آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ارشد)

‫مدرس‬:
‫شیرافکن‬ ‫فرشید‬
‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬‫تهران‬ ‫دانشگاه‬
(‫ارشد‬ ‫کارشناسی‬ ‫و‬ ‫کارشناسی‬:‫افزار‬ ‫نرم‬ ‫کامپیوتر‬( )‫دکتری‬:‫انفورماتیک‬ ‫بیو‬)
‫ارشد‬ ‫کارشناسی‬ ‫کنکور‬
‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬
1
‫طراحی‬ ‫در‬ ‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬
‫ساختمان‬ ‫و‬ ‫الگوریتم‬‫گسسته‬
faradars.org/fvsfte102
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬
fact (n){
if (n==0)
return 1;
else
return n*fact(n-1);
}






1)1(1
00
)(
nnT
n
nT
2
‫یک‬‫رابطه‬‫ی‬‫بازگشتی‬‫برای‬‫تعداد‬‫ها‬‫ضرب‬‫در‬‫تابع‬‫فاکتوریل‬:
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫اگر‬T(n)‫تعداد‬‫ستاره‬‫های‬‫چاپ‬‫شده‬‫توسط‬Mystery(n)،‫باشد‬‫کدام‬‫یک‬‫از‬‫عبارت‬‫های‬،‫زیر‬‫رابطه‬
‫بازگشتی‬T(n)‫را‬‫به‬‫درستی‬‫نشان‬‫می‬‫دهند؟‬
(‫مهندسی‬IT-‫دولتی‬87)
void mystery(int n) {
if (n>=2) {
mystery (n-1);
print "***";
mystery (n-2);
print "****";
mystery (n-1);
}
}
1)T(n) = 1 + T(n-3) + 2 + T(n-4) +
12)T(n) = 5 T(n-1) + 4 T(n-2)
3)T(n) = 3 T(n-1) + 4 T(n-2)
4)T(n) = 2T(n-1) + T(n-2) + 7
3
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4
‫در‬‫یک‬‫جزیره‬‫یک‬‫جفت‬‫خرگوش‬‫نر‬‫و‬‫ماده‬‫نوزاد‬‫وجود‬‫دارد‬‫و‬‫مدل‬‫رشد‬‫جمعیت‬‫خرگوش‬‫ها‬‫به‬‫صورت‬‫زیر‬‫است‬:
(‫الف‬)‫خرگوش‬‫ها‬‫یک‬‫ماه‬‫پس‬‫از‬‫تولد‬‫به‬‫سن‬‫بلوغ‬‫می‬‫رسند‬.
(‫ب‬)‫یک‬‫ماه‬‫پس‬‫از‬‫رسیدن‬‫به‬‫سن‬‫بلوغ‬‫و‬‫از‬‫آن‬‫به‬‫بعد‬‫همه‬‫ماهه‬‫هر‬‫جفت‬‫خرگوش‬،‫بالغ‬‫یک‬‫جفت‬‫خرگوش‬‫دیگ‬‫ر‬
‫تولید‬‫می‬‫کند‬.
(‫ج‬)‫خرگوش‬‫ها‬‫هرگز‬‫نمی‬‫میرند‬.
‫کدامیک‬‫از‬‫روابط‬‫بازگشتی‬‫زیر‬‫تعداد‬‫خرگوش‬‫ها‬‫را‬‫در‬‫شروع‬‫ماه‬n‫ام‬‫نشان‬‫می‬‫دهد؟‬
1)2)
3)4)





1)2(,1)1(
3),2()1()(
ff
nnfnfnf





1)1(
2),1(2)(
f
nnfnf





2)2(,1)1(
3),2(2)(
ff
nnfnf





1)2(,1)1(
3),2()1(2)(
ff
nnfnfnf
(‫کامپیوتر‬ ‫علوم‬-‫دولتی‬91)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫هانوی‬ ‫برج‬
6
12  n
na
1
12
1
1

