Uploaded bywarijung2012
8,240 views

เอกสารประกอบ ตัวประกอบ

เรื่องตัวประกอบ

Embed presentation

Downloaded 145 times
1 / 108
2 / 108
3 / 108
4 / 108
5 / 108
6 / 108
7 / 108
8 / 108
9 / 108
10 / 108
11 / 108
12 / 108
13 / 108
14 / 108
15 / 108
16 / 108
17 / 108
18 / 108
19 / 108
20 / 108
21 / 108
22 / 108
23 / 108
24 / 108
25 / 108
26 / 108
27 / 108
28 / 108
29 / 108
30 / 108
31 / 108
32 / 108
33 / 108
34 / 108
35 / 108
36 / 108
37 / 108
38 / 108
39 / 108
40 / 108
41 / 108
42 / 108
43 / 108
44 / 108
45 / 108
46 / 108
47 / 108
48 / 108
49 / 108
50 / 108
51 / 108
52 / 108
53 / 108
54 / 108
55 / 108
56 / 108
57 / 108
58 / 108
59 / 108
60 / 108
61 / 108
62 / 108
63 / 108
64 / 108
65 / 108
66 / 108
67 / 108
68 / 108
69 / 108
70 / 108
71 / 108
72 / 108
73 / 108
74 / 108
75 / 108
76 / 108
77 / 108
78 / 108
79 / 108
80 / 108
81 / 108
82 / 108
83 / 108
84 / 108
85 / 108
86 / 108
87 / 108
88 / 108
89 / 108
90 / 108
91 / 108
92 / 108
93 / 108
94 / 108
95 / 108
96 / 108
97 / 108
98 / 108
99 / 108
100 / 108
101 / 108
102 / 108
103 / 108
104 / 108
105 / 108
106 / 108
107 / 108
108 / 108
คํานํา การสอนกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตรในระดับแระถมศึกษา มีจุดมุงหมายเพื่อให นักเรียนไดรูจักคิดหาเหตุผล เกิดความรู ความเขาใจละมีทักษะการคิดคํานวณ ซึ่งการเรียนการ สอนคณิตศาสตรมักเกิดปญหาผูเรียนขาดทักษะ และไมผานการประเมินผลตัวชี้วัด เนื่องจาก ความแตกตางระหวางบุคคล และสภาพแวดลอม ครูผูสอนจึงจําเปนตองหาทางแกไข เพื่อชวย ใหนักเรียนไดมีโอกาสเรียนรูตามความสามารถของตน แบบฝ ก เสริ ม ทั ก ษะนี้ จั ด ทํ า ขึ้ นเพื่ อใช ป ระกอบการสอนเสริ ม และแก ป ญ หาให กั บ นักเรียนที่ขาดทักษะทางคณิตศาสตร และไมผานการประเมินผลตัวชี้วัด โดยมีแบบฝกเกี่ยวกับ เรื่องตัวประกอบของจํานวนนับ ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 นักเรียนจะไดฝกฝนเพิ่มเติมเพื่อใหเกิด ทักษะ และเปนการชวยใหผูเรียนเกิดทัศนะคติที่ดีตอการเรียนคณิตศาสตร ซึ่งผูสอนสามารถ เลือกใชไดตามความสะดวก และเหมาะสมกับเนื้อหาหลักสูตร ประยุกตใชกับผูเรียนไดใน สภาพแวดลอมตางๆ ในการจัดทําแบบฝกเสริมทักษะสําเร็จลุลวงไปไดดวยดี ไดรับการสนับสนุนสงเสริม จากนายสมชาย ศรีเพชร ผูอํานวยการโรงเรียน นายปญญา อินทรใจเอื้อ นางมณี ดวงโสน รองผูอํานวยการโรงเรียน และคณะครูในโรงเรียนเฉลิมพระเกียรติ ๖๐ พรรษาฯ ทุกทาน ผูเขียนหวังเปนอยางยิ่งวาแบบฝกเสริมทักษะเลมนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอน คณิตศาสตร เรื่องตัวประกอบของจํานวนนับ ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ซึ่งจะชวยยกระดับคุณภาพ การศึกษาและผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ใหมีประสิทธิภาพดี ยิ่งขึ้น อุไรวรรณ กุลวงศวิทย โรงเรียนเฉลิมพระเกียรติ ๖๐ พรรษา สมเด็จพระนางเจาสิรกิติ์พระบรมราชินีนาถ ิ สํานักงานเขตพื้นที่การศึกษานนทบุรี เขต 2
สารบัญ เรื่อง หนา คํานํา……………………………………………………………………… ก สารบัญ.............................................................................................. ข จุดประสงคการเรียนรู.................................................................................... 1 คําแนะนําการใชแบบฝกทักษะสําหรับครู...................................................... 2 คําแนะนําการใชแบบฝกทักษะสําหรับนักเรียน............................................. 3 แบบทดสอบกอนเรียน................................................................................... 4 เกร็ดความรูที่ 1 เรื่อง การหารลงตัว.............................................................. 8 แบบฝกหัดที่ 1............................................................................................... 9 เกร็ดความรูที่ 2 เรื่อง ตัวประกอบ................................................................ 10 แบบฝกหัดชุดที่ 2.1 – 2.3.............................................................................. 12 เกร็ดความรูที่ 3 เรื่อง การใชตัวประกอบในการหาผลคูณ............................. 17 แบบฝกหัดที่ 3................................................................................................ 18 เกร็ดความรูที่ 4 เรื่อง การใชตัวประกอบในการหาผลหาร............................ 21 แบบฝกหัดที่ 4............................................................................................... 22 เกร็ดความรูที่ 5 เรื่อง จํานวนเฉพาะ............................................................. 26 แบบฝกหัดที่ 5............................................................................................... 27 เกร็ดความรูที่ 6 เรื่อง ตัวประกอบเฉพาะ...................................................... 28 แบบฝกหัดที่ 6............................................................................................... 29 เกร็ดความรูที่ 7 เรื่อง การแยกตัวประกอบ................................................... 30 แบบฝกหัดที่ 7.1 – 7.3................................................................................... 33 เกร็ดความรูที่ 8 เรื่อง การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร............................. 36 แบบฝกหัดที่ 8............................................................................................... 37 เกร็ดความรูที่ 9 เรื่อง ตัวหารรวมและตัวหารรวมมาก.................................. 41 แบบฝกหัดที่ 9............................................................................................... 43 เกร็ดความรูที่ 10 เรื่อง การหา ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบ..................... 47 แบบฝกหัดที่ 10............................................................................................ 48
สารบัญ (ตอ) เรื่อง หนา เกร็ดความรูที่ 11 เรื่อง การหา ห.ร.ม. โดยวิธีตั้งหาร.................................... 51 แบบฝกหัดที่ 11............................................................................................. 54 เกร็ดความรูที่ 12 เรื่อง ตัวคูณรวม................................................................ 58 แบบฝกหัดที่ 12............................................................................................ 59 เกร็ดความรูที่ 13 เรื่อง การหาตัวคูณรวมและตัวคูณรวมนอย...................... 62 แบบฝกหัดที่ 13............................................................................................ 63 เกร็ดความรูที่ 14 เรื่อง การหา ค.ร.น.โดยวิธีแยกตัวประกอบ....................... 67 แบบฝกหัดที่ 14............................................................................................. 69 เกร็ดความรูที่ 15 เรื่อง การหา ค.ร.น. โดยวิธีตงหาร.................................... 72 ั้ แบบฝกหัดที่ 15............................................................................................ 73 เกร็ดความรูที่ 16 เรื่อง โจทยปญหา ห.ร.ม................................................... 77 แบบฝกหัดที่ 16............................................................................................ 79 เกร็ดความรูที่ 17 เรื่อง โจทยปญหา ค.ร.น. ................................................. 81 แบบฝกหัดที่ 17............................................................................................. 82 เกร็ดความรูที่ 18 เรื่อง โจทยปญหาระคน................................................... 85 แบบฝกหัดที่ 18............................................................................................ 87 แบบทดสอบหลังเรียน................................................................................... 90 ภาคผนวก...................................................................................................... 95 เฉลยแบบทดสอบและแบบฝกหัด................................................................... 96 แบบบันทึกคะแนน......................................................................................... 102 เกณฑการประเมินคุณภาพ............................................................................. 103 บรรณานุกรม................................................................................................. 104
จุดประสงคการเรียนรูเรื่อง ตัวประกอบของจํานวนนับ 1. เมื่อกําหนดจํานวนนับให สามารถหาตัวประกอบทั้งหมดของจํานวนนับนั้นได 2. เมื่อกําหนดจํานวนนับให สามารถบอกไดวาจํานวนใดเปนจํานวนเฉพาะพรอมทั้งบอก เหตุผลได 3. เมื่อกําหนดจํานวนนับให สามารถหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของจํานวนนับนั้นได 4. เมื่อกําหนดจํานวนนับที่ไมใชจํานวนเฉพาะให สามารถแยกตัวประกอบได 5. เมื่อกําหนดจํานวนนับไมเกินสี่จํานวนให สามารถหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับนั้นได 6. เมื่อกําหนดจํานวนนับไมเกินสี่จํานวนให สามารถหา ค.ร.น. ของจํานวนนับนั้นได 7. สามารถใช ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ในการแกโจทยปญหาได
คําแนะนําการใชแบบฝกทักษะสําหรับครู ครูตองศึกษาคําแนะนําสําหรับครู 1. กอนใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 1.1 ครูตองศึกษาเนื้อหาใหเขาใจเปนอยางดี เปนการเตรียมความพรอม 1.2 ครูตองเตรียมแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่องตัวประกอบของจํานวนนับ สําหรับนักเรียนชั้น ประถมศึกษาปที่ 6 ใหเพียงพอกับจํานวนนักเรียน 1.3 จัดเตรียมวัสดุอุปกรณใหพรอม เชน กระดาษคําตอบ กระดาษทด ฯลฯ 2. ขณะใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 2.1 ครูตองแนะนํา ใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง ตัวประกอบ ของจํานวนนับ สําหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 6 2.2 ครูตองชี้แจงปลูกฝงคุณธรรมดานความซื่อสัตย ดานการรักษาสิ่งของสวนรวม โดยไมขีดเขียน หรือทําใหฉีกขาด ชํารุด โดยปฏิบัติอยางเครงครัด 2.3 ครูตองใหนักเรียนทําแบบทดสอบกอนเรียน เพื่อสํารวจความรูพื้นฐานของนักเรียนกอน 2.4 ครูอธิบายเนื้อหาใหนักเรียนเขาใจแลวใหนักเรียนทําแบบฝกหัด ขณะนักเรียนกําลังทํา แบบฝกหัดครูตองดูแลอยางใกลชิด 2.5 ถานักเรียนมีปญหาในการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง ตัวประกอบของจํานวนนับ สําหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ครูตองใหคําปรึกษา อธิบายใหนักเรียนเขาใจได 2.6 ครูตองคํานึงถึงความแตกตางระหวางบุคคลเปนสําคัญ 2.7 การสรุปบทเรียนในแตละเรื่อง ใหนักเรียนชวยกันสรุปอีกครั้งพรอมเฉลยแบบฝกหัด แลว บันทึกคะแนนไว 2.8 หลังจากจบบทเรียนแลว ใหนักเรียนทําแบบทดสอบหลังเรียนจนเสร็จเรียบรอยแลวใหดูเฉลย 3. หลังการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 3.1 ตรวจสอบความเรียบรอยผลงานนักเรียนใหครบทุกแบบฝกหัด 3.2 ตรวจสอบความถูกตองการบันทึกคะแนนของนักเรียน 3.3 ประเมินผลความกาวหนาของนักเรียน 3.4 แจงใหนักเรียนทราบ และรายงานผูเกี่ยวของตอไป ......................................................
คําแนะนําการใชแบบฝกทักษะสําหรับนักเรียน 1. ขอปฏิบัติของนักเรียนกอนใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 1.1 ตรวจความพรอมเอกสารตางๆที่ไดวาครบหรือไม 1.2 รับฟงคําชี้แนะจากครูผสอน ู 2. ขอปฏิบัติของนักเรียนขณะใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 2.1 ทําแบบทดสอบกอนเรียน 2.2 ศึกษาไปตามลําดับที่กําหนดให อยาขามเนื้อหา จะทําใหเกิดความสับสน 2.3 ถาไมเขาใจเนื้อหาตอนใดใหถามครูผูสอน อยาขาม หรือปลอยทิ้งผานไป 2.4 ตองทําแบบฝกหัดดวยตนเองโดยไมดูเฉลยกอน มิฉะนั้นการเรียนนี้จะไมเกิด ประโยชนใดๆแกนักเรียนทั้งสิ้น 2.5 การตั้งใจศึกษาดวยความมุงมั่น จะทําใหนักเรียนประสบความสําเร็จในการเรียน 2.6 ไมตองรีบรอนในการทําแบบฝกหัด อานใหเขาใจชาๆชัดๆ เหนื่อยก็พักกอน หาย เหนื่อยแลวลงมือศึกษาตอไป ไมมีอะไรยากเกินความสามารถของคนที่มีความพยายาม 2.7 เมื่อนักเรียนทําแบบฝกหัดเสร็จแลวใหตรวจคําตอบ ถามีขอผิด หรือไมเขาใจให ศึกษาดูใหม หรือปรึกษาครูผูสอน 2.8 เมื่อนักเรียนทําแบบฝกหัดทั้งหมดเสร็จแลว ใหทําแบบทดสอบหลังเรียนดวย แลว ตรวจเฉลย 3. ขอปฏิบัติของนักเรียนหลังใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 3.1 บันทึกคะแนนที่ไดทุกแบบฝกหัด ลงในแบบที่กําหนดให 3.2 บันทึกคะแนนแบบทดสอบกอนเรียน-หลังเรียนลงในแบบที่กําหนดให 3.3 ตรวจความเรียบรอยเอกสารทั้งหมดกอนสงคืนครูผูสอน …………………………….………….
แบบทดสอบกอนเรียน หนวยการเรียนรูที่ 3 เรื่อง ตัวประกอบของจํานวนนับ รายวิชาคณิตศาสตร (ค16101) ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2552 .......................................... แบบทดสอบฉบับนี้เปนแบบปรนัย มีจํานวน 20 ขอ เวลา 30 นาที คะแนนเต็ม 20 คะแนน คําชี้แจง จงกาเครื่องหมาย  ขอที่ถูกตองที่สุดเพียงขอเดียวเทานั้น 1. ขอใดเปนตัวประกอบทุกตัวของ 35 ก. 1 , 3 , 5 , 35 ข. 1 , 3 , 7 , 35 ค. 1 , 5 , 7 , 35 ง. 1 , 2 , 7 , 35 2. ขอใดคือตัวประกอบทั้งหมดของ 9 ก. 1 , 2 , 3 ข. 1 , 3 , 9 ค. 1 , 3 , 6 ง. 1 , 2 , 9 3. 97 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด ก. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 97 ข. เปน เพราะมีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 97 ค. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 9 และ 7 ง. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1 , 7 , 9 และ 97 4. 57 เปนจํานวนเฉพาะหรือไมเพราะเหตุใด ก. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 57 ข. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 3 , 19 และ 57 ค. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 57 ง. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 3 และ 19
5. ขอใดเปนตัวประกอบเฉพาะของ 42 ก. 1 , 2 , 3 ข. 2 , 3 , 7 ค. 6 , 7 ง. 1 , 6 , 7 6. ขอใดเปนตัวประกอบเฉพาะของ 51 ก. 1 , 3 , 17 ข. 1 , 51 ค. 1 , 3 , 7 , 51 ง. 3 , 17 7. ขอใดเปนการแยกตัวประกอบของ 96 ก. 96 = 3 × 8 × 4 ข. 96 = 3 × 25 ค. 96 = 3 × 32 ง. 96 = 6 × 16 8. ขอใดแยกตวประกอบไมถูกตอง ั ก. 27 = 33 ข. 16 = 42 ค. 12 = 22 × 3 ง. 10 = 2 × 5 9. ขอใดเปนตัวหารรวมของ 4 และ 6 ก. 1 , 6 ข. 1 , 4 ค. 1 , 3 ง. 1 , 2 10. ห.ร.ม. ของ 10 , 20 , 30 และ 60 คือขอใด ก. 10 ข. 15 ค. 20 ง. 25
11. 7 เปน ห.ร.ม. ของจํานวนนับในขอใด ก. 7 , 15 ข. 7 , 21 ค. 7 , 27 ง. 7 , 29 12. ขอใดเปนตัวคูณรวมของ 4 และ 6 ก. 4 , 8 , 12 , ... ข. 6 , 12 , 18 , ... ค. 8 , 16 , 24 , ... ง. 12 , 24 , 36 , ... 13. ขอใดเปนตัวคูณรวมของ 6 , 10 และ 15 ก. 30 , 60 , 90 , ... ข. 15 , 30 , 45 , ... ค. 10 , 20 , 30 , ... ง. 1 , 2 , 3 , ... 14. ค.ร.น. ขอ ง 8 , 12 และ 32 คือขอใด ก. 24 ข. 48 ค. 64 ง. 96 15. จํานวน 36 เปน ค.ร.น. ของจํานวนนับในขอใด ก. 15 , 30 , 36 ข. 9 , 18 , 36 ค. 8 , 16 , 32 ง. 6 , 15 , 18 16. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 6 , 18 และ 30 มีคาตางกันเทาไร ก. 6 ข. 15 ค. 84 ง. 90
17. เชือกสีขาวยาว 27 เมตร เชือกสีเขียวยาว 36 เมตร ตองการตัดเปนทอนยาวเทาๆกัน ใหแตละทอนมีขนาดยาวที่สุดและไมเหลือเศษ จะตัดไดทั้งหมดกี่ทอน ก. 7 ทอน ข. 9 ทอน ค. 12 ทอน ง. 18 ทอน 18. รถไฟขบวนที่ 1 ออกทุกๆ 30 นาที รถไฟขบวนที่ 2 ออกทุกๆ 45 นาที รถไฟขบวน ที่ 3 ออกทุกๆ 1 ชั่วโมง รถไฟทั้งสามขบวนออกพรอมกันครั้งแรกเวลา 06.00 น. รถไฟ ทั้งสามขบวนนี้จะออกพรอมกันครั้งที่สองเวลาเทาไร ก. 07.30 น. ข. 08.00 น. ค. 09.00 น. ง. 10.00 น. 19. นมถั่วเหลืองราคากลองละ 8 บาท นมโคสดราคากลองละ 10 บาท ถาตองการซื้อนม ทั้งสองชนิด โดยจายเปนเงินคานมถั่วเหลืองและคานมโคสดอยางละเทาๆกัน จะไดนม ชนิดละกี่กลอง ก. นมถั่วเหลือง 5 กลอง นมโคสด 4 กลอง ข. นมถั่วเหลือง 4 กลอง นมโคสด 5 กลอง ค. นมถั่วเหลือง 3 กลอง นมโคสด 4 กลอง ง. นมถั่วเหลือง 4 กลอง นมโคสด 3 กลอง 20. พลอย , พิมพ และ พัฒน วิ่งรอบสนามเด็กเลน หนึ่งรอบใชเวลา 3 , 4 และ 5 นาที ตามลําดับ ถาทั้งสามคนออกวิ่งพรอมกันเวลา 09.00 น. เวลาใดที่ทั้งสามคนจะวิ่งพรอม กันเปนครั้งที่สอง ก. 10.00 น. ข. 10.30 น. ค. 11.00 น. ง. 11.30 น.
เกร็ดความรูที่ 1 การหารลงตัว ใหนักเรียนพิจารณาการหารตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 จงหาผลหารของ 45 ÷ 3 =  ตัวอยางที่ 2 จงหาผลหารของ 46 ÷ 3 =  15 15 วิธีทํา 3 45 วิธีทํา 3 46 3 3 15 16 15 15 00 01 ตอบ ๑๕ ตอบ ๑๕ เศษ ๑ จากตัวอยางที่ 1 จะไดวา 45 ÷ 3 = 15 ไมเหลือเศษ หรือ เศษเปน 0 เรียกวา “ การหารลงตัว” ตัวอยางที่ 2 จะไดวา 46 ÷ 3 = 15 เหลือเศษ 1 เรียกวา “การหารไมลงตัว” สรุปวา :- “ การหารลงตัวคือ การหารที่ไมมีเศษ หรือ เศษเปน 0 ” เชน 15 ÷ 5 = 3 , 16 ÷ 4 = 4 12 ÷ 2 = 6 , 49 ÷ 7 = 7 “ การหารไมลงตัวคือ การหารที่เหลือเศษ ” เชน 22 ÷ 3 = 7 เศษ 1 , 50 ÷ 6 = 8 เศษ 2 31 ÷ 4 = 7 เศษ 3 , 29 ÷ 5 = 5 เศษ 4
แบบฝกหัดที่ 1 คําชี้แจง ใหนักเรียน กาเครื่องหมาย √ หนาขอที่หารลงตัว และ กาเครื่องหมาย  หนาขอที่หารไมลงตัว ตัวอยาง √ ก) 63 ÷ 9  ข) 45 ÷ 7 ............1) 14 ÷ 7 ............2) 35 ÷ 7 ............3) 98 ÷ 3 ............4) 66 ÷ 8 ............5) 48 ÷ 6 ............6) 75 ÷ 5 ............7) 116 ÷ 4 ............8) 136 ÷ 8 ............9) 513 ÷ 9 ..........10) 746 ÷ 12
เกร็ดความรูที่ 2 ตัวประกอบ ใหนักเรียนพิจารณาการหารตอไปนี้ ใหนักเรียนพิจารณาจํานวนนับ 8 วามีจํานวนนับใดที่หาร 8 ไดลงตัวบาง 8 ÷ 1 = 8 ดังนั้น 1 เปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 1 ลงตัว 8 ÷ 2 = 4 ดังนั้น 2 เปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 2 ลงตัว 8 ÷ 3 = 2 เศษ 2 ดังนั้น 3 ไมเปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 3 ไมลงตัว 8 ÷ 4 = 2 ดังนั้น 4 เปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 4 ลงตัว 8 ÷ 6 = 1 เศษ 2 ดังนั้น 6 ไมเปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 6 ไมลงตัว 8 ÷ 8 = 1 ดังนั้น 8 เปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 8 ลงตัว ดังนั้น ตัวประกอบของ 8 ไดแก 1 , 2 , 4 , 8
ใหนักเรียนพิจารณาตัวประกอบของจํานวนนับตอไปนี้ 47 ÷ 5 = 9 เศษ 2 ดังนั้น 5 ไมเปนตัวประกอบของ 47 เพราะ 47 หารดวย 5ไมลงตัว 54 ÷ 9 = 6 ดังนั้น 9 เปนตัวประกอบของ 54 เพราะ 54 หารดวย 9 ลงตัว 32 ÷ 8 = 4 ดังนั้น 8 เปนตัวประกอบของ 32 เพราะ 32 หารดวย 8 ลงตัว 70 ÷ 10 = 7 ดังนั้น 10 เปนตัวประกอบของ 70 เพราะ 70 หารดวย 1 ลงตัว สรุปวา :- “ ตัวประกอบของจํานวนนับใดๆ คือ จํานวนนับที่หารจํานวนนับนั้นไดลงตัว ” เชน ตัวประกอบของ 56 ไดแก 1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 14 , 28 , 56 ตัวประกอบของ 26 ไดแก 1 , 2 , 13 , 26 ตัวประกอบของ 25 ไดแก 1 , 5 , 25 ตัวประกอบของ 36 ไดแก 1 , 2 , 3 , 4 , 9 , 12 , 18 ,36 ตัวประกอบของ 40 ไดแก 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 20 , 40
แบบฝกหัดที่ 2.1 คําชี้แจง ใหนักเรียนพิจารณาวาจํานวนนับที่กําหนดใหเปนตัวประกอบของ จํานวนนับอีกจํานวนหนึ่งหรือไม พรอมบอกเหตุผลโดยระบายสีในชองที่ ตองการ ตัวอยาง 3 เปนตัวประกอบของ 10 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ10 ÷ 3 ลงตัว ไมเปน เพราะ 10 ÷ 3 ไมลงตัว ตัวอยาง 4 เปนตัวประกอบของ 12 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 12 ÷ 4 ลงตัว ไมเปน เพราะ 12 ÷ 4 ไมลงตัว 1) 2 เปนตัวประกอบของ 14 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 14 ÷ 2 ลงตัว ไมเปน เพราะ 14 ÷ 2 ไมลงตัว 2) 5 เปนตัวประกอบของ 14 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 14 ÷ 5 ลงตัว ไมเปน เพราะ 14 ÷ 5 ไมลงตัว 3) 6 เปนตัวประกอบของ 15 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 15 ÷ 6 ลงตัว ไมเปน เพราะ 15 ÷ 6 ไมลงตัว 4) 7 เปนตัวประกอบของ 21 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 21 ÷ 7 ลงตัว ไมเปน เพราะ 21 ÷ 7 ไมลงตัว 5) 8 เปนตัวประกอบของ 24 หรือไม เพราะเหตุใด
เปน เพราะ 24 ÷ 8 ลงตัว ไมเปน เพราะ 24 ÷ 8 ไมลงตัว 6) 9 เปนตัวประกอบของ 220 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 220 ÷ 9 ลงตัว ไมเปน เพราะ 220 ÷ 9 ไมลงตัว 7) 10 เปนตัวประกอบของ 120 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 120 ÷ 10 ลงตัว ไมเปน เพราะ 120 ÷ 10 ไมลงตัว  8) 11 เปนตัวประกอบของ 150 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 150 ÷ 11 ลงตัว ไมเปน เพราะ 150 ÷ 11 ไมลงตัว  9) 13 เปนตัวประกอบของ 130 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 130 ÷ 13 ลงตัว ไมเปน เพราะ130 ÷ 13 ไมลงตัว 10) 17 เปนตัวประกอบของ 340 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 340 ÷ 17 ลงตัว ไมเปน เพราะ340 ÷ 17 ไมลงตัว  .......................................................... แบบฝกหัดที่ 2.2
คําชี้แจง ใหนักเรียนหาตัวประกอบของจํานวนนับตอไปนี้ใหครบทุกตัวแลวเติมใน ชองวาง 1 2 ตัวอยาง ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 12 12 3 12 4 6 1) ตัวประกอบของ 6 ไดแก 6 2) ตัวประกอบของ 8 ไดแก 8 3) ตัวประกอบของ 9 ไดแก 9 4) ตัวประกอบของ 10 ไดแก 10 5) ตัวประกอบของ 15 ไดแก 15 6) ตัวประกอบของ 18 ไดแก 18 18 7) ตัวประกอบของ 20 ไดแก 20 8) ตัวประกอบของ 25 ไดแก 25 9) ตัวประกอบของ 27 ไดแก 27 30 10) ตัวประกอบของ 30 ไดแก ……………………………….. แบบฝกหัดที่ 2.3
คําชี้แจง ใหนักเรียนระบายสี จํานวนนับที่สัมพันธกับโจทย ตัวอยาง 12 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 30 48 60 75 1) 2 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 17 25 26 34 42 2) 3 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 3) 4 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 10 20 30 40 50 4) 5 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 12 17 25 30 32 5) 6 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71
6) 7 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 7) 8 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 8) 9 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 9) 10 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 10) 11 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 25 55 75 77 107 ………………............................ เกร็ดความรูที่ 3 การใชตัวประกอบในการหาผลคูณ
