Download free for 30 days
Sign in
Upload
Language (EN)
Support
Business
Mobile
Social Media
Marketing
Technology
Art & Photos
Career
Design
Education
Presentations & Public Speaking
Government & Nonprofit
Healthcare
Internet
Law
Leadership & Management
Automotive
Engineering
Software
Recruiting & HR
Retail
Sales
Services
Science
Small Business & Entrepreneurship
Food
Environment
Economy & Finance
Data & Analytics
Investor Relations
Sports
Spiritual
News & Politics
Travel
Self Improvement
Real Estate
Entertainment & Humor
Health & Medicine
Devices & Hardware
Lifestyle
Change Language
Language
English
Español
Português
Français
Deutsche
Cancel
Save
Submit search
EN
Uploaded by
Keisuke OTAKI
PDF, PPTX
7,633 views
一階述語論理のメモ
一階述語論理をすぐ忘れるのでメモした(メモの断片その1?)
Read more
3
Save
Share
Embed
Embed presentation
Download
Download as PDF, PPTX
1
/ 15
2
/ 15
3
/ 15
4
/ 15
5
/ 15
6
/ 15
7
/ 15
8
/ 15
9
/ 15
10
/ 15
11
/ 15
12
/ 15
13
/ 15
14
/ 15
15
/ 15
More Related Content
PDF
Prml 2_3_5
by
brownbro
PDF
YamadaiR(Categorical Factor Analysis)
by
考司 小杉
PPTX
ベイズ統計学の概論的紹介-old
by
Naoki Hayashi
PPT
Нормальний закон розподілу
by
Oksana Bryk
PDF
第5回パターン認識勉強会
by
Yohei Sato
PDF
SGD+α: 確率的勾配降下法の現在と未来
by
Hidekazu Oiwa
PPTX
AtCoderに毎回参加したくなる仕組み
by
AtCoder Inc.
PPT
ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами
by
Людмила Щецова
Prml 2_3_5
by
brownbro
YamadaiR(Categorical Factor Analysis)
by
考司 小杉
ベイズ統計学の概論的紹介-old
by
Naoki Hayashi
Нормальний закон розподілу
by
Oksana Bryk
第5回パターン認識勉強会
by
Yohei Sato
SGD+α: 確率的勾配降下法の現在と未来
by
Hidekazu Oiwa
AtCoderに毎回参加したくなる仕組み
by
AtCoder Inc.
ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами
by
Людмила Щецова
What's hot
PDF
第4回DARM勉強会 (多母集団同時分析)
by
Masaru Tokuoka
PDF
HLM! 想聽不懂,很難!-三星統計張偉豪-20140929
by
Beckett Hsieh
PDF
マッチングの数理
by
Yosuke YASUDA
PDF
Rubinの論文(の行間)を読んでみる-傾向スコアの理論-
by
Koichiro Gibo
PDF
2 3.GLMの基礎
by
logics-of-blue
PDF
Tokyo.R 41 サポートベクターマシンで眼鏡っ娘分類システム構築
by
Tatsuya Tojima
PDF
局所特徴量と統計学習手法による物体検出
by
MPRG_Chubu_University
PPTX
розвязування дробово раціональних рівнянь
by
onischuk
PDF
はじめてのパターン認識 第6章 後半
by
Prunus 1350
PPT
Презентація:Ділення десяткових дробів на десятковий дріб
by
sveta7940
PDF
MICの解説
by
logics-of-blue
PPTX
5 клас урок 17 НОВА ПРОГРАМА
by
Юлія Артюх
PPTX
2SAT(充足可能性問題)の解き方
by
Tsuneo Yoshioka
PDF
Rで実験計画法 後編
by
itoyan110
PDF
計量時系列分析の立場からビジネスの現場のデータを見てみよう - 30th Tokyo Webmining
by
Takashi J OZAKI
PDF
Κωνικές τομές - Πλήρες φυλλάδιο (βιβλίο)
by
