離散數學賈蓉生

第一章
集合 (Set Theory)

• 1-0 簡介
• 由於數位觀念的開展，在數學與電腦應用
上、集合(Set)儼然已成為其中重要的一環。
讀者了解集合之含義後，就如同有了一把
利刃，可將電腦觀念的外殼撕開，窺得學
習的切入點。
• 本章將集合的觀念、定理、運算、與圖示
、依序清晰敘述，搭配精緻習題，讀者可
徹底剖析了解何謂 “集合(Sets)”。

• 1-1 集合與元素 (Sets and Elements)
• 1-2 宇集 (Universal Set) 與空集合 (Empty
Set)
• 1-3 子集合 (Subsets)
• 1-4 范氐圖 (Venn Diagrams)
• 1-5 集合運算 (Set Operations)
• 1-6 集合代數定律 (Laws of the Algebra of Sets)
• 1-7 有限集合 (Finite Sets)
• 1-8 群集合(Classes of Sets) 與冪次集合
(Power
Sets)
• 1-9 含意 (Arguments) 與范氐圖 (Venn
Digrams)
• 1-10 數學歸納推演 (Mathematical Induction)
• 1-11 習題

1-1 集合與元素 (Sets and Elements)
• 所謂集合(Set)是謂 “有一定義完善的範圍
(well-defined List/Collection) ，在範圍內包
涵適當數量之元素(Elements)” 。習慣上
、集合(Set) 以大寫字母表示(如
A、B、C、…)；元素(Elements) 以小
寫字母表示(如a、b、c、…) 。

1-2 宇集 (Universal Set) 與
空集合 (Empty Set)
• 在合乎集合(Sets)之定義下，若所有的集
合元素、均是某一大集合的元素，則該某
大集合是謂宇集(Universal Set)。如
People可稱為全世界人類的宇集。通常習
慣以U為宇集之代表名稱。
• 如果有一集合，其中無任何元素，則該集
合是謂空集合(Empty Set / Null Set) 。通
常習慣以Ø為空集合之代表名稱。

1-3 子集合 (Subsets)
• 設有集合A、與集合B，如果集合A的所
有元素、亦是集合B的元素，則集合A是
集合B之子集合。其關係式 (Relationship)
為： A B。
• 如果集合A的元素中、有任何一個不是集
合B的元素，則集合A將不是集合B之子
集合。其關係式 (Relationship) 為： A
B。

1-4 范氐圖 (Venn Diagrams)
• 范氐圖的功能、是將集合(Sets) 的意義借
由圖案(Pictorial Representation) 來表示。
圖案以矩形為邊緣範圍，矩形內所有之各
點均是宇集U的元素，在其範圍內的集合
以圓形(Disks)表示。

1-5 集合運算 (Set Operations)
• 集合運算可概分四類運算方法：聯集運算
(Union)、交集運算(Intersection) 、相對餘
補集運算(Relative Complement) 、與絕對
餘補集運算(Absolute Complement) 。

1-6 集合代數定律
(Laws of the Algebra of Sets)
• 1、等冪律(Idempotent Laws)
• (a) A∪A = A (b) A∩A = A
• 2、結合律(Associative Laws)
• (a) (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (b) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
• 3、交換律(Commutative Laws)
• (a) A∪B = B∪A (b) A∩B = B∩A
• 4、分配律(Distributive Laws)
• (a) A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C) (b) A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)
• 5、統一律(Identity Laws)
• (a) A∪Ø = A (b) A∩U = A
• (c) A∪U = U (d) A∩Ø = Ø
• 6、對合律(Involution Law)
• (a) (Ac )c = A
• 7、餘補律(Complement Laws)
• (a) A∪Ac = U (b) A∩Ac = Ø
• (c) Uc = Ø (d) Øc = U
• 8、迪摩根律(DeMorgan’s Laws)
• (a) (A∪B)c = Ac∩Bc (b) (A∩B)c = Ac∪Bc

1-7 有限集合 (Finite Sets)
• 如果集合A有m個元素，其中m為正整數
，則集合A謂 “有限集合(Finite Set)”。例
如A = {x: x is a letter of English
alphabet}、或空集合Ø = { } 均是有限集
合(Finite Sets)。

1-8 群集合(Classes of Sets)
• 設有一集合A = {O, P, Q, R} ，其元素是由
集合O, P, Q, R組成。此時A是謂 “群集合
(Class of Sets)” ；B = {O, P}是謂 “子群集
合 (SubClass或Subcollection)”。

1-9 含意 (Arguments) 與范氐
圖 (Venn Digrams)
• 有些語言詞藻複雜，往往無法清晰地陳述
含意，本節介紹如何將一串複雜難懂的陳
述，以集合架構的范氐圖清礎點出要點含
意。

