108學測數學科試題

1. 大學入學考試中心
108 學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘
題型題數：單選題 6 題，多選題 7 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題
作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿
使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答
案者，其後果由考生自行承擔。
選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能
不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一
個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。
例：若第 B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記，如：
例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是 7
50

時，則考生必須分別在答案
卡的第 20 列的 與第 21 列的 畫記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的數值
3
7
8
20 21
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  
18
19
1 2 84 5 6 73 9 0  
20
21
1 2 3 4 5 6 87 9 0  
1 2 3 4 5 6 7 9 08 
19
18

2. 第 1 頁 108 年學測
共 7 頁 數 學 考 科
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第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 6 5 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占 3 0 分 ）
說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記
在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多
於一個選項者，該題以零分計算。
1. 點 A (1,0)在 單 位 圓 2 2
: 1x y   上。試 問：Γ 上 除 了 A 點 以 外，還 有 幾 個 點 到 直 線
: 2L y x 的 距 離 ， 等 於 A 點 到 L 的 距 離 ？
(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個
2. 下 列 哪 一 個 選 項 是 方 程 式 3 2
4 4 0x x x    的 解 ？ （ 註 ： 1i   ）
(1) 2i (2) i (3) i (4) 2 (5) 4
3. 試 問 共 有 多 少 組 正 整 數  , ,k m n 滿 足 2 4 8 512k m n
 ？
(1) 1 組 (2) 2 組 (3) 3 組 (4) 4 組 (5) 0 組
4. 廚 師 買 了 豬 、 雞 、 牛 三 種 肉 類 食 材 以 及 白 菜 、 豆 腐 、 香 菇 三 種 素 類 食 材 。 若 廚
師 想 用 完 這 六 種 食 材 作 三 道 菜，每 道 菜 可 以 只 用 一 種 食 材 或 用 多 種 食 材，但 每
種 食 材 只 能 使 用 一 次，且 每 道 菜 一 定 要 有 肉，試 問 食 材 的 分 配 共 有 幾 種 方 法 ？
(1) 3 (2) 6 (3) 9 (4) 18 (5) 27

3. 108 年學測 第 2 頁
數 學 考 科 共 7 頁
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5. 設 正 實 數 b 滿 足 (log100)(log ) log100 log 7b b   。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 1 10b  (2) 10 10b 
(3) 00 0 11 1b  (4) 10 10 01 0b 
(5) 1 100 1000 b 
6. 某 超 商 依 據 過 去 的 銷 售 紀 錄，冬 天 平 均 氣 溫 在 6℃到 24℃時，每 日 平 均 售 出 的
咖 啡 數 量 與 當 天 的 平 均 氣 溫 之 相 關 係 數 為 0.99 ， 部 分 紀 錄 如 下 表 。
某 日 平 均 氣 溫 為 8℃， 依 據 上 述 資 訊 推 測 ， 試 問 該 日 賣 出 的 咖 啡 數 量 應 接 近 下
列 哪 一 個 選 項 ？
(1) 570 杯 (2) 625 杯 (3) 700 杯 (4) 755 杯 (5) 800 杯
二 、 多 選 題 （ 占 3 5 分 ）
說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項
畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項
或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 設 各 項 都 是 實 數 的 等 差 數 列 1 2 3, , ,a a a 之 公 差 為 正 實 數  。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 若 n nb a  ， 則 1 2 3b bb   
(2) 若 2
n nc a ， 則 1 2 3c cc   
(3) 若 1nn nad a  ， 則 1 2 3, , ,d d d 是 公 差 為  的 等 差 數 列
(4) 若 n ne na  ， 則 1 2 3, , ,e e e 是 公 差 為 1  的 等 差 數 列
(5) 若 nf 為 1 2, , , na a a 的 算 術 平 均 數 ， 則 1 2 3, , ,f f f 是 公 差 為  的 等 差 數 列
平 均 氣 溫 （ ℃） 11 13 15 17 19 21
平 均 售 出 量 （ 杯 ） 512 437 361 279 203 135