Μάκης Χατζόπουλος
PDF
内容的妥当性,構造的妥当性と仮説検定の評価
by
Yoshitake Takebayashi
PDF
DARM勉強会第3回 (missing data analysis)
by
Masaru Tokuoka
PDF
2 5 1.一般化線形モデル色々_CPUE標準化
by
logics-of-blue
PDF
tvmf-similarity
by
Kyushu University
第4回DARM勉強会 (多母集団同時分析)
by
Masaru Tokuoka
HLM! 想聽不懂,很難!-三星統計張偉豪-20140929
by
Beckett Hsieh
マッチングの数理
by
Yosuke YASUDA
Rubinの論文(の行間)を読んでみる-傾向スコアの理論-
by
Koichiro Gibo
2 3.GLMの基礎
by
logics-of-blue
Tokyo.R 41 サポートベクターマシンで眼鏡っ娘分類システム構築
by
Tatsuya Tojima
局所特徴量と統計学習手法による物体検出
by
MPRG_Chubu_University
розвязування дробово раціональних рівнянь
by
onischuk
はじめてのパターン認識 第6章 後半
by
Prunus 1350
Презентація:Ділення десяткових дробів на десятковий дріб
by
sveta7940
MICの解説
by
logics-of-blue
5 клас урок 17 НОВА ПРОГРАМА
by
Юлія Артюх
2SAT(充足可能性問題)の解き方
by
Tsuneo Yoshioka
Rで実験計画法 後編
by
itoyan110
計量時系列分析の立場からビジネスの現場のデータを見てみよう - 30th Tokyo Webmining
by
Takashi J OZAKI
Κωνικές τομές - Πλήρες φυλλάδιο (βιβλίο)
by
Μάκης Χατζόπουλος
内容的妥当性,構造的妥当性と仮説検定の評価
by
Yoshitake Takebayashi
DARM勉強会第3回 (missing data analysis)
by
Masaru Tokuoka
2 5 1.一般化線形モデル色々_CPUE標準化
by
logics-of-blue
tvmf-similarity
by
Kyushu University
Viewers also liked
PDF
Reading Seminar (140515) Spectral Learning of L-PCFGs
by
Keisuke OTAKI
PDF
Software Foundation:形式的証明と非形式的証明
by
T T
PDF
理系女子の恋愛と結婚 「東大で理系の恋愛を語ろう」
by
Marika UCHIDA
PDF
X hago3
by
YAMANE Toshiaki
PPT
マインドハック研究会 ライフハック編 20100512
by
tosch0718
PPT
関西ライフハック研究会×アイデアプラント
by
Rikie Ishii
PDF
バージョン管理入門
by
Masafumi Yokoyama
KEY
Unix1
by
Takaya Kotohata
KEY
Unix2
by
Takaya Kotohata
ODP
名古屋アジャイル勉強会トヨタ生産方式に学ぶカイゼン
by
hiroyuki Yamamoto
PPTX
IGDA_Sig-BoardGame_ワークショップ用資料
by
Ryosuke Sugawara
PDF
ふり返りハック ~ ライフをハッキングするために
by
虹 父
PDF
GTD 残業を減らす方法
by
Gaddict
PPT
ユーザ目線の実践的BPM
by
Shigeaki Wakizaka
PPTX
TO LOVE IN'~人生のパートナーを見つける旅~
by
Shuhei Hinoshita
PPTX
20161026_超高層大気観測データのメタデータ作成実験経過報告
by
Yasuyuki Minamiyama
PPT
社内Gtd勉強会 20101022
by
tosch0718
PDF
『スクラムを活用したアジャイルなプロダクト管理』第1回読書会 振り返り結果 POStudy ~プロダクトオーナーシップ勉強会~
by
満徳 関
PDF
NetBSDとは
by
miwarin
PPT
DXライブラリのすゝめ
by
Daisuke Nikura
Reading Seminar (140515) Spectral Learning of L-PCFGs
by
Keisuke OTAKI
Software Foundation:形式的証明と非形式的証明
by
T T
理系女子の恋愛と結婚 「東大で理系の恋愛を語ろう」
by
Marika UCHIDA
X hago3
by
YAMANE Toshiaki
マインドハック研究会 ライフハック編 20100512
by
tosch0718
関西ライフハック研究会×アイデアプラント
by
Rikie Ishii
バージョン管理入門
by
Masafumi Yokoyama
Unix1
by
Takaya Kotohata
Unix2
by
Takaya Kotohata
名古屋アジャイル勉強会トヨタ生産方式に学ぶカイゼン
by
hiroyuki Yamamoto
IGDA_Sig-BoardGame_ワークショップ用資料
by
Ryosuke Sugawara
