2013年の情報オリンピック春期トレーニング合宿(日本代表選抜合宿)の4日目に出題されたSpaceshipsの解説です。問題文等は　http://www.ioi-jp.org/camp/2013/2013-sp-tasks/index.html で入手できます。

1. 1 / 277
Masaki Hara (qnighy)
2013年 情報オリンピック春期トレーニング合宿にて

2. 2 / 277
 有向木がたくさんあります
 以下のクエリに高速で答えてください
1. Aの親をBにする
◦ Aは木の根で、BはAの子孫ではない
2. Aを親から切り離して木の根にする
3. A,Bが同じ木に属するか判定し、
同じ木に属する場合はLCAを求める

3. 3 / 277
K
 有向木がたくさんあります
D
B E I
F A H C
J L G

4. 4 / 277
K
 有向木がたくさんあります
 以下のクエリに高速で答えてください D
B E I
F A H C
J L G

5. 5 / 277
K
 1. Fの親をBにする
D
B E I
F A H C
J L G

6. 6 / 277
K
 1. Fの親をBにする
D
B E I
F A H C
J L G

7. 7 / 277
K
 1. Eの親をDにする
D
B E I
F A H C
J L G

8. 8 / 277
K
 1. Eの親をDにする
D
B E I
F A H C
J L G

9. 9 / 277
K
 2. Iを親から切り離して根にする
D
B E I
F A H C
J L G

10. 10 / 277
K
 2. Iを親から切り離して根にする
D
B E I
F A H C
J L G

11. 11 / 277
K
 2. Lを親から切り離して根にする
D
B E I
F A H C
J L G

12. 12 / 277
K
 2. Lを親から切り離して根にする
D
B E I
F A H C
J L G

13. 13 / 277
K
 3. GとHのLCAを求める
D
B E I
F A H C
J L G

14. 14 / 277
K
 3. GとHのLCAを求める
◦ LCA: 最小共通先祖
D
B E I
F A H C
J L G

15. 15 / 277
 頂点数 𝑁 ≤ 5000
 クエリ数 𝑄 ≤ 5000

16. 16 / 277
 各頂点は親リンクを覚えておく
 クエリ1,2に対しては普通に答える
B
F

17. 17 / 277
K
 各頂点は親リンクを覚えておく
 クエリ3に対しては D
B E I
F A H C
J L G

18. 18 / 277
K
 各頂点は親リンクを覚えておく
 クエリ3に対しては D
◦ Gから根に向かって辿る
B E I
F A H C
J L G

19. 19 / 277
K
 各頂点は親リンクを覚えておく
 クエリ3に対しては D
◦ Gから根に向かって辿る
◦ Hから根に向かって辿る
B E I
F A H C
J L G

20. 20 / 277
K
 各頂点は親リンクを覚えておく
 クエリ3に対しては D
◦ Gから根に向かって辿る
◦ Hから根に向かって辿る
◦ 並べる B E
F H
G

21. 21 / 277
 各頂点は親リンクを覚えておく
 クエリ3に対しては
◦ Gから根に向かって辿る
◦ Hから根に向かって辿る
◦ 並べる
K D B F G
K D E H

22. 22 / 277
 各頂点は親リンクを覚えておく
 クエリ3に対しては
◦ Gから根に向かって辿る
◦ Hから根に向かって辿る
◦ 根からの順番で並べる
◦ 一致する中で最も後ろのものを選ぶ
K D B F G
K D E H

23. 23 / 277
 各頂点は親リンクを覚えておく
 クエリ3に対しては
◦ Gから根に向かって辿る
◦ Hから根に向かって辿る
◦ 根からの順番で並べる
◦ 根が一致しないときは-1

24. 24 / 277
 頂点数 𝑁 ≤ 5000
 クエリ数 𝑄 ≤ 5000
 計算量は𝑂(𝑁𝑄)なので間に合う

25. 25 / 277
 頂点数 𝑁 ≤ 106
 クエリ数 𝑄 ≤ 106
 辺の削除は行われない

26. 26 / 277
 CがAとBのLCA
C
D F
A B E

27. 27 / 277
 CがAとBのLCA
↓辺を追加 C
D F
A B E

28. 28 / 277
 CがAとBのLCA
↓辺を追加 C
 Cは依然としてAとBのLCA
D F
A B E

29. 29 / 277
 CがAとBのLCA
↓辺を追加
 Cは依然としてAとBのLCA
 最終的にできる木の上でLCAを計算できればよい

30. 30 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Preorder –頂点に入るときに記録する順序
A
 A, B, D, E, C, F
B C
D E F

31. 31 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Postorder – 頂点から出るときに記録する順序
A
 D, E, B, F, C, A
B C
D E F

32. 32 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F

33. 33 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A,

34. 34 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B,

35. 35 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D,

36. 36 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D, B,

37. 37 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D, B, E

38. 38 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D, B, E, B,

39. 39 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D, B, E, B, A,

40. 40 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D, B, E, B, A,
C,

41. 41 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D, B, E, B, A,
C, F,

42. 42 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D, B, E, B, A,
C, F, C,

43. 43 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 頂点から入るときに記録し、
 頂点から出るときにも
A
自分の親を記録する順序
B C
D E F
A, B, D, B, E, B, A,
C, F, C, A

44. 44 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 木の辺を、行きと帰りの2つの辺から
なるとみなすときの A
オイラー閉路に対応する
B C
D E F
A, B, D, B, E, B, A,
C, F, C, A

45. 45 / 277
 木の嬉しい順序(DFS順序)
◦ Euler Tour
 木の辺を、行きと帰りの2つの辺から
なるとみなすときの
オイラー閉路に対応する
 オイラー閉路 (Euler Tour) : 全ての辺を1度ずつ通る閉路
 オイラー路はケーニヒスベルクの橋問題で有名
Wikipediaより。 CC3.0-BY-SA

46. 46 / 277
 Euler TourによるLCAの計算
A
B C
D E F

47. 47 / 277
 Euler TourによるLCAの計算
A B D B E B A C F C A
1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1
A
B C
D E F

48. 48 / 277
 Euler TourによるLCAの計算
A B D B E B A C F C A
1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1
A
B C
D E F

49. 49 / 277
 Euler TourによるLCAの計算
A B D B E B A C F C A
1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1
A
B C
D E F

50. 50 / 277
 Euler TourによるLCAの計算
A B D B E B A C F C A
1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1
A
B C
D E F

51. 51 / 277
 Euler TourによるLCAの計算
A B D B E B A C F C A
1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1
A
深さ最小
B C
D E F