 
a
aa nn11 1   nnn aaa
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫دولتی‬89)
‫رابطه‬‫های‬‫بازگشتی‬‫زیر‬‫را‬‫در‬‫نظر‬‫بگیرید‬.‫اگر‬‫از‬‫این‬‫رابطه‬‫بخواهیم‬‫مقدار‬F(1,1)‫را‬‫به‬‫صورت‬
‫کارا‬‫حساب‬،‫کنیم‬‫چند‬‫بار‬‫عمل‬"‫جمع‬"‫را‬‫باید‬‫انجام‬‫دهیم‬‫؟‬
F(x,0)=F(x+1,0) + F(x+1,1) , if x<n
F(x,1)=2F(x+1,0) + F(x+1,1) , if x<n
F(n,0)=1
F(n,1)=0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫پاسخ‬
‫مثال‬‫محاسبه‬F(1,1)،‫به‬‫ازای‬n=3:
F (x , 0) = F (x+1 , 0) + F (x+1 , 1) , if x < 3
F (x , 1) = 2*F(x+1 , 0) + F (x+1 , 1) , if x < 3
F (3 , 0) = 1
F (3 , 1) = 0
‫برای‬‫محاسبه‬F(1,1)،‫از‬F(n,0)‫و‬F(n,1)‫باید‬‫شروع‬‫کرد‬‫و‬‫بعد‬‫از‬n-1‫مرحله‬‫به‬‫جواب‬‫می‬‫رسیم‬.‫در‬‫هر‬‫مرحله‬‫دو‬‫عمل‬
‫جمع‬‫نیاز‬‫است‬‫به‬‫غیر‬‫از‬‫مرحله‬‫آخر‬.‫پس‬‫تعداد‬‫دفعات‬‫انجام‬‫عمل‬‫جمع‬‫برای‬‫محاسبه‬F(1,1)،‫برابر‬‫است‬‫با‬:
8
)(321)1(2 nOnn 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬ ‫حل‬ ‫های‬ ‫روش‬
1-‫تکرار‬‫با‬‫جایگذاری‬
2-‫درخت‬‫بازگشت‬
3-‫قضیه‬‫اصلی‬
4-‫رابطه‬‫های‬‫بازگشتی‬‫همگن‬
9
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10
‫جایگذاری‬ ‫با‬ ‫تکرار‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫را‬‫با‬‫فرض‬‫حل‬‫کنید‬. T(n) T(n 1) n  T(1) 1
n
i 1
T(n) n T(n 1)
n (n 1) T(n 2)
n (n 1) (n 2) T(n 3)
....
n (n 1) (n 2) ... 2 T(1)
n (n 1) (n 2) ... 2 1
n(n 1)
i
2
  
    
      
       
       

 
11
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مرتبه‬‫زمانی‬‫الگوریتم‬‫زیر‬‫چیست؟‬
A(n){
if(n>0) {
A(n-1);
print(n);
A(n-1);
}
}
1)
2)
3)
4)
n
2
2
n
n2
2
nlogn2
12
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13
12
122...2
122...2)(2
...
122)3(212))1)3(2(2
12)2(21))1)2(2(2
1)1(2)(
21
21
232
2








n
n
nn
nnT
nTnT
nTnT
nTnT
)2()( n
nT 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫درمورد‬ ‫زیر‬ ‫موارد‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫کدام‬T(n)‫است؟‬ ‫درست‬
1
T(n) T(n 1) ,n 1
n
T(1) 1

   

 
1)
2)
3)
4)
T(n) O(n)
T(n) O(logn)
T(n) O(Lnn)
)()( 2
nOnT 
n
k
nTnT  )1()( )ln(.)( nknT 
14
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15
n
nnn
T
nnn
nT
nnn
nT
nn
nT
n
nT
ln
1
1
2
1
...
2
1
1
11
)1(
2
1
...
2
1
1
11
....
)3(
2
1
1
11
)2(
1
11
)1(
1
)(




















‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫است؟‬ ‫مناسبتر‬ ‫کدام‬ ‫بازگشتی‬ ‫تابع‬ ‫بزرگی‬ ‫مرتبه‬ ‫مورد‬ ‫در‬
1)
2)
3)
4)
)1(
1
)1()(



nn
n
nTnT
0)0( T
)n(O)n(T 
)n(lnO)n(T 
)
n
1
(O)n(T 
)n(O)n(T 
n
1
)1n(T
)1n(n
1n
)1n(T)n(T 



16
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

f(n)‫زمان‬‫اجرای‬‫الگوریتمی‬‫مطابق‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫زیر‬‫محاسبه‬‫شده‬‫است‬.‫کدام‬‫گزینه‬‫صحیح‬‫اس‬‫ت؟‬
2f(n) n nf(n 1)
f(1) a
  

1)
2)
3)
4)
nf(n) (2 ) 
f(n) (n!) 
n!f(n) (2 ) 
2f(n) (n!) 
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫هوش‬-‫دولتی‬84)
2
f(n) (n!) (n!) n n. ((n 1)!) (n!)         
17
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫روش‬‫جایگذاری‬‫با‬‫تکرار‬:2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
f(n) n nf(n 1)
n n[(n 1) (n 1)f(n 2)]
n n(n 1) n(n 1)f(n 2)
n n(n 1) n(n 1)[(n 2) (n 2)f(n 3)]
n n(n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2)f(n 3)
n n(n 1) n(n 1)(n 2) ... kn!
  
