در ریاضیات، رابطه بازگشتی (Recurrence Relation)، دنباله ای است که به صورت بازگشتی تعریف می شود. در یک دنباله بازگشتی، یک معادله به نام رابطه بازگشتی ارائه می شود که با آن، جمله n ام دنباله به جملات پیشین مرتبط می شود. مقادیر چند جمله اول دنباله به نام های شرایط مرزی یا مقادیر اولیه، داده می شوند. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است: درس یکم: روابط بازگشتی درس دوم: روش درخت بازگشت (recursion tree) درس سوم: قضیه اصلی -تغییر متغیر درس چهارم: رابطه های بازگشتی همگن ... برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید: http://faradars.org/courses/fvsft120

1. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫مدرس‬:
‫شیرافکن‬ ‫فرشید‬
‫تهران‬ ‫دانشگاه‬ ‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬
(‫ارشد‬ ‫کارشناسی‬ ‫و‬ ‫کارشناسی‬:‫افزار‬ ‫نرم‬ ‫کامپیوتر‬( )‫دکتری‬:‫انفورماتیک‬ ‫بیو‬)
‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

2. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫سرفصل‬
1-‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬-‫حل‬ ‫روشهای‬(‫حدس‬-‫جایگذاری‬ ‫با‬ ‫تکرار‬)
2-‫بازگشت‬ ‫درخت‬
3-‫اصلی‬ ‫قضیه‬-‫متغیر‬ ‫تغییر‬
4-‫ناهمگن‬ ‫و‬ ‫همگن‬
2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫فصل‬‫اول‬:
‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
‫حل‬ ‫های‬ ‫روش‬(‫حدس‬-‫جایگذاری‬ ‫با‬ ‫تکرار‬)
3
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬
‫یک‬‫رابطه‬‫ی‬‫بازگشتی‬‫برای‬‫تعداد‬‫ها‬‫ضرب‬‫در‬‫تابع‬‫فاکتوریل‬:
fact (n){
if (n==0)
return 1;
else
return n*fact(n-1);
}






1)1(1
00
)(
nnT
n
nT
4
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫اگر‬T(n)‫تعداد‬‫ستاره‬‫های‬‫چاپ‬‫شده‬‫توسط‬f(n)،‫باشد‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬T(n)‫را‬‫بنویسید‬.
void f(int n)
{
if (n>=2)
{
f(n-1);
print "**";
f(n-2);
print "***";
}
}
T(n)=T(n-1)+2+ T(n-2)+3
5
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫مثال‬
‫کدی‬‫سه‬‫تایی‬‫شامل‬‫ارقام‬0‫و‬1‫و‬2‫با‬‫طول‬n‫زمانی‬‫معتبر‬‫است‬‫که‬‫تعداد‬‫صفرهای‬‫ظاهر‬‫شده‬‫در‬‫آن‬‫زوج‬
‫باشد‬.‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫تعداد‬‫کدهای‬‫به‬‫طول‬n‫که‬‫معتبر‬‫هستند‬‫را‬‫بدست‬‫آوری‬‫د‬.
n ‫معتبر‬ ‫کدهای‬
‫تعداد‬
‫کدهای‬
‫معتبر‬
1 1,2 2
2 00,11,22,12,21 5
3 100,111,122,112,121,200,211,222,212,221,010,020,001,002 14
n 1T(n) T(n 1) 3    T(1) 2
6
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫مثال‬
‫در‬‫صفحه‬‫شطرنجی‬‫زیر‬‫می‬‫خواهیم‬‫از‬‫نقطه‬A‫به‬‫نقطه‬B‫برویم‬.‫حرکت‬‫های‬‫مجاز‬‫فقط‬‫به‬‫سمت‬
‫راست‬‫یا‬‫باال‬‫می‬‫باشد‬.‫یک‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫بنویسید‬‫که‬‫تعداد‬‫مسیرهای‬‫ممکن‬‫از‬A‫به‬B‫را‬
‫مشخص‬‫کند‬.
7
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬ ‫حل‬ ‫های‬ ‫روش‬
1-‫حدس‬
2-‫تکرار‬‫با‬‫جایگذاری‬
3-‫درخت‬‫بازگشت‬
4-‫قضیه‬‫اصلی‬
5-‫همگن‬‫و‬‫ناهمگن‬
8
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫حدس‬ ‫روش‬
‫جواب‬‫تابع‬‫را‬‫به‬‫ازای‬‫چند‬‫مقدار‬‫اولیه‬‫پیدا‬‫کرده‬‫و‬‫بر‬‫اساس‬‫آن‬
‫جواب‬‫معادله‬‫را‬‫حدس‬‫می‬‫زنیم‬.
(‫البته‬‫باید‬‫به‬‫کمک‬‫استقرا‬‫آن‬‫را‬‫ثابت‬‫کرد‬.)
9
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫را‬‫با‬‫فرض‬‫حل‬‫کنید‬.(n‫مضربی‬‫از‬2‫است‬) T(n) T(n 2) 1  T(0) 0
‫نتیجه‬:
n
T(n)
2