52. 52 / 277
 Euler TourによるLCAの計算
A B D B E B A C F C A
1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1
A
 RMQを利用 深さ最小
B C
D E F

53. 53 / 277
 正当性

54. 54 / 277
 正当性： CがAとBのLCAのとき
◦ Euler Tour上でCは[A,B]に含まれる
◦ Euler Tour上で[A,B]に含まれるのはCの部分木
 を言えばよい

55. 55 / 277
 正当性(1): Euler Tour上でCは[A,B]に含まれる
◦ AからBに行くにはCを経由しないといけない(LCAの性質より)
◦ ので当たり前

56. 56 / 277
 正当性(2): Euler Tour上で[A,B]に含まれるのは
Cの部分木
◦ Euler Tourにおいて部分木は連続した部分列として現れる
◦ ので当たり前

57. 57 / 277
 LCAを求めて終わり？

58. 58 / 277
 LCAを求めて終わり？
◦ あと少しだけやることがあります

59. 59 / 277
 「削除がない場合の利点」の考察を思い出す

60. 60 / 277
 「削除がない場合の利点」の考察を思い出す
 LCAが存在するなら、最終的な木の上で計算すれば
よい

61. 61 / 277
 「削除がない場合の利点」の考察を思い出す
 LCAが存在するなら、最終的な木の上で計算すれば
よい

62. 62 / 277
 A, Bが同じ木上にあるかどうかの判定が必要

63. 63 / 277
 A, Bが同じ木上にあるかどうかの判定が必要
ですが

64. 64 / 277
 A, Bが同じ木上にあるかどうかの判定が必要
ですが
辺の追加クエリしかないのでUnionFindでよい
ということはすぐにわかると思います

65. 65 / 277
 頂点数 𝑁 ≤ 106
 クエリ数 𝑄 ≤ 106
 辺の削除は行われない
 𝑂(𝑁 + 𝑄 log 𝑁) なので間に合う

66. 66 / 277
 ここまでの両方を実装すれば40点

67. 67 / 277
 ここまでの両方を実装すれば40点
 複数のアルゴリズムを条件によって使い分けるテクは
さすがに使っていると思います

68. 68 / 277
 頂点数 𝑁 ≤ 106
 クエリ数 𝑄 ≤ 106

69. 69 / 277
 頂点数 𝑁 ≤ 106
 クエリ数 𝑄 ≤ 106
 削除クエリもある

70. 70 / 277
 追加も削除もある場合の頻出テク

71. 71 / 277
 追加も削除もある場合の頻出テク
◦ クエリの(平方)分割
◦ がんばって動的になんとかする

72. 72 / 277
 追加も削除もある場合の頻出テク
◦ がんばって動的になんとかする

73. 73 / 277
 追加も削除もある場合の頻出テク
◦ がんばって動的になんとかする

74. 74 / 277
 木が静的な場合のLCA (復習)

75. 75 / 277
 木が静的な場合のLCA (復習)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り

76. 76 / 277
 木が静的な場合のLCA (復習)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる

77. 77 / 277
 木が静的な場合のLCA (復習)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
◦ RMQで実現可能

78. 78 / 277
 木が動的な場合のLCA (絶望)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
2.
◦ RMQで実現可能な気がする

79. 79 / 277
 木が動的な場合のLCA (絶望)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
2. 列の連結をする
3.
◦ RMQで実現可能な気がする

80. 80 / 277
 木が動的な場合のLCA (絶望)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
2. 列の連結をする
3. 列の分割をする
4.
◦ RMQで実現可能な気がする

81. 81 / 277
 木が動的な場合のLCA (絶望)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
2. 列の連結をする
3. 列の分割をする
4. それだけ？

82. 82 / 277
 木が動的な場合のLCA (絶望)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
2. 列の連結をする
3. 列の分割をする
4. 区間に値を足す

83. 83 / 277
 木が動的な場合のLCA (絶望)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
2. 列の連結をする
3. 列の分割をする
4. 区間に値を足す
◦ この業界では「Starry Sky木」として知られているもの

84. 84 / 277
 木が動的な場合のLCA (絶望)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
2. 列の連結をする
3. 列の分割をする
4. 区間に値を足す
◦ この業界では「Starry Sky木」として知られているもの
を平衡二分木として実装する必要がある (絶望)

85. 85 / 277
 木が動的な場合のLCA (絶望)
◦ Euler Tour上で必要とされるクエリは以下の通り
1. 区間の最小値をとる
2. 列の連結をする
3. 列の分割をする
4. 区間に値を足す
◦ この業界では「Starry Sky木」として知られているもの
を平衡二分木として実装する必要がある (絶望)
 しかもmerge/splitベースで

86. 86 / 277
 平衡二分木の中身は後回し

87. 87 / 277
 平衡二分木の中身は後回し
 平衡二分木を使った具体的な実装方法

88. 88 / 277
 木の各頂点ごとに、Euler Tourのためのノードを2つ
用意する(𝑆 𝐴 , 𝐺 𝐴 )
◦ 𝑆 𝐴 上には頂点Aの番号と、その深さが記録されている
◦ 𝐺 𝐴 上には頂点Aの親Pの番号と、その深さが記録されている
◦ Aが根のときは𝑆 𝐴 のみ使う
A A
𝐺𝐵
𝑆𝐴
B B

89. 89 / 277
 木の連結 A
Depth 0
B C
Depth 0 Depth 1
D E Depth 1
F
Depth 1
𝑆𝐵 𝐵 , 𝑆𝐷 𝐷 , 𝐺 𝐷 𝐵 , 𝑆 𝐸 𝐸 , 𝐺 𝐸 (𝐵) Depth 2
𝑆 𝐴 𝐴 , 𝑆 𝐶 𝐶 , 𝑆 𝐹 𝐹 , 𝐺 𝐹 𝐶 , 𝐺 𝐹 (𝐴)

90. 90 / 277
 木の連結 A
1. Euler TourをA点で分割 Depth 0
◦ A直下ならどの位置でもいい
 𝑆 𝐴 の直後がおすすめ
B C
Depth 0 Depth 1
D E Depth 1
F
Depth 1
𝑆𝐵 𝐵 , 𝑆𝐷 𝐷 , 𝐺 𝐷 𝐵 , 𝑆 𝐸 𝐸 , 𝐺 𝐸 (𝐵) Depth 2
𝑆 𝐴 𝐴 , 𝑆 𝐶 𝐶 , 𝑆 𝐹 𝐹 , 𝐺 𝐹 𝐶 , 𝐺 𝐹 (𝐴)

