Author :: อาจารย์จุฑาศินี พรพุทธศรี NPRU Open Courseware more info :: http://courseware.npru.ac.th/index.php

1. อินทิกรัลของฟังก์ชัน
Integral of Function
สาขาอุตสาหกรรมศิลป์ คณะวิทยาศาสตร์ละเทคโนโลยี

2. อินทิกรัล (Integral) คือ ผลลัพธ์ของการคานวณแบบอินทิเกรต (Integration) คือการคานวณ
ฟังก์ชันโดยทั่วๆไป เช่นการคานวณหาพื้นที่ใต้กราฟ หรือหาแรงกระทาต่อวัตถุ
อินทิกรัลสามารถแบ่งได้เป็น 2 แบบ คือ
1. อินทิกรัลจากัดเขต (definite integral)
2. อินทิกรัลไม่จากัดเขต (indefinite integrals)

3. อินทิกรัลเบื้องต้น
𝐹(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐹(𝑥)
การหาอินทิกรัลของฟังก์ชัน

4. นิยาม
ถ้า 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) สาหรับทุกๆค่า x ของฟังก์ชัน 𝑓(𝑥) แล้ว
จะได้ค่าของ 𝑓(𝑥) คือ 𝐹 𝑥 + 𝑐 เขียนแทนด้วย 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ซึ่ง
เรียกว่า อินทิกรัลไม่จากัดเขต (Indenfinite integrals) ของ 𝑓(𝑥) เทียบ
กับ x
สัญลักษณ์ ʃ เรียกว่า เครื่องหมายอินทิกรัล (Integral symbol)
สัญลักษณ์ 𝑑𝑥 เป็นตัวบ่งชี้ว่าให้ อินทิเกรตเทียบกับตัวแปร x

5. สูตรพื้นฐานของอินทิกรัล
1. 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
2. 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛
𝑛+1
𝑐 ; 𝑛 ≠ −1
3. 𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; ให้ a เป็นค่าคงตัวใดๆ
4. 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
5. 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

6. 6.
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐
7. 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝑐
8. 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎 𝑥
ln 𝑎
+ 𝑐
9. sin 𝑥𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐
10. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐
11. tan 𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐

7. ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 2𝑥3
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 7 𝑑𝑥
ใช้สูตร 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛
𝑛+1
+ 𝑐 ; (𝑛 ≠ −1)
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐
2𝑥3
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 7 𝑑𝑥 = 2 𝑥3
𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 + 7 𝑑𝑥
= 2
𝑥4
4
+ 𝑐1 − sin 𝑥 + 𝑐2 +
7 𝑥 + 𝑐3

8. 2𝑥3
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 7 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥4
+ 2𝑐1 − sin 𝑥 − 𝑐2 + 7𝑥 + 7𝑐3
=
1
2
𝑥4 − sin 𝑥 + 7𝑥 + (2𝑐1 − 𝑐2 + 7𝑐3)
เพื่อความสะดวกสามารถนาค่าคงที่ตัวที่เกิดจากการอินทิเกรตมารวมกันเป็นค่าคงตัว C ตัว
เดียวได้จะได้คาตอบเป็น =
1
2
𝑥4
− sin 𝑥 + 7𝑥 + 𝑐

9. ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 𝑒 𝑥 + 4 𝑥 𝑑𝑥
ใช้สูตร 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐
𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎 𝑥
ln 𝑎
+ 𝑐
𝑒 𝑥 + 4 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 4 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥 + 𝑐1 +
4 𝑥
ln 4
+ 𝑐2
= 𝑒 𝑥 +
4 𝑥
ln 4
+ (𝑐1 + 𝑐2)
= 𝑒 𝑥
+
4 𝑥
ln 4
+ 𝑐

10. การอินทิเกรตโดยการแทนค่า
(Integration by Substitution)
ในกรณีที่ไม่สามารถอินทิเกรตตามสูตรได้จะนิยมใช้วิธีการแทนค่ายู
(Method of U-Substitution) โดยใช้หลักการดังนี้
1. 𝑓 𝑔 𝑥 สาหรับการแทนค่า
𝑢 = 𝑔 𝑥 , 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
2. หาค่าอินทิกรัลในเทอมของ u
3. แทนค่า u ด้วย g(x) จะได้คาตอบอยู่ในเทอมของ x

11. ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่า 𝑥 + 4 5
𝑑𝑥
อินทิเกรตโดยการแทนค่า u โดยที่ 𝑢 = 𝑔(𝑥) และ 𝑑𝑢 = 𝑔′
𝑥 𝑑𝑥
กาหนดให้ 𝑢 = 𝑥 + 4, 𝑑𝑢 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 4 𝑑𝑥
= 1dx
และ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
แทนค่าจะได้ 𝑥 + 4 5
𝑑𝑥 = 𝑢5
𝑑𝑢
=
𝑢5+1
5 + 1
+ 𝑐
=
𝑢6
6
+ 𝑐