การหาผลคูณระหวางจํานวนสองจํานวน อาจนําความรูเรื่องตัวประกอบมาใชได โดยการเขียนจํานวนใดจํานวนหนึ่งหรือทั้งสองจํานวนในรูปการคูณของตัว ประกอบ แลวใชสมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนหมูการคูณ ดังนี้ ใหนักเรียนพิจารณาการหาผลคูณตอไปนี้ 18 × 45 =  การหาผลคูณใน วิธีทํา 18 × 45 = 18 × ( 5 × 9 ) แนวตั้ง = ( 18 × 5 ) × 9 18 = 90 × 9 45 + = 810 90 ตอบ ๘๑๐ 720 หรือ 18 × 45 = ( 9 × 2 ) × 45 = 9 × ( 2 × 45 ) = 9 × 90 = 810 ตอบ ๘๑๐ หรือ 18 × 45 = ( 9 × 2 ) ×( 5 × 9 ) = (9 × 9) × (2 × 5) = 81 × 10 = 810 ตอบ ๘๑๐ …………………. แบบฝกหัดที่ 3 คําชี้แจง จงหาผลคูณโดยใชเรื่องตัวประกอบ ( เลือกทําวิธีเดียว ) ตัวอยาง 35 × 28 = 35 × ( 4 × 7 ) หรือ = ( 7 × 5 ) × 28
= ( 35 × 4 ) × 7 = 7 × ( 5 × 28 ) = 140 × 7 = 7 × 140 = 980 = 980 ตอบ ๙๘๐ หรือ 35 × 28 = (5× 7 )× (7× 4) = (7× 7)× (5× 4) = 49 × 20 = 980 1) 45 × 49 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 2) 39 × 48 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 3) 52 × 63 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =…………………………………………
ตอบ................................ 4) 64 × 75 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 5) 66 × 42 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 6) 49 × 36 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 7) 95 × 72 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 8) 56 × 81 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................
9) 54 × 24 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 10) 42 × 25 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ .................................................... เกร็ดความรูที่ 4 การใชตัวประกอบในการหาผลหาร
การหาผลหารอาจนําความรูเรื่องตัวประกอบมาใชได โดยการเขียนตัวหาร ในรูปการคูณของตัวประกอบ แลวนําตัวประกอบไปหารตัวตั้ง แตตองเปนการหาร ลงตัว ใหนักเรียนพิจารณา การหารตอไปนี้ จงหาผลหาร 315 ÷ 35 =  วิธีทํา 35 = 5×7 5) 3 1 5 7) 6 3 9 ดังนั้น 315 ÷ 35 = 9 ตรวจคําตอบ ผลหาร × ตัวหาร = 9 × 35 = 315 เทากับตัวตั้ง แสดงวาคําตอบถูกตอง ตอบ ๙ แบบฝกหัดที่ 4 คําชี้แจง ใหนักเรียนหาผลหารโดยใชตัวประกอบของตัวหาร ตัวอยาง 1,848 ÷ 66 =  วิธีทํา 66 = 6 × 11 6 ) 1848
11 )3 0 8 28 ตรวจคําตอบ 28 × 66 = 1,848 ตอบ ๒๘ 1) 360 ÷ 45 =  วิธีทํา ........................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... 2) 336 ÷ 42 =  วิธีทํา........................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ...................................................................................................... ตอบ........................... 3) 726 ÷ 22 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... 4) 448 ÷ 56 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... 5) 693 ÷ 63 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ......................... 6) 539 ÷ 49 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... 7) 1,584 ÷ 48 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................ ตอบ........................... 8) 1,425 ÷ 25 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ............................................................................................................... ตอบ........................... 9) 1,155 ÷ 35 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ......................................................................................................................
............... ตรวจคําตอบ ................................................................................................................. ตอบ........................... 10) 2,079 ÷ 63 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... ..............................................................
เกร็ดความรูที่ 5 จํานวนเฉพาะ ใหนักเรียนพิจารณาตัวประกอบของจํานวนนับตอไปนี้ ตัวประกอบของ 21 ไดแก 1 , 3 , 7 , 21 ตัวประกอบของ 23 ไดแก 1 , 23 ตัวประกอบของ 25 ไดแก 1 , 5 , 25 ตัวประกอบของ 30 ไดแก 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 ตัวประกอบของ 31 ไดแก 1 , 31 ตัวประกอบของ 47 ไดแก 1 , 47 ตัวประกอบของ 23 , 31 และ 47 มีจํานวน 2 ตัว คือ 1 และจํานวนนับนั้น สรุปวา :- จํานวนนับที่มีตัวประกอบเพียงสองตัวคือ 1 และจํานวนนับนั้น เรียกวา “ จํานวนเฉพาะ ” จํานวนเฉพาะที่อยูระหวาง 1 – 100 (ในวงกลม) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
แบบฝกหัดที่ 5 คําชี้แจง จงกาเครื่องหมาย √ หนาขอที่เปนจํานวนเฉพาะ และกาเครื่องหมาย  หนาขอที่ไมเปนจํานวนเฉพาะ พรอมทั้งบอกเหตุผล ตัวอยาง √ ก. 11 เพราะมีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 11  ข. 14 เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 2 , 7 , 14 ....................1) 71 เพราะ.......................................................................... ....................2) 16 เพราะ................. ......................................................... ....................3) 21 เพราะ.......................................................................... ....................4) 23 เพราะ.......................................................................... ....................5) 27 เพราะ.......................................................................... ....................6) 79 เพราะ.......................................................................... ....................7) 32 เพราะ.......................................................................... ....................8) 59 เพราะ.......................................................................... ....................9) 47 เพราะ.......................................................................... ....................10) 46 เพราะ..................................... ....................................
เกร็ดความรูที่ 6 ตัวประกอบเฉพาะ ใหนักเรียนพิจารณาตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้ ตัวประกอบของ 15 ไดแก 1 , 3 , 5 , 15 ตัวประกอบของ 30 ไดแก 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 ตัวประกอบของ 42 ไดแก 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42 ตัวประกอบของ 49 ไดแก 1 , 7 , 49 ตัวประกอบของ 15 มี 4 ตัว จะมีตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะสองตัวคือ 3 และ 5 ตัวประกอบของ 30 มี 8 ตัว จะมีตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะสามตัวคือ 2 , 3 และ 5 ตัวประกอบของ 42 มี 8 ตัว จะมีตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะสามตัวคือ 2 , 3 และ 7 ตัวประกอบของ 49 มี 3 ตัว จะมีตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะหนึ่งตัวคือ 7 สรุปวา :- ตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะ เรียกวา “ ตัวประกอบเฉพาะ ” เชน ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 ซึ่งจะมี 2 และ 3 เปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น 2 และ 3 จึง เปนตัวประกอบเฉพาะ ของ 12 ตัวประกอบของ 45 ไดแก 1 , 3 , 5 , 9 , 15 , 45 จะมี 3 และ 5 เปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น 3 และ 5 จึงเปนตัวประกอบเฉพาะ ของ 45 ตัวประกอบของ 50 ไดแก 1 , 2 , 5 , 10 , 25 , 50 จะมี 2 และ 5 เปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น 2 และ 5 จึงเปนตัวประกอบเฉพาะ ของ 50 ตัวประกอบของ 70 ไดแก 1 , 2 , 5 , 7 , 10 , 14 , 35 , 70 จะมี 2 , 5 และ 7 เปน จํานวนเฉพาะ ดังนั้น 2 , 5 และ 7 จึงเปนตัวประกอบเฉพาะ ของ 70
แบบฝกหัดที่ 6 คําชี้แจง ใหนักเรียนหาตัวประกอบเฉพาะของจํานวนตอไปนี้ 24 ตัวอยาง ตัวประกอบเฉพาะของ 24 คือ 2 และ 3 2 3 10 1) ตัวประกอบเฉพาะของ 10 คือ 14 2) ตัวประกอบเฉพาะของ 14 คือ 21 3) ตัวประกอบเฉพาะของ 21 คือ 25 4) ตัวประกอบเฉพาะของ 25 คือ 39 5) ตัวประกอบเฉพาะของ 39 คือ 44 6) ตัวประกอบเฉพาะของ 44 คือ 7) ตัวประกอบเฉพาะของ 51 คือ 51 8) ตัวประกอบเฉพาะของ 91 คือ 91 9) ตัวประกอบเฉพาะของ 95 คือ 95 10) ตัวประกอบเฉพาะของ 102 คือ 102
เกร็ดความรูที่ 7 การแยกตัวประกอบ ใหนักเรียนพิจารณาการแยกตัวประกอบของ 40 เปนจํานวนนับสองจํานวนคูณกัน ดังนี้ 40 = 1 × 40 40 = 2 × 20 40 = 4 × 10 40 = 5×8 จะเขียนเปนแผนภาพไดดังนี้ 1 2 4 5 8 10 20 40 จากแผนภาพจะไดตัวประกอบเฉพาะของ 40 คือ 2 และ 5 การแยกตัวประกอบของ 40 = 5 × 8 จะพบวา 8 ไมเปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น เราสามารถเขียน 8 ใหอยูในรูปการคูณของจํานวนสองจํานวนคือ 8 = 2 × 4  จะพบวา 4 ไมเปนจํานวนเพาะ ดังนั้นเราสามารถเขียน 4 ใหอยูในรูปการคูณของ จํานวนเฉพาะคือ 4 = 2 × 2 ดังนั้น 40 = 5 × 2 × 2 × 2 เปนการแยกตัว ประกอบที่สมบูรณ 40 = 5 ×8 หรือ 40 = 5 ×2×4 5 × 8 = 5 ×2×2×2 2 × 4 2 × 2
หรือ 40 = 2 × 20 จะพบวา 20 ไมเปนจํานวนเฉพาะ จึงตองเขียน 20 ใหอยูในรูปการ คูณของจํานวนสองจํานวนคือ 20 = 2 × 10 จะพบวา 10 ไมเปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้นเราสามารถเขียน 10 ใหอยูในรูปการคูณของจํานวนสองจํานวนคือ 10 = 2 × 5 ดังนั้น 40 = 2 × 2 × 2 × 5 เปนการแยกตัวประกอบที่สมบูรณ 40 = 2 × 20 หรือ 40 = 2 × 2 × 10 2 × 20 = 2 ×2 × 2 ×5 2 × 10 2 × 5 หรือ 40 = 4 × 10 ทั้ง 4 และ 10 ไมเปนจํานวนเฉพาะ นํา 4 และ 10 มาเขียนใหอยู ในรูปการคูณของจํานวนสองจํานวนคือ 4 = 2 × 2 และ 10 = 2 × 5 ดังนั้น 40 = 2 × 2 × 2 × 5 เปนการแยกตัวประกอบที่สมบูรณ 40 = 4 × 10 หรือ 40 = 2×2×2×5 4 × 10 2 × 2 × 2 × 5 สรุปวา :- การแยกตัวประกอบ คือ “ การเขียนจํานวนนับในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ ” เชน การแยกตัวประกอบของ 70 = 7 × 10 = 7×2×5 การแยกตัวประกอบของ 150 = 15 × 10 = 3×5×2×5 การแยกตัวประกอบของ 40 = 4 × 10 = 2×2×2×5
การแยกตัวประกอบของ 48 = 2 × 24 = 2 × 2 × 12 = 2 × 2 ×2 × 6 = 2×2×2×2×3 หรือ 80 2 × 40 2 × 20 2 × 10 2 × 5 ดังนั้นสามารถแยกตัวประกอบของ 80 คือ 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 ถาการคูณดวยจํานวนที่ซ้ํากัน สามารถเขียนในรูปเลขยกกําลังได ดังนี้ 80 = 2×2×2×2×5 = 24 × 5 อานวาสองกําลังสีคูณหา ่ 162 = 2×3×3×3×3 = 2 × 34 อานวาสองคูณสามกําลังสี่ 225 = 5×5×3×3 = 52 × 32 อานวาหากําลังสองคูณสามกําลังสอง 48 = 2×2×2×2×3 = 24 × 3 อานวาสองกําลังสี่คูณสาม 150 = 3×5×2×5 = 3 × 2 × 52 อานวาสามคูณสองคูณหากําลังสอง
แบบฝกหัดที่ 7.1 คําชี้แจง ใหนักเรียนกาเครื่องหมาย √ หนาขอที่เปนการแยกตัวประกอบ กาเครื่องหมาย  หนาขอที่ไมเปนการแยกตัวประกอบ ตัวอยาง  ก. 15 = 1×3×5 √ ข. 8 = 2×2×2 ............1) 16 = 2×2×2×2 ............2) 18 = 2×9 ............3) 20 = 4×5 ............4) 21 = 3×7 ............5) 45 = 3×5×3 ............6) 25 = 5×5 ............7) 40 = 5×8 ............8) 66 = 2 × 3 × 11 ............9) 49 = 1×7×7 ............10) 27 = 3×9
แบบฝกหัดที่ 7.2 คําชี้แจง จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้ 45 ตัวอยาง = 5 × 3 × 3 1) 36 = × × × 2) 12 = × × × 3) 30 = × × × 4) 50 = × × × 5) 48 = × × × 6) 22 = × × × 7) 26 = × × × 8) 75 = × × × 9) 125 = × × × 10) 100 = × × × ……………………………
แบบฝกหัดที่ 7.3 คําชี้แจง จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้และเขียนใหอยูในรูปเลข ยกกําลัง ตัวอยาง 48 = 2×2×2×2×3 = 24 × 3 1) 81 = = 2) 90 = = 3) 80 = = 4) 64 = = 5) 27 = = 6) 108 = = 7) 242 = = 8) 250 = = 9) 441 = = 10) 676 = =
เกร็ดความรูที่ 8 การแยกตัวประกอบโดยวิธีการตั้งหาร ใหนักเรียนพิจารณา การแยกตัวประกอบของ 50 โดยวิธีการตั้งหาร 5)50 5)10 2 ดังนั้น 50 = 5 × 5 × 2 50 = 5 10 ตอบ ๕๐ = ๕ × ๕ × ๒ = 5 5 2 สรุป :- 1. จํานวนที่เปนตัวหารตองเปนจํานวนเฉพาะ และหารไดลงตัว 2. ผลหารสุดทายตองเปนจํานวนเฉพาะ 3. นําตัวหารทุกตัวและผลหารสุดทายมาเขียนใหอยูในรูปการคูณ จงแยกตัวประกอบของ 150 โดยวิธีการตั้งหาร 5)150 5) 30 150 = 5 30 3) 6 = 5 5 6 2 = 5 5 3 2 150 = 5 × 5 × 3 × 2 ตอบ ๑๕๐ = ๕ × ๕ × ๓ × ๒
แบบฝกหัดที่ 8 คําชี้แจง จงแยกตัวประกอบจํานวนนับตอไปนี้ โดยวิธีการตั้งหาร ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ 390 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา 3) 390 2) 130 5) 65 13 ตอบ ๓๙๐ = ๓ × ๒ × ๕ × ๑๓ 1) จงแยกตัวประกอบของ 78 โดยวิธการตั้งหาร ี วิธีทํา........................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2) จงแยกตัวประกอบของ 81 โดยวิธการตั้งหาร ี วิธีทํา......................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
3) จงแยกตัวประกอบของ 96 โดยวิธการตั้งหาร ี วิธีทํา....................................... .................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 4) จงแยกตัวประกอบของ 108 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 5) จงแยกตัวประกอบของ 125 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
6) จงแยกตัวประกอบของ 150 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 7) จงแยกตัวประกอบของ 200 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 8) จงแยกตัวประกอบของ 250 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
9) จงแยกตัวประกอบของ 300 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 10) จงแยกตัวประกอบของ 450 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
เกร็ดความรูที่ 9 ตัวหารรวมและตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ใหนักเรียนพิจารณาจํานวนนับที่หาร 12 และ 18 ลงตัว 12 18 1 4 9 จํานวนนับที่หาร 12 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 2 12 3 6 18 จํานวนนับที่หาร 18 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 จํานวนนับที่หาร 12 และ 18 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 6 เราเรียก 1 , 2 , 3 และ 6 วาตัวหารรวมหรือตัวประกอบรวมของ 12 และ 18 1 , 2 , 3 และ 6 จํานวนที่มีคามากที่สดคือ 6 ุ ดังนั้นตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ 12 และ 18 คือ 6 ตอบ ๖ จํานวนนับที่หาร 18 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 จํานวนนับที่หาร 30 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 จํานวนนับที่หาร 42 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42 จํานวนนับที่หาร 18 , 30 และ 42 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , และ 6 เราเรียก 1 , 2 , 3 และ 6 วาเปนตัวหารรวมหรือตัวประกอบรวมของ 18 , 30 และ 42 1 , 2 , 3 และ 6 จํานวนที่มีคามากที่สุดคือ 6 ดังนั้นตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม.) ของ 18 , 30 และ 42 คือ 6 ตอบ ๖
สรุปวา :- จํานวนนับที่หารจํานวนตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปไดลงตัว เรียกวา ตัวหารรวมหรือ ตัวประกอบรวมของจํานวนนั้น และตัวหารรวมที่มีคามากที่สุดเรียกวา ตัวหารรวม มาก ( ห.ร.ม. ) พิจารณาการหาตัวหารรวมของ 20 และ 40 ดังนี้ จํานวนนับที่หาร 20 ลงตัวคือ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 จํานวนนับที่หาร 40 ลงตัวคือ 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 20 , 40 จํานวนนับที่หาร 20 และ 40 ลงตัวคือ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 เราเรียก 1 , 2 , 4 , 5 และ 10 วาตัวหารรวมหรือตัวประกอบรวมของ 20 และ 40  1 , 2 , 4 , 5 และ 10 จํานวนที่มีคามากที่สุดคือ 10 ดังนั้นตัวหารรวมมากของ 20 และ 40 คือ 10 ตอบ ๑๐
แบบฝกหัดที่ 9 คําชี้แจง จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของจํานวนตอไปนี้ ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 15 และ 27 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร 15 ลงตัวคือ 1 , 3 , 5 , 15 จํานวนนับที่หาร 27 ลงตัวคือ 1 , 3 , 9 , 27 ตัวหารรวมของ 15 และ 27 คือ 1 และ 3 ตัวหารรวมมากคือ 3 ตอบ ๓ 1) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 10 และ 14 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ........................................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 2) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 15 และ 25 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ............................................................ ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................
3) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 4 และ 12 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ........................................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 4) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 7 และ 21 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ............................................................ ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 5) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 15 และ 18 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ........................................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................
6) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 9 , 15 และ 21 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ..........,......... และ .......... คือ .................................................. ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 7) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 8 , 20 และ 28 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........,......... และ .......... คือ ..................................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 8) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 14 , 42 และ 63 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........,............ และ .......... คือ .................................................. ตัวหารรวมมากคือ .............................. ....... ตอบ ........................
9) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 12 , 30 , 42 และ 60 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ......,......,.......... และ .......... คือ ............................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 10) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 27 , 45 , 63 และ 108 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........,.......,........ และ .......... คือ ............................................. ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ ……………………………………………..
เกร็ดความรูที่ 10 การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ ใหนักเรียนพิจารณาการหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 โดยการแยกตัวประกอบ ดังนี้ 18 27 18 = 2 × 3 ×3 2 3 3 3 27 = 3 × 3 ×3 ตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 18 และ 27 คือ 3 × 3 = 9 สรุป :- ห.ร.ม. หาไดจากผลคูณของจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมหรือตัวหารรวม 30 = 5×2×3 27 = 3×3×3 ห.ร.ม. ของ 30 และ 27 คือ 3 พิจารณาการหา ห.ร.ม. ของ 15 , 18 , 30 และ 45 15 = 3 ×5 18 = 3 × 3 ×2 30 = 3 ×2×5 45 = 3 × 3×5 ห.ร.ม. ของ 15 , 18 , 30 และ 15 คือ 3
แบบฝกหัดที่ 10 24 คําชี้แจง จงหา ห.ร.ม. ของจํานวนตอไปนี้ 2 ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 24 , 36 และ 42 2 2 วิธีทํา 24 = 2×3×2×2 3 3 7 36 = 2 × 3 × 2 ×3 42 = 2×3×7 36 42 ห.ร.ม. ของ 24 , 36 และ 42 คือ 2×3 = 6 ตอบ ๖ 1) จงหา ห.ร.ม. ของ 15 และ 60 วิธีทํา 15 = .................................................... 60 = ................................................... ห.ร.ม. ของ 15 และ 60 คือ .................................................... ตอบ ........................ 2) จงหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 80 วิธีทํา 40 = .................................................... 80 = ................................................... ห.ร.ม. ของ 40 และ 80 คือ .................................................... ตอบ ........................ 3) จงหา ห.ร.ม. ของ 35 และ 56 วิธีทํา 35 = .................................................... 56 = ................................................... ห.ร.ม. ของ 35 และ 56 คือ .................................................... ตอบ ........................
4) จงหา ห.ร.ม. ของ 42 และ 54 วิธีทํา 42 = .................................................... 54 = ................................................... ห.ร.ม. ของ 42 และ 54 คือ .................................................... ตอบ ........................ 5) จงหา ห.ร.ม. ของ 12 , 16 และ 32 วิธีทํา 12 = ........................................ ........... 16 = ................................................... 32 = .................................................. ห.ร.ม. ของ 12 , 16 และ 32 คือ ................................................... ตอบ ........................ 6) จงหา ห.ร.ม. ของ 10 , 20 และ 30 วิธีทํา 10 = ................................................... 20 = ................................................... 30 = .................................................. ห.ร.ม. ของ 10 , 20 และ 30 คือ ................................................... ตอบ ........................ 7) จงหา ห.ร.ม. ของ 40 , 44 และ 86 วิธีทํา 40 = ................................................... 44 = ................................................... 86 = .................................................. ห.ร.ม. ของ 40 , 44 และ 86 คือ ................................................... ตอบ ........................
