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《 工程數學 第九版 》
Erwin Kreyszig
Advanced Engineering Mathematics, 9E
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第 5 章 拉氏轉換
5.1 拉氏轉換,逆轉換,線性,s-偏移
5.2 微分及積分的拉氏轉換,常微分方程
5.3 單位步階函數,t-偏移
5.4 短脈沖,狄拉克德耳塔函數,部分分式
5.5 卷積,積分方程
5.6 微分及積分轉換,變係數常微分方程
5.7 常微分方程系統
5.8 拉氏轉換:一般公式
5.9 拉氏轉換表
P.204
第5章 拉式轉換
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短脈沖,狄拉克德耳塔函數,部分分式
P.204
第5章 拉式轉換
我們的目的在於顯示此類問題可以用狄拉克德耳塔函數來
描述,並可以很有效的應用拉氏轉換方法去解決這類問題。
為了模擬以上情況的輸入,我們考慮以下函數
(1)
(稍後取極限 k → 0)。這個函數表示了,譬如,1/k 單位的
外力在時間段 t = a 到 t = a+k 作用,其中 k 是一個很小的
正數。在力學上,力造成的脈沖(impulse)是指該力在作用
區間 a ≦ t ≦ a+k 的積分。
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歐亞書局 P.204
第5章 拉式轉換
同樣地,對於作用在電路上的電動力 E (t) 也可以定義脈沖,
因為在圖 105 的藍色區域其面積為 1,定義在 (1) 式的 f k 其
脈沖為
(2)
為了發現當 k 愈來愈小時何事會發生,當 k → 0(k >0)時
我們取 f k 的極限。這個極限以δ(t-a) 表示,即
δ(t-a) 稱為狄拉克德耳塔函數(Dirac delta function)或者單
位脈沖函數(unit impulse function)。
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圖105
P.205
第5章 拉式轉換
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歐亞書局 P.205
第5章 拉式轉換
δ(t-a) 並不是通常用於計算上的函數, 而是所謂的廣義函
數(generalized function)。為明瞭此事, 我們指出 f k 的脈
沖值 I k 為 1,因此從 (1) 式及 (2) 式並取極限 k → 0 時我們可
得
(3)
但從計算上我們知道一個函數除了一點外,若處處為零則
其積分值等於零。然而,對於含有脈沖的問題,若將δ(t-a)
視為一般的函數來操作將是相當方便的。
特別地,對於一個連續函數 g (t),我們常用以下性質[通常
稱為δ(t-a) 的吸出性質(sifting property)]
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歐亞書局 P.205
第5章 拉式轉換
(4)
從 (2) 式來看相當合理。
 為了獲得δ(t-a) 的拉氏轉換,我們寫出
並取以下的轉換 [見 (2) 式]
 我們現在取極限 k → 0。根據洛必達規則,右邊商的極限
為1(分子及分母對 k 微分,分別得出 se-ks 及 s,並用
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決定有阻尼質量 彈簧系統在一個方波下的反應(見 2.8
節),以下列方程式模擬(見圖106)
解從 5.2 節 (1) 及 (2) 式與本節 (2) 及 (4) 式,我們得出輔助
方程式
使用符號 F (s) 及部分分式,得出
範例 1 質量 彈簧系統受一個方波的作用
P.206
第5章 拉式轉換
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範例 1 (續)
從 5.1 節表 5.1 我們可以看出其逆為
因此,根據 5.3 節定理 1(t-偏移)我們得出方波作用下的
反應如圖 106,
P.199
第5章 拉式轉換
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範例 1 (圖106)
P.206
第5章 拉式轉換
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範例 2 質量 彈簧系統在搥擊下的反應
P.207
第5章 拉式轉換
找出範例 1 的系統在 t = 1 時受到單位脈沖作用下的反應。
解 現在我們有以下的常微分方程式及輔助方程式
用代數方法解出
根據定理1 其逆為
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y (t) 繪於圖 107,你是否能想像圖106 如何趨近圖107,當
方波愈變愈短且方波的面積仍維持 1。