‫اولیه‬ ‫مقدار‬ ‫چند‬:
T(2)=T(0)+1=0+1=1
T(4)=T(2)+1=1+1=2
T(6)=T(4)+1=2+1=3
10
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫مثال‬
‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫را‬‫با‬‫فرض‬‫حل‬‫کنید‬.(n‫توانی‬‫از‬2‫است‬‫و‬n>1) n
T(n) T( ) 1
2
 T(1) 0
T(2) T(1) 1 0 1 1    
T(4) T(2) 1 1 1 2    
T(8) T(4) 1 2 1 3    
‫نتیجه‬:T(n) lgn
11
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫را‬‫با‬‫فرض‬‫حل‬‫کنید‬..(n‫توانی‬‫از‬2‫است‬‫و‬n>1)
n
T(n) 7T( )
2
T(1) 1
T(2)=7T(1)=7
T(4)=7T(2)=
27
T(8)=7T(4)=
12
‫مثال‬
37
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫با‬ ‫تکرار‬ ‫روش‬‫جایگذاری‬
‫در‬‫این‬،‫روش‬‫رابطه‬‫ی‬‫بازگشتی‬‫را‬‫آن‬‫قدر‬‫بسط‬‫می‬‫دهیم‬‫تا‬‫به‬‫جواب‬‫نهایی‬‫برسی‬‫م‬.
‫برای‬‫پیدا‬‫کردن‬‫جواب‬‫دقیق‬‫رابطه‬‫های‬‫بازگشتی‬‫از‬‫این‬‫روش‬‫هم‬‫استفاده‬‫می‬‫شو‬‫د‬.
13
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫را‬‫با‬‫فرض‬‫حل‬‫کنید‬. T(n) T(n 1) n  T(1) 1
n
i 1
T(n) n T(n 1)
n (n 1) T(n 2)
n (n 1) (n 2) T(n 3)
....
n (n 1) (n 2) ... 2 T(1)
n (n 1) (n 2) ... 2 1
n(n 1)
i
2
  
    
      
       
       

 
14
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
15
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫و‬ ‫ی‬‫رابطه‬ ‫جواب‬: T(n) kT(n 1) c  T(1) c
nk 1
T(n) c
k 1

 

T(1) 1
16
T(n) 2T(n 1) 1  
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫مثال‬
17
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫کنید‬ ‫حل‬ ‫فرض‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬. T(n) 3T(n 1) 2  T(1) 2
‫نکته‬ ‫طبق‬:
n
n3 1
T(n) 2 3 1
3 1

   

18
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
19
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫اگر‬،‫آنگاه‬:
k
T(n) T(n 1)
n
  T(n) k.ln(n)
‫مثال‬:
2
T(n) T(n 1)
n
  
T(1) 0
T(n) 2lnn
20
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
21
‫مثال‬
1 1 1 1
1 ... lnn
2 3 n 1 n
     

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
22
‫مثال‬
n
i 0 1 2 n n 1
i 0
2 2 2 2 ... 2 2 1

      
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫رابطه‬‫بازگشتی‬ ‫جواب‬ ‫اجرایی‬ ‫مرتبه‬
T(n) T(n k) b  
T(0) c
n
T(n) b c
k
   T(n) (n) 
n
T(n) T( ) b
a
 
T(1) c ,a 1 
n
aT(n) lg b c   T(n) (lgn) 
a
T(n) T(n 1)
n
   T(n) a.ln(n) T(n) (lgn) 
T(n) aT(n 1) b  
T(0) c
n
na 1
T(n) b a c
a 1

  

nT(n) (a ) 
‫بندی‬ ‫جمع‬:
23
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
T(n) aT(n 1) f(n)  
T(0) c
n
n n i
i 1
T(n) a c a .f(i)

  
‫مثال‬:‫کنید‬ ‫مشخص‬ ‫فرض‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫رابطه‬ ‫جواب‬. T(n) 3T(n 1) n  T(0) 10
n n
n n i n n i n
i 1 i 1
1 43 n 3
T(n) 3 10 3 i 3 10 3 i( ) 3
3 4 2 4

 
          
24
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
25
‫اول‬ ‫فصل‬ ‫پایان‬‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26. ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬
faradars.org/fvsft120
‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫آنها‬ ‫حل‬ ‫های‬ ‫روش‬ ‫و‬ ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬ ‫آموزش‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬.
faradars.org/fvsft120
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org