8) จงหา ห.ร.ม. ของ 55 , 77 , 154 และ 231 วิธีทํา 55 = ................................................... 77 = ................................................... 154 = .................................................. 231 = ................................................. ห.ร.ม. ของ 55 , 77 , 154 และ 231 คอ.............................................. ื ตอบ ........................ 9) จงหา ห.ร.ม. ของ 39 , 65 , 91 และ 143 วิธีทํา 39 = ................................................... 65 = ................................................... 91 = .................................................. 143 = .................................................. ห.ร.ม. ของ 39 , 65 , 91 และ 143 คือ................................................ ตอบ ............... ......... 10) จงหา ห.ร.ม. ของ 30 , 60 , 84 และ 114 วิธีทํา 30 = ................................................... 60 = ................................................... 84 = .................................................... 114 = .................................................... ห.ร.ม. ของ 30 , 60 , 84 และ 114 คือ................................................... ตอบ ........................
เกร็ดความรูที่ 11 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีตั้งหาร เนื่องจากการหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ บางครั้งถามีหลายๆจํานวน อาจ ทําใหเกิดความลาชาในการคิดคํานวณโดยทั่วไปจึงนิยมการหา ห.ร.ม.โดยวิธีตั้งหาร ใหนักเรียนพิจารณาการหา ห.ร.ม. โดยวิธีการตั้งหาร ดังนี้ การหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 ขั้นที่ 1 หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 24 และ 36 ซึ่งก็คือ 2 และ 3 นํา 2 หรือ 3 ไปหาร 24 และ 36 2)24 36 หรือ 3) 24 36 12 18 8 12 ขั้นที่ 2 พิจารณาผลหาร 12 และ 18 หรือ 8 และ 12 วามีจํานวนเฉพาะที่เปน ตัวหารรวมของ 12 และ 18 หรือ 8 และ 12 หรือไม ซึ่งคือ 2 นํา 2 ไปหารตอ 2) 24 36 หรือ 3) 24 36 2) 12 18 2) 8 12 6 9 4 6
ขั้นที่ 3 พิจารณาผลหาร 6 และ 9 หรือ 4 และ 6 วามีจํานวนเฉพาะที่เปน ตัวหารรวมหรือไม ตัวหารรวมของ 6 และ 9 คือ 3 ตัวหารรวมของ 4 และ 6 คือ 2 นํา 3 หรือ 2 ไปหารตอ 2) 24 36 หรือ 3) 24 36 2) 12 18 2) 8 12 3) 6 9 2) 4 6 2 3 2 3 ขั้นที่ 4 พิจารณาผลหาร 2 และ 3 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม ซึ่งไมมีจานวนใด ํ หาร 2 และ 3 ไดลงตัว การหารจึงเสร็จสิน ้ ใหนักเรียนพิจารณาขั้นตอนที่ 1 ถึง 4 เพื่อหาวาตัวหารรวมของ 24 และ 36 คือ จํานวนใดบาง จะไดวาตัวหารรวมของ 24 และ 36 คือ 2 , 2 และ 3 เมื่อนํา 2 × 2 × 3 หรือ 3 × 2 × 2 จะไดผลคูณเปน 12 ซึ่ง 12 เปนตัวหารรวม ของ 24 และ 36 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ 2 × 2 × 3 = 12 สรุปวา :- การหา ห.ร.ม. โดยการตั้งหารตัวที่นํามาหารตองเปนจํานวนที่หารไดลงตัวทุก จํานวน ตัวหารรวมมากคือผลคูณของตัวหารทั้งหมด ใหนักเรียนพิจารณาการหา ห.ร.ม. โดยวิธีการตั้งหาร ตอไปนี้ จงหา ห.ร.ม. ของ 16 , 24 , 32 พิจารณาจํานวนที่หาร 16 , 24 , 32 ลงตัว วิธีทํา 2 ) 16 24 32 2 ) 8 12 16 2 )4 6 8 2 3 4 ไมมีจํานวนใดหาร 2 , 3 , 4 ลงตัว ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 16 , 24 , 32 คือ 2× 2× 2 = 8 ตอบ ๘
จํานวนที่นํามาหารนอกจากตองเปนจํานวนเฉพาะแลว สามารถเปนจํานวนอื่นได โดยมีขอตกลงวา ตัวที่นํามาหารตองหารไดลงตัวทุกจํานวน ดังตัวอยางตอไปนี้ จงหา ห.ร.ม. ของ 30 , 40 , 50 , 60 พิจารณาจํานวนที่หาร 30 , 40 , 50 , 60 ลงตัวคือ 10 วิธีทํา 10 ) 30 40 50 60 3 4 5 6 พิจารณาผลหาร 3 , 4 , 5 , 6 ไมมีจานวนใดหารไดลงตัว การหารจึงเสร็จสิ้น ํ ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 30 , 40 , 50 และ 60 คือ 10 10 ไมเปนจํานวนเฉพาะ แต 10 สามารถหาร 30 , 40 , 50 , 60 ไดลงตัวทั้งหมด เปรียบเทียบกับการหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ 30 = 2× 5 ×3 40 = 2×5 ×2×2 50 = 2×5 ×5 60 = 2×5×2×3 ห.ร.ม. ของ 30 , 40 , 50 และ 60 คือ 2 × 5 = 10 ……………………………………..
แบบฝกหัดที่ 11 คําชี้แจง จงหา ห.ร.ม. ของจํานวนตอไปนี้โดยการตั้งหาร ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 24 , 48 และ 60 โดยการตั้งหาร วิธีทํา 2) 24 48 60 3) 12 24 30 2) 4 8 10 2 4 5 ห.ร.ม. ของ 24 , 48 และ 60 คือ 2 × 3 × 2 = 12 ตอบ ๑๒ 1) จงหา ห.ร.ม. ของ 15 และ 60 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 2) จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 วิธีทํา ........................................................................................................ ......... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ...........................
3) จงหา ห.ร.ม. ของ 27 และ 66 วิธีทํา .................................................................................................................. ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 4) จงหา ห.ร.ม. ของ 14 , 28 และ 35 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 5) จงหา ห.ร.ม. ของ 35 , 49 และ 56 วิธีทํา ................................................................................................................. ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 6) จงหา ห.ร.ม. ของ 24 , 30 และ 36
วิธีทํา .................................................................................................................. ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 7) จงหา ห.ร.ม. ของ 18 , 36 และ 45 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 8) จงหา ห.ร.ม. ของ 15 , 20 , 25 และ 30 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... .ตอบ ...........................
9) จงหา ห.ร.ม. ของ 12 , 16 , 24 และ 28 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 10) จงหา ห.ร.ม. ของ 60 , 75 , 165 และ 195 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ................................................................ ............................................................. ............................................................................................................................... ตอบ ........................... ............................................
เกร็ดความรูที่ 12 ตัวคูณรวม ใหนักเรียนพิจารณาวา จํานวนนับใดที่มี 2 เปนตัวประกอบ จะพบวา จํานวนนับที่มี 2 เปนตัวประกอบ คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 ,... จํานวนคูทุกจํานวนจะตองมี 2 เปนตัวประกอบ ดังนั้น 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 ,... เปนจํานวนที่ 2 หารลงตัว ซึงเรียกวาตัวคูณของ 2 ่ จํานวนนับที่มี 3 เปนตัวประกอบ ไดแก 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 ,... จํานวนนับเหลานี้เปนจํานวนนับที่ 3 หารลงตัว คือตัวคูณของ 3 ตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , ... ตัวคูณของ 3 คือ 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , ... ตัวคูณรวมของ 2 และ 3 ( จํานวนที่ 2 และ 3 หารไดลงตัว ) คือ 6 , 12 , 18 , 24,... ดังนั้น 6 , 12 , 18 , 24 , ... คือตัวคูณรวมของ 2 และ 3 ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 , ... ตัวคูณของ 5 คือ 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , ... ตัวคูณรวมของ 4 และ 5 คือ 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , 120 , ... สรุปวา :- ตัวคูณรวมของจํานวนนับตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปเปนจํานวนนับที่มีจํานวนนับเหลานั้น หารไดลงตัว ตัวคูณของ 6 คือ 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 , ... ตัวคูณของ 7 คือ 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56 , 63 , 70 , 77 , 84 , ... ตัวคูณรวมของ 6 และ 7 คือ 42 , 84 , 126 , 168 , 210 , 252 , ... ...............................................
แบบฝกหัดที่ 12 คําชี้แจง จงหาตัวคูณรวมของจํานวนนับตอไปนี้ ตัวอยาง จงหาตัวคูณรวมของ 2 , 4 , 5 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 ,... ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , ... ตัวคูณของ 5 คือ 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , .. ตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 5 คือ 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , ... ตอบ ๒๐ , ๔๐ , ๖๐ , ... 1) จงหาตัวคูณรวมของ 4 และ 8 วิธีทํา ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 8 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 4 และ 8 คือ ........................................................................................ ตอบ ............................................................. 2) จงหาตัวคูณรวมของ 3 และ 4 วิธีทํา ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 3 และ 4 คือ ........................................................................................ ตอบ ............................................................. 3) จงหาตัวคูณรวมของ 3 และ 6 วิธีทํา ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 6 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 3 และ 6 คือ ........................................................................................ ตอบ .............................................................
4) จงหาตัวคูณรวมของ 2 และ 4 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ .............................................................................................. ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 2 และ 4 คือ ........................................................................................ ตอบ ............................................................. 5) จงหาตัวคูณรวมของ 3 , 6 และ 9 วิธีทํา ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 6 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 9 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 3 , 6 และ 9 คือ ................................................................................. ตอบ ............................................................. 6) จงหาตัวคูณรวมของ 5 , 10 และ 15 วิธีทํา ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 10 คือ ........................................................................................... ตัวคูณของ 15 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 5 , 10 และ 15 คือ ............................................................................. ตอบ ............................................................. 7) จงหาตัวคูณรวมของ 2 , 5 และ 10 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 10 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 2 , 5 และ 10 คือ ............................................................................... ตอบ .............................................................
8) จงหาตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 5 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 5 คือ ................................................................................ ตอบ ............................................................. 9) จงหาตัวคูณรวมของ 2 , 4 , 6 และ 8 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 6 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 8 คือ ........................... ................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 , 4 , 6 และ 8 คือ ....................................................................... ตอบ ............................................................. 10) จงหาตัวคูณรวมของ 5 , 10 , 15 และ 20 วิธีทํา ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 10 คือ ........................................................................................... ตัวคูณของ 15 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 20 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 5 , 10 , 15 และ 20 คือ .................................................................... ตอบ ............................................................. ...................................................... เกร็ดความรูที่ 13
การหาตัวคูณรวมและตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ใหนักเรียนพิจารณาการหาตัวคูณรวมและตัวคูณรวมนอย ของ 4 และ 6 ดังนี้ ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 , ... ตัวคูณของ 6 คือ 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 , ... ตัวคูณรวมของ 4 และ 6 คือ 12 , 24 , 36 , 48 , ... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 4 และ 6 คือ 12 สรุปวา :- ตัวคูณรวมของจํานวนนับตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปมีไดหลายๆจํานวน ใหเลือกตัวคูณรวม ที่มีคานอยที่สุด เรียกวา “ ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ” ตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , ... ตัวคูณของ 3 คือ 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , ... ตัวคูณรวมของ 2 และ 3 คือ 6 , 12 , 18 , 24 , ... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 3 คือ 6 ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 , ... ตัวคูณของ 5 คือ 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , ... ตัวคูณรวมของ 4 และ 5 คือ 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , 120 , ... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 4 และ 5 คือ 20 ............................................................... แบบฝกหัดที่ 13
คําชี้แจง จงหา ค.ร.น. ของจํานวนนับตอไปนี้ ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 4 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , ... ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , ... ตัวคูณรวมของ 2 และ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , … ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 4 คือ 4 ตอบ ๔ 1) จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 3 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 และ 3 คือ ..................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 3 คือ ...................... ตอบ ............................. 2) จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 5 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 และ 5 คือ ..................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 5 คือ ...................... ตอบ ............................. 3) จงหา ค.ร.น. ของ 4 และ 5 วิธีทํา ตัวคูณของ 4 คือ ................................................................................................
ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 4 และ 5 คือ .......................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 4 และ 5 คือ ...................... ตอบ ............................. 4) จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 6 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 6 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 และ 6 คือ .......................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 6 คือ ...................... ตอบ ............................. 5) จงหา ค.ร.น. ของ 5 และ 10 วิธีทํา ตัวคูณของ 5 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 10 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 5 และ 10 คือ ........................................................................ ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 5 และ 10 คือ ...................... ตอบ ............................. 6) จงหา ค.ร.น. ของ 2 , 3 และ 6 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ............. ................................................................................. ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 6 คือ ................................................................................................ ตัวคูณรวมของ 2 , 3 และ 6 คือ .................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 , 3 และ 6 คือ ...................... ตอบ ............................. 7) จงหา ค.ร.น. ของ 3 , 5 และ 10 วิธีทํา ตัวคูณของ 3 คือ ................................................................................................
ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 10 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 3 , 5 และ 10 คือ ............................................................ ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 3 , 5 และ 10 คือ ...................... ตอบ ............................. 8) จงหา ค.ร.น. ของ 2 , 4 และ 6 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 6 คือ ................................................................................................ ตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 6 คือ ............................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 , 4 และ 6 คือ ...................... ตอบ ............................. 9) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 9 และ 18 วิธีทํา ตัวคูณของ 6 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 9 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 18 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 6 , 9 และ 18 คือ .................................................................. ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 6 , 9 และ 18 คือ ...................... ตอบ ............................. 10) จงหา ค.ร.น. ของ 2 , 4 และ 12 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................
ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 12 คือ .............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 12 คือ คือ ............................................................. ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 , 4 และ 12 คือ ...................... ตอบ ............................. ............................................................
เกร็ดความรูที่ 14 การหา ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบ ใหนักเรียนพิจารณาการแยกตัวประกอบของจํานวนนับตอไปนี้ 6 = 2×3 9 = 3×3 ถาจะหา ค.ร.น. ของ 6 และ 9 สามารถหาไดโดยการแยกตัวประกอบ ความหมายของ ค.ร.น. ของ 6 และ 9 คือ จํานวนที่นอยที่สุดที่ 6 และ 9 หารไดลงตัว จํานวนที่ 6 หารไดลงตัวและมีคานอยที่สุดคือ 2 × 3 จํานวนที่ 9 หารไดลงตัวและมีคานอยที่สุดคือ 3 × 3 ดังนั้นจํานวนนับที่นอยที่สุดที่ 6 และ 9 หารไดลงตัวคือ 2 × 3 × 3 = 18 ค.ร.น. ของ 6 และ 9 คือ 2 × 3 × 3 = 18 2 × 3 × 3 = 18 6 9 ถาหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 จะได ดังนี้ 4 = 2×2 6 = 2×3 ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 2 × 2 × 3 = 12 4 6 การหา ค.ร.น. ของ 4 , 9 , 12 9
4 4 = 2 ×2 9 = 3 ×3 12 = 2 ×2 × 3 ค.ร.น. ของ 4 , 9 และ 12 คือ 2 × 2 × 3 × 3 = 36 12 สรุปวา :- ค.ร.น. หาไดจากผลคูณของจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมของจํานวนนับที่ กําหนดใหอยางนอยสองจํานวนและตัวประกอบเฉพาะที่เหลือทุกจํานวน 9 3 3 12 2 2 4 แบบฝกหัดที่ 14
12 คําชี้แจง จงหา ค.ร.น. ของจํานวนนับตอไปนี้ โดยวิธีแยกตัวประกอบ ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 18 , 24 วิธีทํา 12 = 2 ×2×3 2 2 18 = 2 ×3×3 3 24 = 2 × 2 × 2 ×3 3 2 ค.ร.น. ของ 12 , 18 และ 24 คือ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72 24 ตอบ ๗๒ 1) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 12 วิธีทํา 6 = ................................. 12 = ................................. ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คือ ................................. ตอบ .................. 2) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 15 วิธีทํา 9 = ................................. 15 = ................................. ค.ร.น. ของ 9 และ 15 คือ ................................. ตอบ .................. 3) จงหา ค.ร.น. ของ 10 , 25 วิธีทํา 10 = ................................. 25 = ................................. ค.ร.น. ของ 10 และ 25 คือ ................................. ตอบ .................. 4) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 12 , 16
วิธีทํา 6 = ................................. 12 = ................................. 16 = .................................. ค.ร.น. ของ 6 , 12 และ 16 คือ ................................. ตอบ .................. 5) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 18 , 24 วิธีทํา 9 = ................................. 18 = ................................. 24 = .................................. ค.ร.น. ของ 9 , 18 และ 24 คือ ................................. ตอบ .................. 6) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 18 , 36 วิธีทํา 9 = ................................. 18 = ................................. 36 = .................................. ค.ร.น. ของ 9 , 18 และ 36 คือ ................................. ตอบ .................. 7) จงหา ค.ร.น. ของ 8 , 15 , 30 วิธีทํา 8 = ................................. 15 = ................................. 30 = .................................. ค.ร.น. ของ 8 , 15 และ 30 คือ ................................. ตอบ .................. 8) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 12 , 16 , 32 วิธีทํา 6 = .................................
