test sheets

1. 財團法人大學入學考試中心基金會
110 學年度指定科目考試試題
數學甲
作答注意事項
考試時間：80 分鐘
作答方式：˙選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，
切勿使用修正液（帶）
。
˙非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答案卷」上作答；更正時，可以
使用修正液（帶）
。
˙未依規定劃記答案卡，致機器掃描無法辨識答案；或未使用黑色墨水的筆
書寫答案卷，致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者，恐將影響成績並
損及權益。
˙答案卷每人一張，不得要求增補。
選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生
必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。請仔細
閱讀下面的例子。
例：若第 B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 劃記，如：
例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是
7
50

時，則考生必須分別在答案
卡的第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
3
7

8
20 21
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  
18
19
1 2 8
4 5 6 7
3 9 0  
20
21 1 2 3 4 5 6 8
7 9 0  
1 2 3 4 5 6 7 
9 0
8 
18
19

2. 第 1 頁 110 年指考
共 7 頁 數 學 甲
- 1 -
第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占 18 分 ）
說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請劃記
在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或劃記
多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 設 0
x 、 0
y 為 正 實 數。若 坐 標 平 面 上 的 點 0 0
(10 ,100 )
x y 在 函 數 10x
y  的 圖 形 上，則 點
0 0
( ,log )
x y 會 在 直 線 y ax b
  的 圖 形 上，其 中 a、 b 為 實 數。試 問 2a b
 的 值 為 何 ？
(1) 4
(2) 9
(3) 15
(4) 18
(5) 22
2. 研 究 團 隊 採 用 某 快 篩 試 劑 的 檢 驗，以 了 解 保 護 區 內 生 物 因 環 境 汙 染 而 導 致 體 內
毒 素 累 積 超 過 標 準 的 比 率 。 此 試 劑 檢 驗 結 果 只 有 紅 色 、 黃 色 兩 種 。
依 據 過 去 的 經 驗 得 知：若 體 內 毒 素 累 積 超 過 標 準，經 此 試 劑 檢 驗 後，有 75%顯
示 為 紅 色；若 體 內 毒 素 累 積 未 超 過 標 準，經 此 試 劑 檢 驗 後，有 95%顯 示 為 黃 色。
已 知 此 保 護 區 的 某 類 生 物 經 試 劑 檢 驗 後，有 7.8%的結 果 顯 示 為 紅 色。假 設 此 類
生 物 實 際 體 內 毒 素 累 積 超 過 標 準 的 比 率 為 p %， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 1 3
p
 
(2) 3 5
p
 
(3) 5 7
p
 
(4) 7 9
p
 
(5) 9 11
p
 

3. 110 年指考 第 2 頁
數 學 甲 共 7 頁
- 2 -
3. 試 求 極 限
10
9 9 9 9
10
10
lim 1 2 3 (2 )
n
n
n

 
   
  的 值 。
(1) 9
10
(2) 9 10
10 (2 1)
 
(3) 9 10
2 (10 1)
 
(4) 9 10
10 2

(5) 9 10
2 10

二 、 多 選 題 （ 占 40 分 ）
說明：第 4 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項
劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對
者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2
個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
4. 某 電 子 公 司 有 數 百 名 員 工，其 用 餐 方 式 分 為 自 備、外 食 兩 種。經 長 期 調 查 發 現：
若 當 日 用 餐 為 自 備 的 員 工，則 隔 天 會 有 10%轉 為 外 食；若 當 日 用 餐 為 外 食 的 員
工 ， 則 隔 天 會 有 20%轉 為 自 備 。
假 設 0
x 、 0
y 分 別 代 表 該 公 司 今 日 用 餐 自 備 人 數 與 外 食 人 數 占 員 工 總 人 數 的 比 例，
其 中 0
x 、 0
y 皆 為 正 數 ， 且 n
x 、 n
y 分 別 代 表 經 過 n 日 後 用 餐 自 備 人 數 與 外 食 人 數
占 員 工 總 人 數 的 比 例 。 在 該 公 司 員 工 不 變 動 的 情 形 下 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 1 0 0
0.9 0.2
y y x
 