ふり返りハック ~ ライフをハッキングするために
by
虹 父
GTD 残業を減らす方法
by
Gaddict
ユーザ目線の実践的BPM
by
Shigeaki Wakizaka
TO LOVE IN'~人生のパートナーを見つける旅~
by
Shuhei Hinoshita
20161026_超高層大気観測データのメタデータ作成実験経過報告
by
Yasuyuki Minamiyama
社内Gtd勉強会 20101022
by
tosch0718
『スクラムを活用したアジャイルなプロダクト管理』第1回読書会 振り返り結果 POStudy ~プロダクトオーナーシップ勉強会~
by
満徳 関
NetBSDとは
by
miwarin
DXライブラリのすゝめ
by
Daisuke Nikura
Similar to 一階述語論理のメモ
PPTX
人工知能概論 13
by
Tadahiro Taniguchi
PDF
解説#82 記号論理学
by
Ruo Ando
PDF
Math club public
by
tetsuya_komota
PDF
Design by contractとホーア論理
by
Takuya Matsunaga
PDF
Outetsu 100424r
by
Shunsuke Yatabe
PDF
[2021CAPE公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-2「カリー・ハワード対応と『証明のデータ型としての命題』観」
by
Shunsuke Yatabe
PDF
法的推論の形式的な分析とその射程
by
Tomoumi Nishimura
PDF
自然演繹に基づく文間の含意関係の証明を用いたフレーズアライメントの試み
by
Hitomi Yanaka
PPTX
言語処理のための仮説推論エンジン Phillip
by
Kazeto Yamamoto
PPTX
サンプルで学ぶAlloy
by
NSaitoNmiri
人工知能概論 13
by
Tadahiro Taniguchi
解説#82 記号論理学
by
Ruo Ando
Math club public
by
tetsuya_komota
Design by contractとホーア論理
by
Takuya Matsunaga
Outetsu 100424r
by
Shunsuke Yatabe
[2021CAPE公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-2「カリー・ハワード対応と『証明のデータ型としての命題』観」
by
Shunsuke Yatabe
法的推論の形式的な分析とその射程
by
Tomoumi Nishimura
自然演繹に基づく文間の含意関係の証明を用いたフレーズアライメントの試み
by
Hitomi Yanaka
言語処理のための仮説推論エンジン Phillip
by
Kazeto Yamamoto
サンプルで学ぶAlloy
by
NSaitoNmiri
More from Keisuke OTAKI
PDF
KDD読み会(図なし版)
by
Keisuke OTAKI
PDF
Grammatical inference メモ 1
by
Keisuke OTAKI
PDF
ベイジアンネットワーク入門
by
Keisuke OTAKI
PDF
Tensor Decomposition and its Applications
by
Keisuke OTAKI
PDF
Ada boost
by
Keisuke OTAKI
PDF
Em
by
Keisuke OTAKI
PDF
PRML§12-連続潜在変数
by
Keisuke OTAKI
PDF
Prml sec6
by
Keisuke OTAKI
PDF
Foilsを使ってみた。
by
Keisuke OTAKI
PDF
ウェーブレット勉強会
by
Keisuke OTAKI
PDF
Prml sec3
by
Keisuke OTAKI
PDF
Sec16 greedy algorithm no2
by
Keisuke OTAKI
PDF
Sec16 greedy algorithm no1
by
Keisuke OTAKI
PDF
Sec15 dynamic programming
by
Keisuke OTAKI
PPTX
Hash Table
by
Keisuke OTAKI
KDD読み会(図なし版)
by
Keisuke OTAKI
Grammatical inference メモ 1
by
Keisuke OTAKI
ベイジアンネットワーク入門
by
Keisuke OTAKI
Tensor Decomposition and its Applications
by
Keisuke OTAKI
Ada boost
by
Keisuke OTAKI
Em
by
Keisuke OTAKI
PRML§12-連続潜在変数
by
Keisuke OTAKI
Prml sec6
by
Keisuke OTAKI
Foilsを使ってみた。
by
Keisuke OTAKI
ウェーブレット勉強会
by
Keisuke OTAKI
Prml sec3
by
Keisuke OTAKI
Sec16 greedy algorithm no2
by
Keisuke OTAKI
Sec16 greedy algorithm no1
by
Keisuke OTAKI
Sec15 dynamic programming
by
Keisuke OTAKI
Hash Table
by
Keisuke OTAKI
一階述語論理のメモ
1.