1-10 數學歸納推演
(Mathematical Induction)
• 無論是在邏輯問題上、或是在數學驗證上
，我們常遭逢一些繁雜的陳述及數據，讀
者都有經驗，當碰到這些問題時，直感頭
痛又不知如何是好。本節介紹歸納推演法
(Induction)，可協助解決部份問題。

第二章
關係式 (Relations)

2-0 簡介
• 若有元素a與b，兩者間存在某種關係R，即可
以式 “ aRb” 表示之，此為關係式(Relations)。
我們曾熟悉的如 “等於(=)” 、“大於(>)”、“因此
(→)” 等均屬之。
• 關係式中也談集合(Sets)，於第一章 {a, b} = {b,
a}，元素的先後次序並不影響集合的含義；但於
關係式中的集合 {a, b}≠{b, a} ，除非 a = b，因
其先後次序代表著不同的含義。

• 2-1 積集合 (Product Sets)
• 2-2 關係式 (Relations)
• 2-3 關係式圖示 (Pictorial Representations of
Relations)
• 2-4 反逆關係式 (Inverse Relations)
• 2-5 合成關係式 (Composition of Relations)
• 2-6 關係式特性 (Properties of Relations)
• 2-7 分割關係 (Partitions)
• 2-8 等價關係 (Equivalence Relations)
• 2-9 分割與等價關係 (Equivalence Relations
and Partitions)
• 2-10 n元關係元 (n-Ary Relations)
• 2-11 習題

2-1 積集合 (Product Sets)
• 於關係式、我們定義 “序對(Ordered
Pairs)”，如 (a, b)，因內容之先後次序代
表著不同的含義。(a, b)≠(b, a) ，除非 a =
b。
• 積集合(Porduct Sets) 是定義兩組集合的
關係。

2-2 關係式 (Relations)
• 設有集合A與B，另有二元關係(Binary
Relation) R，R之元素均是A × B 的子集
合(Subset)，如果 (x, y) R，則謂 “ x以
R關係於y”，即 xRy。

2-3關係式圖示
(Pictorial Representations of Relations)
• 一般來言，我們可以4種圖示方式來表達
關係式：(1) 關係式座標圖示(Coordinate
Diagram of Relation) 、(2) 關係式矩陣圖
示(Matrix of Relation) 、(3) 關係式配對圖
示(Arrow Diagram of Relation) 、(4) 關係
式有向圖示(Direct Graph of Relation) 。

2-5合成關係式
(Composition of Relations)
• 合成關係式(Composition of Relations) 是
由數個關係元R、S、T 連串組合而成者
，以 “ R。S。T” 表示之。

2-6關係式特性
(Properties of Relations)
• 本節介紹關係元(Relation) 常有的4種特
性：(1) 反身性(Reflexive)、(2) 對稱性
(Symmetric)、(3) 反對稱性(Anti-
Symmetric)、(4) 遞移性(Transitive)。

2-7 分割關係 (Partitions)
• 設有集合A，其子集合為 {Si}、且不得有
重覆元素或空元素，則A為分割集合
(Partition)。其條件如下：
• (Ⅰ) A的每一元素a，必須且僅出現於其中
一個子集合內；
• (Ⅱ) Si ≠ Sj 且 Si ∩ Sj = Ø

2-8 等價關係
(Equivalence Relations)
• 設有集合A，如果其關係元R可同時滿足
(1) 反身性(Reflexive)、(2) 對稱性
(Symmetric)、(3) 遞移性(Transitive)，
則R為等價關係元(Equivalence
Relation)。

2-9 分割與等價關係
(Equivalence Relations and Partitions)
• 定理(Theorem) 2-9 ：設有集合A，令R
為其等價關係元(Equivalence Relation) ，
則 “等價關係族(Equivalence Classes)” 有
下列特性：
• (Ⅰ) a [a]、其中a為A的元素，即 a
A。
• (Ⅱ) [a] = [b] 、若且唯若(if and only if)
(a, b) R 。
• Ⅲ) 如果 [a]≠[b]、則 [a] 與 [b] 無交集。

2-10 n元關係元 (n-Ary
Relations)
• 到目前為止，我們談到的均是二元關係
(Binary Relation) ，即有二元關係、當然也
有多元關係(n-Ary Relations) ，可以 An
表示之。如以座標圖案表示，A2是2D平
面圖形之關係；A3是3D立體圖形之關係。

• 3-0 簡介
• 在數學應用上、函數(Function) 扮演了很
重要的觀念，猶如是一個工作機制
(Assingnment) ，輸入不同的參數，產生並
輸出對應的結果。因而、輸入的參數與輸
出的結果就圍繞著函數(Fuction) 產生了許
多有用的數學觀念與應用方法。於本章、
我們將研討函數的基本特性。

