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Uploaded by鍾誠 陳鍾誠
用十分鐘快速掌握《數學的整體結構》
本文探讨了数学的整体结构，强调数学的系统性对学者的重要性。文中指出，数学的知识应从集合、逻辑、函数、关系和证明等基本概念出发，进一步分为分析、代数和几何等领域。通过梳理和分类不同数学结构，如群、体、环等，帮助读者建立更清晰的数学框架。
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用十分鐘快速掌握《數學的整體結構》
- 1. 用十分鐘快速掌握 《數學的整體結構》 陳鍾誠 2016 年 11月 8 日 程式人《十分鐘系列》程式人《十分鐘系列》 本文衍生自維基百科
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- 6. 像是 ● 群、體、環、模 ● 向量、張量、場 ●拓樸學、分析學、希爾伯特空間
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- 8. 因為 ● 腦海裡搜尋不到這些詞的意義 … ●就算曾經學過，也沒真正把定義搞 清楚 ...
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- 30. 更細的架構如下 集合、邏輯、函數、關係、證明 分析代數 幾何 數學基礎 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形+ 拓樸學 ) 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
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- 32. 整個數學體系 ● 是建立在《集合》上的一個《邏輯系統》 ● 其主要的研究對象通常可以表示為《函數》或 《關係》 ●這些體系必須建構在嚴格的《證明》之上！ 集合、邏輯、函數、關係、證明 數學基礎
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- 37. 幾何學 ● 則是研究《空間》的結構，包含： –直的歐氏空間 –彎的曲面空間 ( 包含可微分的黎曼空間) 幾何 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形 + 拓樸學 )
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- 39. 於是數學的整體的框架就浮現了 集合、邏輯、函數、關係、證明 分析代數 幾何 數學基礎 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形+ 拓樸學 ) 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
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- 43. 加減乘除 ● 通常會運作在《數》的上面！ ● 像是：整數N 、有理數 Q 、實數 R 、 複數 C 等等 ...
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- 46. 像是實數的加法、就具有 ● 封閉性 ： a+b也是實數 ● 結合性 ： (a+b)+c=a+(b+c) ● 單位元素： a+0 = 0+a = a ● 反元素 ： a+(-a) = (-a)+a = 0 ● 交換性 ： a+b = b+a
- 47. 這種單一運算的特性 ● 會形成《群論》中的那些結構，像是： – 群、交換群、半群、么半群 –原群、擬群、么擬群 – 李群、廣群、拓樸群、 ...
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- 49. 假如我們把群的概念數學化 ● 就可以用一個集合 S加上一個運 算。表示 ● 也就是 G = (S, 。 )
- 50. 像是具有下列四項特性者稱為 《群 Group 》 ●封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a
- 51. 然後只有前兩項者稱為 SemiGroup ( 半群) ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a
- 52. 有《單位元素》的半群稱為 Monoid ( 么半群) ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a
- 53. 四者均有者當然還是 Group ( 群) ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a
- 54. 再加上《交換律》者稱為 Abelian Group (交換群，阿貝爾群 ) ● 封閉性： (a 。 b) in S ● 結合性： (a 。 b) 。 c=a 。 (b 。 c) ● 單位元素： a 。 e = e 。 a = a ● 反元素： a 。 a-1 = a-1 。 a = a ● 交換性： a 。 b = b 。 a
- 55. 現在、我們已經瞭解了 ● 群論的基本分類了！ – 群：Group – 半群： Semi Group – 么半群： Monoid – 交換群： Abelian Group
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- 62. 而且加法和乘法 ● 各自形成一個《交換群》 ● 於是因為反元素存在 –就可以導出《減法和除法》 ● 這種結構我們就稱為《體》
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- 64. 《實數的加法》形成《交換群》 ● 封閉性 ： a+b也是實數 ● 結合性 ： (a+b)+c=a+(b+c) ● 單位元素： a+0 = 0+a = a ● 反元素 ： a+(-a) = (-a)+a = 0 ● 交換性 ： a+b = b+a
- 65. 《實數的乘法》也形成《交換群》 ● 封閉性 ： a*b也是實數 ● 結合性 ： (a*b)*c=a*(b*c) ● 單位元素： a*1 = 1*a = a ● 反元素 ： a*(1/a) = (1/a)*a = 1 ● 交換性 ： a*b = b*a 注意：乘法必須排除 0 之後，才有反元素，形成交換群
- 66. 而且實數加法和乘法之間 ● 滿足分配律： ● 這種具有《一個集合+ 兩個交換群》的結 構，就稱為《體 Field 》 a*(b+c) = a*b+a*c (b+c)*a = b*a+c*a