91. 91 / 277
 木の連結 A
1. Euler TourをA点で分割 Depth 0
2. Euler Tourを挿入
B C
Depth 0 Depth 1
D E F
Depth 1 Depth 1 Depth 2
𝑆 𝐴 𝐴 , 𝑆 𝐵 𝐵 , 𝑆 𝐷 𝐷 , 𝐺 𝐷 𝐵 , 𝑆 𝐸 𝐸 , 𝐺 𝐸 𝐵 , 𝐺 𝐵 (𝐸), 𝑆 𝐶 𝐶 , 𝑆 𝐹 𝐹 , 𝐺 𝐹 𝐶 , 𝐺 𝐹 (𝐴)

92. 92 / 277
 木の連結 A
1. Euler TourをA点で分割 Depth 0
2. Euler Tourを挿入
3. 深さを調整
B C
Depth 1 Depth 1
D E F
Depth 2 Depth 2 Depth 2
𝑆 𝐴 𝐴 , 𝑆 𝐵 𝐵 , 𝑆 𝐷 𝐷 , 𝐺 𝐷 𝐵 , 𝑆 𝐸 𝐸 , 𝐺 𝐸 𝐵 , 𝐺 𝐵 (𝐸), 𝑆 𝐶 𝐶 , 𝑆 𝐹 𝐹 , 𝐺 𝐹 𝐶 , 𝐺 𝐹 (𝐴)

93. 93 / 277
 木の削除: 追加のときと逆操作

94. 94 / 277
 平衡Starry Sky Treeがあればよいことがわかった

95. 95 / 277
 平衡Starry Sky Treeがあればよいことがわかった
 ではどのように実装するか？(実装例)

96. 96 / 277
 今回は、葉ノードと内部ノードの区別をしない
◦ A,B,C,D,Eはどれも列上の項目とする
D
B E
A C

97. 97 / 277
 各ノードは、Δ𝑥 𝐴 というフィールドを持つ
D
B E
A C

98. 98 / 277
 各ノードは、Δ𝑥 𝐴 というフィールドを持つ
 各ノードに定めたい値𝑥 𝐴 は、
𝑥𝐴 = Δ𝑥 𝐴
D
𝐴から根までのパス上のノード
B E
A C

99. 99 / 277
 𝑥 𝐴 = Δ𝑥 𝐷 + Δ𝑥 𝐵 + Δ𝑥 𝐴
 𝑥 𝐵 = Δ𝑥 𝐷 + Δ𝑥 𝐵
 𝑥 𝐶 = Δ𝑥 𝐷 + Δ𝑥 𝐵 + Δ𝑥 𝐶
 𝑥 𝐷 = Δ𝑥 𝐷 D
 𝑥 𝐸 = Δ𝑥 𝐷 + Δ𝑥 𝐸
B E
A C

100. 100 / 277
 木の回転: 𝑥 𝐴 が保存されるように行う
 Δ𝑥 ′𝐴 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
 Δ𝑥 ′𝐵 = 𝑥𝐵 B
 Δ𝑥 ′𝐶 = 𝑥𝐶 − 𝑥𝐷
 Δ𝑥 ′𝐷 = 𝑥𝐷− 𝑥𝐵
 Δ𝑥 ′𝐸 = 𝑥𝐸− 𝑥𝐷 A D
C E

101. 101 / 277
 木の回転: 𝑥 𝐴 が保存されるように行う
 Δ𝑥 ′𝐴 = Δ𝑥 𝐴
 Δ𝑥 ′𝐵 = Δ𝑥 𝐷 + Δ𝑥 𝐵 B
 Δ𝑥 ′𝐶 = Δ𝑥 𝐵 + Δ𝑥 𝐶
 Δ𝑥 ′𝐷 = −Δ𝑥 𝐵
 Δ𝑥 ′𝐸 = Δ𝑥 𝐸 A D
C E

102. 102 / 277
 最後に、ノードに値𝑦 𝐴 を
 𝑦𝐴 = min 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
𝐴の全ての子孫 𝐵
 となるように計算して保持しておく

103. 103 / 277
 最後に、ノードに値𝑦 𝐴 を
 𝑦𝐴 = min 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
𝐴の全ての子孫 𝐵
 となるように計算して保持しておく
 これでStarry Sky Tree相当の計算を行えるようになる

104. 104 / 277
 平衡二分木の基本

105. 105 / 277
 平衡二分木の基本：回転操作

106. 106 / 277
 回転操作： 順序を保存したまま木構造を変形

107. 107 / 277
 回転操作： 順序を保存したまま木構造を変形
 次のような二分木を考える
D
B E
A C

108. 108 / 277
 回転操作： 順序を保存したまま木構造を変形
 次のような二分木を考える
 順序： 左の子孫→自分→右の子孫 D
B E
A C

109. 109 / 277
 回転操作： 順序を保存したまま木構造を変形
 次のような二分木を考える
 順序： 左の子孫→自分→右の子孫 D
 この場合は A, B, C, D, E の順番
B E
A C

110. 110 / 277
 次のように変形しても順番はA,B,C,D,E
D B
B E A D
A C C E

111. 111 / 277
 次のように変形しても順番はA,B,C,D,E
 これを「木の回転」と言う
D B
B E A D
A C C E

112. 112 / 277
 次のように変形しても順番はA,B,C,D,E
 これを「木の回転」と言う
 うまく回転をすることで、偏りが起きないようにする二
分木を「平衡二分木」と言う
◦ 回転以外の方法で平衡を保つものもある

113. 113 / 277
 平衡二分木の実装方法

114. 114 / 277
 平衡二分木の実装方法
 今回は何でもOK!
◦ 赤黒木
◦ RBST
◦ Treap
◦ Splay木
◦ などなど…

115. 115 / 277
 この解説ではSplay木の説明をします

116. 116 / 277
 突然ですが、Union Findの復習をします

117. 117 / 277
 突然ですが、Union Findの復習をします
A
 Union Find の効率化テクニック：
 アクセスした頂点を根へ持っていく
B F
C D
E

118. 118 / 277
 突然ですが、Union Findの復習をします
A
 Union Find の効率化テクニック：
 アクセスした頂点を根へ持っていく
B F
C D
E

119. 119 / 277
 突然ですが、Union Findの復習をします
A
 Union Find の効率化テクニック：
 アクセスした頂点を根へ持っていく
B F
C D
E

120. 120 / 277
 突然ですが、Union Findの復習をします
A
 Union Find の効率化テクニック：
 アクセスした頂点を根へ持っていく
B F
C D
E

121. 121 / 277
 突然ですが、Union Findの復習をします
A
 Union Find の効率化テクニック：
 アクセスした頂点を根へ持っていく
B F
C D
E

