 1) Tức là trong hai điểm mút của đoạn thẳng có chỉ rõ điểm nào là điểm đầu
và điểm nào là điểm cuối.
2) Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B thì kí hiệu là 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ . Ngoài ra,
vectơ còn được kí hiệu là: 𝑎, 𝑏
⃗ , 𝑥, 𝑦,…
2.2. CÁC LOẠI VECTƠ
2.2.1. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Hai vectơ cùng phương là 2 vectơ có giá song song hoặc trùng với nhau. Giá của 1
vectơ là một đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng với nhau.
Chú ý: Điều kiện cần và đủ để 2 vectơ 𝑎 và 𝑏
⃗ (𝑏
⃗ ≠ 0) cùng phương là có một hệ số
k sao cho 𝑎 = k𝑏
⃗ .

2.2.2. Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi chúng có cùng hướng và cùng độ dài.
Chú ý: 1) Nếu ngược hướng thì sẽ được gọi là hai vectơ đối nhau.
2) Khi khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của 2 vectơ bất kì bằng
nhau thì tức là 2 vectơ này bằng nhau.
2.2.3. Vectơ không
Vectơ không là một loại vectơ khá đặc biệt. Với một điểm A bất kỳ, ta quy ước có
một vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là A, và vectơ này được gọi là vectơ
không.
Vectơ không được ký hiệu là 0→
, hay AA→
, BB→
,… Vectơ không có cùng phương,
cùng hướng với mọi vectơ, và mọi vectơ không đều bằng nhau.
2.3. Độ dài của một vectơ
Độ dài của một vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ đó.
Khi xét độ dài của một vectơ, ta cũng chỉ cần dựa vào khoảng cách từ điểm
đầu đến điểm cuối.

Một vectơ 𝑎 bất kì, kí hiệu độ dài như sau: |𝑎| (đọc là mô đun của 𝑎) hoặc
|𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ | = AB.
2.5 Nhận xét
1) Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
2) Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ,
sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ không, sự bằng nhau của hai
vectơ,… được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. Phép cộng, phép trừ,
phép nhân vectơ với 1 số được định nghĩa và cũng có các tính chất tương tự như
trong hình học phẳng.
3) Cho hình hộp 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′
𝐵′
𝐶′
𝐷′ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh 𝐴 là 𝐴𝐵, 𝐴𝐷, 𝐴𝐴′
và có đường chéo là 𝐴𝐶′. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: 𝐴𝐵
⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2.6 Hệ thức trung điểm, trọng tâm
2.6.1. Hệ thức trung điểm
Ví dụ: Cho 𝐴𝐵𝐶, 𝑀 là trung điểm BC.
Chứng minh: 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ).
Chứng minh:
Lấy 𝐷 là điểm đối xứng với 𝐴 qua 𝑀.
 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành
 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀

 2𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ).
2.6.2. Hệ thức trọng tâm
Ví dụ 1: Cho 𝐺 là trọng tâm 𝐴𝐵𝐶.
Chứng minh: GA
⃗⃗⃗⃗⃗ + GB
⃗⃗⃗⃗⃗ + GC
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ .
Chứng minh:
Lấy điểm 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶.
𝐼 là điểm đối xứng với 𝐺 qua 𝑀.
 Tứ giác BGCI là hình bình hành.
 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐼
⃗⃗⃗⃗ = 2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta lại có: 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = − 2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ .
Ví dụ 2: Cho 𝑀 là điểm bất kì. Chứng minh:
MA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3MG
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (G là trọng tâm ABC).
Chứng minh:
𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
= 3𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Mà 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ (do G là trọng tâm ABC)
 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
𝐴
𝐵
𝑀
𝐼
𝐺