• 3-1 函數定義 (Functions)
• 3-2 函數圖形(Graph of Function)
• 3-3 函數圖形特性(Properties of
Functions)
• 3-4 習題

3-1 函數定義 (Functions)
• 設有集合A、與B、及工作機制(Work
Assignment) W。將A的某一元素a輸入
W，若W因此而產生一個對應結果b、其
中b B，如此過程是謂 “ A映至B之函數
(Function from A into B)” ，可表示如：
• f： A → B

3-2函數圖形(Graph of Function)
• 函數(Function) “f：A → B” 在函數圖形
(Graph of Function) 定義為：每一A的元
素a A、必配屬一組序對(Ordered Pair)
關係元(Relation) 如 (a, b)，且該關係元
是唯一的(Unique)。

3-3 函數圖形特性
(Properties of Functions)
• (1) 一對一配對(One to One)：於函數 f：
A→B、如果A的每一元素均映出不同的函數像
(Image)；或於函數圖形、每一A的元素均有配
對、且每一B的元素僅與一個A的元素作配對。
如此函數是謂 “一對一配對(One to One) 函數”。
• (2) 映成配對(Onto)：於函數 f：A→B、如果
B的每一元素均出現於函數像(Image)，即 f(A)
= B，則函數f謂 “映成配對(Onto)函數”。
• (3) 可反逆配對(Invertible)：於函數 f：
A→B、如果其反逆函數 f -1：B→A 亦為真；
或者、f 既是一對一配對(One to One) 函數、亦
是映成配對(Onto)函數，此時f 謂 “可反逆配對
(Invertible) 函數”。

第四章
向量與行列矩陣
(Vectors and Matrices)

• 4-0 簡介
• 我們常將資料(Data) 以矩陣(Arrays) 方式排列
或儲存，亦即、將資料(Data) 以索引(Index) 編
序其位置。於電腦程式、我們以參數表示 (如 “
A(15) ”)；於數學式、我們以下標註(Subscripts)
表示 (如 “ A15 ”)。
• 一般來言，一維矩陣(one-Demensional Array)
是謂 “向量(Vector)”；二維矩陣(two-
Demensional Array) 是謂 “行列矩陣(Matix)”，
一維矩陣(one-Demensional Array) 亦可謂 “特殊
型行列矩陣(Special Type of Matrix)” 。

• 4-1 向量 (Vectors)
• 4-2 行列矩陣 (Matrices)
• 4-3 行列矩陣相加 (Matrices Addition)
• 4-4 行列矩陣系數 (Scalar Multiplication)
• 4-5 行列矩陣相乘 (Matrix Multiplication)
• 4-6 行列置換 (Transpose)
• 4-7 平方行列矩陣 (Square Matrices)
• 4-8 反逆行列矩陣 (Invertible Matrices)
• 4-9 決值區 (Determinants)
• 4-10 習題

4-1 向量 (Vectors)
• 設有向量u，我們通常是以一序列數字表
示之，例如u有n個元件(n-Tuple)、則可
表示為：
• u = (u1, u2,…, un)
• 其中、ui 是向量u之元件
(Components) ，如果所有的 ui 均為0、
則u為零向量(zero Vector) 。

4-2 行列矩陣
(Matrices)
• 前節所述向量(Vector) 是將資料作一維矩
陣排列，行列矩陣(Matrix) 則是將資料作
二維矩陣排列

4-3 行列矩陣相加
(Matrices Addition)
• 設有行列矩陣A與B，兩者之長寬(Size)
相等，即有相同數量的列(Rows)、與相同
數量的行(Columns)，此時、可作兩行列
矩陣相加 A + B，亦即將A、B的對應
(Corresponding) 元件相加

4-4 行列矩陣系數
(Scalar Multiplication)
• 設有行列矩陣A，令k為係數(Scalar)，
則兩者的乘積為k•A 、 kA、或是 Ak，
亦即將行列矩陣之每一元件(Component)
均乘以k；A 與 kA 有著相同的長寬
(Size)。

4-5 行列矩陣相乘
(Matrix Multiplication)
• 設有行列矩陣A，其長寬(Size) 為 m ×
p，其第i列元件為 (ai1 … aip)；行列矩
陣B，其長寬(Size) 為 p × n，其第j行
元件為 (b1j … bpj)。兩行列矩陣相乘得行
列矩陣C = A × B，其長寬(Size) 將為 m
× n 。

4-6 行列置換 (Transpose)
• 於行列矩陣A、將其行(Column) 之資料
依序置換成列(Row) 之資料，是謂 “行列
置換(Transpose)” ，以AT表示之。