     
     
        
         
       
‫بنابراین‬:f(n) (n!) 
18
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫رابطه‬‫بازگشتی‬ ‫جواب‬
n
T(n) b c
k
  
n
T(n) T( ) b
a
 
T(1) c ,a 1 
n
aT(n) lg b c  
a
T(n) T(n 1)
n
   T(n) a.ln(n)
T(n) aT(n 1) b  
T(0) c
n
na 1
T(n) b a c
a 1

  

‫نکته‬
19
T(n) T(n k) b  
T(0) c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20
‫بازگشت‬ ‫درخت‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫روش‬(recursion tree)
‫به‬‫کمک‬‫این‬‫روش‬‫می‬‫توان‬‫رابطه‬‫های‬‫بازگشتی‬‫را‬‫حدس‬‫یا‬‫حل‬‫کرد‬.
‫در‬‫این‬‫روش‬‫نحوه‬‫جای‬‫گذاری‬‫یک‬‫عبارت‬‫بازگشتی‬‫و‬‫نیز‬‫مقدار‬‫ثابتی‬‫را‬‫که‬‫در‬‫هر‬‫س‬‫طح‬‫از‬
‫آن‬‫عبارت‬‫به‬‫دست‬‫می‬‫آید‬‫نشان‬‫داده‬‫می‬‫شود‬.‫با‬‫جمع‬‫کردن‬‫مقادیر‬‫ثابت‬‫تمام‬‫سطوح‬،
‫جواب‬‫بدست‬‫می‬‫آید‬.
‫درخت‬‫های‬‫بازگشت‬‫زمانی‬‫که‬‫رابطه‬،‫بازگشتی‬‫زمان‬‫اجرای‬‫یک‬‫الگوریتم‬‫تقسیم‬‫و‬‫حل‬‫را‬
‫توصیف‬‫می‬‫کند‬‫مفید‬‫هستند‬.
21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫رسم‬: T(8)
n
T(n) 2T( ) n
2
 
T(1) 1
22
‫مثال‬
T(8) 2T(4) 8 
T(4) 2T(2) 4 
T(2) 2T(1) 2 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

n
T(n) 2T( ) n
2
 
T(1) 1
‫هزینه‬:
(8) (4 4) (2 2 2 2) (1 1 1 1 1 1 1 1) 4 8 32                
23
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

n
T(n) 2T( ) n
2
 
T(1) 1
24
‫مثال‬
(lgn 1) n nlgn n   
‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫حل‬:
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

n n
T(n) T( ) T( ) cn
a b
  
h
i
i 0
1 1
n ( )
a b

‫درخت‬ ‫ارتفاع‬:‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫ارتفاع‬ ‫بین‬ ‫مقدار‬ ‫حداکثر‬) (‫راست‬ ‫سمت‬ ‫ارتفاع‬ ‫و‬) (
‫یک‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫ها‬‫ضریب‬ ‫جمع‬:
‫یک‬ ‫از‬ ‫کمتر‬ ‫ها‬‫ضریب‬ ‫جمع‬:
n
alogn
blog
T(n) (nlgn) 
T(n) (n) 
25
‫فرمول‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫جواب‬
n 9n
T(n) T( ) T( ) n
10 10
  
h
i
i 0
h
i
i 0
1 9
T(n) n ( )
10 10
n (1) (nlgn)


 
  


26
‫مثال‬
n n
T(n) T( ) T( ) cn
a b
  
h
i
i 0
1 1
n ( )
a b

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫کدام‬‫یک‬‫از‬‫عبارات‬‫زیر‬‫جواب‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫است؟‬
n 7n
T(n) T( ) T( ) n
5 10
  
n
5log
i
i 0
7
T(n) ( ) n
10
 
n
10/7log
i
i 0
9
T(n) ( ) n
10
 
n
2/5log
i
i 0
9
T(n) ( ) n
10
 
n n
10/7 10/7log log
i i
i 0 i 0
1 7 9
T(n) n ( ) n ( )
5 10 10 
   
1)2)
3)4)
27
n
10log
i
i 0
7
T(n) ( ) n
10
 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫اگر‬‫برای‬‫حل‬‫رابطه‬‫ی‬‫بازگشتی‬‫زیر‬‫از‬‫درخت‬‫بازگشت‬‫استفاده‬،‫کنیم‬‫ارتفاع‬‫درخ‬‫ت‬‫به‬
‫کدامیک‬‫از‬‫گزینه‬‫های‬‫زیر‬‫نزدیک‬‫تر‬‫است؟‬
28
n k
T(n,k) T( ,k) T(n, ) kn
2 4
  