ただの一階述語論理のまとめ
Keisuke Otaki October 13, 2012 1
2.
一階述語論理 (0) • 花が赤い
• red(flower) • red: 述語記号で引数に1つobjectを取る • すべての人間は死ぬ • Xは人間である ~ people(X) • Xは死ぬ ~ dead(X) • 人間Xは死ぬ ~ people(X) → dead(X) • すべての人間は死ぬ ~ ∀X. people(X) → dead(X) 2
3.
一階述語論理 (1) • 一階述語論理の構成要素
• 個体定数: objectを表す • 個体変数: いずれかのobjectを表す • 関数記号: object間の関数関係を表す • 述語記号: objectの性質やobject間の関係を表す • 限量子 • ∀ - 全称限量子 • ∃ - 存在限量子 • 論理記号 • 否定 ¬, 連言 ∧, 選言 ∨, 含意 →, 等価 =(≡) 3
4.
一階述語論理 (2) • 一階述語論理の項
(term) • 定数 c と変数 X は項である • n引数を取る関数fと項t1, ...,tnについて,f(t1, ..., tn)は項である •例 • taro, X, father(taro), father(X), father(father(taro)), etc. • 一階述語論理の原子論理式(atomic formula) • n引数を取る述語pと項t1, ..., tnについて,p(t1, ..., tn)は原子論理式であ る •例 • red(flower), isParent(taro, kenta), man(father(taro)) 4
5.
一階述語論理 (3) • 一階述語論理の論理式
• 原子論理式は論理式である • 論理式φ, ψについて,論理記号で結合された式も論理式である • ¬ φ, φ ∧ ψ, φ ∨ ψ, φ → ψ, φ = ψ • 変数Xと論理式φについて,Xに限量子をつけた式も論理式である • ∀X. φ, ∃X. φ 5
6.
一階述語論理 (4) • 世界の概念化
• 表現したい世界は個体の集合(対象領域)で表現可能と仮定する • object間の関係の表現 • 関数: objectを受け取り,objectを返す • 関係: objectを受け取り,Yes(True)/No(False)を返す •例 • 関係: AはBより大きい ~ isLarger(A, B) : Yes / Noを返す • 関数: 父親を返す関数 ~ father(X): Xの父親(object)を返す • 一階述語論理で表された論理式の意味を与える • 解釈Iと変数割り当てVを定める 6
7.
一階述語論理 (5) • 解釈I
• 解釈は,定数や関数,述語が現実世界の何に対応するかを返す • 定数の解釈 • 定数aは現実世界のオブジェクトαを表現する: I(a) = α • 関数の解釈 • 関数fは現実世界の関数Fnに対応する: I(f ) = Fn • I(father) = “ある人の父親を表す関数” • 述語の解釈 • 述語pは現実世界の関係Pに対応する: I(p) = P • I(isLarger) = “あるものはあるものより大きいという関係” 7
8.
一階述語論理 (6) • 変数割り当て
V • 変数割り当てVは解釈Iでは現実世界のものに対応付けられない変数 を,対象領域中の何らかのobjectに対応させる • 変数の種類 • 自由変数: ∀や∃といった限量子がついていない変数 • 束縛変数: 限量子によって束縛されている変数 • 自由変数の変数割り当て • 自由変数Xを対象領域のobject oに対応させる • V(X) = o • 束縛変数の変数割り当て • 後述 8
9.