4-7 平方行列矩陣
(Square Matrices)
• 設有行列矩陣A，行(Column) 的數量、
與列(Row) 的數量相等，A是謂 “平方行
列矩陣(Square Matrix)” 。若其行、列數量
均為n，則稱謂 “序列n (Order n)” ，是謂
“ n-平方行列矩陣( n-Square Matrix)” 。

4-8 反逆行列矩陣 (Invertible
Matrices)
• 設有平方行列矩陣A，若令B為A之反逆
行列矩陣(Invertible Matrix) ，則B必須滿
足：
• AB = BA = 1
• 如此平方行列矩陣B是謂A的反逆行列矩
陣(Inverse of A)，以 B = A-1表示。由觀
察得知，如果B是A的反逆行列矩陣；A
亦將是B的反逆行列矩陣，即 A = B-1。

4-9 決值區 (Determinants)
• 設有一 n-平方行列矩陣( n-Square
Matrix) A = ( aij )，我們取一正整數
(Positive Integer) d，令 1≧d≦n，d可被
應用為A的決值區(Determinant) ，以
det(A) 或 |A| 表示之。

第五章
圖論 (Graph Theory)

5-0 簡介
• 一般來言、圖(Graph) 是圖形、圖案、圖表、甚
或照片的總稱，但在數學上、却有著不同的意義
，圖形可作為某特定觀念之表示方法，例如於前
述章節、我們曾以圖形表達關係式(Relations)、
函數(Functions)、與行列矩陣(Matrices)。於本
章、我們更將以節點(Vertices)、連線(Edges)
表達執行程序之觀念，稱之謂 “圖論(Graph
Theory)。

• 5-1 圖 (Graph) 與子圖 (Subgraph)
• 5-2 分支度 (Degree)
• 5-3 連通 (Connectivity)
• 5-4 圖之可行性 (Traversable Multigraph)
• 5-5 特殊形圖 (Special Graphs)
• 5-6 行列矩陣圖 (Matrices)
• 5-7 標註圖 (Labeled Graph)
• 5-8 同構/同胚圖
(Isomorphic/Homeomorphic Graph)
• 5-9 習題

5-1 圖 (Graph) 與次圖
(Subgraph)
• 圖(Graph) 之組成要件有二：(1) 一組節
點(Vertices、Points、or nodes) ；(2)
一組節點間之連線(Edges)。
• 設有簡圖G(V, E)，若令V’為V的子集合
(Subset)；E’為E的子集合，則G(V’, E’)
是謂G(V, E) 之子圖(SubGraph) 。

5-2 分支度 (Degree)
• 設有一節點v、其有一連線e，則e是謂v之 “分
支線(Incident on v)” 。若節點v有n個分支線，
則是謂 “ v之分支度(Degree) 為n”，可以
deg(v) = n 表示之。如圖Fig.5-1-1、節點A有
分支線e1與e4，A的分支度(Degree)為2，
即 deg(A) = 2。
• 定理(Theorem) 5-2 ：於任意一簡圖(Graph)，
各節點(Vertices) 分支度(Degree) 之和(Sum)
是其所有連線(Edges) 數量之2倍。

5-3 連通 (Connectivity)
• 於多重圖(Multigraph) 、其節點(Vertices)
Pi 與其連線(Edges) ei 因走過而組成的線
串是謂 “連通走跡(Walk)”。
• 當連通走跡(Walk) 的所有連線(Edges)
均無重覆通過時、是謂 “連通軌跡
(Trail)”。當連通走跡(Walk) 的所有節點
(Vertices) 均無重覆通過時、是謂 “連通路
徑(Path)”。

5-4 圖之可行性
(Traversable Multigraph)
• 於多重圖(Multigraph) 、當要進入一個節點
(Vertex)，該節點必須要有一連線(Edge)
才可執行進入，若要再離開該節點，為了
不走過任一條線2次、該節點必須要有另
一連線(Edge) 才可執行離開。亦即、若要
於任一節點執行進入與離開，且不得於任
一連線重覆走過2次，該節點之分支度
(Degree) 必須是偶數，即為偶數節點
(Even Vertex) 。

5-5 特殊形圖 (Special Graphs)
• 不同形態的圖有許多，本節將介紹4種特
殊形圖(Special Graph) ：(1) 完整圖
(Complete Graph) 、(2) 正規圖(Regular
Graph)、(3) 二分圖(Bipartite Graph) 、
(4) 樹形圖(Tree Graph) 。

