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Uploaded by鍾誠 陳鍾誠
用十分鐘理解 《微分方程》
本文探讨了微分方程在物理学和计算机科学中的重要性，并通过历史人物的故事强调了理论与实验之间的关系。作者分享了对微分方程的理解及其解法，强调了数值算法在解决无解析解的微分方程中的应用。最后，提出了未来可能结合人工智能开发更强大的微分方程求解器的想法。
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用十分鐘理解 《微分方程》
- 1. 用十分鐘理解 《微分方程》 陳鍾誠 2019 年 5月 30 日 程式人程式人 本文衍生自維基百科
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- 12. 牛頓曾經在《流數法》 (Method of Fluxions) ●這本微積分創始書籍裏列出下列微分方程
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- 16. 薛定諤的波動方程 ● 是一個量子力學裡的偏微分方程式 不含時間 t的駐波 含時間 t 的波動
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- 41. 吳健雄一看 ● 李楊兩人提出的 實驗太難做 ● 但是如果稍加修改 ●一樣能驗證 而且會好做得多！
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- 46. 這就是為甚麼 ● 我要學微分方程的原因 ● 因為我在寫一個JavaScript 的 科學計算軟體
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- 53. 改寫成微分方程 ● 令 y= f(x) ，則可得：
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- 55. 於是 ex ● 成為了微分方程裡的神奇函數 ●大部分微分方程都和 ex 有關
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- 59. 其中的 1, 3類都是 ecx 形式 ● 但是第二類卻是 cos,sin 形式
- 60. 為何會出現 cos,sin 形式呢？ ●微分方程的解大部分不是 ecx 形式嗎？
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- 63. 所以 sin, cos都是 eix 形式 ● 當然也會是微分方程的解 ● 這意味著微分方程會有《波動解》
- 64. 以上看到的微分方程 ● 等號右邊通常是零 這種狀況稱為《齊次》微分方程 ● 而p, q 如果是常數，則稱為《常係數》微分方程 ● 所以上面的微分方程為《二階常係數齊次微分方程》
- 65. 對於非《齊次》的狀況 ● 微分方程的解就不限定於 ecx 的形式 ●例如下列微分方程： ● 其解答為： ( 您可以代入驗證看看 )
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- 67. 但是對於不是常係數的微分方程 ● 通常就沒有固定的解法 ● 很多時候根本不知道怎麼解 ●不過這才是對數學家有挑戰性的地方
- 68. 不過某些特殊形式的 微分方程有解公式 ● 像是： 柯西 -歐拉方程 勒壤得微分方程 貝塞爾方程 希爾微分方程
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- 70. 不過還有幾種方式 ● 可以找出微分方程的解，只是沒辦法每個 都能找到解，像是： – 1.拉普拉斯轉換 – 2. 冪級數法 ( 泰勒展開式 )
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- 74. 其實 ● 就連簡單的多項式，只要次數 n超過 5 ， 就沒有普通函數的公式解 這就是所謂的《伽羅瓦理論》
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- 77. 不過如果想要公式解 ● 又不想用手算，也可以用像 SymPy這樣的套件： https://www.sympy.org/scipy-2017-codegen-tutorial/notebooks/20-ordinary-differential-equations.html
- 78. 但就算是用 SymPy 套件 ●也不見得都能找到公式解 ● 有時只能找到逼近的級數解 http://www.cfm.brown.edu/people/dobrush/am33/SymPy/part2.html
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