در ریاضیات، رابطه بازگشتی (Recurrence Relation)، دنباله ای است که به صورت بازگشتی تعریف می شود. در یک دنباله بازگشتی، یک معادله به نام رابطه بازگشتی ارائه می شود که با آن، جمله n ام دنباله به جملات پیشین مرتبط می شود. مقادیر چند جمله اول دنباله به نام های شرایط مرزی یا مقادیر اولیه، داده می شوند. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است: درس یکم: روابط بازگشتی درس دوم: روش درخت بازگشت (recursion tree) درس سوم: قضیه اصلی -تغییر متغیر درس چهارم: رابطه های بازگشتی همگن ... برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید: http://faradars.org/courses/fvsft120

1. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫مدرس‬:
‫شیرافکن‬ ‫فرشید‬
‫تهران‬ ‫دانشگاه‬ ‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬
(‫ارشد‬ ‫کارشناسی‬ ‫و‬ ‫کارشناسی‬:‫افزار‬ ‫نرم‬ ‫کامپیوتر‬( )‫دکتری‬:‫انفورماتیک‬ ‫بیو‬)
‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

2. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫دوم‬ ‫فصل‬:
‫روش‬‫بازگشت‬ ‫درخت‬
2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫درخت‬ ‫روش‬‫بازگشت‬(recursion tree)
‫به‬‫کمک‬‫این‬‫روش‬‫می‬‫توان‬‫رابطه‬‫های‬‫بازگشتی‬‫را‬‫حدس‬‫یا‬‫حل‬‫کرد‬.
‫در‬‫این‬‫روش‬‫نحوه‬‫جای‬‫گذاری‬‫یک‬‫عبارت‬‫بازگشتی‬‫و‬‫نیز‬‫مقدار‬‫ثابتی‬‫را‬‫که‬‫در‬‫هر‬‫س‬‫طح‬‫از‬
‫آن‬‫عبارت‬‫به‬‫دست‬‫می‬‫آید‬‫نشان‬‫داده‬‫می‬‫شود‬.‫با‬‫جمع‬‫کردن‬‫مقادیر‬‫ثابت‬‫تمام‬‫سطوح‬،
‫جواب‬‫بدست‬‫می‬‫آید‬.
‫درخت‬‫های‬‫بازگشت‬‫زمانی‬‫که‬‫رابطه‬،‫بازگشتی‬‫زمان‬‫اجرای‬‫یک‬‫الگوریتم‬‫تقسیم‬‫و‬‫حل‬‫را‬
‫توصیف‬‫می‬‫کند‬‫مفید‬‫هستند‬.
3
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫رسم‬: T(8)
n
T(n) 2T( ) n
2
 
T(1) 1
4
‫مثال‬
T(8) 2T(4) 8 
T(4) 2T(2) 4 
T(2) 2T(1) 2 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
n
T(n) 2T( ) n
2
 
T(1) 1
‫هزینه‬:
(8) (4 4) (2 2 2 2) (1 1 1 1 1 1 1 1) 4 8 32                
5
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
n
T(n) 2T( ) n
2
 
T(1) 1
6
‫مثال‬
(lgn 1) n nlgn n   
‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫حل‬:
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫رسم‬: T(4)
2n
T(n) 2T( ) n
2
 
T(1) 1
‫هزینه‬:2 2 24 (2 2 ) (1 1 1 1) 28      
7
‫مثال‬
2T(4) 2T(2) 4 
2T(2) 2T(1) 2 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫رسم‬: T(8)
n n
T(n) 2T( )
2 lgn
 
T(1) 1
‫هزینه‬:
8 8 8 1 1 1
8 8( ) 8 8lg3 8
3 2 1 3 2 1
        
8
‫مثال‬
8
T(8) 2T(4)
3
 
4
T(4) 2T(2)
2
 
2
T(2) 2T(1)
1
 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
n n
T(n) 2T( )
2 lgn
 
T(1) 1
9
‫مثال‬
n
n 22 ... n 1
nlgn lg
2
1 1 1
n( ... ) n
nlgn 1lg
2
nlglgn n
    
    
 
‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫حل‬:
1 1 1
... lgk
k k 1 1
   

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫رسم‬:
n n n
T(n) T( ) T( ) T( ) n
2 4 8
   
2
7 7
n n n ...
8 8
 
   
 
10
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
n n
T(n) T( ) T( ) cn
a b
  
h
i
i 0
1 1
n ( )
a b

‫درخت‬ ‫ارتفاع‬:‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫ارتفاع‬ ‫بین‬ ‫مقدار‬ ‫حداکثر‬) (‫راست‬ ‫سمت‬ ‫ارتفاع‬ ‫و‬) (
‫یک‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫ها‬‫ضریب‬ ‫جمع‬:
‫یک‬ ‫از‬ ‫کمتر‬ ‫ها‬‫ضریب‬ ‫جمع‬:
n
alogn
blog
T(n) (nlgn) 
T(n) (n) 
11
‫فرمول‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫جواب‬
n 9n
T(n) T( ) T( ) n
10 10
  
h
i
i 0
h
i
i 0
1 9
T(n) n ( )
10 10
n (1) (nlgn)


 
  


12
‫مثال‬
n n
T(n) T( ) T( ) cn
a b
  
h
i
i 0
1 1
n ( )
a b

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫ه‬ ‫برگ‬ ‫به‬ ‫ریشه‬ ‫از‬ ‫مسیر‬ ‫ترین‬‫طوالنی‬‫ا‬:
29 9
n n ( ) n ... 1
10 10
   