(2)
1
1
0.9 0.2
0.1 0.8
n n
n n
x x
y y


   
 

   
 
 
   
(3) 若 0
0
2
1
x
y
 ， 則
2
1
n
n
x
y
 對 任 意 正 整 數 n 均 成 立
(4) 若 0 0
y x
 ， 則 1 1
y x

(5) 若 0 0
x y
 ， 則 0 1
x x


4. 第 3 頁 110 年指考
共 7 頁 數 學 甲
- 3 -
5. 假 設 ( )
f x 為 五 次 實 係 數 多 項 式 ， 且 ( )
f x 除 以 1
n
x  的 餘 式 為 ( )
n
r x ， n 是 正 整 數 。
試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 1( ) (1)
r x f

(2) 2 ( )
r x 是 一 次 實 係 數 多 項 式
(3) 4 ( )
r x 除 以 2
1
x  所 得 的 餘 式 等 於 2 ( )
r x
(4) 5 6
( ) ( )
r x r x

(5) 若 ( ) ( )
f x f x
   ， 則 3 3
( ) ( )
r x r x
  
6. 一 個 標 有 1 至 12 號 格 子 的 12 格 戳 戳 樂 遊 戲 ， 每 回 遊 戲 以 投 擲 一 枚 均 勻 銅 板
四 次 來 決 定 要 戳 哪 些 格 子 。 規 則 如 下 ：
（ 一 ） 第 一 次 投 擲 銅 板 ， 若 是 正 面 ， 則 戳 1 號 格 子 ； 若 是 反 面 ， 則 戳 3 號 格
子 。
（ 二 ） 第 二 、三 、四 次 投 擲 銅 板 ， 若 是 正 面 ，則 所 戳 格 子 的 號 碼 為 前 一 次 所 戳
格 子 的 號 碼 加 1； 若 是 反 面 ， 則 所 戳 格 子 的 號 碼 為 前 一 次 所 戳 格 子 的 號
碼 加 3， 依 此 類 推 。
例 如 ： 投 擲 銅 板 四 次 的 結 果 依 序 為「 正、反 、 反 、 正 」
， 則 會 戳 編 號 分 別 為 1、
4、 7、 8 號 的 四 個 格 子 。
假 設 m
p 代 表 在 每 回 遊 戲 中 m 號 格 子 被 戳 到 的 機 率 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 2
1
4
p 
(2) 3
1
2
p 
(3) 4 1 3
1 1
2 2
p p p
 
(4) 8 10
p p

(5) 在 4 號 格 子 被 戳 到 的 條 件 下 ， 3 號 格 子 被 戳 到 的 機 率 為
1
2

5. 110 年指考 第 4 頁
數 學 甲 共 7 頁
- 4 -
7. 設 ( )
F x 為 一 實 係 數 多 項 式 且 ( ) ( )
F x f x
  。 已 知 2
( ) 1.1
f x x
   對 所 有 的 實 數 x 均 成
立 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) ( )
f x
 為 遞 增 函 數
(2) ( )
f x 為 遞 增 函 數
(3) ( )
F x 為 遞 增 函 數
(4)  
2
( )
f x 為 遞 增 函 數
(5) ( ( ))
f f x 為 遞 增 函 數
8. 已 知 1
z 、 2
z 、 3
z 、 4
z 為 四 個 相 異 複 數 ， 且 其 在 複 數 平 面 上 所 對 應 的 點 ， 依 序 可
連 成 一 個 平 行 四 邊 形 ， 試 問 下 列 哪 些 選 項 必 為 實 數 ？
(1) 1 3 2 4
( )( )
z z z z
 
(2) 1 2 3 4
z z z z
  
(3) 1 2 3 4
z z z z
  
(4) 1 2
3 4
z z
z z


(5)
2
2 4
1 3
z z
z z
 

 

 

