Ένας μαθηματικός αλγόριθμος θεωρίας αριθμών

1. Για τον παππού!
Ιωάννης ΤζαχρήσταςΙωάννης Τζαχρήστας
(Αλγόριθμος Θεωρίας Αριθμών)(Αλγόριθμος Θεωρίας Αριθμών)

2. Καλώς ήρθατε στο μάθημα γρίφωνΚαλώς ήρθατε στο μάθημα γρίφων
και αλγορίθμων!και αλγορίθμων!
• Ο αλγόριθμος που παρουσιάζω αφορά τηνΟ αλγόριθμος που παρουσιάζω αφορά την
εύρεση ενός αριθμούεύρεση ενός αριθμού κ με τον οποίο πρέπει ναμε τον οποίο πρέπει να
πολλαπλασιαστεί ένας ακέραιος αριθμός μεπολλαπλασιαστεί ένας ακέραιος αριθμός με
πλήθος ψηφίωνπλήθος ψηφίων ψ, ώστε να προκύψει ένας νέοςώστε να προκύψει ένας νέος
ακέραιος με πλήθος ψηφίωνακέραιος με πλήθος ψηφίων ψ΄=ε∙ψ, τα οποία, τα οποία
είναι επανάληψη των ψηφίων του αρχικούείναι επανάληψη των ψηφίων του αρχικού
αριθμού με την ίδια σειρά τόσες φορές όσεςαριθμού με την ίδια σειρά τόσες φορές όσες
απαιτείται από το πρόβλημα, (απαιτείται από το πρόβλημα, (ε).).
• Για να γίνει εύκολα κατανοητό, θαΓια να γίνει εύκολα κατανοητό, θα
χρησιμοποιήσω πρώτα μερικά παραδείγματα:χρησιμοποιήσω πρώτα μερικά παραδείγματα:

3. Παράδειγμα 1Παράδειγμα 1
• Δίνεται ο αριθμός 23 (πλήθος ψηφίων, ψ=2).
• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν
πολλαπλασιαστεί το 23, θα προκύψει ο 232323 (αριθμός
επαναλήψεων, ε=3)
Απάντηση: ο ζητούμενος αριθμός κ κατασκευάζεται από
τόσους «άσσους» (1) όσες είναι οι επαναλήψεις, δηλ.
από ε=3 «άσσους» παρεμβάλλοντας ανάμεσα σε κάθε
ζεύγος «άσσων» τόσα «μηδενικά» όσα τα ψηφία του
αρχικού αριθμού πλην ένα, δηλαδή ψ-1=2-1=1
«μηδενικά».
Ο ζητούμενος αριθμός κ είναι ο 10101.
Πράγματι: 23 ∙ 10101=232323

4. Παράδειγμα 2Παράδειγμα 2
• Δίνεται ο αριθμός 450 (πλήθος ψηφίων, ψ=3).
• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν
πολλαπλασιαστεί το 450, θα προκύψει ο 450450
(αριθμός επαναλήψεων, ε=2)
Απάντηση: ο ζητούμενος αριθμός κ κατασκευάζεται από
τόσους «άσσους» (1) όσες είναι οι επαναλήψεις, δηλ.
από ε=2 «άσσους» παρεμβάλλοντας ανάμεσα σε κάθε
ζεύγος «άσσων» τόσα «μηδενικά» όσα τα ψηφία του
αρχικού αριθμού πλην ένα, δηλαδή ψ-1=3-1=2
«μηδενικά».
Ο ζητούμενος αριθμός κ είναι ο 1001.
Πράγματι: 450 ∙ 1001=450450

5. …… και μια ζωγραφιά του κ…όπου οι «άσσοι»και μια ζωγραφιά του κ…όπου οι «άσσοι»
είναι «φρουροί» των «μηδενικών»!είναι «φρουροί» των «μηδενικών»!
… Αυτός ο κ=1001001001, αν πολλαπλασιαστεί με έναν
τριψήφιο αριθμό, παράγει έναν «κλώνο» του που τα ψηφία
του προέρχονται από επανάληψη των ψηφίων του αρχικού 4
φορές (π.χ. ο 324324324324 ισούται με το γινόμενο 324 ∙ κ).
⋅⋅⋅⋅

6. ΑΑ
φφ
ιι
έέ
ρρ
ωω
σσ
ηη

7. ΕξάσκησηΕξάσκηση
• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, ανΝα βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν
πολλαπλασιαστεί ο 1234 θα προκύψει οπολλαπλασιαστεί ο 1234 θα προκύψει ο
123412341234.123412341234.
• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, ανΝα βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν
πολλαπλασιαστεί ο -502, θα προκύψει οπολλαπλασιαστεί ο -502, θα προκύψει ο
-502502502502.-502502502502.
• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, ανΝα βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν
πολλαπλασιαστεί ο 1, θα προκύψει ο 111111.πολλαπλασιαστεί ο 1, θα προκύψει ο 111111.