12 = ................................. 16 = .................................. 32 = ................................. ค.ร.น. ของ 6 , 12 , 16 และ 32 คือ ................................. ตอบ .................. 9) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 18 , 36 , 72 วิธีทํา 9 = ................................. 18 = ................................. 36 = .................................. 72 = .................................. ค.ร.น. ของ 9 , 18 , 36 และ 72 คือ ................................. ตอบ .................. 10) จงหา ค.ร.น. ของ 10 , 15 25 , 30 วิธีทํา 10 = ................................. 15 = ................................. 25 = .................................. 30 = .................................. ค.ร.น. ของ 10 , 15 , 25 และ 30 คือ ................................. ตอบ .................. ……………………………………… เกร็ดความรูที่ 15 การหา ค.ร.น. โดยวิธตั้งหาร ี
ใหนักเรียนพิจารณาการหา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 โดยวิธตั้งหาร ี ขั้นที่ 1 หาจํานวนเฉพาะที่หาร 12 และ 18 ลงตัวมาเปนตัวหาร คือ 2 2) 12 18 6 9 ขั้นที่ 2 ผลหารคือ 6 และ 9 หาจํานวนเฉพาะที่หาร 6 และ 9 ลงตัว คือ 3 2) 12 18 3) 6 9 2 3 ขั้นที่ 3 ผลหารคือ 2 และ 3 เปนจํานวนเฉพาะไมมีจานวนใดมาหาร 2 และ 3 ไดลง ํ ตัวการหารจึงเสร็จสิ้น จะได ค.ร.น. ของ 12 และ 18 คือ 2 × 3 × 2 × 3 = 36 สรุปวา :- ค.ร.น. คือ ผลคูณของ ตัวหาร และ ผลหาร ทั้งหมด การหา ค.ร.น. ของ 6 , 9 , 12 และ 15 ตองหาจํานวนเฉพาะมาหารจํานวนไดลง ตัวอยางนอยสองจํานวน 3) 6 9 12 15 2) 2 3 4 5 1 3 2 5 ค.ร.น. ของ 6 , 9 , 12 และ 15 คือ 3 × 2 × 3 × 2 × 5 = 180 หมายเหตุ ตัวที่นํามาหารอาจจะไมเปนจํานวนเฉพาะก็ได แตตองหารทุกจํานวนไดลงตัว 4) 16 24 32 8) 16 24 32 2) 4 6 8 2) 2 3 4 2) 2 3 4 1 3 2 1 3 2 ค.ร.น. คือ 4 × 2 × 2 × 3 × 2 = 96 ค.ร.น. คือ 8 × 2 × 3 × 2 = 96 แบบฝกหัดที่ 15 คําชี้แจง จงหา ค.ร.น. ของจํานวนตอไปนี้ โดยวิธีตั้งหาร
ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 8 , 12 , 16 วิธีทํา 2) 8 12 16 2) 4 6 8 2) 2 3 4 1 3 2 ค.ร.น. ของ 8 , 12 และ 16 คือ 2 × 2 × 2 × 3 × 2 = 48 ตอบ ๔๘ 1) จงหา ค.ร.น. ของ 4 , 10 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………..…………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 15 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….……………………….. 3) จงหา ค.ร.น. ของ 8 , 20 ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….………………………… 4) จงหา ค.ร.น. ของ 15 , 30 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….…………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 5) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 8 , 10 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………….…………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 6) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 27 , 45 ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………..………………………………………………………… 7) จงหา ค.ร.น. ของ 15 , 30 , 36 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 8) จงหา ค.ร.น. ของ 14 , 28 , 32 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 9) จงหา ค.ร.น. ของ 14 , 28 , 35 , 70 ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………..………………………………………………… 10) จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 44 , 66 , 132 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………….………………………………………… …………………………………………………………………………………………. …………………………………………….. เกร็ดความรูที่ 16
โจทยปญหา ห.ร.ม. ใหนักเรียนพิจารณาโจทยปญหาตอไปนี้ มีกระดาษกวาง 20 เซนติเมตร ยาว 30 เซนติเมตร ตองการตีตารางแบงแผนกระดาษ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเทากัน ใหมีขนาดใหญที่สุด โดยไมเหลือเศษ รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสที่แบงไดมีขนาดเทาไรและแบงไดกี่สวน จากโจทยกําหนดใหสามารถเขียนเปนรูปไดดังนี้ . . 20 ซม. 30 ซม. ใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหโจทยจะไดวา กระดาษกวาง 20 เซนติเมตร แบงโดยไมเหลือเศษ คือหาจํานวนที่หาร 20 ไดลงตัว ไดแก 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 กระดาษยาว 30 เซนติเมตร แบงโดยไมเหลือเศษ คือหาจํานวนที่หาร 30 ไดลงตัว ไดแก 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 กําหนดใหเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดานกวางและดานยาวตองเทากัน คือ 1 , 2 , 5 , 10 ใหมีขนาดใหญที่สุด คือ 10 นั่นคือหา ห.ร.ม. ของ 20 และ 30 จะได 10 ดังนี้ ห.ร.ม. ของ 20 และ 30 คือ 2 × 5 = 10 2) 20 30 5) 10 15 2 3 ดานกวาง 20 เซนติเมตร แบงเปนสวนละ 10 เซนติเมตรได 2 สวน
ดานยาว 30 เซนติเมตร แบงเปนสวนละ 10 เซนติเมตรได 3 สวน 30 ซม. 20 ซม. แบงเปนสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 10 เซนติเมตร แบงได 6 สวน ดังรูป ตัวอยาง คนงาน 3 คนทําตุกตาแตละตัวใชเวลา 10 , 15 และ 20 นาที ตามลําดับ ถา คนงานทั้ง 3 คน เริ่มทําตุกตาตัวแรกพรอมกันเวลา 09.00 น. อยากทราบวาเวลาใดที่ คนงานทั้ง 3 คน จะทําตุกตาพรอมกันเปนครั้งที่สอง วิธีทํา 5 ) 10 15 20 2) 2 3 4 1 3 2 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 10 , 15 และ 20 คือ 5 × 2 × 3 × 2 = 60 คนงานทั้งสามคนจะทําตุกตาพรอมกันครั้งที่สอง เมื่อเวลาผานไป 60 นาที จากครั้งแรกคนงานทั้งสามคนเริ่มทําตุกตาพรอมกันเวลา 09.00 น. เวลาผานไป 60 นาที ครั้งที่สองจะทําตุกตาพรอมกัน เวลา 10.00 น. ตอบ ๑๐.๐๐ น. …………………………………. แบบฝกหัดที่ 16
คําชี้แจง ใหนักเรียนแสดงวิธีหาคําตอบโจทยปญหาตอไปนี้ 1) เชือกสีขาวยาว 18 เมตร เชือกแดงยาว 24 เมตร ตองการตัดเปนทอนเทาๆกันให ยาวที่สุดโดยไมเหลือเศษ เชือกที่ตัดแลวยาวกี่เมตร และตัดไดทั้งหมดกี่ทอน ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 2) มีลูกบอลสีเหลือง 12 ลูก สีแดง 18 ลูก สีสม 30 ลูก ตองการแบงใสถุงๆละ เทาๆกันโดยใหแตละถุงมีลกบอลสีเดียวกันโดยไมมีลกบอลเหลืออยูจะแบงไดมาก ู ู ที่สุดถุงละกี่ลูก และตองใชถุงทั้งหมดกี่ใบ ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 3) ชั้น ป.6 มีนักเรียนชาย 96 คน นักเรียนหญิง 64 คน ถาตองการจัดแถวนักเรียน ชายและนักเรียนหญิง ใหไดแถวละเทาๆกันและไดจํานวนคนมากที่สุดโดยไมเหลือ เศษ ซึ่งนักเรียนชายหญิงไมปะปนกัน จะจัดไดกี่แถวๆละกีคน ่
............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 4) มีมวนริบบิ้นยาว 65 , 91 และ 117 เมตร ตามลําดับ ตองการตัดเปนเสนใหยาว ที่สุดเทาๆกันโดยไมเหลือเศษ ริบบิ้นที่ตัดแลวยาวเทาไรและตัดไดทั้งหมดกี่เสน ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... 5) นักเรียนชั้น ป.4 มี 84 คน นักเรียนชั้น ป.5 มี 126 คน นักเรียนชั้น ป.6 มี 210 คน ตองการแบงนักเรียนใหเปนกลุมๆละเทาๆกันและมากที่สุดโดยไมเหลือเศษ ทุกกลุม เปนนักเรียนชั้นเดียวกัน แตละกลุมจะมีนักเรียนกี่คน แบงไดทั้งหมดกี่กลุม ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... เกร็ดความรูที่ 17
การแกโจทยปญหา ค.ร.น. ใหนักเรียนพิจารณาการแกโจทยปญหา ค.ร.น. ตอไปนี้ ชุมนุมคณิตศาสตรมีประชุมทุกๆ 2 สัปดาห ชุมนุมวิทยาศาสตรมีประชุมทุกๆ 3 สัปดาห ชุมนุมภาษาไทยมีประชุมทุกๆ 4 สัปดาห ถาเริมประชุมพรอมกันครั้งแรกวันที่ 1 ่ สิงหาคม จะประชุมพรอมกันครั้งที่สองเมื่อใด ชุมนุมคณิตศาสตรมีประชุม 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , ... ชุมนุมวิทยาศาสตรมีประชุม 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , ... ชุมนุมภาษาไทยมีประชุม 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , ... ทั้งสามชุมนุมประชุมพรอมกันครั้งที่สอง เมื่อเวลาผานไป 12 สัปดาห หรือ 3 เดือนตรง กับวันที่ 1 พฤศจิกายน แบบฝกหัดที่ 17
คําชี้แจง ใหนักเรียนแสดงวิธีหาคําตอบโจทยปญหาตอไปนี้ 1) นาฬิกาสามเรือนตีบอกเวลาทุกๆ 15 , 30 , 60 นาทีตามลําดับ ถานาฬิกา ทั้งสามเรือนตีบอกเวลาพรอมกันครั้งแรกเวลา 06.00 น. นาฬิกาทั้งสามเรือนนี้จะ ตีบอกเวลาพรอมกันครั้งที่สองเวลาเทาไร ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... 2) มะละกอราคาผลละ 15 บาท มะมวงราคาผลละ 9 บาท ตองการซื้อผลไม ทั้งสองชนิดเปนจํานวนเงินนอยที่สุดและจายเงินเทาๆกัน จะตองจายเงินทั้งหมดกี่ บาทและไดผลไมชนิดละกี่ผล ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................
3) รถโดยสารสามสายออกจากสถานี ดังนี้ ทุกๆ 20 , 30 และ 45 นาที ตามลําดับ ถารถทั้งสามสายออกจากสถานีพรอมกันครั้งแรกเวลา 05.00 น. รถทั้ง สามสายนี้จะออกจากสถานีพรอมกันครั้งที่ สองเวลาใด ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 4) ปกเสาโทรศัพทหางกัน 4 กิโลเมตร ปกเสาไฟฟาหางกัน 6 กิโลเมตร ถา ปกเสาทั้งสองตรงกันคูแรก คูตอไปจะปกตรงกันหางจากจุดเริ่มตนเทาไร ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
5) ในการวิ่งรอบสนามหนึ่งรอบ สมจิต สมใจ สมรักษ ใชเวลาวิ่งดังนี้ 3 , 4 และ 6 นาที ตามลําดับ ถาทั้งสามคนออกวิ่งพรอมกันเวลา 09.00 น. ทั้งสาม คนจะมาพบกันครั้งตอไปเวลาใด ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ................................................................................................... ........................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...................................................................
เกร็ดความรูที่ 18 โจทยปญหาระคนเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ใหนักเรียนพิจารณาโจทยปญหาตอไปนี้ 1. ผากวาง 36 ซ.ม. ยาว 180 ซ.ม. ตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหดานเปนจํานวนเต็มและมี ขนาดใหญที่สุดจะไดกี่ผืน แตละผืนมีขนาดเทาไร 2) วินัยมีที่ดินแปลงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 40 วา ยาว 60 วา ตองการลอมรัวโดย ้ ปกเสาใหหางกัน เทาๆกัน มากที่สุด จะตองใชเสากี่ตน และปกหางกันเทาไร 3) จงหาจํานวนที่มากที่สุดที่นําไปหาร 138 และ 198 แลวเหลือเศษ 2 และ 6 ตามลําดับ 4) มีเชือก 3 เสน ยาว 24,30 และ 48 เมตร ถาจะตัดเปนทอนใหยาวเทาๆกันมากที่สุดจะ ยาวทอนละกี่เมตร และตัดไดกี่ทอน 5) นาฬิกา 4 เรือน แตละเรือนจะตีทุกๆ 25 , 30 , 36 , 48 นาที อีกกี่ชั่วโมง นาฬิกาทั้ง 4 เรือนจึงจะตีพรอมกันอีกเปนครั้งที่สอง 6) จงหาจํานวนที่นอยที่สุดที่นํามาหารดวย 153 และ 221 แลวเหลือเศษ 13 เทากัน 7) จํานวนสองจํานวนมี ห.ร.ม.เปน 12 และ ค.ร.น. เปน 180 ถาจํานวนหนึ่งคือ 36 จง หาอีกจํานวนหนึ่ง 8) ถาผลคูณของจํานวนสองจํานวนคือ 450 และ ห.ร.ม.ของจํานวนทั้งสองคือ 5 จงหา ค.ร.น.ของจํานวนทั้งสองนี้ 9) ห.ร.ม. ของ 16 กับ 24 คือ 8 จงหา ค.ร.น. ของจํานวนทั้งสองนี้
10) จงหาจํานวนที่มีคานอยที่สุดเมื่อนํา 30 , 33 , 51 และ 63 ไปหารแลวเหลือเศษ 14 เสมอ 11) มีสม 176 ผล มะมวง 48 ผล ตองการจัดใสตะกราใหมีผลไมในตะกราอยางเดียวให มากที่สุดโดยไมเหมือนกัน จะตองใชตะกรากี่ใบ 12) จํานวนสองจํานวนคูณกันได 350 ถา ค.ร.น. เปน 70 แลว ห.ร.ม. เปนเทาใด 13) ดาวหาง A โคจรมาใหมนุษยเห็นทุกๆ 8 ป ดาวหาง B โคจรมาใหมนุษยเห็นทุกๆ 76 ป อีกกี่ปดาวหางทั้งสองจะโคจรมาใหมนุษยเห็นในปเดียวกัน นักเรียนจะพบวา โจทยปญหาแตละขอสามารถแกปญหาไดดวยวิธีการแตกตางกัน บาง ขอแกปญหาโดยวิธีการหา ห.ร.ม. บางขอแกปญหาโดยวิธีการหา ค.ร.น. หรือบางขอตอง ใชทั้งสองวิธีการรวมกัน จากโจทยปญหาที่กําหนดใหแตละขอ นักเรียนสามารถสรุปวิธีการแกปญหาได ดังตอไปนี้ วิธีการแกปญหา โดยการหา ห.ร.ม. โดยการหา ค.ร.น. ใช ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ขอที่ 1 , 2 , 3 , 4 , 11 5 , 6 , 10 , 13 7 , 8 , 9 , 12 ใหนักเรียนทดสอบความรูเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. แกโจทยปญหาดังกลาว
แบบฝกหัดที่ 18 คําชี้แจง ใหนักเรียนแกโจทยโจทยปญหาระคน ตอไปนี้ 1. วินัยมีที่ดินแปลงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 40 วา ยาว 60 วา ตองการลอมรั้ว โดยปกเสาใหหางกัน เทาๆกัน มากที่สุด จะตองใชเสากี่ตน  วิธีทํา ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ ............................ 2. มีสม 176 ผล มะมวง 48 ผล ตองการจัดใสตะกราใหมีผลไมในตะกราอยางเดียวให มากที่สุดโดยไมเหมือนกัน จะตองใชตะกรากี่ใบ วิธีทํา ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. ตอบ ..........................
3. ดาวหาง A โคจรมาใหมนุษยเห็นทุกๆ 8 ป ดาวหาง B โคจรมาใหมนุษยเห็นทุกๆ 76 ป อีกกี่ปดาวหางทั้งสองจะโคจรมาใหมนุษยเห็นในปเดียวกัน วิธีทํา .................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ .......................... 4. จงหาจํานวนที่มีคานอยที่สุดเมื่อนํา 30 , 33 , 51 และ 63 ไปหารแลวเหลือเศษ 14 เสมอ วิธีทํา ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ ..........................
5. จํานวนสองจํานวนมี ห.ร.ม.เปน 12 และ ค.ร.น. เปน 180 ถาจํานวนหนึ่งคือ 36 จง หาอีกจํานวนหนึ่ง วิธีทํา .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ .......................... 6. จํานวนสองจํานวนคูณกันได 350 ถา ค.ร.น. เปน 70 แลว ห.ร.ม. เปนเทาใด วิธทํา ี ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ .......................... αααααααααααα
แบบทดสอบหลังเรียน หนวยการเรียนรูที่ 3 เรื่อง ตัวประกอบของจํานวนนับ รายวิชาคณิตศาสตร (ค16101) ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2552 .......................................... แบบทดสอบฉบับเปนแบบปรนัยนี้ มีจํานวน 20 ขอ เวลา 30 นาที คะแนนเต็ม 20 คะแนน คําชี้แจง จงกาเครื่องหมาย  ขอที่ถูกตองที่สุดเพียงขอเดียวเทานั้น 1. ขอใดเปนตัวประกอบทุกตัวของ 35 ก. 1 , 3 , 5 , 35 ข. 1 , 5 , 7 , 35 ค. 1 , 3 , 7 , 35 ง. 1 , 2 , 7 , 35 2. ขอใดคือตัวประกอบทั้งหมดของ 9 ก. 1 , 2 , 3 ข. 1 , 3 , 6 ค. 1 , 3 , 9 ง. 1 , 2 , 9 3. 97 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด ก. เปน เพราะมีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 97 ข. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 97 ค. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 9 และ 7 ง. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1 , 7 , 9 และ 97
4. 57 เปนจํานวนเฉพาะหรือไมเพราะเหตุใด ก. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 57 ข. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 3 และ 19 ค. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 57 ง. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 3 , 19 และ 57 5. ขอใดเปนตัวประกอบเฉพาะของ 42 ก. 6 , 7 ข. 1 , 2 , 3 ค. 2 , 3 , 7 ง. 1 , 6 , 7 6. ขอใดเปนตัวประกอบเฉพาะของ 51 ก. 3 , 17 ข. 1 , 51 ค. 1 , 3 , 7 , 51 ง. 1 , 3 , 17 7. ขอใดเปนการแยกตัวประกอบของ 96 ก. 96 = 3 × 8 × 4 ข. 96 = 3 × 32 ค. 96 = 3 × 25 ง. 96 = 6 × 16
8. ขอใดแยกตัวประกอบไมถูกตอง ก. 16 = 42 ข. 27 = 33 ค. 12 = 22 × 3 ง. 10 = 2 × 5 9. ขอใดเปนตัวหารรวมของ 4 และ 6 ก. 1 , 2 ข. 1 , 3 ค. 1 , 4 ง. 1 , 6 10. ห.ร.ม. ของ 10 , 20 , 30 และ 60 คือขอใด ก. 25 ข. 20 ค. 15 ง. 10 11. 7 เปน ห.ร.ม. ของจํานวนนับในขอใด ก. 7 , 29 ข. 7 , 27 ค. 7 , 21 ง. 7 , 15 12. ขอใดเปนตัวคูณรวมของ 4 และ 6 ก. 12 , 24 , 36 , ... ข. 8 , 16 , 24 , ... ค. 6 , 12 , 18 , ... ง. 4 , 8 , 12 , ...
13. ขอใดเปนตัวคูณรวมของ 6 , 10 และ 15 ก. 1 , 2 , 3 , ... ข. 10 , 20 , 30 , ... ค. 15 , 30 , 45 , ... ง. 30 , 60 , 90 , ... 14. ค.ร.น. ขอ ง 8 , 12 และ 32 คือขอใด ก. 96 ข. 64 ค. 48 ง. 24 15. จํานวน 36 เปน ค.ร.น. ของจํานวนนับในขอใด ก. 6 , 15 , 18 ข. 8 , 16 , 32 ค. 9 , 18 , 36 ง. 15 , 30 , 36 16. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 6 , 18 และ 30 มีคาตางกันเทาไร ก. 90 ข. 84 ค. 15 ง. 6 17. เชือกสีขาวยาว 27 เมตร เชือกสีเขียวยาว 36 เมตร ตองการตัดเปนทอนยาว เทาๆกันใหแตละทอนมีขนาดยาวที่สุดและไมเหลือเศษ จะตัดไดทั้งหมดกี่ทอน ก. 18 ทอน ข. 12 ทอน ค. 9 ทอน ง. 7 ทอน
18. รถไฟขบวนที่ 1 ออกทุกๆ 30 นาที รถไฟขบวนที่ 2 ออกทุกๆ 45 นาที รถไฟ ขบวน ที่ 3 ออกทุกๆ 1 ชั่วโมง รถไฟทั้งสามขบวนออกพรอมกันครั้งแรกเวลา 06.00 น. รถไฟ ทั้งสามขบวนนี้จะออกพรอมกันครั้งที่สองเวลาเทาไร ก. 10.00 น. ข. 09.00 น. ค. 08.00 น. ง. 07.30 น. 19. นมถั่วเหลืองราคากลองละ 8 บาท นมโคสดราคากลองละ 10 บาท ถาตองการ ซื้อนม ทั้งสองชนิด โดยจายเปนเงินคานมถั่วเหลืองและคานมโคสดอยางละ เทาๆกัน จะไดนมชนิดละกี่กลอง ก. นมถั่วเหลือง 4 กลอง นมโคสด 5 กลอง ข. นมถั่วเหลือง 5 กลอง นมโคสด 4 กลอง ค. นมถั่วเหลือง 3 กลอง นมโคสด 4 กลอง ง. นมถั่วเหลือง 4 กลอง นมโคสด 3 กลอง 20. พลอย , พิมพ และ พัฒน วิ่งรอบสนามเด็กเลน หนึ่งรอบใชเวลา 3 , 4 และ 5 นาทีตามลําดับ ถาทั้งสามคนออกวิ่งพรอมกันเวลา 09.00 น. เวลาใดที่ทั้งสามคนจะวิ่ง พรอมกันเปนครั้งที่สอง ก. 11.30 น. ข. 11.00 น. ค. 10.30 น. ง. 10.00 น. ..................................
ภาคผนวก
เฉลยแบบทดสอบกอนเรียน ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ 1 ค 6 ง 11 ข 16 ค 2 ข 7 ข 12 ข 17 ก 3 ก 8 ข 13 ก 18 ค 4 ข 9 ง 14 ง 19 ก 5 ข 10 ก 15 ข 20 ก เฉลยแบบฝกหัดที่ 1 1) √ 2) √ 3)  4)  5) √ 6) √ 7) √ 8) √ 9) √ 10)  เฉลยแบบฝกหัดที่ 2 1) 1,2,3,6 2) 1,2,4,8 3) 1,3,9 4) 1 , 2 , 5 , 10 5) 1 , 3 , 5 , 15 6) 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 7) 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 8) 1 , 5 , 25 9) 1 , 3 , 9 , 27 10) 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30
เฉลยแบบฝกหัดที่ 3 1) 2,205 2) 1,872 3) 3,276 4) 4,800 5) 2,772 6) 1,764 7) 6,840 8) 4,536 9) 1,296 10) 1,050 เฉลยแบบฝกหัดที่ 4 1) 8 2) 8 3) 33 4) 8 5) 11 6) 11 7) 33 8) 57 9) 33 10) 33 เฉลยแบบฝกหัดที่ 5 1) √ 2)  3)  4) √ 5)  6) √ 7)  8) √ 9) √ 10) 
เฉลยแบบฝกหัดที่ 6 1) 2,5 2) 2 , 7 3) 3,7 4) 5 5) 3 , 13 6) 2 , 11 7) 3 , 17 8) 7 , 12 9) 5 , 19 10) 2 , 3 , 17 เฉลยแบบฝกหัดที่ 7.1 1) √ 2)  3)  4) √ 5) √ 6) √ 7)  8) √ 9)  10)  เฉลยแบบฝกหัดที่ 7.2 1) 2 ×2 × 3 × 3 2) 2×2×3 3) 2×3×5 4) 2×5×5 5) 2 × 2 ×2 × 2 ×3 6) 2 × 11 7) 2 × 13 8) 5×5×3 9) 5×5×5 10) 2 × 2 ×5 × 5 เฉลยแบบฝกหัดที่ 7.3 1) 34 2) 2 × 5 × 32 3) 24 × 5 4) 26 5) 33 6) 22 × 33 7) 2 × 112 8) 53 × 2 9) 72 × 32 10) 132 × 22
เฉลยแบบฝกหัดที่ 8 1) 2 × 3 × 13 2) 3 × 3 × 3 3) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 4) 2 × 2 × 3 × 3 × 3 5) 5 × 5 × 5 6) 2 × 3 × 5 × 5 7) 2 × 2 × 2 × 5 × 5 8) 5 × 5 × 5 × 2 9) 2 × 2 × 3 × 5 × 5 10) 2 × 3 × 3 × 5 × 5 เฉลยแบบฝกหัดที่ 9 1) 2 2) 5 3) 4 4) 7 5) 3 6) 3 7) 4 8) 7 9) 6 10) 9 เฉลยแบบฝกหัดที่ 10 1) 15 2) 40 3) 7 4) 6 5) 4 6) 10 7) 2 8) 11 9) 13 10) 6 เฉลยแบบฝกหัดที่ 11 1) 15 2) 6 3) 3 4) 7 5) 7 6) 6 7) 9 8) 5 9) 4 10) 15
เฉลยแบบฝกหัดที่ 12 1) 8 , 16 , 24 ,... 2) 12 , 24 , 36 ,... 3) 6 , 12 , 18 ,... 4) 4 , 8 , 12 , … 5) 18 , 36 , 54 ,... 6) 30 , 60 , 90 ,... 7) 10 , 20 , 30 ,... 8) 20 , 40 , 60 ,... 9) 24 , 48 , 72 ,... 10) 60 , 120 , 180 ,... เฉลยแบบฝกหัดที่ 13 1) 6 2) 10 3) 20 4) 6 5) 10 6) 6 7) 30 8) 12 9) 18 10) 12 เฉลยแบบฝกหัดที่ 14 1) 12 2) 45 3) 50 4) 48 5) 72 6) 36 7) 120 8) 96 9) 72 10) 150 เฉลยแบบฝกหัดที่ 15 1) 20 2) 45 3) 40 4) 30 5) 120 6) 135 7) 180 8) 224 9) 140 10) 132
เฉลยแบบฝกหัดที่ 16 1) 6 เมตร 7 ทอน 2) 6 ลูก 10 ใบ 3) 5 แถว 32 คน 4) 13 เมตรได 21 เสน 5) 42 คน 10 กลุม เฉลยแบบฝกหัดที่ 17 1) 07.00 น. 2) 90 บาท มะละกอ 3 ผล มะมวง 5 ผล 3) 08.00 น. 4) 12 กิโลเมตร 5) 04.02 น. เฉลยแบบฝกหัดที่ 18 1) 14 ตน 2) 14 ใบ 3) 162 ป 4) 117,824 5) 60 6) 5 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ 1 ข 6 ก 11 ค 16 ข 2 ค 7 ค 12 ก 17 ง 3 ข 8 ก 13 ง 18 ข 4 ง 9 ก 14 ก 19 ข 5 ค 10 ง 15 ค 20 ง แบบบันทึกคะแนน
แบบฝกที่ คะแนน 1 2.1-2.3 3 4 5 6 7.1-7.3 8 9 10 11 ปรับปรุง 12 13 14 15 16 17 18 รวม เฉลี่ย
แบบบันทึกคะแนนกอนเรียน – หลังเรียน เกณฑการประเมินคุณภาพ 8 - 10 ดีเยี่ยม อันดับที่ 1 6-7 ดี อันดับที่ 2 5 ผาน อันดับที่ 3 0-4 พยายามใหม ปรับปรุง นักเรียนอยูคุณภาพ ระดับใดครับ
บรรณานุกรม กรมวิชาการ , กระทรวงศึกษาธิการ . หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2544 กรุงเทพมหานคร : อักษรเจริญทัศน , 2544. กรมวิชาการ , กระทรวงศึกษาธิการ . เอกสารเสริมความรูคณิตศาสตรระดับประถมศึกษา อันดับ 3 ตัวประกอบ ค.ร.น. ห.ร.ม. กรุงเทพมหานคร : องคการคาของคุรุสภา , 2539. กลุมพัฒนามาตรฐานคุณภาพการศึกษา . คูมือจัดการเรียนรูกลุมสาระการเรียนรู  คณิตศาสตร กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพองคการรับสงสินคาและพัสดุภัณฑ , 2544. คณะวิทยากรชมรมกรรมการสถานศึกษาขันพื้นฐาน. หลักสูตรสถานศึกษากลุม ้ คณิตศาสตร กรุงเทพมหานคร : บุค พอยท จํากัด, 2544. คํารน ลอมในเมือง . คูมือฝกปฏิบัติการเสนทางกาวหนาทางวิชาชีพและแนวทางการ จัดทําผลงานทางวิชาการ ตําแหนงอาจารย 3 เกณฑใหม ฉบับสมบูรณ เลม 1 มหาสารคาม : โรงพิมพประสานการพิมพ , 2545. ศักดา บุญโต . คูมือเทคนิคการสอนคณิตศาสตรระดับประถมศึกษา กรุงเทพมหานคร :  บริษัทเคล็ดไทย จํากัด , 2544. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี , กระทรวงศึกษาธิการ . การจัด สาระการเรียนรูกลุมคณิตศาสตรชวงชั้นที่ 1 – 2 หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน กรุงเทพมหานคร : กราฟฟค , 2546. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี , กระทรวงศึกษาธิการ . คูมือ วัดผลประเมินผลคณิตศาสตร กรุงเทพมหานคร : องคการคาของคุรุสภา , 2546. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี , กระทรวงศึกษาธิการ . เอกสาร การอบรมครูผูสอนคณิตศาสตร ชั้นประถมศึกษาปที่ 4 – 6 ดวยระบบทางไกลทาง สถานีโทรทัศนเพื่อการศึกษา (ETV) กรุงเทพมหานคร : องคการคาของคุรุสภา , 2550.
บรรณานุกรม (ตอ) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี , กระทรวงศึกษาธิการ . เอกสาร ประกอบการอบรมครูคณิตศาสตร ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ทางสถานีโทรทัศนเพื่อ การศึกษา ( ETV) กรุงเทพมหานคร : บริษัท เซเวน พริ้นติ้ง กรุป จํากัด , 2549. สุวร กาญจนมยูร . เทคนิคการสอนคณิตศาสตรระดับประถมศึกษา เลม 3 กรุงเทพมหานคร : ไทยวัฒนาพานิช , 2533. อํานวย จําปาเงิน . เอกสารเสริมความรูคณิตศาสตร สุพรรณบุรี : หจก.ออฟเซ็ทอารท ออโตเมชั่น , 2543.