122. 122 / 277
 突然ですが、Union Findの復習をします
A
 Union Find の効率化テクニック：
 アクセスした頂点を根へ持っていく
B F
C D
E

123. 123 / 277
 同じようなことを、二分探索木でもできないか？

124. 124 / 277
 同じようなことを、二分探索木でもできないか？
◦ →Move-to-root heuristic

125. 125 / 277
 Move-to-root heuristic
◦ 頂点にアクセスしたら、それが根に行くまで繰り返し回転する

126. 126 / 277
 Move-to-root heuristic
◦ 頂点にアクセスしたら、それが根に行くまで繰り返し回転する
◦ そんなので上手くいくわけないだろ！！

127. 127 / 277
 実際ダメ

128. 128 / 277
 実際ダメ E
D
C
B
A

129. 129 / 277
 実際ダメ E
D
C
B
A

130. 130 / 277
 実際ダメ E
D
C
A
B

131. 131 / 277
 実際ダメ E
D
A
C
B

132. 132 / 277
 実際ダメ E
A
D
C
B

133. 133 / 277
 実際ダメ A
E
D
C
B

134. 134 / 277
 実際ダメ
 この後A, B, C, D, Eの順にアクセスしたら
𝑛 + 𝑛 − 1 + … + 1 = 𝑂 𝑛2
 のコストがかかってしまう

135. 135 / 277
 実際ダメ
 この後A, B, C, D, Eの順にアクセスしたら
𝑛 + 𝑛 − 1 + … + 1 = 𝑂 𝑛2
 のコストがかかってしまう
 どうする？

136. 136 / 277
 解決策： 木の回転を3つに分ける

137. 137 / 277
 解決策： 木の回転を3つに分ける
◦ “zig” step
◦ “zig-zag” step
◦ “zig-zig” step

138. 138 / 277
 (1) “zig”-step

139. 139 / 277
 (1) “zig”-step
 すぐ上が根の場合
R
A

140. 140 / 277
 (1) “zig”-step
 すぐ上が根の場合
 普通に回転する A
R

141. 141 / 277
 (2) “zig-zag”-step

142. 142 / 277
 (2) “zig-zag”-step
 左→右、またはその逆のとき
G
P
A

143. 143 / 277
 (2) “zig-zag”-step
 左→右、またはその逆のとき
G
 普通に2回回転する
A
P

144. 144 / 277
 (2) “zig-zag”-step
 左→右、またはその逆のとき
 普通に2回回転する A
P G

145. 145 / 277
 (2) “zig-zag”-step
 左→右、またはその逆のとき
 普通に2回回転する
 ここまでは先ほどと同じ

146. 146 / 277
 (3) “zig-zig”-step

147. 147 / 277
 (3) “zig-zig”-step
 左→左、またはその逆のとき
G
P
A

148. 148 / 277
 (3) “zig-zig”-step
 左→左、またはその逆のとき
G
 2回ではなく3回回転する
P
A

149. 149 / 277
 (3) “zig-zig”-step
 左→左、またはその逆のとき
G
 2回ではなく3回回転する
A
P

150. 150 / 277
 (3) “zig-zig”-step
 左→左、またはその逆のとき
A
 2回ではなく3回回転する
G
P

151. 151 / 277
 (3) “zig-zig”-step
 左→左、またはその逆のとき
A
 2回ではなく3回回転する
P
G
 (ただし、後でこれを2回として扱う)

152. 152 / 277
 Splaying operation
◦ 偏った位置にあるときだけ余計に回転する

153. 153 / 277
 Splaying operation
◦ 偏った位置にあるときだけ余計に回転する
◦ そんなので上手くいくわけないだろ！！

154. 154 / 277
 実は上手くいく

155. 155 / 277
 実は上手くいく
 具体的には： 𝑂(log 𝑁) amortized

156. 156 / 277
 実は上手くいく
 具体的には： 𝑂(log 𝑁) amortized

157. 157 / 277
 ならし計算量 (amortized time complexity)
 N個の一連の操作が𝑂(𝑓(𝑁))で行えるとする
𝑓 𝑁
 1つ1つの操作は、本当は𝑂( )とは限らない
𝑁
𝑓 𝑁
 これを𝑂( )として扱うのが、ならし計算量
𝑁

158. 158 / 277
 ならし計算量のイメージ
操作1
本当の計算量
操作2
操作3
操作4
ならし計算量
操作5

159. 159 / 277
 ならし計算量の向き/不向き

160. 160 / 277
 ならし計算量の向き/不向き
 向いているもの
◦ 全体での処理効率が重視されるバッチ型の処理
◦ 例： プログラミングコンテスト
 向いていないもの
◦ リアルタイム性能が重視される処理
◦ 例： 信号処理

161. 161 / 277
 ならし計算量と平均計算量

162. 162 / 277
 ならし計算量と平均計算量
◦ この2つは別物！！
◦ ならし計算量 : 時系列上での平均
◦ 平均計算量 : 確率変数上での平均

163. 163 / 277
 ならし計算量と平均計算量
◦ この2つは別物！！
◦ ならし計算量 : 時系列上での平均
◦ 平均計算量 : 確率変数上での平均
◦ ならし計算量 : 不確定要素は無い！

164. 164 / 277
 Splayのならし計算量の評価

165. 165 / 277
 Splayのならし計算量の評価
 「ポテンシャル関数」の概念を導入

166. 166 / 277
 Splayのならし計算量の評価
 「ポテンシャル関数」の概念を導入
◦ 借金みたいなもの

167. 167 / 277
 ポテンシャル関数を用いた計算量の均し(ならし)
 𝑎 𝑗 = 𝑡 𝑗 + Φ 𝑗+1 − Φj
◦ 𝑡 𝑗 : その操作の実際の計算量
◦ Φ 𝑗+1 − Φj : ポテンシャルの増加量
◦ 𝑎 𝑗 : その操作のならし計算量

168. 168 / 277
 ポテンシャル関数を用いた計算量の均し(ならし)
 𝑎 𝑗 = 𝑡 𝑗 + Φ 𝑗+1 − Φj
◦ 𝑡 𝑗 : その操作の実際の計算量
◦ Φ 𝑗+1 − Φj : ポテンシャルの増加量
◦ 𝑎 𝑗 : その操作のならし計算量
 ポテンシャルの意味
◦ より大きい: 木はより偏っている
◦ より小さい: 木はより平坦になっている

169. 169 / 277
 ならし計算量の総和をとる
 𝑗 𝑎𝑗 = 𝑗 𝑡 𝑗 + Φ 𝑚 − Φ0
◦ 𝑗 𝑡 𝑗 : 実際の計算量の総和
◦ Φ 𝑚 − Φ0 : ポテンシャルの総変化量
◦ 𝑗 𝑎 𝑗 : ならし計算量の総和