5-6 行列矩陣圖 (Matrices)
• 設有圖(Graph) G = (V, E) ，V = {V1, V2,
…,Vm}，E = {e1, e2, …, en} ，為了電腦
運算方便，往往以行列矩陣表示圖G。常
用的行列矩陣有：(1) 連線矩陣(Edge
Matrix)、(2) 相鄰節點矩陣(Adjacency
Matrix)、(3) 節點連線矩陣(Incidence
Matrix)。

5-7 標註圖 (Labeled Graph)
• 一個圖(Graph) 是謂 “標註圖(Labeled
Graph)”、如果其節點(Vertices) 或連線
(Edges) 被標註某種型態的資料符號
(Label of Data) 。

5-8 同構 / 同胚圖
• (Isomorphic/Homeomorphic Graph)
• 設有2圖(Graph) G1(V1, E1) 與 G2(V2,
E2)，有一函數 f：V1→V2，其中V1與
V2的節點(Vertices) 為一對一對稱，且
G1有一連線 {u, v} 若且唯若 G2 亦有一
連線 {f(u), f(v)}。此時 f 為G1與G2的同
構函數(Isomorphism)，G1與G2是謂 “
同構圖(Isomorphic Graph)” 。

第六章
平整圖(Planar Graphs) 、
著色法(Colorations)、
樹(Tree)

• 6-0 簡介
• 讀者如果有興趣，可以找一塊線路板來觀
察，將會發現其中之佈線是沒有交叉的，
一方面是為了美觀，另一方面是為了避免
短路。

• 6-1 平整圖組(Maps) 與區域(Regions)
• 6-2 尤拉公式(Euler’s Formula)
• 6-3 非平整圖(Nonplanar Graph)
• 6-4 著色圖(Colored Graphs)
• 6-5 四色圖定理(Four Color Theorem)
• 6-6 樹(Trees)
• 6-7 根樹(Rooted Trees)
• 6-8 排序根樹(Ordered Rooted Trees)
• 6-9 習題

6-1 平整圖組(Maps) 與
區域(Regions)
• 一個平整之特定有限多重圖(Finite Planar
Multigraph) 是謂 “平整圖組(Maps)”。如
果多重圖是連通的(Connected) 、對應的
平整圖組亦將是連通的，且可將所涵蓋的
範圍分割成數個不同區域(Regions)。

6-2 尤拉公式(Euler’s Formula)
• 於平整圖組(Maps)，尤拉(Euler) 以其各
連通節點(Vertices) 的數量V、各連通連
線(Edges) 的數量E、與各區域
(Regions) 的數量R，提出一非常有意義
之公式如定理(Theorem)6-2-1 ：
• 定理(Theorem) 6-2-1 ：尤拉公式
(Euler’s Formula) V – E + R = 2 。

6-3 非平整圖(Nonplanar Graph)
• 非平整圖(Nonplanar Graph) 之定義一直
困擾數學界許多年，直到1930年、才由波
蘭數學家庫羅托威斯基(K. Kuratowski) 描
述出確切之定義。
• 定理(Theorem) 6-3 ：庫羅托威斯基定
理(Kuratowski’s Theorem) 一個圖是非
平整圖(Nonplanar Graph) ，若且唯若(if
and only if) 其含有同胚圖(Homeomorphic
Graph) K3,3與K5。

6-4 著色圖(Colored Graphs)
• 設有圖(Graph) G，將其各節點(Vertices) 著色
，為了明顯區分圖形中節點間之關係，將相鄰的
兩個節點著以不同的顏色，如此著色是謂 “節點著
色(Vertex Coloring)” 。
• 如果G可著以n種不同的顏色、我們稱G 為 “ n-
著色性(n-colorable)” 。一個圖以最少種類的顏色
完成著色，該顏色數量是謂 “最小色彩值
(Chromatic Number)” ，以 x(G) 表示。

6-5 四色圖定理
(Four Color Theorem)
• 四色圖定理(Four Color Theorem) ：任
一平整圖(Planar Graph) G 是為 “節點之
4-著色性(Vertex 4-colorable)” 。
• 1976年、艾培爾(Appel) 與哈肯(Haken)
模擬2,000 個圖、百萬種不同的狀況，宣
稱任一平整圖(Planar Graph) 均滿足 “ 4-
著色性(4-colorable)” ，但仍屬模擬推論，
不如 “ 5-著色性(5-colorable)” 証明確定，
直至今日數學界仍在努力中。

6-6 樹(Trees)
• 一個圖是謂 “非迴路圖(Cycle-Free Graph /
Acyclic)”、如果該圖沒有任何迴路；一個
非迴路圖是謂 “樹形圖(Tree Graph)” 、亦
謂 “樹(Tree)”；由多個樹(Trees) 連通而
成的圖是謂 “叢樹(Forest)”；如果樹形圖
(Tree Graph) 僅有一個節點、且無任何連
線是謂 “弧點樹(Degenerate Tree)” 。