More Related Content

PPTX
основні принципи виховання. тема 2
bymad psychologist
 
PDF
แผน 1 12
byคน ผ่านทาง
 
PDF
เออาร์Pdf
bypmthan
 
PDF
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
PDF
แผน 1 1 คณิตฯ ม.1 เล่ม1
byคน ผ่านทาง
 
PDF
วิชาเคมี มัธยมปลาย เรื่องปฏิกริยากรดเบส
byTutor Ferry
 
PDF
วิชาเคมี มัธยมปลาย เรื่องปฏิกริยาไฟฟ้าเคมี
byTutor Ferry
 
PDF
หน่วยที่1 สมบัติของจำนวนนับ ม.1
byguychaipk
 
основні принципи виховання. тема 2
bymad psychologist
 
แผน 1 12
byคน ผ่านทาง
 
เออาร์Pdf
bypmthan
 
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
แผน 1 1 คณิตฯ ม.1 เล่ม1
byคน ผ่านทาง
 
วิชาเคมี มัธยมปลาย เรื่องปฏิกริยากรดเบส
byTutor Ferry
 
วิชาเคมี มัธยมปลาย เรื่องปฏิกริยาไฟฟ้าเคมี
byTutor Ferry
 
หน่วยที่1 สมบัติของจำนวนนับ ม.1
byguychaipk
 

Viewers also liked

PDF
สรุปวิชาฟิสิกส์
byTutor Ferry
 
PDF
แผนการสอนเรื่องสมบัติของจำนวนนับ
bysayunwanlor
 
PDF
สรุปวิชาเคมี
byTutor Ferry
 
PDF
คณิตศาสตร์ ม.1 เรื่องสมบัติของจำนวนนับ
byTutor Ferry
 
PDF
สรุปวิชาเคมี
byTutor Ferry
 
PDF
สรุปวิชาเคมี
byTutor Ferry
 
PDF
ม.1 เตรียมความพร้อมการให้เหตุผล
byreaxe j
 
PDF
คณิตศาสตร์ป.5
byT'Rak Daip
 
PDF
ชุดที่ 1 เรื่อง ตัวประกอบ
byวราภรณ์ หลายทวีวัฒน์
 
PDF
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
byKruPa Jggdd
 
PDF
รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ ม.1
byKruGift Girlz
 
PDF
ข้อสอบวิทย์ ม.1 ภาค 1 และ ภาค 2
bydnavaroj
 
สรุปวิชาฟิสิกส์
byTutor Ferry
 
แผนการสอนเรื่องสมบัติของจำนวนนับ
bysayunwanlor
 
สรุปวิชาเคมี
byTutor Ferry
 
คณิตศาสตร์ ม.1 เรื่องสมบัติของจำนวนนับ
byTutor Ferry
 
สรุปวิชาเคมี
byTutor Ferry
 
สรุปวิชาเคมี
byTutor Ferry
 
ม.1 เตรียมความพร้อมการให้เหตุผล
byreaxe j
 
คณิตศาสตร์ป.5
byT'Rak Daip
 
ชุดที่ 1 เรื่อง ตัวประกอบ
byวราภรณ์ หลายทวีวัฒน์
 
(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1 ล.2
byKruPa Jggdd
 
รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ ม.1
byKruGift Girlz
 
ข้อสอบวิทย์ ม.1 ภาค 1 และ ภาค 2
bydnavaroj
 

Similar to เอกสารประกอบ ตัวประกอบ

PDF
แผนการเรียนรู้1
byYoon Yoon
 
PDF
Add m1-1-chapter1
byPreecha Yeednoi
 
PDF
แผน3 4คณิตศาสตร์เพิ่มเติม3
bysrkschool
 
PDF
ชุดที่ 1 ตัวประกอบ
byวราภรณ์ หลายทวีวัฒน์
 
PDF
ชุดที่ 1 ตัวประกอบ
byวราภรณ์ หลายทวีวัฒน์
 
PDF
Unit1
bykurpoo
 
PDF
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
PDF
Plan series
byseelopa
 
PDF
Basic m2-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
PDF
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
PDF
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
PDF
คู่มือครูวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.1 บทที่ 1
byธนกฤต แม่นผล
 
PDF
Basic algebra
byเลิฟ บุญรอด
 
PDF
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
PDF
Unit4
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
PDF
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
byAon Narinchoti
 
PDF
Plan10
byAon Narinchoti
 
PDF
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
byAon Narinchoti
 
PDF
Test
bypawinee067
 
แผนการเรียนรู้1
byYoon Yoon
 
Add m1-1-chapter1
byPreecha Yeednoi
 
แผน3 4คณิตศาสตร์เพิ่มเติม3
bysrkschool
 
ชุดที่ 1 ตัวประกอบ
byวราภรณ์ หลายทวีวัฒน์
 
ชุดที่ 1 ตัวประกอบ
byวราภรณ์ หลายทวีวัฒน์
 
Unit1
bykurpoo
 
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
Plan series
byseelopa
 
Basic m2-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
คู่มือครูวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.1 บทที่ 1
byธนกฤต แม่นผล
 
Basic algebra
byเลิฟ บุญรอด
 
Unit1
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
Unit4
byโรงเรียนบ้านสร้างมิ่ง สพปยโสธรเขตสอง
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
byAon Narinchoti
 
Plan10
byAon Narinchoti
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 10
byAon Narinchoti
 