4. 第 3 頁 108 年學測
共 7 頁 數 學 考 科
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8. 在 數 線 上，甲 從 點 8 開 始 做 等 速 運 動，同 時 乙 也 從 點 10 開 始 做 等 速 運 動，乙 移
動 的 速 率 是 甲 的 a 倍 ， 且 1a  。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 若 甲 朝 負 向 移 動 而 乙 朝 正 向 移 動 ， 則 他 們 會 相 遇
(2) 若 甲 朝 負 向 移 動 且 乙 朝 負 向 移 動 ， 則 他 們 不 會 相 遇
(3) 若 甲 朝 正 向 移 動 而 乙 朝 負 向 移 動 ， 則 乙 先 到 達 原 點 0
(4) 若 甲 朝 正 向 移 動 且 乙 朝 正 向 移 動 ， 則 他 們 之 間 的 距 離 會 越 來 越 大
(5) 若 甲 朝 正 向 移 動 而 乙 朝 負 向 移 動 ， 且 他 們 在 點 2 相 遇 ， 則 2a 
9. 從 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 這 七 個 數 字 中 隨 機 任 取 兩 數 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 其 和 大 於 10 的 機 率 為
1
7
(2) 其 和 小 於 5 的 機 率 為
1
7
(3) 其 和 為 奇 數 的 機 率 為
4
7
(4) 其 差 為 偶 數 的 機 率 為
5
7
(5) 其 積 為 奇 數 的 機 率 為
2
7
10. 在 ABC 中 ， 已 知 60 05 A B      。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) sin sinA B
(2) sin sinB C
(3) cos cosA B
(4) sin cosC C
(5) AB BC

5. 108 年學測 第 4 頁
數 學 考 科 共 7 頁
- 4 -
11. 某 地 區 衛 生 機 構 成 功 訪 問 了 500 人，其 中 年 齡 為 50 59 歲 及 60 歲（ 含 ）以 上 者 分
別 有 220名 及 280名。這 500 名 受 訪 者 中， 120 名 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢，其 中 有 75名
是 在 一 年 之 前 做 的，有 45 名 是 在 一 年 之 內 做 的。已 知 受 訪 者 中， 60 歲（ 含 ）以
上 者 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 比 率 是 50 59 歲 者 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 比 率 的 3.5倍。試 選
出 正 確 的 選 項 。
(1) 受 訪 者 中 年 齡 為 60 歲 （ 含 ） 以 上 者 超 過 60%
(2) 由 受 訪 者 中 隨 機 抽 取 兩 人，此 兩 人 的 年 齡 皆 落 在 50 59 歲 間 的 機 率 大 於 0.25
(3) 由 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 的 受 訪 者 中 隨 機 抽 取 兩 人，其 中 一 人 在 一 年 之 內 受 檢
而 另 一 人 在 一 年 之 前 受 檢 的 機 率 為 45 75
2
120 119
  
  
  
(4) 這 500 名 受 訪 者 中 ， 未 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 的 比 率 低 於 75%
(5) 受 訪 者 中 60 歲 （ 含 ） 以 上 者 ， 曾 做 過 大 腸 癌 篩 檢 的 人 數 超 過 90名
12. 設 1 2( ), ( )f x f x 為 實 係 數 三 次 多 項 式 ， ( )g x 為 實 係 數 二 次 多 項 式 。 已 知 1 2( ), ( )f x f x
除 以 ( )g x 的 餘 式 分 別 為 1 2( ), ( )r x r x 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 1( )f x 除 以 ( )g x 的 餘 式 為 1( )r x
(2) 1 2( ) ( )f x f x 除 以 ( )g x 的 餘 式 為 1 2( ) ( )r x r x
(3) 1 2( ) ( )x f xf 除 以 ( )g x 的 餘 式 為 1 2( ) ( )x r xr
(4) 1( )f x 除 以 3 ( )g x 的 餘 式 為 1
1
( )
3
r x

(5) 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x r x f x r x 可 被 ( )g x 整 除
13. 坐 標 空 間 中 有 一 平 面 P 過 (0,0,0) , (1,2,3) 及 ( 1,2,3) 三 點 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 向 量 (0,3,2) 與 平 面 P 垂 直
(2) 平 面 P 與 xy 平 面 垂 直
(3) 點 (0,4,6) 在 平 面 P 上
(4) 平 面 P 包 含 x軸
(5) 點 (1,1,1) 到 平 面 P 的 距 離 是 1

6. 第 5 頁 108 年學測
共 7 頁 數 學 考 科
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y
AC
B
D
x
第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占 3 5 分 ）
說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14-30）
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 設 ,x y 為 實 數 ， 且 滿 足
3 1 3 6
2 4 1 6
1
x
y
 