一階述語論理 (7) • 解釈Iと変数割り当てVによる論理式の意味付け
• ある構成要素εの意味を[ε]IVと表す • 定数 a: [a]IV = I(a) • 変数 X: [X]IV = V(X) • 項 f(t1, ..., tn): [f(t1, ..., tn)]IV = I(f )([t1]IV, ..., [tn]IV) • 述語 p(t1, ..., tn): [p(t1, ..., tn)]IV = I(p)([t1]IV, ..., [tn]IV) • 論理記号で結合された論理式は,構成要素φ, ψの意味を利用して命 題論理と同様に決定される • 束縛変数について • ∀X. φ: ドメインDのすべての要素dについて[φX/d]IVが真かどうか • ∃X. φ: D中のある要素dについて[φX/d]IVが真かどうか 9
10.
一階述語論理 (8) • 充足可能性
• 論理式φと解釈I, 変数割り当てVが与えられたとき,φの真偽値が計 算可能になった • 論理式φがあるI, Vのもとで真になるとき, φはIとVのもとで充足されるといい,⊧IV φ と表す • 解釈Iに依らずに真となる論理式φを恒真式とよぶ(トートロジー) • 解釈Iに依らずに偽となる論理式φを充足不能な論理式とよぶ • 解釈Iと変数割り当てVによってφの真偽値が変化する論理式は,充足 可能な論理式と呼ばれる 10
11.
一階述語論理 (9) • 論理的公理
• φ → (ψ → φ) • (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ)) • (φ → ¬ψ) → ((ψ → φ) → ¬φ)) • ∀X. φ → φX/t • ∀X. (φ → ψ) → (∀X. φ → ∀X. ψ) • φ → ∀X. φ (Xはφの自由変数でない) 11
12.
一階述語論理 (10) • 論理的帰結
(Logical consequence) • n個の論理式φ1, ..., φnの全てを充足する,ある解釈Iと変数割り当てV が,他の論理式ψを充足するとき,{φ1, ..., φn} ⊧IV ψと書く • φ1, ..., φnを充足する任意のI, Vについて,ψもまた充足されるとき, ψはφ1, ..., φnの論理的帰結と呼び {φ1, ..., φn} ⊧ ψ と書く • φ1, ..., φnという関係や性質が成り立つどのような世界において も,ψという関係や性質が成り立つ • モデル (model) • ある論理式φがある解釈Iについて,どのような変数割り当てVを行 なっても充足されるとき,解釈Iはφのモデルと呼ばれる 12
13.
一階述語論理 (11) • 一階述語論理における推論
• MP: Modus Ponens • φ→ψが真であり,φが真であれば,ψも真である • MT: Modus Tolens • φ→ψが真であり,¬ψが真であれば,¬φも真である • AND導入/除去 • φとψからφ∧ψを導入する,もしくはφ∧ψからφとψを導入する • 全称例化/存在例化 • ∀X. φからある特定の項tを用いて φX/tを導入する • ∃X. φから具体的な代入例 φ X/f(t1,...,tn)を導入する 13
14.
一階述語論理 (12) • 論理式の証明
• ある性質や関係φ1, ..., φnが成り立つ世界において,ある性質ψが成り 立つかどうかを調べる • {φ1, ..., φn} ⊧ ψを調べる • 証明とは,{φ1, ..., φn} 中の論理式や論理的公理からスタートし,述 語論理の推論を繰り返して実行して新しい論理式を作成し,最終的 にψに至る論理式の列である • 論理式ψに対する証明が存在するとき,ψは証明可能という. • 論理的公理から推論規則によってψが導けるなら ⊦ ψと書く • ある仮説の論理式集合Γと論理的公理から推論規則によってψが導 けるなら Γ ⊦ ψと書く 14
15.
一階述語論理 (13) • 証明と論理的帰結に関する完全性と健全性
• 健全性 (soundness) • Γ ⊦ ψならば Γ ⊧ ψである • 間違ったことは証明しない • 完全性 (completeness) • Γ ⊧ ψならば Γ ⊦ ψである • 必要なことは証明可能である • 論理式の集合Γを仮定してある論理式ψが証明可能かどうかを調べる証 明手法の一つが融合法(resolution method)である • Γ ∪ {¬ψ}から矛盾が発生することを導く (背理法) • キーワード: 節形式と単一化 15
Download