Test
bypawinee067
 

More from warijung2012

PDF
ผลการแข่งขันการงานระดับประถมศึกษา
bywarijung2012
 
PDF
ผลการแข่งขันการงานและเทคโนมัธยม
bywarijung2012
 
PDF
ผลการแข่งขันการงานและเทคโนมัธยม
bywarijung2012
 
PDF
ผลการแข่งขันคอมประถม
bywarijung2012
 
PDF
ตารางการแข่งขันเทคโนประถม
bywarijung2012
 
PDF
ตารางการแข่งขันเทคโนประถม
bywarijung2012
 
PDF
ผลการแข่งขันการงานประถม
bywarijung2012
 
PDF
ตารางการแข่งขันเทคโนมัธยม
bywarijung2012
 
PDF
ตารางการแข่งขันเทคโนประถม
bywarijung2012
 
PDF
ตารางการแข่งขันเทคโนมัธยม
bywarijung2012
 
PDF
ตารางการแข่งขันเทคโนประถม
bywarijung2012
 
PDF
Sumlist
bywarijung2012
 
DOC
สรุปรายชื่อโรงเรียนที่เข้าแข่งขันกิจกรรม
bywarijung2012
 
PDF
Table
bywarijung2012
 
DOC
Table
bywarijung2012
 
DOC
Table
bywarijung2012
 
PDF
Table
bywarijung2012
 
PDF
เปรียบเทียบผลการสอบ O
bywarijung2012
 
PDF
ปกรายงาน55
bywarijung2012
 
PDF
ตอนที่ 4 สรุปผลการพัฒนาและการนำไปจริง
bywarijung2012
 
ผลการแข่งขันการงานระดับประถมศึกษา
bywarijung2012
 
ผลการแข่งขันการงานและเทคโนมัธยม
bywarijung2012
 
ผลการแข่งขันการงานและเทคโนมัธยม
bywarijung2012
 
ผลการแข่งขันคอมประถม
bywarijung2012
 
ตารางการแข่งขันเทคโนประถม
bywarijung2012
 
ตารางการแข่งขันเทคโนประถม
bywarijung2012
 
ผลการแข่งขันการงานประถม
bywarijung2012
 
ตารางการแข่งขันเทคโนมัธยม
bywarijung2012
 
ตารางการแข่งขันเทคโนประถม
bywarijung2012
 
ตารางการแข่งขันเทคโนมัธยม
bywarijung2012
 
ตารางการแข่งขันเทคโนประถม
bywarijung2012
 
Sumlist
bywarijung2012
 
สรุปรายชื่อโรงเรียนที่เข้าแข่งขันกิจกรรม
bywarijung2012
 
Table
bywarijung2012
 
Table
bywarijung2012
 
Table
bywarijung2012
 
Table
bywarijung2012
 
เปรียบเทียบผลการสอบ O
bywarijung2012
 
ปกรายงาน55
bywarijung2012
 
ตอนที่ 4 สรุปผลการพัฒนาและการนำไปจริง
bywarijung2012
 

เอกสารประกอบ ตัวประกอบ

  • 1.
    คํานํา การสอนกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตรในระดับแระถมศึกษา มีจุดมุงหมายเพื่อให นักเรียนไดรูจักคิดหาเหตุผล เกิดความรู ความเขาใจละมีทักษะการคิดคํานวณ ซึ่งการเรียนการ สอนคณิตศาสตรมักเกิดปญหาผูเรียนขาดทักษะ และไมผานการประเมินผลตัวชี้วัด เนื่องจาก ความแตกตางระหวางบุคคล และสภาพแวดลอม ครูผูสอนจึงจําเปนตองหาทางแกไข เพื่อชวย ใหนักเรียนไดมีโอกาสเรียนรูตามความสามารถของตน แบบฝ ก เสริ ม ทั ก ษะนี้ จั ด ทํ า ขึ้ นเพื่ อใช ป ระกอบการสอนเสริ ม และแก ป ญ หาให กั บ นักเรียนที่ขาดทักษะทางคณิตศาสตร และไมผานการประเมินผลตัวชี้วัด โดยมีแบบฝกเกี่ยวกับ เรื่องตัวประกอบของจํานวนนับ ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 นักเรียนจะไดฝกฝนเพิ่มเติมเพื่อใหเกิด ทักษะ และเปนการชวยใหผูเรียนเกิดทัศนะคติที่ดีตอการเรียนคณิตศาสตร ซึ่งผูสอนสามารถ เลือกใชไดตามความสะดวก และเหมาะสมกับเนื้อหาหลักสูตร ประยุกตใชกับผูเรียนไดใน สภาพแวดลอมตางๆ ในการจัดทําแบบฝกเสริมทักษะสําเร็จลุลวงไปไดดวยดี ไดรับการสนับสนุนสงเสริม จากนายสมชาย ศรีเพชร ผูอํานวยการโรงเรียน นายปญญา อินทรใจเอื้อ นางมณี ดวงโสน รองผูอํานวยการโรงเรียน และคณะครูในโรงเรียนเฉลิมพระเกียรติ ๖๐ พรรษาฯ ทุกทาน ผูเขียนหวังเปนอยางยิ่งวาแบบฝกเสริมทักษะเลมนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอน คณิตศาสตร เรื่องตัวประกอบของจํานวนนับ ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ซึ่งจะชวยยกระดับคุณภาพ การศึกษาและผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ใหมีประสิทธิภาพดี ยิ่งขึ้น อุไรวรรณ กุลวงศวิทย โรงเรียนเฉลิมพระเกียรติ ๖๐ พรรษา สมเด็จพระนางเจาสิรกิติ์พระบรมราชินีนาถ ิ สํานักงานเขตพื้นที่การศึกษานนทบุรี เขต 2
  • 2.
    สารบัญ เรื่อง หนา คํานํา……………………………………………………………………… ก สารบัญ.............................................................................................. ข จุดประสงคการเรียนรู.................................................................................... 1 คําแนะนําการใชแบบฝกทักษะสําหรับครู...................................................... 2 คําแนะนําการใชแบบฝกทักษะสําหรับนักเรียน............................................. 3 แบบทดสอบกอนเรียน................................................................................... 4 เกร็ดความรูที่ 1 เรื่อง การหารลงตัว.............................................................. 8 แบบฝกหัดที่ 1............................................................................................... 9 เกร็ดความรูที่ 2 เรื่อง ตัวประกอบ................................................................ 10 แบบฝกหัดชุดที่ 2.1 – 2.3.............................................................................. 12 เกร็ดความรูที่ 3 เรื่อง การใชตัวประกอบในการหาผลคูณ............................. 17 แบบฝกหัดที่ 3................................................................................................ 18 เกร็ดความรูที่ 4 เรื่อง การใชตัวประกอบในการหาผลหาร............................ 21 แบบฝกหัดที่ 4............................................................................................... 22 เกร็ดความรูที่ 5 เรื่อง จํานวนเฉพาะ............................................................. 26 แบบฝกหัดที่ 5............................................................................................... 27 เกร็ดความรูที่ 6 เรื่อง ตัวประกอบเฉพาะ...................................................... 28 แบบฝกหัดที่ 6............................................................................................... 29 เกร็ดความรูที่ 7 เรื่อง การแยกตัวประกอบ................................................... 30 แบบฝกหัดที่ 7.1 – 7.3................................................................................... 33 เกร็ดความรูที่ 8 เรื่อง การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร............................. 36 แบบฝกหัดที่ 8............................................................................................... 37 เกร็ดความรูที่ 9 เรื่อง ตัวหารรวมและตัวหารรวมมาก.................................. 41 แบบฝกหัดที่ 9............................................................................................... 43 เกร็ดความรูที่ 10 เรื่อง การหา ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบ..................... 47 แบบฝกหัดที่ 10............................................................................................ 48
  • 3.
    สารบัญ (ตอ) เรื่อง หนา เกร็ดความรูที่ 11 เรื่อง การหา ห.ร.ม. โดยวิธีตั้งหาร.................................... 51 แบบฝกหัดที่ 11............................................................................................. 54 เกร็ดความรูที่ 12 เรื่อง ตัวคูณรวม................................................................ 58 แบบฝกหัดที่ 12............................................................................................ 59 เกร็ดความรูที่ 13 เรื่อง การหาตัวคูณรวมและตัวคูณรวมนอย...................... 62 แบบฝกหัดที่ 13............................................................................................ 63 เกร็ดความรูที่ 14 เรื่อง การหา ค.ร.น.โดยวิธีแยกตัวประกอบ....................... 67 แบบฝกหัดที่ 14............................................................................................. 69 เกร็ดความรูที่ 15 เรื่อง การหา ค.ร.น. โดยวิธีตงหาร.................................... 72 ั้ แบบฝกหัดที่ 15............................................................................................ 73 เกร็ดความรูที่ 16 เรื่อง โจทยปญหา ห.ร.ม................................................... 77 แบบฝกหัดที่ 16............................................................................................ 79 เกร็ดความรูที่ 17 เรื่อง โจทยปญหา ค.ร.น. ................................................. 81 แบบฝกหัดที่ 17............................................................................................. 82 เกร็ดความรูที่ 18 เรื่อง โจทยปญหาระคน................................................... 85 แบบฝกหัดที่ 18............................................................................................ 87 แบบทดสอบหลังเรียน................................................................................... 90 ภาคผนวก...................................................................................................... 95 เฉลยแบบทดสอบและแบบฝกหัด................................................................... 96 แบบบันทึกคะแนน......................................................................................... 102 เกณฑการประเมินคุณภาพ............................................................................. 103 บรรณานุกรม................................................................................................. 104
  • 4.
    จุดประสงคการเรียนรูเรื่อง ตัวประกอบของจํานวนนับ 1. เมื่อกําหนดจํานวนนับใหสามารถหาตัวประกอบทั้งหมดของจํานวนนับนั้นได 2. เมื่อกําหนดจํานวนนับให สามารถบอกไดวาจํานวนใดเปนจํานวนเฉพาะพรอมทั้งบอก เหตุผลได 3. เมื่อกําหนดจํานวนนับให สามารถหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของจํานวนนับนั้นได 4. เมื่อกําหนดจํานวนนับที่ไมใชจํานวนเฉพาะให สามารถแยกตัวประกอบได 5. เมื่อกําหนดจํานวนนับไมเกินสี่จํานวนให สามารถหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับนั้นได 6. เมื่อกําหนดจํานวนนับไมเกินสี่จํานวนให สามารถหา ค.ร.น. ของจํานวนนับนั้นได 7. สามารถใช ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ในการแกโจทยปญหาได
  • 5.
    คําแนะนําการใชแบบฝกทักษะสําหรับครู ครูตองศึกษาคําแนะนําสําหรับครู 1. กอนใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 1.1 ครูตองศึกษาเนื้อหาใหเขาใจเปนอยางดี เปนการเตรียมความพรอม 1.2 ครูตองเตรียมแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่องตัวประกอบของจํานวนนับ สําหรับนักเรียนชั้น ประถมศึกษาปที่ 6 ใหเพียงพอกับจํานวนนักเรียน 1.3 จัดเตรียมวัสดุอุปกรณใหพรอม เชน กระดาษคําตอบ กระดาษทด ฯลฯ 2. ขณะใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 2.1 ครูตองแนะนํา ใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง ตัวประกอบ ของจํานวนนับ สําหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 6 2.2 ครูตองชี้แจงปลูกฝงคุณธรรมดานความซื่อสัตย ดานการรักษาสิ่งของสวนรวม โดยไมขีดเขียน หรือทําใหฉีกขาด ชํารุด โดยปฏิบัติอยางเครงครัด 2.3 ครูตองใหนักเรียนทําแบบทดสอบกอนเรียน เพื่อสํารวจความรูพื้นฐานของนักเรียนกอน 2.4 ครูอธิบายเนื้อหาใหนักเรียนเขาใจแลวใหนักเรียนทําแบบฝกหัด ขณะนักเรียนกําลังทํา แบบฝกหัดครูตองดูแลอยางใกลชิด 2.5 ถานักเรียนมีปญหาในการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง ตัวประกอบของจํานวนนับ สําหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ครูตองใหคําปรึกษา อธิบายใหนักเรียนเขาใจได 2.6 ครูตองคํานึงถึงความแตกตางระหวางบุคคลเปนสําคัญ 2.7 การสรุปบทเรียนในแตละเรื่อง ใหนักเรียนชวยกันสรุปอีกครั้งพรอมเฉลยแบบฝกหัด แลว บันทึกคะแนนไว 2.8 หลังจากจบบทเรียนแลว ใหนักเรียนทําแบบทดสอบหลังเรียนจนเสร็จเรียบรอยแลวใหดูเฉลย 3. หลังการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 3.1 ตรวจสอบความเรียบรอยผลงานนักเรียนใหครบทุกแบบฝกหัด 3.2 ตรวจสอบความถูกตองการบันทึกคะแนนของนักเรียน 3.3 ประเมินผลความกาวหนาของนักเรียน 3.4 แจงใหนักเรียนทราบ และรายงานผูเกี่ยวของตอไป ......................................................
  • 6.
    คําแนะนําการใชแบบฝกทักษะสําหรับนักเรียน 1. ขอปฏิบัติของนักเรียนกอนใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 1.1 ตรวจความพรอมเอกสารตางๆที่ไดวาครบหรือไม 1.2 รับฟงคําชี้แนะจากครูผสอน ู 2. ขอปฏิบัติของนักเรียนขณะใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 2.1 ทําแบบทดสอบกอนเรียน 2.2 ศึกษาไปตามลําดับที่กําหนดให อยาขามเนื้อหา จะทําใหเกิดความสับสน 2.3 ถาไมเขาใจเนื้อหาตอนใดใหถามครูผูสอน อยาขาม หรือปลอยทิ้งผานไป 2.4 ตองทําแบบฝกหัดดวยตนเองโดยไมดูเฉลยกอน มิฉะนั้นการเรียนนี้จะไมเกิด ประโยชนใดๆแกนักเรียนทั้งสิ้น 2.5 การตั้งใจศึกษาดวยความมุงมั่น จะทําใหนักเรียนประสบความสําเร็จในการเรียน 2.6 ไมตองรีบรอนในการทําแบบฝกหัด อานใหเขาใจชาๆชัดๆ เหนื่อยก็พักกอน หาย เหนื่อยแลวลงมือศึกษาตอไป ไมมีอะไรยากเกินความสามารถของคนที่มีความพยายาม 2.7 เมื่อนักเรียนทําแบบฝกหัดเสร็จแลวใหตรวจคําตอบ ถามีขอผิด หรือไมเขาใจให ศึกษาดูใหม หรือปรึกษาครูผูสอน 2.8 เมื่อนักเรียนทําแบบฝกหัดทั้งหมดเสร็จแลว ใหทําแบบทดสอบหลังเรียนดวย แลว ตรวจเฉลย 3. ขอปฏิบัติของนักเรียนหลังใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร 3.1 บันทึกคะแนนที่ไดทุกแบบฝกหัด ลงในแบบที่กําหนดให 3.2 บันทึกคะแนนแบบทดสอบกอนเรียน-หลังเรียนลงในแบบที่กําหนดให 3.3 ตรวจความเรียบรอยเอกสารทั้งหมดกอนสงคืนครูผูสอน …………………………….………….
  • 7.
    แบบทดสอบกอนเรียน หนวยการเรียนรูที่ 3เรื่อง ตัวประกอบของจํานวนนับ รายวิชาคณิตศาสตร (ค16101) ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2552 .......................................... แบบทดสอบฉบับนี้เปนแบบปรนัย มีจํานวน 20 ขอ เวลา 30 นาที คะแนนเต็ม 20 คะแนน คําชี้แจง จงกาเครื่องหมาย  ขอที่ถูกตองที่สุดเพียงขอเดียวเทานั้น 1. ขอใดเปนตัวประกอบทุกตัวของ 35 ก. 1 , 3 , 5 , 35 ข. 1 , 3 , 7 , 35 ค. 1 , 5 , 7 , 35 ง. 1 , 2 , 7 , 35 2. ขอใดคือตัวประกอบทั้งหมดของ 9 ก. 1 , 2 , 3 ข. 1 , 3 , 9 ค. 1 , 3 , 6 ง. 1 , 2 , 9 3. 97 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด ก. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 97 ข. เปน เพราะมีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 97 ค. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 9 และ 7 ง. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1 , 7 , 9 และ 97 4. 57 เปนจํานวนเฉพาะหรือไมเพราะเหตุใด ก. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 57 ข. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 3 , 19 และ 57 ค. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 57 ง. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 3 และ 19
  • 8.
    5. ขอใดเปนตัวประกอบเฉพาะของ 42 ก. 1 , 2 , 3 ข. 2 , 3 , 7 ค. 6 , 7 ง. 1 , 6 , 7 6. ขอใดเปนตัวประกอบเฉพาะของ 51 ก. 1 , 3 , 17 ข. 1 , 51 ค. 1 , 3 , 7 , 51 ง. 3 , 17 7. ขอใดเปนการแยกตัวประกอบของ 96 ก. 96 = 3 × 8 × 4 ข. 96 = 3 × 25 ค. 96 = 3 × 32 ง. 96 = 6 × 16 8. ขอใดแยกตวประกอบไมถูกตอง ั ก. 27 = 33 ข. 16 = 42 ค. 12 = 22 × 3 ง. 10 = 2 × 5 9. ขอใดเปนตัวหารรวมของ 4 และ 6 ก. 1 , 6 ข. 1 , 4 ค. 1 , 3 ง. 1 , 2 10. ห.ร.ม. ของ 10 , 20 , 30 และ 60 คือขอใด ก. 10 ข. 15 ค. 20 ง. 25
  • 9.
    11. 7 เปน ห.ร.ม. ของจํานวนนับในขอใด ก. 7 , 15 ข. 7 , 21 ค. 7 , 27 ง. 7 , 29 12. ขอใดเปนตัวคูณรวมของ 4 และ 6 ก. 4 , 8 , 12 , ... ข. 6 , 12 , 18 , ... ค. 8 , 16 , 24 , ... ง. 12 , 24 , 36 , ... 13. ขอใดเปนตัวคูณรวมของ 6 , 10 และ 15 ก. 30 , 60 , 90 , ... ข. 15 , 30 , 45 , ... ค. 10 , 20 , 30 , ... ง. 1 , 2 , 3 , ... 14. ค.ร.น. ขอ ง 8 , 12 และ 32 คือขอใด ก. 24 ข. 48 ค. 64 ง. 96 15. จํานวน 36 เปน ค.ร.น. ของจํานวนนับในขอใด ก. 15 , 30 , 36 ข. 9 , 18 , 36 ค. 8 , 16 , 32 ง. 6 , 15 , 18 16. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 6 , 18 และ 30 มีคาตางกันเทาไร ก. 6 ข. 15 ค. 84 ง. 90
  • 10.
    17. เชือกสีขาวยาว 27 เมตร เชือกสีเขียวยาว 36 เมตร ตองการตัดเปนทอนยาวเทาๆกัน ใหแตละทอนมีขนาดยาวที่สุดและไมเหลือเศษ จะตัดไดทั้งหมดกี่ทอน ก. 7 ทอน ข. 9 ทอน ค. 12 ทอน ง. 18 ทอน 18. รถไฟขบวนที่ 1 ออกทุกๆ 30 นาที รถไฟขบวนที่ 2 ออกทุกๆ 45 นาที รถไฟขบวน ที่ 3 ออกทุกๆ 1 ชั่วโมง รถไฟทั้งสามขบวนออกพรอมกันครั้งแรกเวลา 06.00 น. รถไฟ ทั้งสามขบวนนี้จะออกพรอมกันครั้งที่สองเวลาเทาไร ก. 07.30 น. ข. 08.00 น. ค. 09.00 น. ง. 10.00 น. 19. นมถั่วเหลืองราคากลองละ 8 บาท นมโคสดราคากลองละ 10 บาท ถาตองการซื้อนม ทั้งสองชนิด โดยจายเปนเงินคานมถั่วเหลืองและคานมโคสดอยางละเทาๆกัน จะไดนม ชนิดละกี่กลอง ก. นมถั่วเหลือง 5 กลอง นมโคสด 4 กลอง ข. นมถั่วเหลือง 4 กลอง นมโคสด 5 กลอง ค. นมถั่วเหลือง 3 กลอง นมโคสด 4 กลอง ง. นมถั่วเหลือง 4 กลอง นมโคสด 3 กลอง 20. พลอย , พิมพ และ พัฒน วิ่งรอบสนามเด็กเลน หนึ่งรอบใชเวลา 3 , 4 และ 5 นาที ตามลําดับ ถาทั้งสามคนออกวิ่งพรอมกันเวลา 09.00 น. เวลาใดที่ทั้งสามคนจะวิ่งพรอม กันเปนครั้งที่สอง ก. 10.00 น. ข. 10.30 น. ค. 11.00 น. ง. 11.30 น.
  • 11.
    เกร็ดความรูที่ 1 การหารลงตัว ใหนักเรียนพิจารณาการหารตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 จงหาผลหารของ 45 ÷ 3 =  ตัวอยางที่ 2 จงหาผลหารของ 46 ÷ 3 =  15 15 วิธีทํา 3 45 วิธีทํา 3 46 3 3 15 16 15 15 00 01 ตอบ ๑๕ ตอบ ๑๕ เศษ ๑ จากตัวอยางที่ 1 จะไดวา 45 ÷ 3 = 15 ไมเหลือเศษ หรือ เศษเปน 0 เรียกวา “ การหารลงตัว” ตัวอยางที่ 2 จะไดวา 46 ÷ 3 = 15 เหลือเศษ 1 เรียกวา “การหารไมลงตัว” สรุปวา :- “ การหารลงตัวคือ การหารที่ไมมีเศษ หรือ เศษเปน 0 ” เชน 15 ÷ 5 = 3 , 16 ÷ 4 = 4 12 ÷ 2 = 6 , 49 ÷ 7 = 7 “ การหารไมลงตัวคือ การหารที่เหลือเศษ ” เชน 22 ÷ 3 = 7 เศษ 1 , 50 ÷ 6 = 8 เศษ 2 31 ÷ 4 = 7 เศษ 3 , 29 ÷ 5 = 5 เศษ 4
  • 12.
    แบบฝกหัดที่ 1 คําชี้แจง ใหนักเรียนกาเครื่องหมาย √ หนาขอที่หารลงตัว และ กาเครื่องหมาย  หนาขอที่หารไมลงตัว ตัวอยาง √ ก) 63 ÷ 9  ข) 45 ÷ 7 ............1) 14 ÷ 7 ............2) 35 ÷ 7 ............3) 98 ÷ 3 ............4) 66 ÷ 8 ............5) 48 ÷ 6 ............6) 75 ÷ 5 ............7) 116 ÷ 4 ............8) 136 ÷ 8 ............9) 513 ÷ 9 ..........10) 746 ÷ 12
  • 13.
    เกร็ดความรูที่ 2 ตัวประกอบ ใหนักเรียนพิจารณาการหารตอไปนี้ ใหนักเรียนพิจารณาจํานวนนับ 8 วามีจํานวนนับใดที่หาร 8 ไดลงตัวบาง 8 ÷ 1 = 8 ดังนั้น 1 เปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 1 ลงตัว 8 ÷ 2 = 4 ดังนั้น 2 เปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 2 ลงตัว 8 ÷ 3 = 2 เศษ 2 ดังนั้น 3 ไมเปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 3 ไมลงตัว 8 ÷ 4 = 2 ดังนั้น 4 เปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 4 ลงตัว 8 ÷ 6 = 1 เศษ 2 ดังนั้น 6 ไมเปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 6 ไมลงตัว 8 ÷ 8 = 1 ดังนั้น 8 เปนตัวประกอบของ 8 เพราะ 8 หารดวย 8 ลงตัว ดังนั้น ตัวประกอบของ 8 ไดแก 1 , 2 , 4 , 8
  • 14.
    ใหนักเรียนพิจารณาตัวประกอบของจํานวนนับตอไปนี้ 47 ÷ 5= 9 เศษ 2 ดังนั้น 5 ไมเปนตัวประกอบของ 47 เพราะ 47 หารดวย 5ไมลงตัว 54 ÷ 9 = 6 ดังนั้น 9 เปนตัวประกอบของ 54 เพราะ 54 หารดวย 9 ลงตัว 32 ÷ 8 = 4 ดังนั้น 8 เปนตัวประกอบของ 32 เพราะ 32 หารดวย 8 ลงตัว 70 ÷ 10 = 7 ดังนั้น 10 เปนตัวประกอบของ 70 เพราะ 70 หารดวย 1 ลงตัว สรุปวา :- “ ตัวประกอบของจํานวนนับใดๆ คือ จํานวนนับที่หารจํานวนนับนั้นไดลงตัว ” เชน ตัวประกอบของ 56 ไดแก 1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 14 , 28 , 56 ตัวประกอบของ 26 ไดแก 1 , 2 , 13 , 26 ตัวประกอบของ 25 ไดแก 1 , 5 , 25 ตัวประกอบของ 36 ไดแก 1 , 2 , 3 , 4 , 9 , 12 , 18 ,36 ตัวประกอบของ 40 ไดแก 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 20 , 40
  • 15.
    แบบฝกหัดที่ 2.1 คําชี้แจง ใหนักเรียนพิจารณาวาจํานวนนับที่กําหนดใหเปนตัวประกอบของ จํานวนนับอีกจํานวนหนึ่งหรือไม พรอมบอกเหตุผลโดยระบายสีในชองที่ ตองการ ตัวอยาง 3 เปนตัวประกอบของ 10 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ10 ÷ 3 ลงตัว ไมเปน เพราะ 10 ÷ 3 ไมลงตัว ตัวอยาง 4 เปนตัวประกอบของ 12 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 12 ÷ 4 ลงตัว ไมเปน เพราะ 12 ÷ 4 ไมลงตัว 1) 2 เปนตัวประกอบของ 14 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 14 ÷ 2 ลงตัว ไมเปน เพราะ 14 ÷ 2 ไมลงตัว 2) 5 เปนตัวประกอบของ 14 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 14 ÷ 5 ลงตัว ไมเปน เพราะ 14 ÷ 5 ไมลงตัว 3) 6 เปนตัวประกอบของ 15 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 15 ÷ 6 ลงตัว ไมเปน เพราะ 15 ÷ 6 ไมลงตัว 4) 7 เปนตัวประกอบของ 21 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 21 ÷ 7 ลงตัว ไมเปน เพราะ 21 ÷ 7 ไมลงตัว 5) 8 เปนตัวประกอบของ 24 หรือไม เพราะเหตุใด