170. 170 / 277
 ならし計算量の総和をとる
 𝑗 𝑎𝑗 = 𝑗 𝑡 𝑗 + Φ 𝑚 − Φ0
◦ 𝑗 𝑡 𝑗 : 実際の計算量の総和
◦ Φ 𝑚 − Φ0 : ポテンシャルの総変化量
◦ 𝑗 𝑎 𝑗 : ならし計算量の総和
 ポテンシャルの総変化量が小さければうまく評価でき
る

171. 171 / 277
 Splay木のポテンシャル
◦ Splay木の各頂点の重さを𝑤(𝑥)とする
 計算量の見積もり方にあわせて自由に決めてよい
◦ Splay木の頂点のサイズ s 𝑥 = 𝑤(𝑦)
𝑥の全ての子孫 𝑦
◦ Splay木の頂点のランク 𝑟 𝑥 = log 2 𝑠(𝑥)
◦ Splay木のポテンシャル Φ = 𝑟(𝑥)
全ての頂点 𝑥

172. 172 / 277
 Splay木のポテンシャル: 例

173. 173 / 277
 Splay木のポテンシャル: 例
 重さ 𝑤(𝑥)
1
(今回は全て1とする)
1 1
1 1
1 1

174. 174 / 277
 Splay木のポテンシャル: 例
 サイズ 𝑠(𝑥)
7
◦ 部分木の重さの和
5 1
1 3
1 1

175. 175 / 277
 Splay木のポテンシャル: 例
 ランク 𝑟 𝑥 = log 2 𝑠(𝑥)
2.8
2.3 0.0
0.0 1.6
0.0 0.0

176. 176 / 277
 Splay木のポテンシャル: 例
 ポテンシャル: ランクの総和

Φ = 2.8 + 2.3 + 1.6 = 6.7

177. 177 / 277
 Splay木のポテンシャルの良い性質

178. 178 / 277
 Splay木のポテンシャルの良い性質 …
 回転の影響を受ける頂点が少ない
◦ 解析が簡単になる

179. 179 / 277
 アクセス補題 (Access Lemma)

180. 180 / 277
 アクセス補題 (Access Lemma)
 𝑥 : 木のノード
 𝑡 : 木の根 とするとき
 木をsplayする操作一回にかかる時間(回転の回数)
は、ならし計算量で
3𝑟 𝑡 − 3𝑟 𝑥 + 1
 以下である。

181. 181 / 277
 アクセス補題の証明

182. 182 / 277
 アクセス補題の証明
 各回転ステップのならし計算量が
1. “zig”-stepでは 3𝑟 ′ 𝑥 − 3𝑟 𝑥 + 1 以下
2. それ以外では 3𝑟 ′ 𝑥 − 3𝑟(𝑥) 以下
 (ただし、𝑟′(𝑥) : 操作後のランク)
 であることを示す。
 そうすると、1のケースに登場する𝑟′(𝑥)は初期の𝑟(𝑡)
と等しい(木全体のサイズの対数)ので、合計すると
3𝑟 𝑡 − 3𝑟 𝑥 + 1になる。

183. 183 / 277
 アクセス補題の証明 (1) “zig”-step の場合
 𝑟 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 )
R
 𝑟 𝑅 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 + 𝑤(𝑅))
X C
A B

184. 184 / 277
 アクセス補題の証明 (1) “zig”-step の場合
 𝑟 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 )X
 𝑟 ′ 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 + 𝑤 𝑅 )
 𝑟 𝑅 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 + 𝑤(𝑅))
 𝑟 ′ 𝑅 = log 2 (𝑤 𝑅 + 𝑤 𝐵 + A 𝐶 ) R
𝑤
B C

185. 185 / 277
 アクセス補題の証明 (1) “zig”-step の場合
 𝑟 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 )
 𝑟 ′ 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 + 𝑤 𝑅 )
 𝑟 𝑅 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 + 𝑤(𝑅))
 𝑟 ′ 𝑅 = log 2 (𝑤 𝑅 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 )

186. 186 / 277
 アクセス補題の証明 (1) “zig”-step の場合
 𝑟 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 )
 𝑟 ′ 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 + 𝑤 𝑅 )
 𝑟 𝑅 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑤 𝐴 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 + 𝑤(𝑅))
 𝑟 ′ 𝑅 = log 2 (𝑤 𝑅 + 𝑤 𝐵 + 𝑤 𝐶 )
 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 ′ 𝑋 , 𝑟 ′ 𝑅 ≤ 𝑟(𝑅)

187. 187 / 277
 アクセス補題の証明 (1) “zig”-step の場合
 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 ′ 𝑋 , 𝑟 ′ 𝑅 ≤ 𝑟(𝑅)
 ならし計算量
𝑎 = 𝑡 + Φ′ − Φ
= 1 + 𝑟′ 𝑋 + 𝑟′ 𝑅 − 𝑟 𝑋 − 𝑟 𝑅
≤ 1 + 𝑟′ 𝑋 − 𝑟 𝑋
≤ 1 + 3𝑟 ′ 𝑋 − 3𝑟 𝑋

188. 188 / 277
 アクセス補題の証明 (2) “zigzig”-step の場合
 𝑟 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 ) G
 D
𝑟 𝑃 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶P + 𝑤(𝑃))
 𝑟 𝐺 = X C
log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑤 𝑃 + 𝑠 𝐷 + 𝑤 𝐺 )
A B

189. 189 / 277
 アクセス補題の証明 (2) “zigzig”-step の場合
 𝑟 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 ) X
′ 𝑋 =
 𝑟
log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑠 𝐷 + 𝑤 𝑃 + 𝑤 𝐺 )
A P
 𝑟 𝑃 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑤(𝑃))
 𝑟 ′ 𝑃 = log 2 (𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑤 𝑃 + 𝑤 𝐺 )
B G
 𝑟 𝐺 =
log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑤 𝑃 + 𝑠 𝐷 + 𝑤 𝐺 )
 𝑟 ′ 𝐺 = log 2 (𝑠 𝐶 + 𝑠 𝐷 + 𝑤 𝐺 ) C D

