Ишмуллина Ангелина

1. ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
Ишмуллина Ангелина
Эдуардовна,
ученица класса И-10-1,
МБОУ "Лицей №2";
albina.ishmullina@mail.ru
Научный руководитель:
Птушкина Наталия Анатольевна,
учитель математики МБОУ "Лицей №2"

2. Цели и задачи
Цель работы: научиться решать задачи из второй части единого
государственного экзамена по математике для облегчения сдачи
экзамена.
Задачи:
1)разобрать всевозможные формулы для решения задач;
2)ознакомиться с формулировками теорем, не разобранных в
учебнике и закрепить знания о теоремах и свойствах, данных в нем;
3)рассмотреть методы решения;
4)на нескольких примерах показать способы решения данных
задач, научиться применять их на практике.

3. 0%
20%
40%
60%
80%
100%
2010 2011 2012
не приступавшие
к решению
количество
учеников
Решаемость задачи №14 на ЕГЭ

4. Свойства расстояния между точкой и плоскостью
• d - перпендикуляр, проведенный из
точки М к плоскости;
• точка Н - основание перпендикуляра;
• MN - наклонная, причем N и Н лежат в
плоскости;
• l - проекция наклонной на плоскость.
1. Перпендикуляр всегда меньше любой наклонной, проведенной из той же точки.
2. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка
перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
3. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего
перпендикуляра.
4. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от
любой точки этой прямой до плоскости.
5. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего
перпендикуляра.
6. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию
между точкой одной из этих плоскостей и
другой плоскостью.

5. Теорема о трех перпендикулярах
• Прямая , проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к
её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Дано:
АН - перпендикуляр к плоскости α,
АМ - наклонная,
а - прямая, проведенная в плоскости
через точку М перпендикулярно к
проекции НМ наклонной.
Доказать: а ┴ АМ.
Доказательство:
Рассмотрим плоскость АМН: а перпендикулярна плоскости АМН, т.к. она
перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, лежащим в
плоскости. Значит, а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости
АМН, в частности а ┴ АМ.
Теорема доказана.

6. Методы решения задач
Расстояние от точки до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется
по такой формуле: .
1. Координатный метод решения задач
Задача:
В единичном кубе найдите
расстояние от точки А до плоскости .

7. Решение: Чтобы воспользоваться этой
формулой, поместим наш куб в систему
координат:
Чтобы найти коэффициенты a, b и
c, подставим координаты
точек , и в уравнение
плоскости ax+by+cz+d=0 . Получим систему
уравнений:
Отсюда: a=-1, b=1, c=-1.
Подставим координаты точки A(0,1,0) и
значения коэффициентов в формулу для
расстояния:
Ответ:

8. 2. Поэтапно-вычислительный метод
При решении задач этим методом строится перпендикуляр из заданной точки на
плоскость и вычисляется его длина.
Задача: Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника ABC, если известно,
что SA  2 , AB  AC  4 и SB  SC  BC  2 3.
Решение: Пусть M – середина BС. Тогда SM и AM – медианы
(и высоты) равнобедренных треугольников ABC и SBC. Так как
SM  BC и AM  BC , то BC  ASM (по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости). Плоскость ASM 
ABC по признаку перпендикулярности плоскостей (плоскость
ABC содержит прямую BC ). Следовательно, перпендикуляр
SH, проведенный из точки S на прямую пересечения этих
плоскостей AM и есть перпендикуляр к плоскости ABC. Значит
искомое расстояние равно высоте SH в треугольнике ASM,
в котором SA  2 , SM  3 и AM  13 . Обозначим AH x , тогда
MH 13- x2 . Выразим SH 2 из прямоугольных треугольников
ASH и SMH, и решим уравнение 4- x2 =9-(√13-x)2. Получаем x =
4
√13
.
Тогда SH= 4 − (
4
13
)2 =
6
13
. Ответ:
6
13
.

9. Заключение
Существует множество различных методов решения задач
данного типа, прибегнув к которым, можно найти искомое.
Нужно уметь решать данные задачи и пользоваться
соответствующими формулами, т.к. за ее решение дается то
количество баллов, которое может повлиять на оценку за
экзамен. Так же знание теории обязательно пригодится в
будущем, что тоже немаловажно.
Спасибо за
внимание!