  • 16.
    เปน เพราะ 24 ÷ 8 ลงตัว ไมเปน เพราะ 24 ÷ 8 ไมลงตัว 6) 9 เปนตัวประกอบของ 220 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 220 ÷ 9 ลงตัว ไมเปน เพราะ 220 ÷ 9 ไมลงตัว 7) 10 เปนตัวประกอบของ 120 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 120 ÷ 10 ลงตัว ไมเปน เพราะ 120 ÷ 10 ไมลงตัว  8) 11 เปนตัวประกอบของ 150 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 150 ÷ 11 ลงตัว ไมเปน เพราะ 150 ÷ 11 ไมลงตัว  9) 13 เปนตัวประกอบของ 130 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 130 ÷ 13 ลงตัว ไมเปน เพราะ130 ÷ 13 ไมลงตัว 10) 17 เปนตัวประกอบของ 340 หรือไม เพราะเหตุใด เปน เพราะ 340 ÷ 17 ลงตัว ไมเปน เพราะ340 ÷ 17 ไมลงตัว  .......................................................... แบบฝกหัดที่ 2.2
  • 17.
    คําชี้แจง ใหนักเรียนหาตัวประกอบของจํานวนนับตอไปนี้ใหครบทุกตัวแลวเติมใน ชองวาง 1 2 ตัวอยาง ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 12 12 3 12 4 6 1) ตัวประกอบของ 6 ไดแก 6 2) ตัวประกอบของ 8 ไดแก 8 3) ตัวประกอบของ 9 ไดแก 9 4) ตัวประกอบของ 10 ไดแก 10 5) ตัวประกอบของ 15 ไดแก 15 6) ตัวประกอบของ 18 ไดแก 18 18 7) ตัวประกอบของ 20 ไดแก 20 8) ตัวประกอบของ 25 ไดแก 25 9) ตัวประกอบของ 27 ไดแก 27 30 10) ตัวประกอบของ 30 ไดแก ……………………………….. แบบฝกหัดที่ 2.3
  • 18.
    คําชี้แจง ใหนักเรียนระบายสี จํานวนนับที่สัมพันธกับโจทย ตัวอยาง 12 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 30 48 60 75 1) 2 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 17 25 26 34 42 2) 3 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 3) 4 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 10 20 30 40 50 4) 5 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 12 17 25 30 32 5) 6 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71
  • 19.
    6) 7 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 7) 8 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 8) 9 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 9) 10 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 15 28 42 56 71 10) 11 เปนตัวประกอบของจํานวนใด 25 55 75 77 107 ………………............................ เกร็ดความรูที่ 3 การใชตัวประกอบในการหาผลคูณ
  • 20.
    การหาผลคูณระหวางจํานวนสองจํานวน อาจนําความรูเรื่องตัวประกอบมาใชได โดยการเขียนจํานวนใดจํานวนหนึ่งหรือทั้งสองจํานวนในรูปการคูณของตัว ประกอบ แลวใชสมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนหมูการคูณดังนี้ ใหนักเรียนพิจารณาการหาผลคูณตอไปนี้ 18 × 45 =  การหาผลคูณใน วิธีทํา 18 × 45 = 18 × ( 5 × 9 ) แนวตั้ง = ( 18 × 5 ) × 9 18 = 90 × 9 45 + = 810 90 ตอบ ๘๑๐ 720 หรือ 18 × 45 = ( 9 × 2 ) × 45 = 9 × ( 2 × 45 ) = 9 × 90 = 810 ตอบ ๘๑๐ หรือ 18 × 45 = ( 9 × 2 ) ×( 5 × 9 ) = (9 × 9) × (2 × 5) = 81 × 10 = 810 ตอบ ๘๑๐ …………………. แบบฝกหัดที่ 3 คําชี้แจง จงหาผลคูณโดยใชเรื่องตัวประกอบ ( เลือกทําวิธีเดียว ) ตัวอยาง 35 × 28 = 35 × ( 4 × 7 ) หรือ = ( 7 × 5 ) × 28
  • 21.
    = ( 35 × 4 ) × 7 = 7 × ( 5 × 28 ) = 140 × 7 = 7 × 140 = 980 = 980 ตอบ ๙๘๐ หรือ 35 × 28 = (5× 7 )× (7× 4) = (7× 7)× (5× 4) = 49 × 20 = 980 1) 45 × 49 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 2) 39 × 48 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 3) 52 × 63 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =…………………………………………
  • 22.
    ตอบ................................ 4) 64 × 75 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 5) 66 × 42 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 6) 49 × 36 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 7) 95 × 72 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 8) 56 × 81 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................
  • 23.
    9) 54 × 24 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ 10) 42 × 25 =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… =………………………………………… ตอบ................................ .................................................... เกร็ดความรูที่ 4 การใชตัวประกอบในการหาผลหาร
  • 24.
    การหาผลหารอาจนําความรูเรื่องตัวประกอบมาใชได โดยการเขียนตัวหาร ในรูปการคูณของตัวประกอบ แลวนําตัวประกอบไปหารตัวตั้งแตตองเปนการหาร ลงตัว ใหนักเรียนพิจารณา การหารตอไปนี้ จงหาผลหาร 315 ÷ 35 =  วิธีทํา 35 = 5×7 5) 3 1 5 7) 6 3 9 ดังนั้น 315 ÷ 35 = 9 ตรวจคําตอบ ผลหาร × ตัวหาร = 9 × 35 = 315 เทากับตัวตั้ง แสดงวาคําตอบถูกตอง ตอบ ๙ แบบฝกหัดที่ 4 คําชี้แจง ใหนักเรียนหาผลหารโดยใชตัวประกอบของตัวหาร ตัวอยาง 1,848 ÷ 66 =  วิธีทํา 66 = 6 × 11 6 ) 1848
  • 25.
    11 )3 08 28 ตรวจคําตอบ 28 × 66 = 1,848 ตอบ ๒๘ 1) 360 ÷ 45 =  วิธีทํา ........................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... 2) 336 ÷ 42 =  วิธีทํา........................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ...................................................................................................... ตอบ........................... 3) 726 ÷ 22 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
  • 26.
    ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... 4) 448 ÷56 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... 5) 693 ÷ 63 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ......................... 6) 539 ÷ 49 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
  • 27.
    ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... 7) 1,584 ÷48 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................ ตอบ........................... 8) 1,425 ÷ 25 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ............................................................................................................... ตอบ........................... 9) 1,155 ÷ 35 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ......................................................................................................................
  • 28.
    ............... ตรวจคําตอบ ................................................................................................................. ตอบ........................... 10) 2,079÷ 63 =  วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ตรวจคําตอบ................................................................................................................. ตอบ........................... ..............................................................
  • 29.
    เกร็ดความรูที่ 5 จํานวนเฉพาะ ใหนักเรียนพิจารณาตัวประกอบของจํานวนนับตอไปนี้ ตัวประกอบของ 21 ไดแก 1 , 3 , 7 , 21 ตัวประกอบของ 23 ไดแก 1 , 23 ตัวประกอบของ 25 ไดแก 1 , 5 , 25 ตัวประกอบของ 30 ไดแก 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 ตัวประกอบของ 31 ไดแก 1 , 31 ตัวประกอบของ 47 ไดแก 1 , 47 ตัวประกอบของ 23 , 31 และ 47 มีจํานวน 2 ตัว คือ 1 และจํานวนนับนั้น สรุปวา :- จํานวนนับที่มีตัวประกอบเพียงสองตัวคือ 1 และจํานวนนับนั้น เรียกวา “ จํานวนเฉพาะ ” จํานวนเฉพาะที่อยูระหวาง 1 – 100 (ในวงกลม) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  • 30.
    แบบฝกหัดที่ 5 คําชี้แจง จงกาเครื่องหมาย√ หนาขอที่เปนจํานวนเฉพาะ และกาเครื่องหมาย  หนาขอที่ไมเปนจํานวนเฉพาะ พรอมทั้งบอกเหตุผล ตัวอยาง √ ก. 11 เพราะมีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 11  ข. 14 เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 2 , 7 , 14 ....................1) 71 เพราะ.......................................................................... ....................2) 16 เพราะ................. ......................................................... ....................3) 21 เพราะ.......................................................................... ....................4) 23 เพราะ.......................................................................... ....................5) 27 เพราะ.......................................................................... ....................6) 79 เพราะ.......................................................................... ....................7) 32 เพราะ.......................................................................... ....................8) 59 เพราะ.......................................................................... ....................9) 47 เพราะ.......................................................................... ....................10) 46 เพราะ..................................... ....................................
  • 31.
    เกร็ดความรูที่ 6 ตัวประกอบเฉพาะ ใหนักเรียนพิจารณาตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้ ตัวประกอบของ 15 ไดแก 1 , 3 , 5 , 15 ตัวประกอบของ 30 ไดแก 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 ตัวประกอบของ 42 ไดแก 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42 ตัวประกอบของ 49 ไดแก 1 , 7 , 49 ตัวประกอบของ 15 มี 4 ตัว จะมีตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะสองตัวคือ 3 และ 5 ตัวประกอบของ 30 มี 8 ตัว จะมีตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะสามตัวคือ 2 , 3 และ 5 ตัวประกอบของ 42 มี 8 ตัว จะมีตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะสามตัวคือ 2 , 3 และ 7 ตัวประกอบของ 49 มี 3 ตัว จะมีตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะหนึ่งตัวคือ 7 สรุปวา :- ตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะ เรียกวา “ ตัวประกอบเฉพาะ ” เชน ตัวประกอบของ 12 ไดแก 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 ซึ่งจะมี 2 และ 3 เปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น 2 และ 3 จึง เปนตัวประกอบเฉพาะ ของ 12 ตัวประกอบของ 45 ไดแก 1 , 3 , 5 , 9 , 15 , 45 จะมี 3 และ 5 เปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น 3 และ 5 จึงเปนตัวประกอบเฉพาะ ของ 45 ตัวประกอบของ 50 ไดแก 1 , 2 , 5 , 10 , 25 , 50 จะมี 2 และ 5 เปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น 2 และ 5 จึงเปนตัวประกอบเฉพาะ ของ 50 ตัวประกอบของ 70 ไดแก 1 , 2 , 5 , 7 , 10 , 14 , 35 , 70 จะมี 2 , 5 และ 7 เปน จํานวนเฉพาะ ดังนั้น 2 , 5 และ 7 จึงเปนตัวประกอบเฉพาะ ของ 70
  • 32.
    แบบฝกหัดที่ 6 คําชี้แจง ใหนักเรียนหาตัวประกอบเฉพาะของจํานวนตอไปนี้ 24 ตัวอยาง ตัวประกอบเฉพาะของ 24 คือ 2 และ 3 2 3 10 1) ตัวประกอบเฉพาะของ 10 คือ 14 2) ตัวประกอบเฉพาะของ 14 คือ 21 3) ตัวประกอบเฉพาะของ 21 คือ 25 4) ตัวประกอบเฉพาะของ 25 คือ 39 5) ตัวประกอบเฉพาะของ 39 คือ 44 6) ตัวประกอบเฉพาะของ 44 คือ 7) ตัวประกอบเฉพาะของ 51 คือ 51 8) ตัวประกอบเฉพาะของ 91 คือ 91 9) ตัวประกอบเฉพาะของ 95 คือ 95 10) ตัวประกอบเฉพาะของ 102 คือ 102
  • 33.
    เกร็ดความรูที่ 7 การแยกตัวประกอบ ใหนักเรียนพิจารณาการแยกตัวประกอบของ 40 เปนจํานวนนับสองจํานวนคูณกัน ดังนี้ 40 = 1 × 40 40 = 2 × 20 40 = 4 × 10 40 = 5×8 จะเขียนเปนแผนภาพไดดังนี้ 1 2 4 5 8 10 20 40 จากแผนภาพจะไดตัวประกอบเฉพาะของ 40 คือ 2 และ 5 การแยกตัวประกอบของ 40 = 5 × 8 จะพบวา 8 ไมเปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้น เราสามารถเขียน 8 ใหอยูในรูปการคูณของจํานวนสองจํานวนคือ 8 = 2 × 4  จะพบวา 4 ไมเปนจํานวนเพาะ ดังนั้นเราสามารถเขียน 4 ใหอยูในรูปการคูณของ จํานวนเฉพาะคือ 4 = 2 × 2 ดังนั้น 40 = 5 × 2 × 2 × 2 เปนการแยกตัว ประกอบที่สมบูรณ 40 = 5 ×8 หรือ 40 = 5 ×2×4 5 × 8 = 5 ×2×2×2 2 × 4 2 × 2
  • 34.
    หรือ 40 =2 × 20 จะพบวา 20 ไมเปนจํานวนเฉพาะ จึงตองเขียน 20 ใหอยูในรูปการ คูณของจํานวนสองจํานวนคือ 20 = 2 × 10 จะพบวา 10 ไมเปนจํานวนเฉพาะ ดังนั้นเราสามารถเขียน 10 ใหอยูในรูปการคูณของจํานวนสองจํานวนคือ 10 = 2 × 5 ดังนั้น 40 = 2 × 2 × 2 × 5 เปนการแยกตัวประกอบที่สมบูรณ 40 = 2 × 20 หรือ 40 = 2 × 2 × 10 2 × 20 = 2 ×2 × 2 ×5 2 × 10 2 × 5 หรือ 40 = 4 × 10 ทั้ง 4 และ 10 ไมเปนจํานวนเฉพาะ นํา 4 และ 10 มาเขียนใหอยู ในรูปการคูณของจํานวนสองจํานวนคือ 4 = 2 × 2 และ 10 = 2 × 5 ดังนั้น 40 = 2 × 2 × 2 × 5 เปนการแยกตัวประกอบที่สมบูรณ 40 = 4 × 10 หรือ 40 = 2×2×2×5 4 × 10 2 × 2 × 2 × 5 สรุปวา :- การแยกตัวประกอบ คือ “ การเขียนจํานวนนับในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ ” เชน การแยกตัวประกอบของ 70 = 7 × 10 = 7×2×5 การแยกตัวประกอบของ 150 = 15 × 10 = 3×5×2×5 การแยกตัวประกอบของ 40 = 4 × 10 = 2×2×2×5
  • 35.
    การแยกตัวประกอบของ 48 = 2 × 24 = 2 × 2 × 12 = 2 × 2 ×2 × 6 = 2×2×2×2×3 หรือ 80 2 × 40 2 × 20 2 × 10 2 × 5 ดังนั้นสามารถแยกตัวประกอบของ 80 คือ 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 ถาการคูณดวยจํานวนที่ซ้ํากัน สามารถเขียนในรูปเลขยกกําลังได ดังนี้ 80 = 2×2×2×2×5 = 24 × 5 อานวาสองกําลังสีคูณหา ่ 162 = 2×3×3×3×3 = 2 × 34 อานวาสองคูณสามกําลังสี่ 225 = 5×5×3×3 = 52 × 32 อานวาหากําลังสองคูณสามกําลังสอง 48 = 2×2×2×2×3 = 24 × 3 อานวาสองกําลังสี่คูณสาม 150 = 3×5×2×5 = 3 × 2 × 52 อานวาสามคูณสองคูณหากําลังสอง
  • 36.
    แบบฝกหัดที่ 7.1 คําชี้แจง ใหนักเรียนกาเครื่องหมาย√ หนาขอที่เปนการแยกตัวประกอบ กาเครื่องหมาย  หนาขอที่ไมเปนการแยกตัวประกอบ ตัวอยาง  ก. 15 = 1×3×5 √ ข. 8 = 2×2×2 ............1) 16 = 2×2×2×2 ............2) 18 = 2×9 ............3) 20 = 4×5 ............4) 21 = 3×7 ............5) 45 = 3×5×3 ............6) 25 = 5×5 ............7) 40 = 5×8 ............8) 66 = 2 × 3 × 11 ............9) 49 = 1×7×7 ............10) 27 = 3×9
  • 37.
    แบบฝกหัดที่ 7.2 คําชี้แจง จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้ 45 ตัวอยาง = 5 × 3 × 3 1) 36 = × × × 2) 12 = × × × 3) 30 = × × × 4) 50 = × × × 5) 48 = × × × 6) 22 = × × × 7) 26 = × × × 8) 75 = × × × 9) 125 = × × × 10) 100 = × × × ……………………………
  • 38.
    แบบฝกหัดที่ 7.3 คําชี้แจง จงแยกตัวประกอบของจํานวนตอไปนี้และเขียนใหอยูในรูปเลข ยกกําลัง ตัวอยาง 48 = 2×2×2×2×3 = 24 × 3 1) 81 = = 2) 90 = = 3) 80 = = 4) 64 = = 5) 27 = = 6) 108 = = 7) 242 = = 8) 250 = = 9) 441 = = 10) 676 = =
  • 39.
    เกร็ดความรูที่ 8 การแยกตัวประกอบโดยวิธีการตั้งหาร ใหนักเรียนพิจารณา การแยกตัวประกอบของ 50 โดยวิธีการตั้งหาร 5)50 5)10 2 ดังนั้น 50 = 5 × 5 × 2 50 = 5 10 ตอบ ๕๐ = ๕ × ๕ × ๒ = 5 5 2 สรุป :- 1. จํานวนที่เปนตัวหารตองเปนจํานวนเฉพาะ และหารไดลงตัว 2. ผลหารสุดทายตองเปนจํานวนเฉพาะ 3. นําตัวหารทุกตัวและผลหารสุดทายมาเขียนใหอยูในรูปการคูณ จงแยกตัวประกอบของ 150 โดยวิธีการตั้งหาร 5)150 5) 30 150 = 5 30 3) 6 = 5 5 6 2 = 5 5 3 2 150 = 5 × 5 × 3 × 2 ตอบ ๑๕๐ = ๕ × ๕ × ๓ × ๒
  • 40.
    แบบฝกหัดที่ 8 คําชี้แจง จงแยกตัวประกอบจํานวนนับตอไปนี้โดยวิธีการตั้งหาร ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบของ 390 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา 3) 390 2) 130 5) 65 13 ตอบ ๓๙๐ = ๓ × ๒ × ๕ × ๑๓ 1) จงแยกตัวประกอบของ 78 โดยวิธการตั้งหาร ี วิธีทํา........................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2) จงแยกตัวประกอบของ 81 โดยวิธการตั้งหาร ี วิธีทํา......................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
  • 41.
    3) จงแยกตัวประกอบของ 96โดยวิธการตั้งหาร ี วิธีทํา....................................... .................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 4) จงแยกตัวประกอบของ 108 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 5) จงแยกตัวประกอบของ 125 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
  • 42.
    6) จงแยกตัวประกอบของ 150โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 7) จงแยกตัวประกอบของ 200 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 8) จงแยกตัวประกอบของ 250 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ....................................................................................................................................
  • 43.
    9) จงแยกตัวประกอบของ 300โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 10) จงแยกตัวประกอบของ 450 โดยวิธีการตั้งหาร วิธีทํา............................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
  • 44.
    เกร็ดความรูที่ 9 ตัวหารรวมและตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ใหนักเรียนพิจารณาจํานวนนับที่หาร 12 และ 18 ลงตัว 12 18 1 4 9 จํานวนนับที่หาร 12 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 2 12 3 6 18 จํานวนนับที่หาร 18 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 จํานวนนับที่หาร 12 และ 18 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 6 เราเรียก 1 , 2 , 3 และ 6 วาตัวหารรวมหรือตัวประกอบรวมของ 12 และ 18 1 , 2 , 3 และ 6 จํานวนที่มีคามากที่สดคือ 6 ุ ดังนั้นตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ 12 และ 18 คือ 6 ตอบ ๖ จํานวนนับที่หาร 18 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 จํานวนนับที่หาร 30 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 จํานวนนับที่หาร 42 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 14 , 21 , 42 จํานวนนับที่หาร 18 , 30 และ 42 ลงตัวคือ 1 , 2 , 3 , และ 6 เราเรียก 1 , 2 , 3 และ 6 วาเปนตัวหารรวมหรือตัวประกอบรวมของ 18 , 30 และ 42 1 , 2 , 3 และ 6 จํานวนที่มีคามากที่สุดคือ 6 ดังนั้นตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม.) ของ 18 , 30 และ 42 คือ 6 ตอบ ๖
  • 45.
    สรุปวา :- จํานวนนับที่หารจํานวนตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปไดลงตัว เรียกวาตัวหารรวมหรือ ตัวประกอบรวมของจํานวนนั้น และตัวหารรวมที่มีคามากที่สุดเรียกวา ตัวหารรวม มาก ( ห.ร.ม. ) พิจารณาการหาตัวหารรวมของ 20 และ 40 ดังนี้ จํานวนนับที่หาร 20 ลงตัวคือ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 จํานวนนับที่หาร 40 ลงตัวคือ 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 20 , 40 จํานวนนับที่หาร 20 และ 40 ลงตัวคือ 1 , 2 , 4 , 5 , 10 เราเรียก 1 , 2 , 4 , 5 และ 10 วาตัวหารรวมหรือตัวประกอบรวมของ 20 และ 40  1 , 2 , 4 , 5 และ 10 จํานวนที่มีคามากที่สุดคือ 10 ดังนั้นตัวหารรวมมากของ 20 และ 40 คือ 10 ตอบ ๑๐
  • 46.
    แบบฝกหัดที่ 9 คําชี้แจง จงหาตัวหารรวมมาก( ห.ร.ม. ) ของจํานวนตอไปนี้ ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 15 และ 27 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร 15 ลงตัวคือ 1 , 3 , 5 , 15 จํานวนนับที่หาร 27 ลงตัวคือ 1 , 3 , 9 , 27 ตัวหารรวมของ 15 และ 27 คือ 1 และ 3 ตัวหารรวมมากคือ 3 ตอบ ๓ 1) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 10 และ 14 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ........................................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 2) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 15 และ 25 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ............................................................ ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................
  • 47.
    3) จงหาตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม. ) ของ 4 และ 12 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ........................................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 4) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 7 และ 21 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ............................................................ ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 5) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 15 และ 18 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........... และ .......... คือ ........................................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................
