1. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 1
ソフトウェアの基礎
形式的証明と非形式的証明
@tanimocchi

2. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 2
自己紹介
 Twitter ID： @tanimocchi
（もっちぃ）
 修士(数学)、博士(情報科学)
 所属： ﾀﾋにかけ半導体
 仕事： マーケティングなのか
ブランディングなのか？
 元々はモデル検査法（リアルタイム拡張）とかコンパイラ最適化とか
 プロセス代数（特に、等価性の概念の形式化）とか
 プログラムからのハードウェア自動合成技術とかその最適化とか
 今現在は、アンケート設計・分析に従事しつつ、新規市場開拓も
 Coqとは基本的に無関係だけど、車載向けで必要になったら嬉しい

3. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 3
数学的に厳格な証明
 大雑把には
 数学的な命題Pの証明とは、それを読む（あるいは聞く）人をして、
Pがtrueであることを納得せしめる文章を書く（語る）ことである
⇒ 証明はコミュニケーション行為！
 コミュニケーションの相手（2通り）
 Coqのようなプログラム
 証明は、形式的論理のルールに基づく確実な論理から導かれたも
のでなければならない。
 人間的な存在
 非形式的証明：証明が自然言語で書かれているようなケース
 とにかく、読んでいる人に納得させてしまえる証明こそが「よい証
明」 ⇒ 成功の条件は「あまりきちんと明示しないこと」
 但し、人によって理解の仕方や説明の受け取り方は変わるので、
証明の読者全員を納得させる標準的な方法はなさげ

4. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 4
形式 v.s. 非形式 [1/3]
 非形式的な表現を無視していいか？
 No! ∵形式的証明は多くの場合有効だが、人と人との間で考え
を伝えあう際には必ずしも効率的とは言えない
 例：加法が結合的である事
 Coqはこのような証明を完璧にこなす
 一方、この証明は人間にとってはいささかのみこみにくいと言わ
ざるを得ない。

5. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 5
形式 v.s. 非形式 [2/3]

6. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 6
形式 v.s. 非形式 [3/3]
 形式的証明も、以下のように書けば構造が分かり易い

7. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 7
演習 [1/3]
 plus_commの証明を、非形式的な証明に書換えなさい。
   
   
り立つ。帰納法により主張が成は任意であったため、
。の両辺は確かに等しい帰納法の仮定から、こ
うに変形できる。の定義より、以下のよここで、
な式が成り立つ。とすると、以下のよう
をと置き、帰納法の仮定次に、
ができる。の定義から直接導く事これは
になると置くと、以下のようし、を任意に一つとり固定先ず
する。について帰納法を適用証明：
m
nmSmnS
SnmmSn
nmmn
Snn
mm
nNatm
n
''
''
''
'
00
0









8. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 8
演習 [2/3]
 次の証明を、非形式な証明に書き換えなさい。
 定理：true=beq_nat n n forany n.（任意のnについて、nは
nと等しいという命題がtrueとなる）
  
  
つ。となり、主張が成り立
帰納法の仮定から、
立つ。以下のような式が成り
ッチに着目すると、の２つめのパターンマとすると、
をと置き、帰納法の仮定次に、
となる。ため、結果はにパターンマッチするその後もう一度
にパターンマッチし、の定義より、先ずと置くと、
する。について帰納法を適用証明：
trueSnSnnatbeq
nnnatbeqSnSnnatbeq
natbeq
truennnatbeq
Snn
true
natbeqn
n





''_
''_''_
_
''_
'
0
0_0

9. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 9
演習 [3/3]
 次の証明を与えなさい。
Theorem beq_nat_refl : forall n : nat,
true = beq_nat n n.
Proof.
intros n. induction n as [| n'].
Case "n = 0".
simpl. reflexivity.
Case "n = S n'".
simpl. rewrite <- IHn'. reflexivity. Qed.

10. 10/05/2013 Coq'Art読書会あらためSF読む会 #1 10
Thanks a lot!