6-7 根樹(Rooted Trees)
• 設有一樹形圖(Tree Graph) G ，其最上端
有一起始根節點(Root) r，則該圖是謂 “根
樹(Rooted Tree)” 。

6-8 排序根樹
(Ordered Rooted Trees)
• 設有一根樹(Rooted Tree) R ，其各節點
(Vertices) 或各連線(Edges) 因某條件需
求而作排序標記，該根樹是謂 “排序根樹
(Oredered Rooted Tree)” 。

第七章
有向圖(Directed Graphs) 、有
限狀態器(Finite State
Machines)

7-0 簡介
• 在表達瞬間變化上(如數位運算或流動系
統)、有向圖(Directed Graph) 較無向圖
(Nondirected Graph) 更為貼切有用。
• 本章將介紹有向圖(Directed Graph) 之基
本觀念與定義，並以有向標註圖(Labeled
Directed Graph) 與有限狀態器(Finite
State Machine) 範例解說之。

• 7-1 有向圖(Directed Graph)
• 7-2 基礎定義(Basic Definitions)
• 7-3 有向圖行列矩陣(Matrices of Digraph)
• 7-4 刪修演算法(Pruning Algorithm for
Minimal Path)
• 7-5 有限狀態器(Finite State Machine)
• 7-6 有限自動機(Finite Automata)
• 7-7 習題

7-1 有向圖(Directed Graph)
• 設有一個有向圖(Directed Graph /
Digraph) D，其要件有2，我們以 D(V, A)
表示之：
• (1) 節點集合V，包涵D之所有節點
(Vertices)；
• (2) 有向連線集合A，包涵D之所有2節
點間之有向連線(Arcs)。

7-2 基礎定義(Basic Definitions)
• 設有一有向圖(Directed Graph) D，有向連線
(Arc) a = {u, v} 以箭頭 (Arrow) 表示，即有向連
線a 之起始節點(Initial Point) 為u、終止節點
(Terminal Point) 為v。對某一節點來言，箭頭向
外離開之連線數量是謂 “外分支度
(Outdegree)” ；箭頭向內進入之連線數量是謂 “
內分支度(Indegree)”。於任一有向圖(Directed
Graph) 所有節點外分支度(Outdegrees) 之總和
(Sum) 必等於所有節點內分支度(Indegrees) 之
總和(Sum)。如果一個節點之內分支度
(Indegree)為0、則該節點是謂 “資源節點
(Source)”；如果一個節點之外分支度
(Outdegree) 為0、則該節點是謂 “收納節點
(Sink)”。

7-3 有向圖行列矩陣
(Matrices of Digraph)
• 有關有向圖行列矩陣(Matrices of
Digraph)、我們於第二章就曾己討論，唯
當時僅作粗略描述，且不涵及並行有向連
線(Parallel arcs)。本章將再述有向圖行列
矩陣(Matrices of Digraph) ，且涵及並行有
向連線(Parallel arcs)。

7-4 刪修演算法
(Pruning Algorithm for Minimal Path)
• 設有一有向圖(Digraph) D，無任何迴路，
求取從其起始節點u到其終止點w之最短
路徑(Minimal Path)。本節將介紹 “刪修演
算法(Pruning Algorithm)” 求取之

7-5 有限狀態器
(Finite State Machine)
• 我們可以想像一串數位線路的執行程序，
設有一連串之節點，每一節點就像是一個
工作狀態點(State)，接受資料(Data) 的
輸入(Input)；於狀態點(State) 內執行運
算整理後，將結果(Result) 循連線(Edge)
輸出(Output) 至次一狀態點，直至終止點
(Final State) 為止。如此一連串的有限狀
態點與連線是謂 “有限狀態器(Finite State
Machine)”。

7-6 有限自動機(Finite Automata)
• 有限自動機(Finite Automata) 與前節所述
之有限狀態器(Finite State Machine) 很類
似，不同者是、有限自動機可為某特定條
件的執行程序作 “接受(Accepting)” 或 “拒
絕(Rejecting)” 之判斷。

第八章
組合分析
(Combinatorial Analysis)

8-0 簡介
• 組合分析(Combinatorial Analysis) 的範圍
包括排列(Permulations) 、組合
(Combinations) 、與群組(Partitions)。本
章將就其觀念以精選例題詳細介紹。

• 8-1 基礎觀念(Fundamental Principle of
Counting)
• 8-2 階乘(Factorial Notation)
• 8-3 二項式系數(Binomial Coefficients)
• 8-4 排列(Permutation)
• 8-5 排列與重覆(Permutations and Repetitions)
• 8-6 組合(Combinations)
• 8-7 有序分割群(Ordered Partitions)
• 8-8 樹形圖(Tree Diagrams)
• 8-9 習題