               
， 則 3x y  ○14 ○15 。
B. 如 圖 （ 此 為 示 意 圖 ）， , , ,A B C D 是 橢 圓
2 2
2
1
16
x y
a
  的 頂 點 。 若 四 邊 形 ABCD的 面 積
為 58， 則 a 
○16 ○17
○18
。（ 化 為 最 簡 分 數 ）
C. 某 高 中 已 有 一 個 長 90公 尺、寬 60 公 尺 的 足 球 練 習 場。若 想 要 在 足 球 練 習 場 的 外
圍 鋪 設 內 圈 總 長 度 為 400公 尺 的 跑 道 ， 跑 道 規 格 為 左 右 兩 側 各 是 直 徑 相 同 的 半
圓 ， 而 中 間 是 上 下 各 一 條 的 直 線 跑 道， 直 線
跑 道 與 足 球 練 習 場 的 長 邊 平 行（ 如 示 意 圖 ）。
則 圖 中 一 條 直 線 跑 道 AB 長 度 的 最 大 可 能
整 數 值 為 ○19 ○20 ○21 公 尺 。
D. 某 次 選 舉 中 進 行 甲、乙、丙 三 項 公 投 案，每 項 公 投 案 一 張 選 票，投 票 人 可 選 擇
領 或 不 領 。 投 票 結 束 後 清 點 某 投 票 所 的 選 票 ， 發 現 甲 案 有 765人 領 票 、 乙 案 有
537人 領 票 、 丙 案 有 648人 領 票 ， 同 時 領 甲 、 乙 、 丙 三 案 公 投 票 的 有 224 人 ， 並
且 每 個 人 都 至 少 領 了 兩 張 公 投 票。根 據 以 上 資 訊，可 知 同 時 領 甲、乙 兩 案 但 沒
有 領 丙 案 公 投 票 者 共 有 ○22 ○23 ○24 人 。
足球練習場
直線跑道
B
左
邊
跑
道
右
邊
跑
道
A

7. 108 年學測 第 6 頁
數 學 考 科 共 7 頁
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E.如 圖（ 此 為 示 意 圖 ），在 ABC 中， AD 交 BC 於 D 點， BE 交 AD 於 E 點，且 30ACB  ，
60EDB   ， 120AEB  。 若 15CD  ， 7ED  ，
則 AB  ○25 ○26 。
F. 坐 標 空 間 中 ， 考 慮 有 一 個 頂 點 在 平 面 0z  上 、 且 有 另 一 個 頂 點 在 平 面 6z  上
的 正 立 方 體 。 則 滿 足 前 述 條 件 的 正 立 方 體 之 邊 長 最 小 可 能 值 為 ○27 ○28 。
（ 化 成 最 簡 根 式 ）
G. 如 圖（ 此 為 示 意 圖 ）， , , ,A B C D 為 平 面 上 的 四 個 點。已 知

BC ＝

AB ＋

AD，

AC、

BD
兩 向 量 等 長 且 互 相 垂 直 ， 則 tan BAD ＝ ○29 ○30 。
A
B
D
C
E
120∘
60∘
30∘
7
15
D
A
B
C

8. 第 7 頁 108 年學測
共 7 頁 數 學 考 科
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參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1. 首 項 為 a ， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n項 之 和 為
 2 ( 1)
2
n a n d
S
 

首 項 為 a ， 公 比 為 ( 1)r r  的 等 比 數 列 前 n項 之 和 為
(1 )
1
n
a r
S
r



2. 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ： sin( ) sin cos cos sinA B A B A B  
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B  
tan tan
tan( )
1 tan tan
A B
A B
A B

 

3. ABC 的 正 弦 定 理 ： 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   （ R 為 ABC 外 接 圓 半 徑 ）
ABC 的 餘 弦 定 理 ： 2 2 2
2 cosc a b ab C  
4. 一 維 數 據 1 2: , , , nX x x x ， 算 術 平 均 數 1 2
1
1 1
( )
n
X n i
i
x x x x
n n


     
標 準 差 2 2 2
1 1
1 1
( ) ( )
n n
X i X i X
i i
x x n
n n
  
 
 
    
 
 
5. 二 維 數 據 1 1 2 2( , ):( , ),( , ), ,( , )n nX Y x y x y x y ， 相 關 係 數 1
,
( )( )
n
i X i Y
i
X Y
X Y
x y
r
n
 
 

 


迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式 , ( )Y
Y X Y X
X
y r x

 

  
6. 參 考 數 值 ： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 , 3.142 
7. 對 數 值 ： 10log 2 0.3010 , 10log 3 0.4771 , 10log 5 0.6990 , 10log 7 0.8451
8. 角 錐 體 積 =
1
3
底 面 積  高