本文件讨论了电机工程学中数学的重要性，强调了学生在学习过程中应具备扎实的基本功和竞争力。内容涵盖微积分、线性代数、微分方程等课程，并阐述了每门课程的目标和应用。最终，文档还提到工程师需以数学和程序创新应对实际问题。

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2011, June 22
賴俊儒
cjlai@ntu.edu.tw
國家理論科學研究中心 研究助理
台大電機 109 屆 雙主修數學
台大電機中的數學

2. 台大電機課綱中的數學課
微積分
工程數㈻ - 線性㈹數
工程數㈻ - 複變
工程數㈻ - 離散
工程數㈻ - 微分方程
機率與統計
高等微積分
㈹數導論
為什麼要學這些 ?
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3. 如果 只有乖乖把畢業學分修完…你
 那你會成為有如過江之鯽、沒
有競爭力的 ”耗材” 工程師。
 競爭力來自 :
- 洞察力
- 基本功
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4. 何謂基本功 ? 以 向電磁波橫 (TEM) 為例 :
 電磁學課本教你 :
- 解偏微分方程
- 得
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5. 何謂基本功 ? 以 向電磁波橫 (TEM) 為例 :
 普通人 :
- 背誦解
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6. 何謂基本功 ? 以 向電磁波橫 (TEM) 為例 :
 工程師 :
- 背誦解、瞭解意義並能用
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正向波 負向波

7. 需要創新時 :
 一般工程師 :
- 「啊 , 我只會我學過的 , 改條件我就不會了」
 有競爭力的工程師 :
- 「哈哈 , 改條件我也會導 . 」
- 「我還知道改什麼條件合理 , 改什麼條件可行 . 」
- … etc
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8. 何謂基本功 ? 以 向電磁波橫 (TEM) 為例 :
 基本功 ( 此時 ):
- 給一個能解的偏微分方程 , 可以算出解的形式 .
 目的 與 手段 相輔相成
- 學電磁學要知道微分方程的完整理論及技術
- 學微分方程要知道定義定理的鋪陳是為了電磁學的應用
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大綱
工程師與數學
數學大地圖
高等數學導論
電機所組別中的數學

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除非 只想要賣肝賺錢…你
“ 優秀” 工程師以 數學 和 程式 創造新世界
高等數學
- 從 實數 到 複數
- 從 時域 到 頻域
- 從 矩陣 到 線性
- 從 機率 到 測度

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從實數到複數
尤拉公式 (Euler’s Formula)
1.引入 相位分析
2.處理 週期信號

12. 相量 (phasor) 與相位 (phase)
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從時域到頻域
拉普拉斯轉換 (Laplace Transform)
1.引入 調和分析
2.引入 對偶

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從矩陣到線性
線性映射、對角化與喬丹形式
座標系
向量空間

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常見的誤解
1. 線性代數是矩陣的學問
2. 對角化用來算…呃 , 大概是矩陣的 n 次方吧
3. 喬丹形式…那是什麼 ? 有用嗎 ?
 No! 矩陣只是給定座標系而已 , 重點在線性轉換
對角化可以讓你不被座標迷惑 , 喬丹形式則清清楚
楚讓你看清發生了什麼事 .

16. 從矩陣到線性
固有值 / 向量 (eigenvalue/vector)
( 向量 v, 純量 c) 稱 線性轉換 T 的固有值 / 向量
即
T(v) = cv
普通的課本因計算方便 , 會教你 :
1. 算出所有 固有值
2. 算每個 固有 對應的 固有向量值
3. 看 幾何重數 與 代數重數 各多少來判斷可否對角化
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17. 其實恰好相反
本質上重要的是 固有向量 , 也就是 :
“ 些向量哪 v 在作用之後方向不變 , 長度變 c 倍”
因此 線性 讓我們知道這轉換 T 的整個樣貌
把這些向量當作 基底 , 寫成矩陣便是 對角化
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18. 圖示
看這個線性轉換
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19. 圖示
可以被這兩個向量所刻劃
D = 為這個轉換的本質
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20. 圖示
在座標轉換下 , 原本的矩陣 A 可能亂七八糟
但本質不會變 , 就是一個方向拉長三倍
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21. 固有臉 (Eigenface)
為第一個成功的人臉辨識
技術 , 從 可能人臉 的向
量空間中擷取固有向量 ,
便稱 固有臉 .
任何人臉都近乎由 平均
人臉 和某些固有臉的加
權所合成 .
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從機率到測度
什麼是機率 ?
- 國中生 : 事情發生的可能性啊 ~
- 高中生 : 是… 事件中的 樣本點 個數
樣本空間 中 樣本點 總數
- 大學生 : 機率密度函數 的積分
這些都講不清楚

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機率學家表示 :
1. 講機率 , 是要說
「我們多相信事件 A 在樣本空間 S 中會發生」
2. 機率論的三位一體 , 就是 機率空間 (S, F, P)
- 樣本空間 S 包含 所有 結果
- 事件集合 F 中的每個 事件 是 S 的子集
- 機率測度 P 是個滿足 P(S) =1 的 測度
(measure)

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機率學家表示 :
 即 , 測度 為一函數 P: F → R 滿足 :
1. 對所有事件 E 都有 P(E) ≧ 0
2. P(Ø) = 0
3. P 可數疊加 , 即對可數集 {Ei} 來說 , 有
P(∪Ei) = Σ P(Ei)
 在此背景下 , 事件 E 發生的機率為

