probability plot

1. 確率プロット
2007.05.11 正規分布のパラメータの誤りを修正

2. 確率プロット
• 2 つの分布が等しいかどうか
• ２つの確率プロット
– QQ プロット
– PP プロット
• 密度関数と分布関数
∫ ∞−
=
x
dxxfxF )()(
一般に密度関数の推定は難しい。自由度が大きすぎる
分布関数は有界、単調増加関数制限が強い扱いやすい

3. PP プロット
• ２つの分布（分布関数）が等しいか？
プロット）をプロットする（点
に対して
PP))(),((
)Pr()()(
)Pr()()(
,,2,1for)()(
,,,
data
for)()(
21
222
111
21
21
21
ipip
xXxFip
xXxFip
nixFxF
xxx
xxFxF
ii
ii
ii
n
<==
<==
=∀=
ℜ∈∀=



4. ２つの分布が等しいか？
- 4 - 2 0 2 4
0.00.20.40.60.81.0
x
pnorm(x)
N(0,1)
N(1,1)N(0,4)

5. Probability
- 4 - 2 0 2 4
0.00.20.40.60.81.0
x
pnorm(x)
x
p0
p2
p1

6. PP plot
0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0
0.00.20.40.60.81.0
p11
> z<-seq(-4,4,length=161)
> p00<-pnorm(z)
> p11<-pnorm(z,mean=1)
> p22<-pnorm(z,sd=2)
> plot(p00,p11,type="l",col="blue",lty=2)
> lines(p00,p22,type="l",lty=3,col="green")
> abline(0,1)
p0

7. QQ プロット
• 逆に、確率より確率
点
プロット）をプロット（確率点
＝
すなわち
に対して
QQ))(),((
))(())((
))(Pr()()(
))(Pr()()(
1,0
21
2211
22
1
22
11
1
11
,2,1
iqiq
iqFiqFu
uiqXuFiq
uiqXuFiq
uuu
i
ii
ii
m
=
=<=
=<=
<<
−
−

下側確率 ui 点
mi ,,2,1 =

8. Quantile （分位
点）
- 4 - 2 0 2 4
0.00.20.40.60.81.0
x
pnorm(x)
u
q0 q1 q2

9. QQ plot
- 1. 0 - 0. 5 0. 0 0. 5 1. 0
-2-1012
q0
q1
> p<-(1:9)/10
> q0<-qnorm(p)
> q1<-qnorm(p,mean=1)
> q2<-qnorm(p,sd=2)
> qmax<-max(q1,q2)
> qmin<-min(q1,q2)
> plot(q0,q1,ylim=c(qmin,qmax),col="blue")
> points(q0,q2,col="green")
> abline(c(0,1))
> abline(c(1,1),lty=2,col="blue")
> abline(c(0,2),lty=3,col="green")

10. 正規確率プロット
• データが正規分布に従っているかどうか
を調べるのが目的
• F1(x) を正規分布の分布関数
F2(x) をデータの経験分布関数として
QQ プロットを使うことが多い
• データが正規分布に従っていれば、直線
状に点が並ぶ

11. 正規乱数と一様乱
数
- 2 - 1 0 1 2
0.00.20.40.60.81.0
No r ma l Q- Q Pl o t
The or e t i c al Quant i l e s
SampleQuantiles
- 2 - 1 0 1 2
-2-1012
No r ma l Q- Q Pl o t
The or e t i c al Quant i l e s
SampleQuantiles
> layout(matrix(1:2,1,2))
> qqnorm(runif(100))
> qqnorm(rnorm(100))