6. 第 5 頁 110 年指考
共 7 頁 數 學 甲
- 5 -
三 、 選 填 題 （ 占 18 分 ）
說明：1.第 A 至 C 題，將答案劃記在答案卡之
「選擇
（填）
題答案區」
所標示的列號
（9–22）
。
2.每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 從 6、 8、 10、 12 中 任 取 三 個 相 異 數 字 ， 作 為 三 角 形 的 三 邊 長 ， 且 設 此 三 角 形
的 最 大 內 角 為  。在 所 有 可 能 構 成 的 三 角 形 中， cos 的 最 小 值 為
○
9 ○
10 ○
11
○
12 ○
13
。
（ 化 成 最 簡 分 數 ）
B. 坐 標 平 面 上 ， 一 個 半 徑 為 12 的 圓 與 直 線 0
x y
  相 交 於 兩 點 ， 且 這 兩 點 的 距 離
為 8。若 此 圓 與 直 線 24
x y
  交 於 P、 Q 兩 點，則 線 段 PQ 的 長 度 為 ○
14 ○
15 。
（ 化 成 最 簡 根 式 ）

7. 110 年指考 第 6 頁
數 學 甲 共 7 頁
- 6 -
C. 考 慮 一 梯 形 ABCD，其 中 AB 與 DC 平 行。已 知 點 E、 F 分 別 在 對 角 線 AC、 BD 上，
且
2
5
AB DC
 、
3
2
AE EC
 、
2
3
BF FD
 ， 如 圖 所 示 。
若 將 向 量

FE 表 示 成 

AC + 

AD， 則 實 數  
○
16
○
17 ○
18
、  
○
19 ○
20
○
21 ○
22
。
（ 化 成 最 簡 分 數 ）
─ ─ ─ 以 下 是 第 貳 部 分 的 非 選 擇 題 ， 必 須 在 答 案 卷 面 作 答 ─ ─ ─
C
D
A B
E
F

8. 第 7 頁 110 年指考
共 7 頁 數 學 甲
- 7 -
第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 占 24 分 ）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）
與子題號（(1)、(2)、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零
分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未
標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚辨識，該部分不予計分。每一子
題配分標於題末。
一 、 坐 標 空 間 中 ， 令 E 為 通 過 三 點 (0, 1, 1)
A   、 (1, 1, 2)
B   、 (0,1,0)
C 的 平 面 。 假 設 H
為 空 間 中 一 點，且 滿 足

AH
2
3


AB
1
3


AC ＋ 3(

AB 

AC )。根 據 上 述，試 回 答 下 列
問 題 。
(1) 試 求 四 面 體 ABCH 的 體 積 。
（ 4 分 ）
（ 註 ： 四 面 體 體 積 為 三 分 之 一 的 底 面 積
乘 以 高 ）
(2) 令 點 H為 點 H 相 對 於 平 面 E 的 對 稱 點 ， 試 求 H的 坐 標 。
（ 4 分 ）
(3) 試 判 斷 點 H在 平 面 E 的 投 影 點 是 否 位 在 ABC
 的 內 部 ？ 並 說 明 理 由 。
（ 4 分 ）
（ 註 ： 三 角 形 的 內 部 不 含 三 角 形 的 三 邊 ）
二 、 坐 標 平 面 上 ， 以 Γ 表 示 多 項 式 函 數 3 2
4 5
y x x x
   的 圖 形 ， 且 以 L 表 示 直 線
y mx
 ， 其 中 m 為 實 數 。 根 據 上 述 ， 試 回 答 下 列 問 題 。
(1) 當 2
m  時，試 求 出 在 0
x  的 範 圍 內，Γ 與 L 的 三 個 相 異 交 點 的 x 坐 標。
（ 2 分 ）
(2) 承 (1)， 試 求 Γ 與 L 所 圍 有 界 區 域 面 積 的 值 。
（ 4 分 ）
(3) 在 0
x  的 範 圍 內 ， 若 Γ 與 L 有 三 個 相 異 交 點 ， 則 滿 足 此 條 件 的 m 之 最 大 範
圍 為 a m b
  ， 試 求 a 、 b 之 值 。
（ 6 分 ）