T(*,1) a
T(1,*) a


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫بازگشت‬ ‫درخت‬ ‫رسم‬T(8,16):
n k
T(n,k) T( ,k) T(n, ) kn
2 4
  
29
n k
2 4log log 1 
‫ارتفاع‬:
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫است‬ ‫ای‬ ‫مرتبه‬ ‫چه‬ ‫از‬ ‫زیر‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬‫؟‬
n k
T(n,k) T( ,k) T(n, ) kn
2 4
  
30
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

31
n k n n k n k k
nk k n k n ...
2 4 4 2 4 2 4 16
   
                
   
3 9
nk nk nk ...
4 16
   
23 3
nk 1 ( ) ... (nk)
4 4
 
      
 
n k
T(n,k) T( ,k) T(n, ) kn
2 4
  
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫است‬ ‫ای‬ ‫مرتبه‬ ‫چه‬ ‫از‬ ‫زیر‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬‫؟‬
   
   
1 2 1 2
k k
T n,k T n , T n , nk n n n
2 2
T n,1 T 1,k 1
      
          
      
 
1)nk2)n^23)nlgk4)lgk
32
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

1 2 3 4 5 6
k k k k k k
nk (n n ) (n n n n ) ...
2 2 4 4 4 4
      
33
1 2 3 4 5 6
k k
nk (n n ) (n n n n ) ..
2 4
       
1 2
k k
nk n (n n ) ...
2 4
    
k k 1 1
nk n n ... nk(1 ...) nk
2 4 2 4
        
   
   
1 2 1 2
k k
T n,k T n , T n , nk n n n
2 2
T n,1 T 1,k 1
      
          
      
 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

34
‫اصلی‬ ‫قضیه‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫اصلی‬ ‫قضیه‬
‫اگر‬‫داشته‬‫باشیم‬:n
T(n) aT( ) f(n)
b
 
a 1,b 1 
a a
b b
a
b
a
b
log log
log
log
(n ) f(n) n
T(n) (f(n).lgn) f(n) n
(f(n)) f(n) n

 

  

 

35
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

36
n
T(n) 4T( ) lgn
2
 
4
2log
lg nn 
)( 2
n
a 4
b 2
f(n) lgn



‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

37
3
4log
lg nnn 
)lg( nn
‫مثال‬
nn
n
TnT lg)
4
(3)( 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

38
1
2/3log
1 n
)(lgn
‫مثال‬
1)
3
2
()( 
n
TnT
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫زمانی‬ ‫مرتبه‬‫چیست؟‬
2
n)
2
n
(T3)n(T 




2log3
2
nn 
39
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫زمانی‬ ‫مرتبه‬‫چیست؟‬
n)
4
n
(T2)n(T 
40
nn 
2
4log
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫جواب‬‫است؟‬ ‫کدام‬ ‫زیر‬ ‫بازگشتی‬ ‫تابع‬
100
99log
n nlogn
41
n
T(n) 100T( ) nlgn
99
 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

1)2)
3)4)
T(n) 2T(n 2) 1  7n
T(n) T( ) 8n 1
8
 
   
 
2n
T(n) 3T( ) n
2
 
  
 
2T(n) T(n 1) n  
‫صحیح‬ ‫اعداد‬ ‫برای‬ ‫زیر‬ ‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬n>2‫داریم‬ ‫و‬ ‫اند‬ ‫شده‬ ‫تعریف‬.T(0)=T(1)=1‫کدام‬
‫ای‬ ‫جمله‬ ‫چند‬ ‫پاسخ‬ ،‫ها‬ ‫رابطه‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫یک‬‫ندارد‬‫؟‬
42
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مرتبه‬‫اجرایی‬‫هر‬‫کدام‬‫در‬‫مقابل‬‫آن‬‫نوشته‬‫شده‬‫است‬.‫فقط‬‫گزینه‬‫اول‬‫چند‬‫جمله‬‫ای‬‫نمی‬‫باشد‬:
‫رابطه‬‫اول‬‫و‬‫چهارم‬‫با‬‫روش‬‫تکرار‬‫و‬‫جایگذاری‬‫و‬‫رابطه‬‫دوم‬‫و‬‫سوم‬‫با‬‫قضیه‬‫اصلی‬‫حل‬‫شده‬‫است‬.
7n
T(n) T( ) 8n 1 T(n) (n)
8
     