8-1 計數基礎觀念
(Fundamental Principle of Counting)
• 如果有一事件(Event) E1，有n1種執行方
式；另有二輪事件(Second Event) E2，依
E1之執行方式再繼續執行，且有n2種執行
方式；另再有三輪事件(Second Event)
E3，依E2之執行方式再繼續執行，且有n3
種執行方式；以此類推 …，此時、事件之
執行方式為：n1․n2 ․n3 ․…。

8-3 二項式系數
(Binomial Coefficients)
• nCr的符號為，其中r與n均是正整數
(Positive Integer) ，且 r ≦ n，定義如下：
• =

8-4 排列(Permutation)
• 設有一集合(Set) S，有n個物件
(Objecs)，將此n個物作各種不同次序之
安置是謂 “所有物件之排列(Permutation of
all)”。如果取其中r個物件(r≦n) 作排列是
謂 “ r–物件排列(r–Permutation)” 。

8-6 組合(Combinations)
• 組合(Combination) 與排列(Permutation)
類似，所不同者排列有位置次序的要求，
組合則無。

8-7 有序分割群(Ordered
Partitions)
• 設有一集合(Set) S，有n個物件
(Objecs)，先取其中n1個物件組成子集合
(Subset) S1 ；再於剩餘物件中、取其中n2
個物件組成子集合(Subset) S2 ；…；再於
剩餘物件中、取其中nm個物件組成子集合
(Subset) Sm ，其中 S = {S1, S2, …,
Sm}、n = n1 + n2 + … + nm 。如此依先
後次序執行選取是謂 “有序分割群(Ordered
Partitions) 。

8-8 樹形圖(Tree Diagrams)
• 於計算有關機遇率的問題上、根樹圖
(Rooted Tree Diagrams) 可助益解題之了
解

第九章
代數觀點(Algebraic Systems)
與語言(Languages)

9-0 簡介
• 於第七章、本書曾描述有限狀態器(Finite State
Machine)、有限自動機(Finite Automata) ，我們
可將此兩者比如是電腦系統之硬體，是一種機器
，將用於執行一些有意義的軟體。
• 而本章所介紹的就是那些有意義的軟體，從數學
的代數觀點切入，定義機器之執行條件與能力；
連接可表達意義的字串，因我們人類可籍由有意
義的字串傳遞思維，故而如此有意義的字串亦可
視為是語言(Languages) ，可由有限狀態器
(Finite State Machine) 、有限自動機(Finite
Automata) 執行的語言是為電腦語言之母，是謂
“形式語言(Formal Languages)” 。

• 9-1 運算屬性(Operations) 與半群組
(Semigroups)
• 9-2 自由型半群組(Free Semigroups) 、語
言(Languages)
• 9-3 文法與語言(Grammars and
Languages)
• 9-4 群組(Groups)
• 9-5 子群組(Subgroups) 與標準子群組
(Normal Subgroups)
• 9-6 習題

第十章
邏輯主張(Proposition Calculus)

10-0 簡介
• 在電腦應用上，無論是處於硬體架構之排列、或
是軟體語言之設計，這些都將與邏輯問題息息相
關。
• 電腦是一堆冰冷且無生命的銹鐡，我們人類是有
血有肉有智慧的萬物之靈，經過我們人類的思考
、作成合乎邏輯之符號、灌注入那冰冷的電腦，
此時電腦亦如有了生命，生動活潑地執行我們要
求的指令。
• 因此可看到邏輯思維與邏輯符號有其重大的意義
，本章將有系統地幫助我們整理邏輯思維、有效
率地作出邏輯符號。

• 10-1 陳述(Statements) 與複合陳述(Compound
Statements)
• 10-2 連接屬性(Conjunction)
• 10-3 分離屬性(Disjunction)
• 10-4 否定屬性(Negation)
• 10-5 邏輯主張(Proposition) 與真值表(Truth Table)
• 10-6 恆真邏輯(Tautologies) 與恆偽邏輯
(Contradictions)
• 10-7 相等邏輯(Logical Equivalence)
• 10-8 邏輯主張之代數式(Algebra of Proposition)
• 10-9 單向條件與雙向條件陳述(Conditional and
Biconditional Statements)
• 10-10 論証(Arguments)
• 10-11 邏輯意向(Logical Implication)
• 10-12 習題