12. แทนค่า u กลับในสมการจะได้
𝑥 + 4 5 𝑑𝑥 = 𝑥+4 6
6
+ 𝑐
ดังนั้นค่าของ 𝑥 + 4 5
𝑑𝑥 =
𝑥+4 6
6
+ 𝑐

13. ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่า
𝑥2
𝑥3−1 5 𝑑𝑥
อินทิเกรตโดยการแทนค่า u โดยที่ 𝑢 = 𝑔(𝑥) และ 𝑑𝑢 = 𝑔′
𝑥 𝑑𝑥
กาหนดให้ 𝑢 = 𝑥3 − 1, 𝑑𝑢 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3 − 1 𝑑𝑥
= 3𝑥2
𝑑𝑥
และ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3𝑥2

14. แทนค่าจะได้
𝑥2
𝑥3−1 5 𝑑𝑥 =
𝑥2
𝑢 5 ×
𝑑𝑢
3𝑥2
=
1
𝑢5
×
1
3
𝑑𝑢
=
1
3
𝑢−5
𝑑𝑢
=
1
3
×
𝑢−4
−4
+ 𝑐
= −
1
12𝑢4
+ 𝑐

15. แทนค่า u กลับในสมการจะได้
𝑥2
𝑥3 − 1 5
𝑑𝑥 = −
1
12 𝑥3 − 1 4 + 𝑐
ดังนั้นค่าของ
𝑥2
𝑥3−1 5 𝑑𝑥 = −
1
12 𝑥3−1 4 + 𝑐

16. • ฟังก์ชัน 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด 𝑎, 𝑏 เรียกผลลัพธ์
ของการอินทิเกรตนี้ว่า อินทิกรัลจากัดเขต (Definite Integral) จะแสดง
โดย 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 อินทิกรัลจากัดเขตบางครั้งเรียกว่า รีมันน์อินทิกรัล
(Riemann Integral) และผลรวมที่ได้จะเรียกว่า ผลรวมรีมันน์ (Remann
Sum)

17. ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ 1
3
𝑥2 𝑑𝑥
1
3
𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥2+1
3
3
1
=
𝑥3
3
3
1
=
3 3
3
−
1 3
3
=
27 − 1
3
=
26
3
คาตอบของ 1
3
𝑥2
𝑑𝑥 =
26
3

18. ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ −1
1
1 − 𝑥 3 𝑑𝑥

20. การอินทิเกรตทีละส่วน
(Integration by Parts)
ถ้า 𝑢(𝑥) และ 𝑉(𝑥) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้โดยกฎของการ
หาอนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันจะได้
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

21. ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
จากสูตร 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
กาหนดให้ 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = − cos 𝑥
แทนค่าในสูตร จะได้
𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − cos 𝑥 − − cos 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐
คาตอบของ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐

22. ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ 𝑥 𝑥 + 1𝑑𝑥
จากสูตร 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
กาหนดให้ 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥 + 1𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 + 1𝑑𝑥
𝑣 = 𝑥 + 1 1/2
𝑑𝑥
𝑣 =
𝑥 + 1
1
2
+1
1
2
+ 1
𝑣 =
2
3
𝑥 + 1 3/2

23. แทนค่า ในสูตร จะได้
𝑥 𝑥 + 1𝑑𝑥 = 𝑥
2
3
𝑥 + 1 3/2
−
2
3
𝑥 + 1 3/2
𝑑𝑥
=
2𝑥
3
𝑥 + 1 3/2
−
2
3
𝑥 + 1 3/2
𝑑𝑥
=
2𝑥
3
𝑥 + 1 3/2
−
2
3
𝑥 + 1
3
2
+1
3
2 + 1
=
2𝑥
3
𝑥 + 1 3/2
−
2
3
2
5
𝑥 + 1
5
2
=
2𝑥
3
𝑥 + 1 3/2
−
4
15
𝑥 + 1
5
2 + 𝐶

24. ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าของ 𝑥2 sin 𝑥𝑑𝑥
จากสูตร
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
กาหนดให้ 𝑢 = 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sin 𝑥𝑑𝑥 𝑣 = sin 𝑥𝑑𝑥
= − cos 𝑥

25. แทนค่าลงในสูตรจะได้
𝑥2
sin 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2
− cos 𝑥 − − cos 𝑥 2𝑥𝑑𝑥
=
− 𝑥2 cos 𝑥 − − 2xsin 𝑥 −2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥2
cos 𝑥 − −2𝑥 sin 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥
= −𝑥2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