190. 190 / 277
 アクセス補題の証明 (2) “zigzig”-step の場合
 𝑟 𝑋 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 )
 𝑟′ 𝑋 =
log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑠 𝐷 + 𝑤 𝑃 + 𝑤 𝐺 )
 𝑟 𝑃 = log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑤(𝑃))
 𝑟 ′ 𝑃 = log 2 (𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑤 𝑃 + 𝑤 𝐺 )
 𝑟 𝐺 =
log 2 (𝑤 𝑋 + 𝑠 𝐴 + 𝑠 𝐵 + 𝑠 𝐶 + 𝑤 𝑃 + 𝑠 𝐷 + 𝑤 𝐺 )
 𝑟 ′ 𝐺 = log 2 (𝑠 𝐶 + 𝑠 𝐷 + 𝑤 𝐺 )

191. 191 / 277
 アクセス補題の証明 (2) “zigzig”-step の場合
 𝑟′ 𝑋 = 𝑟 𝐺 , 𝑟′ 𝑋 ≤ 𝑟′ 𝑃 , 𝑟 𝑃 ≤ 𝑟 𝑋

192. 192 / 277
 アクセス補題の証明 (2) “zigzig”-step の場合
 𝑟′ 𝑋 = 𝑟 𝐺 , 𝑟′ 𝑃 ≤ 𝑟′ 𝑋 , 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 𝑃
𝑎 = 𝑡 + Φ′ − Φ
= 2 + 𝑟′ 𝑋 + 𝑟′ 𝑃 + 𝑟′ 𝐺 − 𝑟 𝑋 − 𝑟 𝑃
− 𝑟 𝐺
≤ 2 + 𝑟 ′ 𝑋 + 𝑟 ′ 𝐺 − 2𝑟 𝑋

193. 193 / 277
 アクセス補題の証明 (2) “zigzig”-step の場合
 2 + 𝑟 ′ 𝑋 + 𝑟 ′ 𝐺 − 2𝑟 𝑋 ≤ 3𝑟 ′ 𝑋 − 3𝑟 𝑋
 理由： 𝑟 ′ 𝐺 + 𝑟 𝑋 − 2𝑟 ′ 𝑋 ≤ −2 を示したい。
𝑠′ 𝐺 𝑠 𝑋
 ところで左辺はlog 2 + log 2 であり、
𝑠′ 𝑋 𝑠′ 𝑋
 log 2 𝑥が上に凸で、𝑠 ′ 𝐺 + 𝑠 𝑋 ≤ 𝑠′(𝑋)なのでこの
値は高々−2
 よって不等式は示された。

194. 194 / 277
 アクセス補題の証明 (3) “zigzag”-step の場合
 𝑟′ 𝑋 = 𝑟 𝐺 , 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 𝑃
 𝑠′ 𝑃 + 𝑠′ 𝐺 ≤ 𝑠′ 𝑋
G
X
P D
P G
A X
A B C D
B C

195. 195 / 277
 アクセス補題の証明 (3) “zigzag”-step の場合
 以下(2)と同様

196. 196 / 277
 以上より、Splay操作がならし計算量で𝑂(log 𝑁)であ
ることがわかった。
 ところで、Splay操作のポテンシャルは高々
𝑂(𝑁 log 𝑁 )なので、全体で𝑂((𝑄 + 𝑁) log 𝑁)でクエリ
を処理できることがわかった。

197. 197 / 277
 以上より、Splay操作がならし計算量で𝑂(log 𝑁)であ
ることがわかった。
 ところで、Splay操作のポテンシャルは高々
𝑂(𝑁 log 𝑁 )なので、全体で𝑂((𝑄 + 𝑁) log 𝑁)でクエリ
を処理できることがわかった。
 以上、満点解法その1

198. 198 / 277
 満点解法その2 - Link/Cut木

199. 199 / 277
 満点解法その2 - Link/Cut木
 Link/Cut木
◦ 元々、フローアルゴリズムの高速化のためにSleatorとTarjan
が考案したもの

200. 200 / 277
 満点解法その2 - Link/Cut木
 Link/Cut木
◦ 元々、フローアルゴリズムの高速化のためにSleatorとTarjan
が考案したもの
◦ この問題のために必要な実装は、それよりもはるかに容易

201. 201 / 277
 満点解法その2 - Link/Cut木
 Link/Cut木
◦ 元々、フローアルゴリズムの高速化のためにSleatorとTarjan
が考案したもの
◦ この問題のために必要な実装は、それよりもはるかに容易
→Link/Cut木の練習としても適している

202. 202 / 277
 満点解法その2 - Link/Cut木
 Link/Cut木
◦ 元々、フローアルゴリズムの高速化のためにSleatorとTarjan
が考案したもの
◦ この問題のために必要な実装は、それよりもはるかに容易
→Link/Cut木の練習としても適している
◦ いろいろなバージョンがあるが、Splay木によるものが使いや
すい

203. 203 / 277
 予備知識 – Heavy/Light decomposition

204. 204 / 277
 予備知識 – Heavy/Light decomposition
◦ 木をパスに分割する方法
A
B C
D E F

205. 205 / 277
 予備知識 – Heavy/Light decomposition
◦ 木をパスに分割する方法
A
B C
D E F

206. 206 / 277
 予備知識 – Heavy/Light decomposition
◦ 木をパスに分割する方法
 変な形の木でも、「パスの木」の形に潰すと安定する

207. 207 / 277
 Splay Treeの世界
列データ Splay Tree
列の畳み込みを効率よく計算

208. 208 / 277
 Splay Treeの世界
列データ Splay Tree
列の畳み込みを効率よく計算

209. 209 / 277
 Heavy/Light decompositionの世界
有向木
列データ Splay Tree
有向木を分解したもの 列の畳み込みを効率よく計算

210. 210 / 277
 Link/Cut Treeの世界
有向木 Link/Cut Tree
パスの畳み込みを効率よく計算
列データ Splay Tree
有向木を分解したもの 列の畳み込みを効率よく計算

211. 211 / 277
 Link/Cut Treeの世界
 H/L分解 = パスからなる木

212. 212 / 277
 Link/Cut Treeの世界
 H/L分解 = パスからなる木
 Link/Cut Tree = Splay木からなる木

213. 213 / 277
 Link/Cut Tree の辺は二種類ある
◦ Solid(Heavy) edge
◦ Dashed(Light) edge

214. 214 / 277
 Link/Cut Tree の辺は二種類ある
Solid(Heavy) Dashed(Light)
所属 Splay Tree H/L分解の木
分類 二分木 多分木
左右の区別 左右の区別あり なし
親 本当は祖先か子孫 本当の親
子供 本当は祖先か子孫 本当は子孫

215. 215 / 277
 Solid, Dashedの区別

216. 216 / 277
 Solid, Dashedの区別
 いずれも、親方向リンクを持つ
X
L R
M

217. 217 / 277
 Solid, Dashedの区別
 いずれも、親方向リンクを持つ
 親から左方向リンクがあれば、Solid
X
L R
M

218. 218 / 277
 Solid, Dashedの区別
 いずれも、親方向リンクを持つ
 親から左方向リンクがあれば、Solid
 親から右方向リンクがあれば、Solid
X
L R
M

