1. ΠΛΗ20
ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ
Μάθηµα 0.1:
Σύνολα
∆ηµήτρης Ψούνης∆ηµήτρης Ψούνης

2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Τι είναι σύνολο
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
1. Τι είναι σύνολο
2. Συµπληρωµατικοί Ορισµοί
3. Σχέσεις Συνόλων
1. Υποσύνολο
2. Γνήσιο Υποσύνολο
4. Πληθάριθµος Συνόλου
5. Πράξεις Συνόλων
1. Ένωση
2. Τοµή
3. ∆ιαφορά
4. Συµπλήρωµα
5. Καρτεσιανό Γινόµενο
6. ∆υναµοσύνολο
Γ.Ασκήσεις

3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Επίπεδο Α
Ορισµός Συνόλου
Συµπληρωµατικοί Ορισµοί
Σχέσεις Συνόλων
Πράξεις Συνόλων
Επίπεδο Β
(-)
Επίπεδο Γ
(-)(-)

4. Β. Θεωρία
1. Τι είναι σύνολο
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
ΣΥΝΟΛΟ είναι οποιαδήποτε συλλογή στοιχείων
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ:
Το σύνολο των ελληνικών φωνηέντων:
Το σύνολο των φυσικών αριθµών από το 1 εώς το 9
Συνήθως τα σύνολα αναπαρίστανται µε κεφαλαία γράµµατα και τα στοιχεία
τους είναι µέσα σε άγκιστρα χωρισµένα µε κόµµατα. Η αναπαράσταση των
},,,,,,{ ωυοιηεα=Α
}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=Β
τους είναι µέσα σε άγκιστρα χωρισµένα µε κόµµατα. Η αναπαράσταση των
στοιχείων τους µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους:
Με ρητή αναπαράσταση των µελών του. Π.χ. Όπως στο ακόλουθο
σύνολο:
Με περιγραφικό τρόπο, χρησιµοποιώντας την | που διαβάζεται «τέτοιο
ώστε»:
}20,18,16,14,12,10{=Γ
}2010|{ ≤≤=Γ xόίxx µεςφυσικαρτιοςναιε

5. Β. Θεωρία
2. Συµπληρωµατικοί ορισµοί
Έχουµε ήδη γνωρίσει κάποια σύνολα αριθµών. Αυτά είναι:
Το σύνολο των φυσικών αριθµών:
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
(Προσοχή ότι συµπεριλαµβάνεται και το 0)
Το σύνολο ακεραίων αριθµών:
Το σύνολο των ρητών αριθµών:
Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R που περιλαµβάνει τους ρητούς
και τους άρρητους αριθµούς
Και βέβαια το περίφηµο κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο που δεν
περιλαµβάνει στοιχεία: {}=∅

6. Β. Θεωρία
2. Συµπληρωµατικοί ορισµοί
Εισάγουµε τώρα έναν συµβολισµό για να απεικονίζουµε ότι ένα στοιχείο
ανήκει ή δεν ανήκει αντίστοιχα σε ένα σύνολο:
Γράφουµε και διαβάζουµε ότι το 5 ανήκει στο σύνολο των
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
N∈5Γράφουµε και διαβάζουµε ότι το 5 ανήκει στο σύνολο των
φυσικών αριθµών
Ενώ γράφουµε και διαβάζουµε ότι το 4.4 δεν ανήκει στο
σύνολο των φυσικών αριθµών
Η σηµαντική πληροφορία για ένα σύνολο είναι ποια στοιχεία περιέχει (και όχι
η σειρά µε την οποία τα περιέχει)
Έτσι τα σύνολα
και
N∈5
N∉4.4
}3,2,1{=A
}2,1,3{=Bκαι
Είναι ίδια (αφού περιέχουν τα ίδια στοιχεία)
Ενώ τα σύνολο είναι λανθασµένη αναπαράσταση
συνόλου, αφού κάθε στοιχείο πρέπει να περιέχεται ακριβώς µία φορά
στο σύνολο.
Συνεπώς το Γ είναι ακριβώς το ίδιο σύνολο µε το σύνολα Α και Β
Και ορίζουµε ότι Α=Β=Γ (τα σύνολα είναι ίσα)
}2,1,3{=B
}3,3,2,2,2,1,1{=Γ

