1. Горбатова Ю.В.
http://www.slideshare.net/JuliaGorbatova

2. ПРОЦЕДУРА
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО
ПЕРЕХОДА ОТ ОДНИХ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ,
ПРИНЯТЫХ В КАЧЕСТВЕ
ИСХОДНЫХ, К ДРУГИМ
ВЫСКАЗЫВАНИЯМ

3.  Каждый шаг этого процесса
осуществляется на
основании некоторого
правила вывода.
 Последнее высказывание,
полученное в данном
процессе, называется
заключением.

4. Дедуктивное
рассуждение, в котором
между высказываниями,
принятыми в качестве
исходных, и заключением
существует отношение
логического следования.
Правдоподобное

5. Содержательные
Дедукция используется лишь для
некоторых отдельных
положений теории
Посылки не обязаны быть
истинными, а потому любое
предложение, которое
дедуцируется с их
использованием, считается
условно истинным
Теория эволюции Дарвина
Школьная арифметика
Классическая логика
высказываний

6. Формализованные
(аксиоматизированные)
содержание взаимосвязано и
дедуктивно выводится из
некоторых первоначально
принятых исходных
утверждений – аксиом
Небесная механика Ньютона
Теория относительности
Эйнштейна
Арифметика Пеано
Геометрия Евклида

7. Специально не
выделяются средства
дедукции, что приводит к:
o пропуску некоторых
дедуктивных шагов
o недостаточно четкой
фиксации необходимого
для получения других
положений числа аксиом

8. Формальные
оформляется
(структурируется) не
только само знание, но
и средства его
получения
Теория множеств
Формальная
арифметика

9.  Исчисление – это формальная теория:
o содержание которой фиксируется на
специально созданном символическом языке
o все допустимые преобразования строятся как
преобразования одних последовательностей
символов в другие последовательности
 Логическое исчисление – исчисление,
утверждениями которого являются
логические законы.

10. Логическое исчисление S является
адекватной формализацией
содержательной логической теории Т, е.т.е.:
 Класс теорем S совпадает с классом
формул, истинных в Т
или
 Из формул А1, А2, …, Аn в исчислении S
выводима формула В т.т.т., когда
А1, А2, …, Аn ⊨В в теории Т

11. Полнота
 Синтактика НЕ
интересуется значениями
формул
 Синтактика интересуется
правилами вывода
 Все, что является
общезначимой формулой,
может быть доказано в
качестве теоремы
Непротиворечивость
 Семантика НЕ
интересуется правилами
вывода
 Семантика интересуется
значениями формул
 Всякая теорема является
общезначимой формулой

12. Субординатный вывод

13. •Содержит только правила вывода и не
содержит аксиом
•Понятие теоремы и выводимости –
синтаксические аналоги семантических
понятий закона и логического
следования
•Любой закон КЛВ здесь можно
получить в качестве теоремы
•В случае наличия логического
следования вида A1, A2, …, An ⊨ B
можно обосновать выводимость
выражения B из выражений A1, A2, …, An

14. По действию:
 Введения связки
(обозначаются индексом в)
 Исключения связки
(обозначаются индексом и)
По количеству посылок:
 Однопосылочные
 Двухпосылочные

15. В А , В
АВ
В _А__ , _В__
АВ АВ
В __В__
СВ
 В В ,  В,
С
И АВ , АВ
А В
И АВ,  А
В
И АВ , А
В
И   А
А

16. В А , В
АВ
В _А__ , _В__
АВ АВ
В __В__
СВ
 В В ,  В,
С
И АВ , АВ
А В
И АВ,  А
В
И АВ , А
В
И   А
А

17. В __В__
СВ
 В В ,  В,
С
С –
последнее
допущение
вывода

18. Вывод
Непустая конечная
последовательность формул
С1, С2, …, Сk,
удовлетворяющая условиям:
o Каждая Сi есть:
• Либо посылка
• Либо допущение
• Либо получена из
предыдущих формул по
одному из правил вывода
o Если в выводе применялось
правило В или В, то все
формулы, начиная с
последнего допущения
вплоть до результата
применения правила,
исключаются из дальнейших
шагов построения вывода.
Доказательство
Вывод из пустого
множества
неисключенных
допущений
Последняя формула в
доказательстве
называется теоремой
⊢В

19. 1. p ⊃q
2. q⊃r
3. p
4. q И : 1,3
5. r И : 2, 4
Цель: r

20. 1. p ⊃q
2. q⊃r
3. p
4. q И : 1,3
5. r И : 2, 4
Цель: r

21. методы, позволяющие упростить
выбор допущений

22. ⊢А ⊃В
+1. А цель: В
Когда цель достигнута,
применяется правило ⊃в
Вывод, в котором используется только 1-ая
эвристика, называется прямым.

23. +1. pq цель: q(pr)
2. p &и: 1
3. q &и: 1
4. pr в: 2
5. q(pr) &в: 3, 4
6. (pq)  (q(pr)) ⊃в: 5

24. +1. pq цель: q(pr)
2. p &и: 1
3. q &и: 1
4. pr в: 2
5. q(pr) &в: 3, 4
6. (pq)  (q(pr)) ⊃в: 5

25. ⊢А
+1. ¬А цель: противоречие (⊥)
Когда цель достигнута,
применяется правило ¬в
Вывод, в котором используется не более чем
2-ая эвристика, называется косвенным, или от
противного.