- 67. 體的數學條件如下 ● 我們寫成《 R,+,*》 – 其中《 R,+ 》是個交換群 – 而《 R-0,* 》也是交換群 – 而且 + 對 * 滿足分配律 a*(b+c) = a*b+a*c (b+c)*a = b*a+c*a 必須注意的是乘法要排除 0 之後才滿足交換群的條件
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- 69. 除了《實數體》之外 ● 《複數 C》搭配《 +,* 》也可以形成 《複數體 (C,+,*) 》！ ● 《有理數 Q 》搭配《 +,* 》也可以形成 《有理數 (Q,+,*) 》！
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- 72. 環的乘法運算 ● 也就是像 (整數 , 乘法 ) 這種結構 ● 形成《么半群》，而非《群》
- 73. 舉例而言 ● 整數環 (Z,+, *) 就是一種環結構 ● 這是因為因為乘法反元素 1/a 可能 不是整數，不屬於 Z 的緣故！
- 74. 接著、在線性代數裏 ● 我們會看到一種《具有兩個集合和兩 個運算的結構》稱為《模 Module》 ● 《模》可以寫成《 R,M,+,* 》
- 75. 模《 R,M,+,* 》的定義如下 ● R是一個環， M 是個交換群，而且滿足 – r*(x+y)=r*x+r*y – (r+s)*x=r*x+s*x – (r*s)*x = r*(s*x) – 1*x = x 以上的 (r,s 是 R 的成員 ), (x,y 是 M 的成員 )
- 76. 其實說穿了 ● 《模》只是把《常量 ,向量 , 加法、乘 法》結構給抽象化了！ ● 《 R,M,+,* 》中 R 為常量， M 為向量
- 77. 接著數學家們再繼續擴充 ● 把《矩陣概念也抽象化》，在雙線性映射 A× A →A 的領域裏加入下列法則： – 右結合性： (x+y)·z = x·z+y·z – 左結合性： z·(x+y) = z·x+z·y – 常相容性： (ax) · (by) = (ab) (x · y) ● 這種結構就稱為《代數 Algebra 》
- 78. 由於《線性代數》 ● 符合上面的 Algebra結構 – 其中的雙線性映射就是矩陣 所以才會稱為《線性代數》
- 79. 於是你差不多 ● 看完主要的代數結構了 ● 只差《偏序》的格狀架 構Lattice 沒提到而已
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- 83. 回顧一下整體結構 集合、邏輯、函數、關係、證明 分析代數 幾何 數學基礎 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形+ 拓樸學 ) 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
- 84. 還有我們已經介紹的 《代數學與群體環等結構》 集合、邏輯、函數、關係、證明 分析代數 幾何 數學基礎 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形+ 拓樸學 ) 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
- 85. 接著讓我們將焦點轉到《分析學》 集合、邏輯、函數、關係、證明 分析代數 幾何 數學基礎 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 黎曼幾何 ( 流形+ 拓樸學 ) 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
- 86. 分析學研究的主要對象 ● 是函數 f(x,y,…) ●特別是那些《連續》 且《可微分》的函數！ 分析 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
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- 88. 《微分》和《積分》 ● 兩者互為反運算，也就是 – f積分後再微分 = f ● 這就是《微積分基本定理》！
- 89. 所以 ● 《微分》和《積分》的關係，就和 – 《加法》與《減法》 –《乘法》與《除法》 等運算是非常類似的！
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- 93. 甚至對於向量 ● 也有向量的運算與積分，像是： – 內積： –外積： – 通量： – 環量：
- 94. 甚至可以衍生出更高階的運算 ● 像是： – 梯度： –散度： – 旋度： 等等 ...
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- 101. 幾何領域探討的對象 ● 主要是《空間 space》 幾何 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形 + 拓樸學 )
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- 106. 拓樸學裏的幾何 ● 探討的是一種 – 可以《無限拉伸、壓縮或扭曲》 –但是不可以《撕開或挖破》 的幾何學！
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- 111. 除了同胚以外 ● 另一個拓樸學概念是《同倫 Homotopy》 《同倫》基本上是有路徑將兩空間對應起來的意思！
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- 115. 所謂的空間 Space ● 在物理學或傳統幾何學中，是由一堆點所 形成的，像是 –一維空間 ( 線 ) – 二維空間 ( 面 ) – 三維空間 ( 體 )
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- 117. 數學裏的空間 ● 是《一群點加上鄰域概念》所形成的 ● 所以Space = Point + Neighbor S = (P, N)
- 118. 在拓樸空間 Topological Space裏 ● 那些點和鄰域，加上了一些《拓樸性質》限制： – 1. 點 x 是自己鄰域 N 的成員 – 2. 包含 x 鄰域 N 的空間 N+ 也是 x 的鄰域 – 3. 兩個 x 鄰域 N1 與 N2 的交集 N 也是 x 的鄰域 – 4. 某鄰域 N 包含 M ，則 N 是 M 內所有點的鄰域