219. 219 / 277
 Solid, Dashedの区別
 いずれも、親方向リンクを持つ
 親から左方向リンクがあれば、Solid
 親から右方向リンクがあれば、Solid
X
 どちらもなければ、Dashed
L R
M

220. 220 / 277
 Solid, Dashedの区別
 いずれも、親方向リンクを持つ
 親から左方向リンクがあれば、Solid
 親から右方向リンクがあれば、Solid
 どちらもなければ、Dashed
 「右, 左, 親」の3つのリンクだけで構造を保持できる！

221. 221 / 277
 小さな例 A
B
C F
D E

222. 222 / 277
 小さな例 A
B
C F
D E

223. 223 / 277
 小さな例
F B A
A
B
D C
C F
D E
E

224. 224 / 277
 小さな例 B
A
B
F A
C F
D E
D
F B A
C
D C
E
E

225. 225 / 277
 Link/Cut Treeの操作: splayLC()
 Link/Cut Tree上では、任意の頂点Xを根に持っていく
ことができる
◦ 元の木の構造は変化しないことに注意

226. 226 / 277
 前準備： splay
 各Splay Tree上でsplayをすることで、Xから今の根ま
でを点線だけで行けるようにする

227. 227 / 277
 前準備： splay B
 各Splay Tree上でsplayをすることで、Xから今の根ま
F A
でを点線だけで行けるようにする
D
C
E

228. 228 / 277
 前準備： splay B
 各Splay Tree上でsplayをすることで、Xから今の根ま
F A
でを点線だけで行けるようにする
C
D
E

229. 229 / 277
 前準備： splay B
 各Splay Tree上でsplayをすることで、Xから今の根ま
F A
でを点線だけで行けるようにする
C EからBまで、点
線のみで行ける
D ようになる
E

230. 230 / 277
 splayLC() のメイン操作: つなぎ変え(expose操作)
 パスのつなぎ変え操作を行う
 元の木ではこんな感じ

231. 231 / 277
 A
splayLC() のメイン操作: つなぎ変え(expose操作)
 B
パスのつなぎ変え操作を行う
 元の木ではこんな感じ
C F
D E

232. 232 / 277
 A
splayLC() のメイン操作: つなぎ変え(expose操作)
 B
パスのつなぎ変え操作を行う
 元の木ではこんな感じ
C F
D E

233. 233 / 277
 A
splayLC() のメイン操作: つなぎ変え(expose操作)
 B
パスのつなぎ変え操作を行う
 元の木ではこんな感じ
C F
D E

234. 234 / 277
 splayLC() のメイン操作: つなぎ変え(expose操作)
 パスのつなぎ変え操作を行う
 Link/Cut 木でも、左向きのSolid辺を付け替えるだけ

235. 235 / 277
 splayLC() のメイン操作: B
つなぎ変え(expose操作)
 F
パスのつなぎ変え操作を行う A
 Link/Cut 木でも、左向きのSolid辺を付け替えるだけ
C
D
E

236. 236 / 277
 splayLC() のメイン操作: B
つなぎ変え(expose操作)
 F
パスのつなぎ変え操作を行う A
 Link/Cut 木でも、左向きのSolid辺を付け替えるだけ
C
D
E

237. 237 / 277
B
 splayLC() のメイン操作: つなぎ変え(expose操作)
 C
パスのつなぎ変え操作を行う A
 E
Link/Cut 木でも、左向きのSolid辺を付け替えるだけ
D F

238. 238 / 277
 左向きの辺をつなぎ替えるだけで、Eが一番上の木に
所属するようになった

239. 239 / 277
 左向きの辺をつなぎ替えるだけで、Eが一番上の木に
所属するようになった
 最後にもう1度splay()操作を行うことで、Link/Cut
Treeの一番上の根にEが来る

240. 240 / 277
 L/C木のsplayLC()はSplay Treeの解析を少し応用す
ると、対数時間であることが言える

241. 241 / 277
 L/C木のsplayLC()はSplay Treeの解析を少し応用す
ると、対数時間であることが言える
 1回ごとのsplay()操作が対数時間であることは既に
わかっている

242. 242 / 277
 L/C木のsplayLC()はSplay Treeの解析を少し応用す
ると、対数時間であることが言える
 1回ごとのsplay()操作が対数時間であることは既に
わかっている
 しかし実際にはsplay()操作が𝑘回呼ばれている
◦ 𝑘は、パス分割された木の上での深さ

243. 243 / 277
 ポテンシャルの定義
◦ サイズ = solid/dashedに関わらず、子孫になっている頂点の
数
◦ ランク = その対数
◦ ポテンシャル = ランクの総和の2倍
として定める

244. 244 / 277
 Splay Treeのならし計算量は 1 + 3𝑟 𝑡 − 3𝑟(𝑥) だっ
た
 今回のならし計算量は𝑘 + 6𝑟 𝑡 − 6𝑟(𝑥)になる
◦ 「Splayが𝑘回呼ばれる」という認識を改めてみる
◦ Splayは根に向かって順番に呼ばれるということを考慮すると、
「Splayが1回呼ばれるが、途中でk回、強制的にzigステップを
使われるかもしれない」と考えることができる
◦ 係数が2倍なのはポテンシャルの定義を変えたから

245. 245 / 277
 余った定数項𝑘の回収
 Expose操作のあとに1回行うsplay操作： k回の回転を
行う。
 ポテンシャルの定義を2倍にしたので、splayの回転操
作1回につき1の追加コストを課しても問題ない

246. 246 / 277
 ならしコスト6 log 2 𝑁のsplay操作を2回呼んでいるの
で、splayLC()のならし計算量は12 log 2 𝑁 = 𝑂(log 𝑁)
であるとわかった。

247. 247 / 277
 AとBのLCAを求める。

248. 248 / 277
 AとBのLCAを求めるには、まず
1. Bに対してsplayLC()を行う
2. Aに対してsplayLC()を行う
 このとき、Bは浅い位置にいる。
◦ Splay Treeに対するSplay操作1回で、他の頂点の深さは高々
2段しか下がらないので、この時点でBは深さ高々4程度。

249. 249 / 277
 AとBの位置関係に基いて条件分岐

250. 250 / 277
 AとBの位置関係に基いて条件分岐
 (1) BがAの左側にある場合
◦ この場合は、BはAの子孫ということになるので、AとBのLCA
はAになる。
 (2) BがAの右側にある場合
◦ 次のページへ