26. +1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1
+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1
+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2
4. pr ¬и: 3
5. p &и: 4
6. r &и: 4
7. q ⊃и: 1, 5
8. ¬q ⊃и: 2, 6
9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8

27. +1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1
+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1
+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2
4. pr ¬и: 3
5. p &и: 4
6. r &и: 4
7. q ⊃и: 1, 5
8. ¬q ⊃и: 2, 6
9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8
10. ¬(pr) ¬и: 9

28. +1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1
+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1
+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2
4. pr ¬и: 3
5. p &и: 4
6. r &и: 4
7. q ⊃и: 1, 5
8. ¬q ⊃и: 2, 6
9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8
10. ¬(pr) ¬и: 9
11. (r¬q)¬(pr) ⊃в: 10

29. +1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1
+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1
+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2
4. pr ¬и: 3
5. p &и: 4
6. r &и: 4
7. q ⊃и: 1, 5
8. ¬q ⊃и: 2, 6
9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8
10. ¬(pr) ¬и: 9
11. (r¬q)¬(pr) ⊃в: 10

30. +1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1
+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1
+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2
4. pr ¬и: 3
5. p &и: 4
6. r &и: 4
7. q ⊃и: 1, 5
8. ¬q ⊃и: 2, 6
9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8
10. ¬(pr) ¬и: 9
11. (r¬q)¬(pr) ⊃в: 10
12. (pq)  (r¬q)  ¬(pr) ⊃в: 11

31. +1. p⊃q цель: (r¬q)¬(pr) Э1
+2. r¬q цель: ¬(pr) Э1
+3. ¬¬(pr) цель: ⊥ Э2
4. pr ¬и: 3
5. p &и: 4
6. r &и: 4
7. q ⊃и: 1, 5
8. ¬q ⊃и: 2, 6
9. ¬¬¬(pr) ¬в: 7, 8
10. ¬(pr) ¬и: 9
11. (r¬q)¬(pr) ⊃в: 10
12. (pq)  (r¬q)  ¬(pr) ⊃в: 11

32. ⊢АvB
+1. ¬А (¬B) цель: ⊥
⊢ ¬(АvB)
+1. А (B) цель: ⊥
Когда цель достигнута,
применяется правило ¬в

33. +1. (pр) цель: ⊥ Э2
+2. p цель: ⊥ Э3
3. pр в: 2
4. р  в: 1,3

34. +1. (pр) цель: ⊥ Э2
+2. p цель: ⊥ Э3
3. pр в: 2
4. р  в: 1, 3

35. +1. (pр) цель: ⊥ Э2
+2. p цель: ⊥ Э3
3. pр в: 2
4. р  в: 1, 3
5. pр в: 4
6.  (pр)  в: 1, 5

36. +1. (pр) цель: ⊥ Э2
+2. p цель: ⊥ Э3
3. pр в: 2
4. р  в: 1, 3
5. pр в: 2
6.  (pр)  в: 1, 5

37. +1. (pр) цель: ⊥ Э2
+2. p цель: ⊥ Э3
3. pр в: 2
4. р  в: 1, 3
5. pр в: 2
6.  (pр)  в: 1, 5
7. (pр)  и: 6

38. Исчиcление высказываний (правила
введения и исключения связок)
+
Правила для кванторов
=
Исчисление предикатов

39.  А(/β) – результат правильной подстановки
в формулу А вместо переменной 
переменной β
 Подстановка считается правильной, если
o β замещает  везде, где  не связана никаким
квантором
o ни одна переменная не оказалась связанной в
тех местах, где она появилась в результате
подстановки

40.  P(x) & zR(z,x)
P(y) & zR(z,x)
Неправильно! (неполная подстановка)
Правильно: P(y) & zR(z,у)
 xR(x,y)
xR(x,x)
Неправильно! (коллизия переменных)
Правильно: xR(x,z)

41. Введение кванторов
в А(/β)*
А()
в А(/β)
А()
Исключение кванторов
и А()
А(/β)
и А()
А(/β)*
* при этом β абсолютно ограничена, а все остальные
свободные переменные в А ограничены относительно β
Правило
генерализаци
и
Правило
единичного
выбора

42. Сравните:
 х + х = 2х
 х + 3 < 5
 х + у < 5
(х не ограничен)
(х абсолютно ограничен)
(х ограничен
относительно y)

43. Сравните информативность суждений:
 хА(х) (общее) «Все знают Васю»
 А(а) (единичное) «Петя знает Васю»
 хА(х) (частное) «Некто знает Васю»
 От общего к единичному и частному можно
перейти всегда, без ограничений
 Снизу вверх – только на одну ступень, да и то с
ограничением!

44.  Пример:
1. хуR(x,y) все любят кого-то
2. уR(z,y) z любит кого-то
3. R(z,v) z любит v
(v огр, z огр.отн. v)
4. xR(x,v) v любят все
(z огр., v огр.отн z)
5. yxR(y,x) кого-то любят все

45. Если ни одна переменная,
абсолютно ограниченная в
выводе, не встречается свободно
ни в неисключенных посылках, ни
в заключении

46. Если никто никого не боится, то неверно,
что кто-то боится самого себя

48. 