Документ посвящен аксиомам стереометрии и их следствиям, включая основные понятия, такие как точка, прямая и плоскость. В нем рассматриваются аксиомы принадлежности, порядка, наложения и измерения отрезков, а также аксиома параллельных прямых. В результате на основе этих аксиом выводится уникальное задание плоскости с помощью трех точек или двух параллельных прямых.

1. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них Автор презентации учитель Метс М.А.

2. Основные понятия стереометрии Основные объекты: точка, прямая, плоскость Основные отношения: точка лежит на прямой, точка лежит в плоскости, точка лежит между двумя точками, наложение Определения основных понятий не даются

3. Аксиомы стереометрии Свойства основных понятий выражаются в предложениях, которые называются аксиомами. Аксиомы принимаются без доказательства в качестве исходных. Все остальные предложения геометрии выводятся из аксиом с помощью логических рассуждений.

4. Система аксиом стереометрии Аксиомы принадлежности 1 Аксиомы порядка 2 3 4 5 Аксиомы наложения Аксиомы измерения отрезков Аксиома параллельных прямых к выводу

5. Аксиомы принадлежности 1. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки, а в каждой плоскости – по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 2. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. продолжение

6. Аксиомы принадлежности 3. Через любые две точки проходит прямая, притом только одна. 4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, притом только одна. 5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. продолжение

7. Аксиомы принадлежности 6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 7. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. следствия из аксиом

8. Следствия из аксиом принадлежности Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. к системе аксиом

9. Аксиомы порядка 1. Если точка В лежит между точкой А и точкой С , то А , В и С – три различные точки некоторой прямой и точка В лежит также между точкой С и точкой А 2. Из трёх точек прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими 3. Каждая точка О , лежащая на прямой, разделяет множество остальных точек этой прямой на два непустых подмножества так, что точка О лежит между любыми двумя точками разных подмножеств и не лежит между любыми двумя точками одного и того же подмножества продолжение

10. Аксиомы порядка 4. Каждая прямая а , лежащая в плоскости α разделяет множество всех точек плоскости α , не лежащих на прямой а , на два подмножества так, что отрезок, соединяющий любые две точки разных подмножеств, имеет с прямой а только одну общую внутреннюю точку, а отрезок, соединяющий любые две точки одного и того же подмножества не имеет общих точек с прямой а продолжение

11. Аксиомы порядка 5. Каждая плоскость α разделяет множество всех точек пространства, не лежащих в этой плоскости, на два подмножества так, что любые две точки разных подмножеств лежат по разные стороны от плоскости α , а любые две точки одного и того же подмножества лежат по одну сторону от плоскости α к системе аксиом

12. Аксиомы наложения 1. Каждая фигура равна самой себе 2. Если фигура Ф равна фигуре Ф ´ , то фигура Ф ´ равна фигуре Ф 3. Если фигура Ф равна фигуре Ф ´ , а фигура фигура Ф ´ равна фигуре Ф ´´ , то фигура Ф равна фигуре Ф ´´ 4. Если при наложении концы отрезка АВ отображаются в концы отрезка А ´ В ´ , то отрезок АВ отображаются на отрезок А ´ В ´ 5. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному и притом только один к системе аксиом

13. Аксиомы измерения отрезков 1. При произвольно выбранном единичном отрезке каждый отрезок имеет определённую длину 2. Для любого вещественного положительного числа а существует отрезок, длина которого при выбранном единичном отрезке, равна а к системе аксиом

14. Аксиома параллельных прямых 1.В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит не более одной прямой, параллельной данной к системе аксиом

15. Вывод: На основе аксиом стереометрии и следствий из аксиом плоскость в пространстве задаётся единственным образом с помощью трёх точек, не лежащих на одной прямой прямой и не лежащей на ней точки двух пресекающихся прямых продолжение

16. А также На основе определения параллельных прямых плоскость в пространстве задаётся единственным образом также с помощью двух параллельных прямых На основе определения параллельных прямых можно доказать свойство: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые, по которым они пересекаются, параллельны

17. Благодарю за внимание!