7. Β. Θεωρία
2. Συµπληρωµατικοί ορισµοί
Τα σύνολα λοιπόν είναι συλλογές αντικειµένων. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούν
να περιλαµβάνουν αντικείµενα οποιουδήποτε τύπου. Ας δούµε µερικά
παραδείγµατα:
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
παραδείγµατα:
Ένα σύνολο αριθµών:
Ένα σύνολο συµβολοσειρών:
Ένα σύνολο συναρτήσεων:
,...}13,11,7,5,3,2{=A
},,,{ patjimjohntom=Β
}1)(,1)(,)({ 4 32
++=+===Γ xxxhxxgxxf
Ένα σύνολο συνόλων!
Ένα σύνολο από ετερόκλητα στοιχεία:
}1)(,1)(,)({ ++=+===Γ xxxhxxgxxf
},},5,2{},3,2,1{{ Ν∅=∆
}}5,1{,7,5,,2,14.3,{ tom∅=Ε

8. Β. Θεωρία
3.Σχέσεις Συνόλων
1.Υποσύνολο
Ορίζουµε ότι:
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β (και συµβολίζουµε ) ανBA ⊆
Παραδείγµατα:
Ισχύει ότι:
Ισχύει ότι:
Ισχύει ότι:
∆εν ισχύει ότι:
∆εν ισχύει ότι:
Το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β (και συµβολίζουµε ) αν
κάθε στοιχείο που ανήκει στο σύνολο Α ανήκει και στο συνολο Β
BA ⊆
},,,{},,{ dcbacba ⊆
N⊆}3,5,1{
}3,2,1{}3,2,1{ ⊆
}3,2,1{}4,3,2,1{ ⊆
}3,1{}2,1{ ⊆∆εν ισχύει ότι:
Τυπικά ο ορισµός της σχέσης υποσυνόλου είναι ο εξής:
Ενω µε χρήση του υποσυνόλου ορίζουµε τυπικά την ισότητα συνόλων:
}3,1{}2,1{ ⊆
BxύAxBA ∈∈∀⊆ καιειισχανν
ABBABA ⊆⊆= καιανν

9. Β. Θεωρία
3.Σχέσεις Συνόλων
2.Γνήσιο Υποσύνολο
Ορίζουµε ότι:
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β (και συµβολίζουµε )BA ⊂
Παραδείγµατα:
Ισχύει ότι:
Ισχύει ότι:
∆ΕΝ Ισχύει ότι:
∆εν ισχύει ότι:
∆εν ισχύει ότι:
Το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β (και συµβολίζουµε )
αν το Α είναι υποσύνολο του Β, αλλά τα Α και Β δεν είναι ίσα.
BA ⊂
},,,{},,{ dcbacba ⊂
N⊂}3,5,1{
}3,2,1{}3,2,1{ ⊂
}3,2,1{}4,3,2,1{ ⊂
}3,1{}2,1{ ⊂∆εν ισχύει ότι:
Τυπικά ο ορισµός της σχέσης υποσυνόλου είναι ο εξής:
}3,1{}2,1{ ⊂
Β∈Α∉∃⊆⊂ xxBABA καικαιανν

10. Β. Θεωρία
4. Πληθάριθµος Συνόλου
Ήδη έχουµε δει σύνολα που περιέχουν πεπερασµένο πλήθος στοιχείων,
όπως π.χ. το
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
=Β
Το οποίο έχει 4 στοιχεία. Το πλήθος των στοιχείων του συνόλου
ονοµάζεται πληθάριθµος ή πληθικός αριθµός του συνόλου και
συµβολίζεται µε |Β| (το σύνολο µέσα σε δύο κάθετες γραµµές).
Γράφουµε:
Επειδή το παραπάνω σύνολο έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, θα λέµε
ότι είναι ένα πεπερασµένο σύνολο.
Αντίθετα µε τα σύνολα που περιέχουν άπειρο πλήθος στοιχείων τα
},,,{ patjimjohntom=Β
4|| =Β
Αντίθετα µε τα σύνολα που περιέχουν άπειρο πλήθος στοιχείων τα
οποία ονοµάζονται άπειρα σύνολα ή απειροσύνολα, όπως π.χ. τα
σύνολα αριθµών N,Z,Q,R
Με χρήση αυτών των συµβολισµών έχουµε:
|||| BAόBA ≤⊆Α τετν
|||| BAόBA <⊂Α τετν

11. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
Ορίζουµε τώρα πράξεις επί των συνόλων. Συγκεκριµένα πάνω σε δύο
σύνολα Α και Β:
Η ένωση που δίνει το σύνολο που περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
BA∪Η ένωση που δίνει το σύνολο που περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία
των Α και Β
Η τοµή που δίνει το σύνολο που περιλαµβάνει τα κοινά στοιχεία
των Α και Β
Το συµπλήρωµα του Α που δίνει τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α
Η διαφορά που δίνει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και δεν
ανήκουν στο Β
Και πιο περίπλοκες πράξεις που δίνουν νέα σύνολα που είναι σηµαντικά
BA∪
BA∩
BA −
Και πιο περίπλοκες πράξεις που δίνουν νέα σύνολα που είναι σηµαντικά
στην συνέχεια του µαθήµατος:
Το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνόλων Α και Β:
Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου
AxB
)(AP

12. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
1.Ένωση Συνόλων
Ορίζουµε ότι:
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
Με διάγραµµα Venn, το παραπάνω σύνολο απεικονίζεται:
Η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
}|{ BxήAxxBA ∈∈=∪
A B
Για παράδειγµα αν Α={0,1,2,3} και Β={2,3,4,5} τότε
}5,4,3,2,1,0{=∪ BA

13. Ορίζουµε ότι:
Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
2.Τοµή Συνόλων
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Η τοµή δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
Με διάγραµµα Venn, το παραπάνω σύνολο απεικονίζεται:
Η τοµή δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
}|{ BxAxxBA ∈∈=∩ και
A B
Για παράδειγµα αν Α={0,1,2,3} και Β={2,3,4,5} τότε
}3,2{=∩ BA

14. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
2.Τοµή Συνόλων
Παρατηρήστε ότι δύο σύνολα:
Είτε θα περιέχουν κοινά στοιχεία, άρα η τοµή τους δεν θα είναι το κενό
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Είτε θα περιέχουν κοινά στοιχεία, άρα η τοµή τους δεν θα είναι το κενό
σύνολο.
δηλ. ισχύει: άρα και
Είτε δεν θα περιέχουν κοινά στοιχεία, άρα η τοµή τους θα είναι το κενό
∅≠∩ BA 0|| ≠∩ BA
A B
Είτε δεν θα περιέχουν κοινά στοιχεία, άρα η τοµή τους θα είναι το κενό
σύνολο
δηλ. ισχύει: άρα και∅=∩ BA 0|| =∩ BA
A
B
Στην περίπτωση αυτή θα λέγονται:
«ξένα µεταξύ τους σύνολα»

15. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
2.Τοµή Συνόλων (Η αρχή εγκλεισµού – αποκλεισµού)
Η αρχή εγκλεισµού – αποκλεισµού είναι ένας µαθηµατικός τύπος που
σχετίζει τους πληθάριθµους της ένωσης και της τοµής δύο συνόλων.
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
σχετίζει τους πληθάριθµους της ένωσης και της τοµής δύο συνόλων.
Συγκεκριµένα ισχύει:
Η οποία γενικεύεται και για τρία σύνολα ως εξής:
|||||||| BABABA ∩−+=∪
|||||||| CBACBA ++=∪∪
||
||||||
||||||||
CBA
CBCABA
CBACBA
∩∩+
∩−∩−∩−
++=∪∪

16. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
3.Συµπλήρωµα Συνόλου
Ορίζουµε ότι:
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το συµπλήρωµα ενός συνόλου Α είναι το σύνολο:
Με διάγραµµα Venn, το παραπάνω σύνολο απεικονίζεται:
Το συµπλήρωµα ενός συνόλου Α είναι το σύνολο:
}|{ AxxA ∉=
A
U
Για παράδειγµα αν Α={0,1,2,3} και U={0,1,2,3,4,5,6} τότε
}6,5,4{=A