範例 2 (圖107)
P.207
第5章 拉式轉換
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範例 3 四個端點的RLC —網路
找出圖108 的輸出電壓反應,如果 R =20 Ω,L = 1H,C
= 10-4 F,輸入為δ(t)(一個在 t = 0 時的單位脈沖),且在
t = 0 時電流及電荷皆為零。
解 為了瞭解即將討論的問題,先註明這個網路是一個 RLC—
電路,其中 A 及 B 兩點有連接線路可以記錄電容器的電壓
v(t)。回想 2.9 節得知電流 i (t) 及電荷 q (t) 有 i = g’ = dg/dt
的關係,我們因此可得模式為
P.207
第5章 拉式轉換
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範例 3 (續)
 從 5.2 節 (1) 及 (2) 式與本節 (5) 式,我們得出 Q (s) = L (q)
的輔助方程式
由 5.1 節第一偏移定理我們可從 Q 得到 q 及 v 的有阻尼振動;
大概取 9900 ≈ 99.502,我們得出(圖108)
P.207
第5章 拉式轉換
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範例 3 (圖108)
P.208
第5章 拉式轉換
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有關部分分式的進一步認識
P.208
第5章 拉式轉換
對於輔助方程的解Y,我們已經看到它經常呈現為兩個多項
式的商 Y (s) =F (s) /G (s) ,所以利用部分分式的表示方法我
們可以得到一個各分項的組合,而每個分項的逆可以直接查
表得知,或輔以第一偏移定理(5.1 節)。這些表示有時稱為
亥維賽展開式(Heaviside expansions)
G (s) 中一個未重覆的因子 s-c 需要一個單項的部分分式
A/(s-a)。見 206 及 207 頁的範例 1 及 2。對於重覆的實數因
子 (s - a)2、(s -a)3 等等,則需要以下的部分分式
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歐亞書局 P.208
第5章 拉式轉換
其逆為 ,等等。
未重覆的複數因子
,需要部分分式 。見5.3 節範例 4 的
一個應用。底下是稍微深入的例子。
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範例 4 未重覆的複數因子,有阻尼受迫振動
對於一個在正弦波作用,於某些時間區間上的有阻尼質
量—彈簧系統,解初始值問題(圖109)
P.208
第5章 拉式轉換
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範例 4 (續)
P.208
第5章 拉式轉換
解 從5.2 節表5.1,(1) 及 (2) 式,以及 5.3 節的第二偏移定理,
我們可以得出輔助方程式
 我們收集 Y 的項,(s2+2s+2)Y, 將 s + 5-2 = -s + 3
放到右邊,並解出
(6)
 從表 5.1 及第一偏移定理,我們將最後一個分式的逆寫成
(7)
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範例 4 (續)
P.209
第5章 拉式轉換
 (6) 式的第一個分式有未重覆的複數因子,以致於有以下
部分分式
 乘以共同的分母給出
 由兩邊 s 冪的係數相等給出四個方程式決定 A、B、M、N:
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範例 4 (續)
P.209
第5章 拉式轉換
 由 (a) 得出 M = -A,由 (C) 得 A = B,由 (b) 得 N =
- 3A,最後由 (d) 得A = -2,因此我們解出 A = -2,B
= -2,M = 2,N = 6,並給出 (6) 式的第一個分式表示如
下
(8)
上式與 (7) 式之和給出這個問題在 0 < t < π 的解答,即
(9)
對於 (6) 式的第二個分式取負號,我們有因子 e-πs,以致
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範例 4 (續)
P.209
第5章 拉式轉換
於從 (8) 式及第二偏移定理(5.3 節)我們可得出逆轉換為
上式與 (9) 式之和是 t > π時的解
(10)
(9) 式(對於 0 <t < π)及 (10) 式(對於t > π)的結果繪於
圖 109,因為有阻尼的存在及 t = π之後沒有外力的關係,一
開始的振動,很快就趨近於零。
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範例 4 (圖109)
P.209
第5章 拉式轉換

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