251. 251 / 277
 BがAの右側にある場合の条件分岐
 (1) BがAと同じSplay Treeに属する場合
◦ この場合は、AはBの子孫ということになるので、AとBのLCA
はBになる。

252. 252 / 277
 BがAの右側にある場合の条件分岐
 (1) BがAと同じSplay Treeに属する場合
◦ この場合は、AはBの子孫ということになるので、AとBのLCA
はBになる。
 (2) BがAと異なるSplay Treeに属する場合
◦ 一番一般的な場合。
◦ Bから上に辿り、Aと同じSplay Treeに到達したところの頂点が、
AとBのLCAになる。

253. 253 / 277
 BがAの右側にある場合の条件分岐
 (1) BがAと同じSplay Treeに属する場合
◦ この場合は、AはBの子孫ということになるので、AとBのLCA
はBになる。
 (2) BがAと異なるSplay Treeに属する場合
◦ 一番一般的な場合。
◦ Bから上に辿り、Aと同じSplay Treeに到達したところの頂点が、
AとBのLCAになる。
 これでLCAは求められた。

254. 254 / 277
 クエリ1,2番に対応する「接続」「切断」は、
Link/Cut Treeの”link”, “cut” に対応する。

255. 255 / 277
 クエリ1,2番に対応する「接続」「切断」は、
Link/Cut Treeの”link”, “cut” に対応する。
 (1) Link操作 – AをBの子にする
◦ AとBをsplayLC()しておいてから、Aの親として(dashedで)Bを
設定するだけ。
◦ 計算量： AとBがLink/Cut Treeにおける根にあるので、Bのサ
イズが高々𝑁増える程度。これによってポテンシャルは
𝑂(log 𝑁) しか増えない。

256. 256 / 277
 クエリ1,2番に対応する「接続」「切断」は、
Link/Cut Treeの”link”, “cut” に対応する。
 (2) Cut操作 – Aを親から切り離す
◦ AをsplayLC()してからAの右の子を切り離す。
◦ 計算量：ポテンシャルは明らかに減っている。

257. 257 / 277
 以上がLink/Cut Treeによる満点解法。

258. 258 / 277
 Euler Tour Tree と Link/Cut Tree は動的木の筆頭

259. 259 / 277
 Euler Tour Tree と Link/Cut Tree は動的木の筆頭
 今回はどちらを選ぶべきだったか？

260. 260 / 277
 Euler Tour Tree と Link/Cut Tree は動的木の筆頭
 今回はどちらを選ぶべきだったか？
 (他の問題は解き終わっているとして)

261. 261 / 277
 Euler Tour Tree
◦ 知識：
◦ 実装：
 Link/Cut Tree
◦ 知識：
◦ 実装：

262. 262 / 277
 Euler Tour Tree
◦ 知識： 過去にも出題済みの知識の組合せ。
◦ 実装：
 Link/Cut Tree
◦ 知識：
◦ 実装：

263. 263 / 277
 Euler Tour Tree
◦ 知識： 過去にも出題済みの知識の組合せ。
◦ 実装： 組み合わせてはいけないものを組み合わせてしまった
感じ
 Link/Cut Tree
◦ 知識：
◦ 実装：

264. 264 / 277
 Euler Tour Tree
◦ 知識： 過去にも出題済みの知識の組合せ。
◦ 実装： 組み合わせてはいけないものを組み合わせてしまった
感じ
 Link/Cut Tree
◦ 知識： 必須
◦ 実装：

265. 265 / 277
 Euler Tour Tree
◦ 知識： 過去にも出題済みの知識の組合せ。
◦ 実装： 組み合わせてはいけないものを組み合わせてしまった
感じ
 Link/Cut Tree
◦ 知識： 必須
◦ 実装： 頂点にデータを持たせなくてよいなど、この問題におい
ては極めて有利

266. 266 / 277
 Euler Tour Tree
◦ 知識： 過去にも出題済みの知識の組合せ。
◦ 実装： 組み合わせてはいけないものを組み合わせてしまった
感じ
 Link/Cut Tree
◦ 知識： 必須
◦ 実装： 頂点にデータを持たせなくてよいなど、この問題におい
ては極めて有利
 知っているならLink/Cut を書くべきだったかもしれな
い

267. 267 / 277
 Link/Cutを学ぶべきか？

268. 268 / 277
 Link/Cutを学ぶべきか？
◦ Link/Cutでなければ出来ない、という問題は、恐らくない

269. 269 / 277
 Link/Cutを学ぶべきか？
◦ Link/Cutでなければ出来ない、という問題は、恐らくない
◦ しかし、Link/Cutを使うと有利な問題は実際に存在している

270. 270 / 277
 qnighyからの提案

271. 271 / 277
 qnighyからの提案
◦ 合宿参加者の大半にとっては、Link/Cut Treeを習得するコ
ストが高くつく上に、他の学習をしたほうがずっと為になると
思う。

272. 272 / 277
 qnighyからの提案
◦ 合宿参加者の大半にとっては、Link/Cut Treeを習得するコ
ストが高くつく上に、他の学習をしたほうがずっと為になると
思う。
◦ より上位の人や、単純に興味があるという人に関しては、こ
の限りではない。

273. 273 / 277
 qnighyからの提案
◦ 合宿参加者の大半にとっては、Link/Cut Treeを習得するコ
ストが高くつく上に、他の学習をしたほうがずっと為になると
思う。
◦ より上位の人や、単純に興味があるという人に関しては、こ
の限りではない。
◦ いずれにせよ、学習するつもりなら、身に付けるために問題
を解くべきだろう。

274. 274 / 277
 JOI2010春合宿 Day4 “Highway”
 JOI2012本選 問題5 “Festivals in JOI Kingdom”
 IOI2011 Day2 “Elephants”
 IJPC2012 Day3 “Animals2”

275. 275 / 277
 完全制覇・ツリー上でのクエリ処理技法 [iwiwi]
http://topcoder.g.hatena.ne.jp/iwiwi/20111205/13
23099376
 プログラミングコンテストでのデータ構造 2 ～動的木
編～ [iwiwi]
http://www.slideshare.net/iwiwi/2-12188845
 蟻本 [iwiwi]

276. 276 / 277
 Daniel D. Sleator and Robert E. Tarjan, A Data
Structure for Dynamic Trees, Journal of Computer
and System Sciences, Volume 26 Issue 3, June 1983,
pp. 362 – 391
 Daniel D. Sleator and Robert E. Tarjan, Self-adjusting
binary search trees, Journal of the ACM, Volume 32
Issue 3, July 1985, pp. 652 – 686

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