10-1 陳述(Statements) 與
複合陳述(Compound
Statements)
• 以文字表達一有意義之事件是謂 “陳述
(Statement)”，其基本特性(Fundamental
Property) 是在表達 “真(True)”、或是 “偽
(False)”。表示 “真(True)” 或 “偽(False)” 的意
義是謂一個陳述之 “真值(True Value)” 。
• 有些陳述(Statements) 是由數個次陳述
(Substatements) 聯組而成，每一個次陳述有其
自身的真值(True Value) 意義，如此聯組之陳述
是謂 “複合陳述(Compound Statement)” 。

10-2 連接屬性(Conjunction)
• 任何兩個陳述(Statements) p 與q、可由
單字 “和(and)” 連接成一個複合陳述
(Compound Statement) ，以p and q、或
pΛq 表示

10-3 分離屬性(Disjunction)
• 任何兩個陳述(Statements) p 與q、可由
單字 “或(or)” 連接成一個複合陳述
(Compound Statement) ，以p or q、或
pVq 表示

10-4 否定屬性(Negation)
• 設有一陳述(Statement) p ，另一與其陳述
真值相反的陳述p’ 是謂p 之 “否定陳述
(Negation of p)” ，通常以 not p 或 ~p 表
示。

10-5 邏輯主張(Proposition) 與
真值表(Truth Table)
• 在語言(Language) 運用上、各陳述的真值
(True Value) 將一再重覆被使用，為了方
便、為了明確、我們設計一種圖表來表達
各類陳述(Statements) 的真值屬性，如此
圖表稱為 “真值表(Truth Table)” ，表達複
雜的邏輯主張(Proposition) 。

10-6 恆真邏輯(Tautologies) 與
恆偽邏輯(Contradictions)
• 設有邏輯主張(Proposition) P(p, q, …) ，
如果其真值表(Truth Table) 的最後步驟欄
全為T，則該邏輯主張(Proposition) 是謂
“恆真邏輯(Tautology)”；相對地、如果其
真值表(Truth Table) 的最後步驟欄全為
F，則該邏輯主張(Proposition) 是謂 “恆
偽邏輯(Contradiction)” 。

10-7 相等邏輯
(Logical Equivalence)
• 設有邏輯主張(Propositions) P(p, q, …) 與
Q(p, q, …)，如果兩者間有相同含意的真值
表(Truth Table)，則P與Q為 “相等邏輯
(Logical Equivalence)” ，以 P(p, q, …) =
Q(p, q, …) 表示。

10-8 邏輯主張之代數式
(Algebra of Proposition)
• (1) 等冪律(Idempotent Laws)：
• 1a 、 pVp =p 1b 、 pΛp = p
• (2) 結合律(Associative Laws)：
• 2a 、 (pVq)Vr = pV(qVr) 2b 、 (pΛq)Λr = pΛ(qΛr)
• (3) 交換律(Commutative Laws)：
• 3a 、 pVq = qVp 3b 、 pΛq = qΛp
• (4) 分配律(Distributive Laws)：
• 4a 、 pV(qΛr) = (pVq)Λ(pVr) 4b 、 pΛ(qVr) = (pΛq)V(pΛr)
• (5) 統一律(Identity Laws)：
• 5a 、 pVf = p 5b 、 pΛf = p
• 6a 、 pVt = t 6b 、 pΛt = t
• (6) 餘補律(Complement Laws)：
• 7a 、 pV~p = t 7b 、 pΛ~p = f
• 8a 、 ~t = f 8b 、 ~f = t
• (7) 對合律(Involution Law)：
• 9a 、 ~~p = p
• (8) 迪摩根定理(DeMorgan’s Laws)：
• 10a 、 ~(pVq) = ~pΛ~q 10b 、 ~(pΛq) = ~pV~q

10-9 單向條件與雙向條件陳述
(Conditional and Biconditional Statements)
• 於電腦程式碼、或於數學式，我們常遇到 “
單向條件陳述(Conditional Statements)” ，
“如果 p為真、則q亦為真” (if p then q) ，
我們通常以 “ p → q” 表示。
• 另一種條件陳述是顧及必要條件與充分條
件，稱為 “雙向條件陳述(Biconditional
Statements)” ， “ p為真、若且唯若q為真
” (p if and only if q) ，我們通常以 “ p q”
表示。

10-10 論証(Arguments)
• 在電腦程式設計、“ Arguments” 被視為 “參
數”；在數學應用上、則被視為 “論証”，是
一運算式用於確定一組陳述(Statement)
是否為真(True)。

10-11 邏輯意向
(Logical Implication)
• 當一個邏輯主張(Proposition) P(p, q, …)
邏輯意向於(logically imply) 另一邏輯主張
Q(p, q, …)，則以下列式表示之：
• P(p, q, …) → Q(p, q, …)
• 亦即、如果 Q(p, q, …) 為真(True)、則
P(p, q, …) 必為真。

離散數學 賈蓉生

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