2 2n
T(n) 3T( ) n T(n) (n )
2
    
2 3T(n) T(n 1) n T(n) (n )     
43
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫در‬‫قضیه‬،‫اصلی‬‫اگر‬،‫باشد‬‫یعنی‬f(n)‫به‬‫صورت‬‫چند‬‫جمله‬‫ای‬‫از‬‫بزرگتر‬‫نباشد‬،
‫اگر‬f(n)‫از‬‫مرتبه‬‫باشد‬،‫آنگاه‬‫مرتبه‬T(n)‫برابر‬‫است‬‫با‬:
a
blog
f(n)
n
n
a
blog
n
a
blog kn .lg n
a
blog k 1n .lg n
‫نکته‬
44
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

45
n
T(n) 2T( ) nlgn
2
 
nlgn
lgn n
n
 
2T(n) (nlg n) 
a 2
b 2
f(n) nlgn



‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫اگر‬‫معادله‬‫زمانی‬‫بازگشتی‬‫برای‬‫یک‬‫الگوریتم‬‫برابر‬‫با‬،‫باشد‬‫زمان‬‫مصرفی‬
‫الگوریتم‬‫برابر‬‫است‬‫با‬:
1)2)3)4)
22n
T(n) T (lgn)
3
 
  
 
2(n )
2/3(n )(nlgn)
0 2 1 3T(n) (n (lgn) ) ((lgn) )   
))n(lg 3

(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫دولتی‬)
46
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫کم‬‫بازگشتی‬ ‫تابع‬ ‫باالی‬ ‫حد‬ ‫ترین‬ ‫رشد‬‫است؟‬ ‫کدام‬
1)2)3)4)
2n
T(n) 4T( ) n lgn
2
 
T(1) 1
3O(n )
2O(n lg(lgn))2 2O(n (lgn) )
2O(n lgn)
47
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

48
‫متغیر‬ ‫تغییر‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مرتبه‬‫اجرایی‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫را‬‫مشخص‬‫کنید‬.
‫فرض‬:
T(n) T( n) 1 
49
‫مثال‬
m
m 2T(2 ) T(2 ) 1 
m
S(m) S( ) 1
2
 
mn 2
S(m) (lgm) 
T(n) (lglgn) 
)
2
()2()()2( 2
m
STmST
m
m

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫تابع‬‫را‬‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬.‫برای‬ ‫زیر‬ ‫روابط‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫کدام‬T(n)‫است؟‬ ‫درست‬
O(lglgn)O(n.lglgn) O(lgn.lglgn)
T(n) 2T( n ) lgn   
1)2)3)4)
50
mmm
TT 2lg)2(2)2( 2/

m
m
SmS  )
2
(2)( )lg( mm )lglg.(lg nn
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫در‬‫است؟‬ ‫صحیح‬ ‫گزینه‬ ‫کدام‬ ‫زیر‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫مورد‬
(13)
(24)
T(n) 4T( n) 1
T(2) 1
 

21 4
T(n) (lgn)
3 3
 
n4 1
T(n) (4)
3 3
 
24 1
T(n) (lgn)
3 3
 
24 1
T(n) (n )
3 3
 
k kaT(n) a T( n ) 1 (lgn)   
51
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

T(n) 4T( n) 1  mn 2
m m/2T(2 ) 4T(2 ) 1 
m
S(m) 4S( ) 1
2
 
4
2log 2S(m) (m ) (m )   
2T(n) (lgn) 
52
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

(13)
(14)
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫آزاد‬89)
n
)n(log
n
)n(T4
)n(T
2

)
logloglog
(
2
n
nn
)loglog(log 2
nn
‫است؟‬ ‫صحیح‬ ‫گزینه‬ ‫کدام‬ ‫زیر‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫مورد‬ ‫در‬
)logloglog( nnn)
logloglog
(
n
nn

53
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

54
2
)n(log)n(Tn4)n(nT 
2
)n(log)n(K4)n(K 
22/mm
m)2(K4)2(K 
2
)
2
(4)( m
m
TmT  )mlog.m()m(T 2
 )nloglogn(log)n(K 2