2.2 Các phép toán
1, Nhóm I : Nhóm tiên đề về phép cộng vecto
1.1. Phép cộng vecto có tính chất giao hoán nghĩa
là với 2 vecto 𝑥, 𝑦 bất kì của V ta đều có
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥(∀ 𝑥, 𝑦 ∈ V )
1.2. Phép cộng vecto có tính chất kết hợp nghĩa là
với 3 vecto 𝑥, 𝑦, 𝑧 bất kì của V ta luôn có
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧= 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) (∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ V )
1.3. Có một vecto 0 sao cho với 𝑥 bất kì của V ta
luôn có
𝑥 + 0
⃗ =𝑥 (∀ 𝑥 ∈ V )
1.4. Với vecto 𝑥 bất kì của V ta luôn luôn có
vecto 𝑥sao cho 𝑥 +𝑥′ = 0
⃗ (𝑥′ là vecto đối của 𝑥)
2. Nhóm II : Nhóm tiên đề về phép nhân vecto với 1
số
2.1. Phép nhân vecto vecto với 1 số có tính chất
phân phối đối với phép cộng vecto nghĩa là với
2 vecto 𝑥, 𝑦 bất kì và với số thực ʎ bất kì ta luôn
có :ʎ(𝑥 + 𝑦)= ʎ𝑥+ ʎ𝑦 (∀ 𝑥, 𝑦 ∈ V và ∀ ʎ ∈ R )
2.2. Phép nhân vecto vecto với 1 số có tính chất
phân phối đối với phép cộng số nghĩa là với
vecto 𝑥 bất kì và với hai số thực ʎ, µ bất kì ta
luôn có : (ʎ + µ ) 𝑥 = ʎ 𝑥 + µ 𝑥
2.3. Phép nhân vecto với số có tính chất kết hợp ,
nghhiax là với vecto x bất kì và với hai số thực
ʎ, µ bất kì ta luôn có :
ʎ.(µ 𝑥)=(ʎµ) 𝑥
2.4. Phép nhân vecto với số đơn vị không làm
thay đổi vecto đó , nghĩa là với vecto 𝑥 bất kì ta
luôn có : 1𝑥= 𝑥
3. Nhóm III : nhóm tiên đề về số chiều
3.1. Có 3 vecto độc lập tuyến tính 𝑒1
⃗⃗⃗ , 𝑒2
⃗⃗⃗ , 𝑒3
⃗⃗⃗ .

3.2. Bất kì bốn vecto nào cũng phụ thuộc tuyến
tính
4. Nhóm IV : nhóm tiên đề về tích vô hướng
4.1. Tích vô hướng của hai vecto có tính chất giao
hoán , nghĩa là với hai vecto 𝑥, 𝑦 bất kì của V ta
có 𝑥. 𝑦 = 𝑦.𝑥
4.2. Tích vô hướng của các vecto có tính chất
phân phối đối với phép cộng vecto , nghĩa là với
ba vecto 𝑥, 𝑦, 𝑧 bất kì của V ta có : (𝑥 + 𝑦)𝑧
=𝑥𝑧+𝑦𝑧
4.3. Tích vô hướng của hai vecto k𝑥 và 𝑦 là số
thực k𝑥𝑦 với 𝑥, 𝑦 là các vecto bất kì của V và k
là số thực bất kì
4.4. Với vecto 𝑥 bất kì của V ta có 𝑥𝑥 ≥ 0
⃗
- Nếu 𝑥 ≠ 0
⃗ thì 𝑥𝑥 > 0
⃗ (hay có thể viết 𝑥2
>0
⃗ )
- Nếu 𝑥 = 0
⃗ thì 𝑥2
>0
⃗
5. Nhóm V : nhóm tiên đề về đặt vecto
5.1. Với mỗi điểm cố định A thuộc tập hợp T và
vecto 𝑥 bất kì thuộc V thì khi đó trong tập hợp T
có điểm B duy nhất sao cho : 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥
5.2. Tiên đề tam giác : với bất cứ ba điểm A, B,C
ta có
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
6. Vecto trong không gian:
6.1. Phép cộng, trừ vecto
 Quy tắc ba điểm : Cho ba điểm A,B,C bất kì , ta có :
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
 Quy tắc hình bình hành : Cho hình bình hành ABCD,
ta có 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗

 Quy tắc hình hộp :Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ , ta
có :
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
6.2. Lưu ý :
 Điều kiện để hai vecto cùng phương : Hai vecto 𝑎 và 𝑏
⃗
(𝑏
⃗ ≠ 0
⃗ ) ⟺ tồn tại ⱻ! k ∈ R : 𝑎= k𝑏
⃗
 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠ 1 ) ,
điểm O tùy ý
Ta có : 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − k𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1−𝑘
 Trung điểm của đoạn thẳng : cho I là trung điểm của
đoạn thẳng AB , điểm O tùy ý
Ta có : 𝐼𝐴
⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵
⃗⃗⃗⃗ = 0
𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑂𝐼
⃗⃗⃗⃗
 Trọng tâm của tam giác : Cho G là trọng tâm tam giác
ABC , điểm O tùy ý :
Ta có : 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑂𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗
 Ba vecto đồng phẳng nếu giá của chúng song song với
một mặt phẳng
Điều kiện cần và đủ để ba vecto 𝑎, 𝑏
⃗ , 𝑐 đồng phẳng là có
các số m, n , p không đồng thời bằng 0 sao cho
m𝑎+m𝑏
⃗ +m𝑐 = 0
Cho hai vecto không cùng phương khi đó điều kiện cần và
đủ để ba vecto 𝑎, 𝑏
⃗ , 𝑐 đồng phẳng là có các số m , n sao
cho 𝑐 = m𝑎+m𝑏
⃗

Nếu ba vecto 𝑎, 𝑏
⃗ , 𝑐 không đồng phẳng thì mỗi vecto d
đều có thể phân tích một các duy nhất dưới dạng 𝑑 =
m𝑎+n𝑏
⃗ +p𝑐
Tài liệu tham khảo : Giáo trình Hình học sơ cấp , Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm , Năm xuất bản : 2005 , Tác
giả : PGS.TS.Đào Tam,

3. Vận dụng
* Hồng Hạnh
Bài toán 1 ( bài toán gốc hay bài toán cơ bản ) Cho tam giác ABC, M là trung
điểm =
1
2
(𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Bài làm Lấy D là điểm đối xứng với A qua M
=>ABCD là hình bình hành
=>𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
=>2 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
=> 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Bài toán 2, Cho G là trọng tâm tâm giác tam giác ABC . Chứng minh rằng
𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⃗
Lấy điểm M là trung điểm BC
I là điểm đối xứng với G qua M
=> BGCT là hình bình hành
=> 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐺𝐼
⃗⃗⃗⃗ =2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta lại có
𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ =-2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=>𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =-2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⃗
Bài toán 3 Cho M là điểm bất kì . Chứng minh 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( G là trọng
tâm tam giác ABC)
𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
B
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
t
$
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
D
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
t
$
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
M
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
t
$
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
t
$
A
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
t
$
$

d
G
d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
t
$
$

M
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
I
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
B
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n
C
$

d
is
p
l
a
y
s
t
y
l
e
i
n

= 3𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )
Mà 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⃗ (do G là trọng tâm tam giác ABC)
=> 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑀𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (Đpcm)

* Y ĐÔI
Dạng: Chứng minh các vecto bằng nhau
Phương pháp:
Để chứng minh hai vecto bằng nhau ta có thể dùng một trong ba cách sau:
- Có cùng hướng và cùng độ dài.
- Cùng bằng nhau với vecto thứ ba.
- Áp dụng định lí: “Nếu ABCD là hình bình hành thì 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣à 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ”.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD,
DA. Chứng minh: MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = QP
⃗⃗⃗⃗⃗ ; NP
⃗⃗⃗⃗⃗ = MQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Giải
Theo giả thiết ta thấy:
{
𝑀𝑁 // 𝐴𝐶
𝑃𝑄 // 𝐴𝐶
=> MN // PQ (1)
Tương tự: MQ // NP (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình
hành nên MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = QP
⃗⃗⃗⃗⃗ ; NP
⃗⃗⃗⃗⃗ = MQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (đpcm
Dạng: Chứng minh các đẳng thức vecto
Phương pháp:
- Dùng quy tắc tổng, hiệu để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức.
- Biến đổi đẳng thức vecto cần chứng minh tương đương vơi một đẳng thức vecto
đúng
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: AB
⃗⃗⃗⃗⃗ = CD
⃗⃗⃗⃗⃗ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng
AD và BC trùng nhau.
Giải
Gọi: I là trung điểm của 𝐴𝐷 ⇔ ID
⃗⃗⃗⃗ = −IA
⃗⃗⃗ .
P
p
N
$
M
Q
D
C
$
B
$
A
$