8. Για την απόδειξη…Για την απόδειξη…
• Χρησιμοποιείστε την Ευκλείδεια Διαίρεση καιΧρησιμοποιείστε την Ευκλείδεια Διαίρεση και
δείτε πώς προκύπτει ο αριθμός κ.δείτε πώς προκύπτει ο αριθμός κ.
• Διαιρέστε, για παράδειγμα, τον 234234 με τονΔιαιρέστε, για παράδειγμα, τον 234234 με τον
234.234.
• Εύκολα θα φτάσετε στη γενίκευση τουΕύκολα θα φτάσετε στη γενίκευση του
κατασκευαστικού αλγορίθμου για το αριθμό κ, οκατασκευαστικού αλγορίθμου για το αριθμό κ, ο
οποίος τώρα θα είναι το πηλίκο σας….οποίος τώρα θα είναι το πηλίκο σας….

9. • Διαιρέστε, για παράδειγμα, τον 4747 με τον 2323.Διαιρέστε, για παράδειγμα, τον 4747 με τον 2323.
• Τι παρατηρείτε;Τι παρατηρείτε;
• Αν χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμό μου, θα δείτε τον ίδιο αριθμό κ=101 ναΑν χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμό μου, θα δείτε τον ίδιο αριθμό κ=101 να
συμμετέχει ως παράγοντας τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή τουσυμμετέχει ως παράγοντας τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του
κλάσματος 4747/2323.κλάσματος 4747/2323.
• Δηλαδή:Δηλαδή: 4747/2323=(4747/2323=(4477∙∙κ)/(23κ)/(23∙∙κ)=47/23κ)=47/23, όπου κ=101≠0., όπου κ=101≠0.
• Όμοια:Όμοια: 474747/232323=(474747/232323=(4477∙∙κ’)/(23κ’)/(23∙∙κ’)=47/23κ’)=47/23, όπου κ’=10101≠0., όπου κ’=10101≠0.
• Όμοια:Όμοια: 134134134134/201201201201=(134134134134/201201201201=(134134∙∙10010010011001001001))//
(201(201∙∙1001001001)=134/201,1001001001)=134/201,
53925392/43764376=(539253925392/43764376=(5392∙∙10001)/10001)/((43764376∙∙10001)=5392/437610001)=5392/4376 κ.ο.κ.κ.ο.κ.
• Παρατηρούμε ακόμη ότι:Παρατηρούμε ακόμη ότι: ……
47474747/23232323=474747/232323=4747/2323=47/23.47474747/23232323=474747/232323=4747/2323=47/23.
• Το πόρισμα αυτό γενικεύεται σε όλα τα κλάσματα των οποίων οι όροι είναιΤο πόρισμα αυτό γενικεύεται σε όλα τα κλάσματα των οποίων οι όροι είναι
«ισοεπαναληπτικές» παραθέσεις «ισοψήφιων» μοτίβων.«ισοεπαναληπτικές» παραθέσεις «ισοψήφιων» μοτίβων.
• (… και τώρα ένα μυστικό μου: Οδηγήθηκα στον αλγόριθμο ξεκινώντας από ένα(… και τώρα ένα μυστικό μου: Οδηγήθηκα στον αλγόριθμο ξεκινώντας από ένα
τέτοιο κλάσμα!!!)τέτοιο κλάσμα!!!)
Με τη χρήση του αλγορίθμου αυτού γίνεται εύκολα
η απλοποίηση κάποιων κλασμάτων…
Αξιοσημείωτη παρατήρηση - πόρισμαΑξιοσημείωτη παρατήρηση - πόρισμα

10. Ο παρακάτω κώδικας υλοποιεί την κατασκευή του αριθμού κ του αλγορίθμου.
(Εδώ το ε ονομάστηκε φ για προγραμματιστικούς λόγους.)
Για να δοκιμάσετε τον παραπάνω κώδικα, κατεβάστε ελεύθερα το Διερμηνευτή της
Γλώσσας από το:
http://alkisg.mysch.gr/downloads/
Κατόπιν, κάντε διπλό κλικ στο αρχείο Γλώσσα.exe, αντιγράψτε και επικολλήστε εκεί τον
παραπάνω κώδικα και εκτελέστε τον με F9.
ΚωδικοποίησηΚωδικοποίηση
Αλγόριθμος Γιάννης
κ←1
γινόμενο←0
Εμφάνισε 'Δώστε έναν ακέραιο:'
Διάβασε μοτίβο
Εμφάνισε 'Πόσα είναι τα ψηφία του;'
Διάβασε ψ
Εμφάνισε 'Πόσες επαναλήψεις του (>1) θέλετε;'
Διάβασε φ
Για μετρητής από 1 μέχρι φ-1
προσθετέος←10^(μετρητής*ψ)
κ←κ+προσθετέος
γινόμενο←κ*μοτίβο
Τέλος_επανάληψης
Εμφάνισε 'Θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον ', κ
Εμφάνισε 'Θα προκύψει έτσι ο ', γινόμενο
Τέλος Γιάννης

11. Πηγές – Βιβλιογραφία -Πηγές – Βιβλιογραφία - linkslinks
http://alkisg.mysch.gr/downloads/
Η εργασία αυτή αποτελεί επινόησή μου.Η εργασία αυτή αποτελεί επινόησή μου.
Για την κωδικοποίηση του αλγορίθμου χρησιμοποιήθηκε το ελεύθερο λογισμικόΓια την κωδικοποίηση του αλγορίθμου χρησιμοποιήθηκε το ελεύθερο λογισμικό
από το παρακάτωαπό το παρακάτω linklink::

12. Σας ευχαριστώ για τηνΣας ευχαριστώ για την
προσοχή σας!προσοχή σας!
Καλή εφαρμογή!Καλή εφαρμογή!