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大綱
工程師與數學
數學大地圖
高等數學導論
電機所組別中的數學

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高等數學粗分成 代數 與 分析
線性代數 微積分

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核心課程分別為 代數導論 和 高等微積分
線性代數 微積分
高等微積分代數導論

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和電機有關的大學部數學課
線性代數 微積分
高等微積分代數導論
偏微分方程
機率導論
複變函數
大學部
常微分方程

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離散數學 是圖論、組合和邏輯中的某些主題
線性代數 微積分
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
機率導論
複變函數
圖論組合學
研究所
大學部
代數導論
離散數學

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通訊原理 的理論基礎是 隨機過程
線性代數 微積分
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
實分析
機率導論
複變函數
圖論
隨機過程
組合學
研究所
大學部
代數導論

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某些尖端的研究需要 代數 與 拓樸 的觀念
線性代數 微積分
代數
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
實分析
機率導論
複變函數
圖論
隨機過程
拓樸
代數拓樸
組合學
研究所
大學部
代數導論

32. 拓樸 ???
有一天我同學 (Now
@ UMich) 向我求救 ,
他需要報告一篇充滿
數學的文章
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33. 拓樸 ???
目標 :
判斷 MRI 掃描的大腦資
料是不是同一顆
方法 :
將大腦視為 黎曼流形
(Riemannian Manifold) 並套用
梯度最佳化演算法
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34. 黎曼流形 (Riemannian Manifold)
 (M,g) 稱為 黎曼流形 即 :
1. M 為 可微流形
2. M 上每一點的 切空間 都配有內積 g,
 M 稱為 流形 即
1. M 為 T2 拓樸空間
2. M 中任一點 都有 鄰域 和歐式空間中的開盤同胚
 … 相當難 , 換句話說 , 也相當有意思 !
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35. Lai, CJ  Page 35
大綱
工程師與數學
數學大地圖
高等數學導論
電機所組別中的數學

36. Lai, CJ  Page 36
微積分
課程大綱 :
- 微積分基本定理的應用
- 練習積分技巧
精神 :
- 熟悉論證的模式

37. Lai, CJ  Page 37
線性代數
課程大綱 :
- 計算矩陣固有值 (eigenvalue)
- 練習對角化及尋找喬丹形式
精神 :
- 不要被矩陣的基底所 限侷 , 以線性轉換來理解

38. Lai, CJ  Page 38
高等微積分
課程大綱 :
- 微積分基本定理的證明
- 微分、積分與極限能交換的條件
- 連續函數的大定理
精神 :
- 熟悉較有巧思的構造及證明

39. Lai, CJ  Page 39
代數導論
課程大綱 :
- 有限群的分類技巧
- 有限生成 PID 模基本定理 ( 喬丹形式存在 )
- 一元五次方程式不保證根式解的理論
精神 :
- 熟悉抽象定義後所隱藏的直觀
( 和電機最無關 , 通常只有作密碼學的需要 )

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微分方程
課程大綱 :
- 大量計算各式各樣的微分方程
精神 :
- 大量計算各式各樣的微分方程…

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機率與統計
課程大綱 :
- 高中機率
- 隨機變數
- 機率密度函數
精神 :
- 將直覺的機率以積分形式表達 , 以承接機率測度

42. Lai, CJ  Page 42
複變函數
課程大綱 :
- 解析函數與柯西定理
- 留數 (Residue) 定理
- 保角映射與史瓦茲引理
精神 :
- 能用留數定理計算複雜的積分
- 能用柯西定理理解轉移函數

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大綱
工程師與數學
數學大地圖
高等數學導論
電機所組別中的數學

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自動控制組 :
線性代數 微積分
代數
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
實分析
機率導論
複變函數
圖論
隨機過程
拓樸
代數拓樸
組合學
研究所
大學部
代數導論

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電力組 :
線性代數 微積分
代數
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
實分析
機率導論
複變函數
圖論
隨機過程
拓樸
代數拓樸
組合學
研究所
大學部
代數導論

46. Lai, CJ  Page 46
計算機組 :
線性代數 微積分
代數
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
實分析
機率導論
複變函數
圖論
隨機過程
拓樸
代數拓樸
組合學
研究所
大學部
代數導論

47. Lai, CJ  Page 47
通訊與訊號處理組 :
線性代數 微積分
代數
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
實分析
機率導論
複變函數
圖論
隨機過程
拓樸
代數拓樸
組合學
研究所
大學部
代數導論

48. Lai, CJ  Page 48
光電組 :
線性代數 微積分
代數
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
實分析
機率導論
複變函數
圖論
隨機過程
拓樸
代數拓樸
組合學
研究所
大學部
代數導論

49. Lai, CJ  Page 49
電波組 :
線性代數 微積分
代數
高等微積分 常微分方程
偏微分方程
實分析
機率導論
複變函數
圖論
隨機過程
拓樸
代數拓樸
組合學
研究所
大學部
代數導論

50. Q & A
1. 我念電機系的課 , 裡面的數學符號 / 推導看不懂怎麼辦 ?
2. 拿到一本數學課本 , 我要怎麼讀他 ?
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