* HẬU
1. Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau
Phương pháp giải:
- A trùng B  0
AB 
- A trùng B  :
M MA MB
 
Ví dụ 8: Chứng minh rằng 0
AD BE CF
   là điều kiện cần và đủ để hai tam
giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Giải
Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và DEF.
Vì G’ là trọng tâm nên ta có: ' ' ' 0
G D G E G F
  
   
 
' ' ' 0
3 ' 0
3 ' 0
G G GA AD G G GB BE G G GC CF
G G GA GB GC AD BE CF
G G AD BE CF
         
       
    
Do đó hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm  ' 0
G G 
 0
AD BE CF
  
Ví dụ 9: Cho M, N, P, Q. R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, DE, EF, FA của lục giác ABCDEF. Chứng minh rằng MPR và NQS
có cùng trọng tâm.
Giải
Xét
1 1 1
2 2 2
MN PQ RS AC CE EA
    

 
1
0
2
AC CE EA
   
Mặt khác, theo Ví dụ 8. ta có đpcm.
2. Dạng 5: Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước
Phương pháp giải:
- OM a
 với O cố định và a không đổi thì tập hợp điểm M là đường tròn
tâm O bán kính a
- MA MB
 với A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của
đoạn thẳng AB
- OM ka
 với O cố định, a không đổi và k  R thì tập hợp điểm M là đường
thẳng đi qua O và có cùng phương với a
- OM ka
 với O, A cố định và k  R thì tập hợp điểm M là đường thẳng OA
Ví dụ 10. Cho tứ giác ABCD
a. Xác định điểm O sao cho 4 2
OB OC OD
 
b. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức 4 2 3
MB MC MD MA
  
Giải.
a. Ta có:
   
 
4 2 3 2 4 2
3 2 2
3 2
OB OC OD OB OD OC OB
OB OD CO CO OB
OB CD CB
     
    
  
Gọi I là trung điểm của BD. Khi đó 2
CD CB CI
 
Vậy 3 4
OB CI
 hay
4
3
OB CI

Từ đó suy ra vị trí của điểm O

b. 4 2 3
MB MC MD MA
  
 
2 4 2 3
3 4 2 3
MO OB MO OC MO MD MA
MO OB OC DO MA
      
    
Mà theo câu a. thì 4 2 4 2 0
OB OC OD OB OC DO
     
Do đó 3 3
MO MA
  MO = MA
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của OA
4. Kết luận
Vecto là một công cụ toán học và vật lý quan trọng để biểu diễn và tính toán các
đại lượng có độ lớn và hướng. Vecto cho phép chúng ta mô tả sự di chuyển, tương
tác và biến đổi trong không gian một cách rõ ràng và linh hoạt.
Các phép toán trên vecto như cộng, trừ và nhân với số thực cho phép tổng hợp,
phân tích và biến đổi các đại lượng theo cách linh hoạt. Công thức và thuật toán
tính toán vecto đã được phát triển để giải quyết nhiều vấn đề thực tế trong các lĩnh
vực khác nhau.
Sử dụng vecto, chúng ta có thể hiểu và mô phỏng sự chuyển động, tương tác và
biến đổi của các đối tượng trong không gian. Vecto được áp dụng rộng rãi trong
vật lý, đồ họa máy tính, xử lý ảnh, trí tuệ nhân tạo và nhiều lĩnh vực khác.
Tóm lại, vecto là một khái niệm quan trọng và linh hoạt, cung cấp cho chúng ta
công cụ mạnh mẽ để biểu diễn, tính toán và hiểu các đại lượng có hướng và độ lớn
trong không gian.
5. Tài liệu tham khảo

HHSC-tổng-hợp-ND.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to HHSC-tổng-hợp-ND.docx

Similar to HHSC-tổng-hợp-ND.docx (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

HHSC-tổng-hợp-ND.docx