‫رابطه‬‫وقتی‬‫برقرار‬‫است‬‫که‬:
h
9
n 1
10
 
 
 
n
10/9h log
‫هزینه‬‫درخت‬‫در‬‫هر‬‫سطح‬‫در‬‫حدود‬:n
‫ارتفاع‬‫درخت‬‫از‬‫مرتبه‬:
‫مجموع‬‫هزینه‬‫ها‬:
lgn
nlgn
13
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫جواب‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫را‬‫پیدا‬‫کنید؟‬
n 7n
T(n) T( ) T( ) n
5 10
  
n n
10/7 10/7log log
i i
i 0 i 0
1 7 9
T(n) n ( ) n ( )
5 10 10 
   
14
‫مثال‬
n n
T(n) T( ) T( ) cn
a b
  
h
i
i 0
1 1
T(n) n ( )
a b
 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
n n n
T(n) T( ) T( ) T( ) n
2 4 8
   
h
i
i 0
1 1 1
n ( )
2 4 8
  
h
i
i 0
7
n ( )
8
 
15
‫مثال‬
8n O(n) 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫جواب‬: 2n 3n
T(n) T( ) T( ) n
4 4
  
n
4/3log
2 i
i 0
10
T(n) n ( )
16
 
‫است‬ ‫کمتر‬ ‫یک‬ ‫از‬ ‫سیگما‬ ‫مقدار‬.
16
‫مثال‬
2T(n) (n )  
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫آورید‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫جواب‬.
2n n
T(n) T( ) T( ) n
4 2
  
n
2log
2 i
i 0
5
T(n) n ( )
16
 
‫است‬ ‫کمتر‬ ‫یک‬ ‫از‬ ‫سیگما‬ ‫مقدار‬.
17
‫مثال‬
2T(n) (n ) 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫توسط‬ ‫شده‬ ‫تولید‬ ‫بازگشت‬ ‫درخت‬
‫درخت‬ ‫یک‬a‫کامل‬ ‫تایی‬
‫برگ‬ ‫تعداد‬:
‫ارتفاع‬:
‫ها‬ ‫هزینه‬ ‫کل‬ ‫مجموع‬:
n
T(n) aT( ) f(n)
b
 
a
blog
n
n
blog
n
a b
b
log 1
log i
i
i 0
n
(n ) a f( )
b


  
18
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫کنید‬ ‫مشخص‬ ‫را‬ ‫توسط‬ ‫شده‬ ‫تولید‬ ‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫های‬ ‫هزینه‬ ‫کل‬ ‫مجموع‬.
n
T(n) 2T( ) n
2
 
n
2 2
2
log 1
log i
i
i 0
n
(n ) 2 f( )
2


  
19
‫مثال‬
n
2log 1
i 0
n n 1 n nlgn (nlgn)


     
n
2log 1
i
i
i 0
n
(n) 2
2


   
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫کنید‬ ‫مشخص‬ ‫را‬ ‫مرتبه‬) ( .
2n
T(n) 3T( ) n
4
 T(1) 1
n
3 4
4
log 1
log i
i
i 0
n
(n ) 3 f( )
4


  
3
4log 2 2n n O(n )  
20
‫مثال‬
n
3 4
4
log 1
log i 2
i
i 0
n
n 3 ( )
4


  
n
3 4
4
log 1
log 2 i
i 0
3
n n ( )
16


  
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫مرور‬
‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫جواب‬
n n
T(n) T( ) T( ) n
2 2
  
n n
2 2lg lg
i
i 0 1 0
1 1
n ( ) n 1 n(lgn 1)
2 2 
    
n 2n
T(n) T( ) T( ) n
3 3
  
n n
3/2 3/2lg lg
i
i 0 i 0
1 2
n ( ) n 1
3 3 
   nlgn
n 9n
T(n) T( ) T( ) n
10 10
  
n n
10/9 10/9lg lg
i
i 0 1 0
1 9
n ( ) n 1
10 10 
   nlgn
n 7n
T(n) T( ) T( ) n
5 10
  
n
10/7lg
i
i 0
1 7
n ( )
5 10
 i9
n ( ) 10n
10
 
21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫درخت‬‫بازگشت‬‫برای‬‫روابط‬‫بازگشتی‬‫دو‬‫متغی‬‫ره‬
‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫رسم‬T(8,16):
n k
T(n,k) T( ,k) T(n, ) kn
2 4
  
T(*,1) a
T(1,*) a


22
n k
2 4log log 1 
‫ارتفاع‬‫درخت‬‫بازگشت‬:
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
n k n n k n k k
nk k n k n ...
2 4 4 2 4 2 4 16
   
                
   
n k
T(n,k) T( ,k) T(n, ) kn
2 4
  
23
‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫حل‬
3 9
nk nk nk ...
4 16
    23 3
nk 1 ( ) ... (nk)
4 4
 
      
 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
   
   
1 2 1 2
k k
T n,k T n , T n , nk n n n
2 2
T n,1 T 1,k 1
      
          
      
 
24
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫ها‬ ‫هزینه‬ ‫مجموع‬:
1 2 3 4 5 6
k k k k k k
nk (n n ) (n n n n ) ...
2 2 4 4 4 4
      
25
1 2 3 4 5 6
k k
nk (n n ) (n n n n ) ..
2 4
       
1 2
k k
nk n (n n ) ...
2 4
    
k k 1 1
nk n n ... nk(1 ...) nk
2 4 2 4
        
1 2(n n n) 
3 4 1 5 6 2(n n n ,n n n )   
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
26
‫پایان‬‫دوم‬ ‫فصل‬‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫آنها‬ ‫حل‬ ‫های‬ ‫روش‬ ‫و‬ ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬ ‫آموزش‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬.
faradars.org/fvsft120
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org