17. Ορίζουµε ότι:
Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
4.∆ιαφορά Συνόλων
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Η διαφορά δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
Με διάγραµµα Venn, το παραπάνω σύνολο απεικονίζεται:
Η διαφορά δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
}|{ BxAxxBABA ∉∈==− και
A B
Για παράδειγµα αν Α={0,1,2,3} και Β={2,3,4,5} τότε
}1,0{=− BA {4,5}B A− =

18. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
5. Καρτεσιανό Γινόµενο
Ορίζουµε ότι:
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
Προσοχή ότι µε τις παρενθέσεις στην παράσταση (x,y) εννοούµε το
διατεταγµένο ζεύγος µε πρώτο στοιχείο το x και δεύτερο στοιχείο το y, άρα η
σειρά απεικόνισης των µελών του ζεύγους έχει σηµασία (σε αντίθεση µε το
συµβολισµό µε τα αγκιστρα που απεικονίζει ότι η σειρά απεικόνισης των
µελών δεν έχει σηµασία)
Το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο:
}|),{( ByAxyxAxB ∈∈= και
µελών δεν έχει σηµασία)
Για παράδειγµα αν Α={1,2} και Β={a,b,c} τότε:
Ειδικά για τον πληθάριθµο του καρτεσιανού γινοµένου ισχύει:
)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(
)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(
ccbbaaBxA
cbacbaAxB
=
=
||*|||||| BABxAAxB ==

19. Β. Θεωρία
5. Πράξεις Συνόλων
6. ∆υναµοσύνολο
Ορίζουµε ότι:
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου Α (συµβολίζεται µε 2Α ή P(A) ) είναι το σύνολο:
Αν Α={1,2} τότε το δυναµοσύνολο του Α είναι το σύνολο:
Ενώ αν Α={1,2,3} τότε το δυναµοσύνολό του είναι το σύνολο:
Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου Α (συµβολίζεται µε 2Α ή P(A) ) είναι το σύνολο:
Αποτελεί δηλαδή το σύνολο που περιέχει όλα τα υποσύνολα του Α
}|{)( Α= τουνολουποσναιε ύίxxAP
}}2,1{},2{},1{,{)( ∅=AP
Ενώ αν Α={1,2,3} τότε το δυναµοσύνολό του είναι το σύνολο:
Θα αποδείξουµε σε επόµενο µάθηµα για τον πληθικό αριθµό ενός συνόλου:
}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)( ∅=AP
||
2|)(| Α
=AP

20. Γ. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις που αφορούν σύνολα ισχύουν ή δεν
ισχύουν:
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
∅∉∅
⊂∅
⊂
⊆
∈
Ν∈
.6
}2,1{.5
}2,1{}2,1{.4
}2,1{}2,1{.3
}2,1{}2,1{.2
5.1
RQZN
RQZN
⊆⊆⊆
⊂⊂⊂
∅∉∅
∅∉∅
.9
.8
}{.7
.6

21. Γ. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
Κατασκευάστε διαγράµµατα Venn που να απεικονίζουν τα σύνολα:
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
.1 BA∩
)()(.4
)()(.3
)(.2
.1
BABA
ABBA
CBA
BA
∩∪
−∪−
∪∩
∩

22. Γ. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 3
Κατασκευάστε τα δυναµοσύνολα των συνόλων:
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
}4,3,2,1{.1 =A
}}2,1{,1,{.2
}4,3,2,1{.1
∅=
=
B
A

23. Γ. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 4
Από ένα δείγµα 150 φοιτητών ενός πανεπιστηµιού οι 50 έχουν δηλώσει το
µάθηµα των διακριτών µαθηµατικών, οι 80 έχουν δηλώσει το µάθηµα της
εισαγωγής στην πληροφορική, ενώ 40 δεν εχουν δηλώσει κανένα από τα
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 0.1: Σύνολα
εισαγωγής στην πληροφορική, ενώ 40 δεν εχουν δηλώσει κανένα από τα
δύο µαθήµατα. Να βρεθεί πόσοι φοιτητές έχουν δηλώσει και το µάθηµα των
διακριτών µαθηµατικών και της εισαγωγής στην πληροφορική.