‫در‬‫نهایت‬‫جواب‬‫باید‬‫بر‬n‫تقسیم‬،‫شود‬‫چون‬‫در‬‫ابتدا‬‫عبارت‬‫را‬‫در‬n‫ضرب‬‫کرده‬‫بودیم‬.
n
)n(log
n
)n(T4
)n(T
2

)
logloglog
(
2
n
nn

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

55
‫همگن‬ ‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫برای‬‫حل‬‫روابط‬‫بازگشتی‬‫همگن‬‫مرتبه‬‫دوم‬‫با‬‫ضرایب‬،‫ثابت‬‫ابتدا‬‫معادله‬‫مشخصه‬‫آن‬‫را‬‫پیدا‬‫می‬‫کنیم‬.
‫جواب‬‫بعد‬‫از‬‫حل‬‫این‬‫معادله‬‫با‬‫فرض‬‫داشتن‬:
‫الف‬-‫دو‬‫جواب‬‫مجزای‬,:
‫ب‬-‫یک‬‫ریشه‬‫حقیقی‬‫مضاعف‬:
n n
1 1 2 2c r c r
n n
1 2c r c nr
1r2r
56
r
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

57
‫مثال‬
T(n) T(n 1) 2T(n 2)    T(0) 2
T(1) 7


2r r 2 0  
‫جواب‬‫کلی‬:
n n
1 2T(n) c 2 c ( 1)  
T(n) T(n 1) 2T(n 2) 0    
0 0
1 2T(0) 2 2 c 2 c ( 1)     1 2c c 2  
1 1
1 2T(1) 7 7 c 2 c ( 1)     1 22c c 7  
1 2c 3,c 1  
n nT(n) 3 2 ( 1)   
1 2r 2,r 1   
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

58
‫مثال‬
T(n 2) 4T(n 1) 4T(n)   
T(0) 1
T(1) 3


2r 4r 4 0  
n n
1 2T(n) c 2 c n2  ‫جواب‬‫کلی‬:
T(n 2) 4T(n 1) 4T(n) 0    
0 0
1 2T(0) 1 c 2 c 0 2 1      
1 1
1 2T(1) 3 c 2 c 1 2 3      
1c 1 
1 22c 2c 3  
1 2
1
c 1,c
2
 
n n 1T(n) 2 n2  
1 2r 2,r 2  
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

T(n) 3T(n 1) 4T(n 2)   
T(0) 0,T(1) 1 
2n
n4
n2 lgn
4n lgn
‫گ‬ ‫کدام‬ ‫برابر‬ ،‫زیر‬ ‫زمانی‬ ‫تابع‬ ‫با‬ ‫الگوریتمی‬ ‫زمانی‬ ‫مرتبه‬‫است؟‬ ‫زینه‬
1)
2)
3)
4)
2r 3r 4 0  
n n
1 2T(n) c 4 c ( 1)  
nT(n) (4 ) 
59
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مقدار‬‫ازای‬ ‫به‬ ‫زیر‬ ‫تابع‬‫است؟‬ ‫چقدر‬ n 2
n n5 6
n n3 2
n n3 2
n n5 6
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫هوش‬-‫دولتی‬83)
function g(n)
begin
if n<=1 then
g = n
else
g= 5*g(n-1) – 6 * g(n-2)
end
1)
2)
3)
4)
g(2) 5g(1) 6g(0) 5 1 6 0 5       ‫تنها‬‫گزینه‬2‫به‬‫ازای‬n=2‫برابر‬5‫می‬‫شود‬.
60
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

g(n) 5g(n 1) 6g(n 2)   
2
1 2
g(n) 5g(n 1) 6g(n 2) 0
r 5r 6 0
r 2,r 3
    
   
  
n n
1 2g(n) c 3 c 2 
n ng(n) 3 2 
61
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

62
‫پایان‬
‫شیرافکن‬ ‫مدرس‬ ‫با‬ ‫مشاوره‬:
(‫جزوه‬-‫زنی‬ ‫تست‬ ‫کالس‬)
09121972028
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫گسسته‬ ‫ساختمان‬ ‫و‬ ‫الگوریتم‬ ‫طراحی‬ ‫در‬ ‫بازگشتی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬ ‫آموزش‬
(‫مرور‬-‫ارشد‬ ‫کنکور‬ ‫تست‬)»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ارشد)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ارشد)

Similar to آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ارشد) (8)

More from faradars

More from faradars (20)

آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ارشد)