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- 121. 在拓樸空間中 ● 有很多種更細的區分方式 ● 是由《分離公理》所造成的 ●主要的分別是根據到底是 《點或區域的分離》而定！ ● 其中採用《點點分離》方式所定 義的空間，稱為 Hausdorff 空間
- 122. 在 Hausdorff 空間中 ●加上《鄰域同胚於歐氏空間》的條件 ● 就變成了《流形 Manifold 》！
- 123. 拓樸空間要求定義《鄰域》 ● 而《流形》則進一步要求 – 鄰域要和歐氏空間《同胚》 ●n 維流形的任一點之鄰域， 必須和 n 維歐氏空間同胚 右圖中每一個小格都非常接近二維的歐氏平面
- 124. 像是球面的每個小區域 ● 都可以映射到 歐氏平面 ● 所以球面是個 流形(Manifold)
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- 126. 流形是介於拓樸和歐氏空間的結構 ● 拓撲空間可看作是完全《柔軟的》 ● 歐式空間可看作是《堅硬的》 ●而《流形》則是《大範圍柔軟》， 《小範圍卻硬硬的》無法折的結構
- 127. 研究拓樸與流形 ● 可能需要具備空間扭曲的 想像力 ● 如果像我一樣，就很難理 解n 維的卡拉比丘流形 到底是個甚麼形狀了 …
- 128. 還有那個七維空間 ● 為甚麼有 28種流形 ( 被稱為七維怪球 ) 的那些事情！ http://nilesjohnson.net/seven-manifolds.html
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- 132. 可 n 次微分的的流形，記為Cn ● C1 : 可一次微分的流形 ● C2 : 可二次微分的流形 ● … ● C∞ : 可無限次微分的流形 ● C0 : 連續但不要求可微分的流形
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- 138. 完備度量空間 Complete Metric Space ●則要求這個空間中《沒有縫隙》且《不缺皮》 ● 用數學的方式定義，則是： – 空間中的柯西序列都收斂在該空間之內
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- 140. 柯西數列 Cauchy sequence ● 不一定會收斂到該空間中的一點 ●因為有可能 《收斂點》 不在空間內
- 141. 向量空間 Vector Space ● 是定義了《向量加法交換群》與《純量對向量之 乘法》的空間。 ●也就是具有 《代數》中 《模 Module 》 結構的空間。
- 142. 如果在向量空間中加上內積運算 ● 就成了內積空間 (Inner ProductSpace) ● 內積定義如右： 在歐氏空間的範例如下
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- 144. 當向量空間中有內積時 ● 就可以讓向量 v和自己進行內積 –得到 v 。 v –v 。 v 的平方根稱為範數 Norm –有範數的空間就稱為賦範空間
- 145. 賦範向量空間 Normed Vector Space ●是在向量空間中加上《範數 norm 》運算 ● 範數的要求為： 例如歐氏空間 中的範數公式 如下： 歐氏空間中向量 x 與自己的內積，也就是 x 。 x 就是範數！
- 146. 而具有完備性質的賦範向量空間 Complete Normed VectorSpace ● 又稱為巴拿赫空間 (Banach space) ● 直覺意義是： 沒有縫隙且不缺皮的賦範向量空間 ● 空間中完備的意義是 柯西數列會收斂！
- 147. 像是 n 為的實數空間Rn ● 也就是《歐幾里得空間》 –是具有完備性質的向量空間 –滿足《巴拿赫空間》的條件！
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- 151. 於是在希爾伯特空間中 ● 三角函數 sin(nx)與 cos(nx) 都可以被看做點 ● 然後就可以用幾何的方式看待這些 點，形成以函數為點的幾何學了！
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- 154. 像是 ● 《零曲率》的《歐氏幾何》 ● 《正曲率》的《球面幾何》 ●《負曲率》的《雙曲幾何》 ● 《不固定曲率》的《微分幾何》
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- 168. 讓我們再回顧一下 今天學到的整體數學架構 集合、邏輯、函數、關係、證明 分析代數 幾何 數學基礎 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形+ 拓樸學 ) 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
- 169. 其中有一些沒講到的部分 集合、邏輯、函數、關係、證明 分析代數 幾何 數學基礎 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形+ 拓樸學 ) 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
- 170. 像是解析幾何 ● 就是用座標描述的那種幾何 ● 這是笛卡兒時代開始發展的 ●基本上是《用代數手法描述幾何學》 幾何 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形 + 拓樸學 )
- 171. 而線性代數 ● 研究的是向量與矩陣的代數 ● 但是卻很緊密的和《向量空間》 結合，成為研究幾何學的利器 ●和微積分結合後又發展出《向量微 積分》，成為分析學的重要領域。 代數 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論
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- 174. 古希臘幾何三大問題如下 ● 只能用《圓規和直尺》，請解決下列問題： – 三等分任意角：作圖三等份指定的角。 –化圓為方：做出和圓面積一樣的正方形。 – 倍立方體：做出兩倍體積的立方體。
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- 181. 現在、你應該清楚 下列數學領域的大致內容了吧！ 集合、邏輯、函數、關係、證明 分析代數 幾何 數學基礎 代數學 線性代數 群論 伽羅瓦理論 數論 歐氏幾何 解析幾何 非歐幾何 微分幾何 ( 流形+ 拓樸學 ) 分析學基礎 微積分 微分方程 實變函數 複變函數
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