  • 48.
    6) จงหาตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม. ) ของ 9 , 15 และ 21 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ..........,......... และ .......... คือ .................................................. ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 7) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 8 , 20 และ 28 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........,......... และ .......... คือ ..................................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 8) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 14 , 42 และ 63 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........,............ และ .......... คือ .................................................. ตัวหารรวมมากคือ .............................. ....... ตอบ ........................
  • 49.
    9) จงหาตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม. ) ของ 12 , 30 , 42 และ 60 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ......,......,.......... และ .......... คือ ............................................... ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ 10) จงหาตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 27 , 45 , 63 และ 108 วิธีทํา จํานวนนับที่หาร ........... ลงตัวคือ .................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... จํานวนนับที่หาร ............ ลงตัวคือ ................................................... ตัวหารรวมของ ........,.......,........ และ .......... คือ ............................................. ตัวหารรวมมากคือ ..................................... ตอบ ........................ ……………………………………………..
  • 50.
    เกร็ดความรูที่ 10 การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ ใหนักเรียนพิจารณาการหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 โดยการแยกตัวประกอบ ดังนี้ 18 27 18 = 2 × 3 ×3 2 3 3 3 27 = 3 × 3 ×3 ตัวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 18 และ 27 คือ 3 × 3 = 9 สรุป :- ห.ร.ม. หาไดจากผลคูณของจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมหรือตัวหารรวม 30 = 5×2×3 27 = 3×3×3 ห.ร.ม. ของ 30 และ 27 คือ 3 พิจารณาการหา ห.ร.ม. ของ 15 , 18 , 30 และ 45 15 = 3 ×5 18 = 3 × 3 ×2 30 = 3 ×2×5 45 = 3 × 3×5 ห.ร.ม. ของ 15 , 18 , 30 และ 15 คือ 3
  • 51.
    แบบฝกหัดที่ 10 24 คําชี้แจง จงหา ห.ร.ม. ของจํานวนตอไปนี้ 2 ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 24 , 36 และ 42 2 2 วิธีทํา 24 = 2×3×2×2 3 3 7 36 = 2 × 3 × 2 ×3 42 = 2×3×7 36 42 ห.ร.ม. ของ 24 , 36 และ 42 คือ 2×3 = 6 ตอบ ๖ 1) จงหา ห.ร.ม. ของ 15 และ 60 วิธีทํา 15 = .................................................... 60 = ................................................... ห.ร.ม. ของ 15 และ 60 คือ .................................................... ตอบ ........................ 2) จงหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 80 วิธีทํา 40 = .................................................... 80 = ................................................... ห.ร.ม. ของ 40 และ 80 คือ .................................................... ตอบ ........................ 3) จงหา ห.ร.ม. ของ 35 และ 56 วิธีทํา 35 = .................................................... 56 = ................................................... ห.ร.ม. ของ 35 และ 56 คือ .................................................... ตอบ ........................
  • 52.
    4) จงหา ห.ร.ม.ของ 42 และ 54 วิธีทํา 42 = .................................................... 54 = ................................................... ห.ร.ม. ของ 42 และ 54 คือ .................................................... ตอบ ........................ 5) จงหา ห.ร.ม. ของ 12 , 16 และ 32 วิธีทํา 12 = ........................................ ........... 16 = ................................................... 32 = .................................................. ห.ร.ม. ของ 12 , 16 และ 32 คือ ................................................... ตอบ ........................ 6) จงหา ห.ร.ม. ของ 10 , 20 และ 30 วิธีทํา 10 = ................................................... 20 = ................................................... 30 = .................................................. ห.ร.ม. ของ 10 , 20 และ 30 คือ ................................................... ตอบ ........................ 7) จงหา ห.ร.ม. ของ 40 , 44 และ 86 วิธีทํา 40 = ................................................... 44 = ................................................... 86 = .................................................. ห.ร.ม. ของ 40 , 44 และ 86 คือ ................................................... ตอบ ........................
  • 53.
    8) จงหา ห.ร.ม.ของ 55 , 77 , 154 และ 231 วิธีทํา 55 = ................................................... 77 = ................................................... 154 = .................................................. 231 = ................................................. ห.ร.ม. ของ 55 , 77 , 154 และ 231 คอ.............................................. ื ตอบ ........................ 9) จงหา ห.ร.ม. ของ 39 , 65 , 91 และ 143 วิธีทํา 39 = ................................................... 65 = ................................................... 91 = .................................................. 143 = .................................................. ห.ร.ม. ของ 39 , 65 , 91 และ 143 คือ................................................ ตอบ ............... ......... 10) จงหา ห.ร.ม. ของ 30 , 60 , 84 และ 114 วิธีทํา 30 = ................................................... 60 = ................................................... 84 = .................................................... 114 = .................................................... ห.ร.ม. ของ 30 , 60 , 84 และ 114 คือ................................................... ตอบ ........................
  • 54.
    เกร็ดความรูที่ 11 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีตั้งหาร เนื่องจากการหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ บางครั้งถามีหลายๆจํานวน อาจ ทําใหเกิดความลาชาในการคิดคํานวณโดยทั่วไปจึงนิยมการหา ห.ร.ม.โดยวิธีตั้งหาร ใหนักเรียนพิจารณาการหา ห.ร.ม. โดยวิธีการตั้งหาร ดังนี้ การหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 ขั้นที่ 1 หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรวมของ 24 และ 36 ซึ่งก็คือ 2 และ 3 นํา 2 หรือ 3 ไปหาร 24 และ 36 2)24 36 หรือ 3) 24 36 12 18 8 12 ขั้นที่ 2 พิจารณาผลหาร 12 และ 18 หรือ 8 และ 12 วามีจํานวนเฉพาะที่เปน ตัวหารรวมของ 12 และ 18 หรือ 8 และ 12 หรือไม ซึ่งคือ 2 นํา 2 ไปหารตอ 2) 24 36 หรือ 3) 24 36 2) 12 18 2) 8 12 6 9 4 6
  • 55.
    ขั้นที่ 3 พิจารณาผลหาร6 และ 9 หรือ 4 และ 6 วามีจํานวนเฉพาะที่เปน ตัวหารรวมหรือไม ตัวหารรวมของ 6 และ 9 คือ 3 ตัวหารรวมของ 4 และ 6 คือ 2 นํา 3 หรือ 2 ไปหารตอ 2) 24 36 หรือ 3) 24 36 2) 12 18 2) 8 12 3) 6 9 2) 4 6 2 3 2 3 ขั้นที่ 4 พิจารณาผลหาร 2 และ 3 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม ซึ่งไมมีจานวนใด ํ หาร 2 และ 3 ไดลงตัว การหารจึงเสร็จสิน ้ ใหนักเรียนพิจารณาขั้นตอนที่ 1 ถึง 4 เพื่อหาวาตัวหารรวมของ 24 และ 36 คือ จํานวนใดบาง จะไดวาตัวหารรวมของ 24 และ 36 คือ 2 , 2 และ 3 เมื่อนํา 2 × 2 × 3 หรือ 3 × 2 × 2 จะไดผลคูณเปน 12 ซึ่ง 12 เปนตัวหารรวม ของ 24 และ 36 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ 2 × 2 × 3 = 12 สรุปวา :- การหา ห.ร.ม. โดยการตั้งหารตัวที่นํามาหารตองเปนจํานวนที่หารไดลงตัวทุก จํานวน ตัวหารรวมมากคือผลคูณของตัวหารทั้งหมด ใหนักเรียนพิจารณาการหา ห.ร.ม. โดยวิธีการตั้งหาร ตอไปนี้ จงหา ห.ร.ม. ของ 16 , 24 , 32 พิจารณาจํานวนที่หาร 16 , 24 , 32 ลงตัว วิธีทํา 2 ) 16 24 32 2 ) 8 12 16 2 )4 6 8 2 3 4 ไมมีจํานวนใดหาร 2 , 3 , 4 ลงตัว ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 16 , 24 , 32 คือ 2× 2× 2 = 8 ตอบ ๘
  • 56.
    จํานวนที่นํามาหารนอกจากตองเปนจํานวนเฉพาะแลว สามารถเปนจํานวนอื่นได โดยมีขอตกลงวา ตัวที่นํามาหารตองหารไดลงตัวทุกจํานวนดังตัวอยางตอไปนี้ จงหา ห.ร.ม. ของ 30 , 40 , 50 , 60 พิจารณาจํานวนที่หาร 30 , 40 , 50 , 60 ลงตัวคือ 10 วิธีทํา 10 ) 30 40 50 60 3 4 5 6 พิจารณาผลหาร 3 , 4 , 5 , 6 ไมมีจานวนใดหารไดลงตัว การหารจึงเสร็จสิ้น ํ ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 30 , 40 , 50 และ 60 คือ 10 10 ไมเปนจํานวนเฉพาะ แต 10 สามารถหาร 30 , 40 , 50 , 60 ไดลงตัวทั้งหมด เปรียบเทียบกับการหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ 30 = 2× 5 ×3 40 = 2×5 ×2×2 50 = 2×5 ×5 60 = 2×5×2×3 ห.ร.ม. ของ 30 , 40 , 50 และ 60 คือ 2 × 5 = 10 ……………………………………..
  • 57.
    แบบฝกหัดที่ 11 คําชี้แจง จงหาห.ร.ม. ของจํานวนตอไปนี้โดยการตั้งหาร ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 24 , 48 และ 60 โดยการตั้งหาร วิธีทํา 2) 24 48 60 3) 12 24 30 2) 4 8 10 2 4 5 ห.ร.ม. ของ 24 , 48 และ 60 คือ 2 × 3 × 2 = 12 ตอบ ๑๒ 1) จงหา ห.ร.ม. ของ 15 และ 60 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 2) จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 30 วิธีทํา ........................................................................................................ ......... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ...........................
  • 58.
    3) จงหา ห.ร.ม.ของ 27 และ 66 วิธีทํา .................................................................................................................. ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 4) จงหา ห.ร.ม. ของ 14 , 28 และ 35 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 5) จงหา ห.ร.ม. ของ 35 , 49 และ 56 วิธีทํา ................................................................................................................. ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 6) จงหา ห.ร.ม. ของ 24 , 30 และ 36
  • 59.
    วิธีทํา .................................................................................................................. ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 7)จงหา ห.ร.ม. ของ 18 , 36 และ 45 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 8) จงหา ห.ร.ม. ของ 15 , 20 , 25 และ 30 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... .ตอบ ...........................
  • 60.
    9) จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 16 , 24 และ 28 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ตอบ ........................... 10) จงหา ห.ร.ม. ของ 60 , 75 , 165 และ 195 วิธีทํา ................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ................................................................ ............................................................. ............................................................................................................................... ตอบ ........................... ............................................
  • 61.
    เกร็ดความรูที่ 12 ตัวคูณรวม ใหนักเรียนพิจารณาวา จํานวนนับใดที่มี 2 เปนตัวประกอบ จะพบวา จํานวนนับที่มี 2 เปนตัวประกอบ คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 ,... จํานวนคูทุกจํานวนจะตองมี 2 เปนตัวประกอบ ดังนั้น 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 ,... เปนจํานวนที่ 2 หารลงตัว ซึงเรียกวาตัวคูณของ 2 ่ จํานวนนับที่มี 3 เปนตัวประกอบ ไดแก 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 ,... จํานวนนับเหลานี้เปนจํานวนนับที่ 3 หารลงตัว คือตัวคูณของ 3 ตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , ... ตัวคูณของ 3 คือ 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , ... ตัวคูณรวมของ 2 และ 3 ( จํานวนที่ 2 และ 3 หารไดลงตัว ) คือ 6 , 12 , 18 , 24,... ดังนั้น 6 , 12 , 18 , 24 , ... คือตัวคูณรวมของ 2 และ 3 ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 , ... ตัวคูณของ 5 คือ 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , ... ตัวคูณรวมของ 4 และ 5 คือ 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , 120 , ... สรุปวา :- ตัวคูณรวมของจํานวนนับตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปเปนจํานวนนับที่มีจํานวนนับเหลานั้น หารไดลงตัว ตัวคูณของ 6 คือ 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 , ... ตัวคูณของ 7 คือ 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56 , 63 , 70 , 77 , 84 , ... ตัวคูณรวมของ 6 และ 7 คือ 42 , 84 , 126 , 168 , 210 , 252 , ... ...............................................
  • 62.
    แบบฝกหัดที่ 12 คําชี้แจง จงหาตัวคูณรวมของจํานวนนับตอไปนี้ ตัวอยางจงหาตัวคูณรวมของ 2 , 4 , 5 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 ,... ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , ... ตัวคูณของ 5 คือ 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , .. ตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 5 คือ 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , ... ตอบ ๒๐ , ๔๐ , ๖๐ , ... 1) จงหาตัวคูณรวมของ 4 และ 8 วิธีทํา ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 8 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 4 และ 8 คือ ........................................................................................ ตอบ ............................................................. 2) จงหาตัวคูณรวมของ 3 และ 4 วิธีทํา ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 3 และ 4 คือ ........................................................................................ ตอบ ............................................................. 3) จงหาตัวคูณรวมของ 3 และ 6 วิธีทํา ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 6 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 3 และ 6 คือ ........................................................................................ ตอบ .............................................................
  • 63.
    4) จงหาตัวคูณรวมของ 2และ 4 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ .............................................................................................. ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 2 และ 4 คือ ........................................................................................ ตอบ ............................................................. 5) จงหาตัวคูณรวมของ 3 , 6 และ 9 วิธีทํา ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 6 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 9 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 3 , 6 และ 9 คือ ................................................................................. ตอบ ............................................................. 6) จงหาตัวคูณรวมของ 5 , 10 และ 15 วิธีทํา ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 10 คือ ........................................................................................... ตัวคูณของ 15 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 5 , 10 และ 15 คือ ............................................................................. ตอบ ............................................................. 7) จงหาตัวคูณรวมของ 2 , 5 และ 10 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 10 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 2 , 5 และ 10 คือ ............................................................................... ตอบ .............................................................
  • 64.
    8) จงหาตัวคูณรวมของ 2, 4 และ 5 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 5 คือ ................................................................................ ตอบ ............................................................. 9) จงหาตัวคูณรวมของ 2 , 4 , 6 และ 8 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 6 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 8 คือ ........................... ................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 , 4 , 6 และ 8 คือ ....................................................................... ตอบ ............................................................. 10) จงหาตัวคูณรวมของ 5 , 10 , 15 และ 20 วิธีทํา ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 10 คือ ........................................................................................... ตัวคูณของ 15 คือ ............................................................................................. ตัวคูณของ 20 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 5 , 10 , 15 และ 20 คือ .................................................................... ตอบ ............................................................. ...................................................... เกร็ดความรูที่ 13
  • 65.
    การหาตัวคูณรวมและตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น.) ใหนักเรียนพิจารณาการหาตัวคูณรวมและตัวคูณรวมนอย ของ 4 และ 6 ดังนี้ ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 , ... ตัวคูณของ 6 คือ 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 , ... ตัวคูณรวมของ 4 และ 6 คือ 12 , 24 , 36 , 48 , ... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 4 และ 6 คือ 12 สรุปวา :- ตัวคูณรวมของจํานวนนับตั้งแตสองจํานวนขึ้นไปมีไดหลายๆจํานวน ใหเลือกตัวคูณรวม ที่มีคานอยที่สุด เรียกวา “ ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ” ตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , ... ตัวคูณของ 3 คือ 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , ... ตัวคูณรวมของ 2 และ 3 คือ 6 , 12 , 18 , 24 , ... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 3 คือ 6 ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 , ... ตัวคูณของ 5 คือ 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , ... ตัวคูณรวมของ 4 และ 5 คือ 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , 120 , ... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 4 และ 5 คือ 20 ............................................................... แบบฝกหัดที่ 13
  • 66.
    คําชี้แจง จงหา ค.ร.น.ของจํานวนนับตอไปนี้ ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 4 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , ... ตัวคูณของ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , ... ตัวคูณรวมของ 2 และ 4 คือ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , … ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 4 คือ 4 ตอบ ๔ 1) จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 3 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 และ 3 คือ ..................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 3 คือ ...................... ตอบ ............................. 2) จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 5 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 5 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 และ 5 คือ ..................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 5 คือ ...................... ตอบ ............................. 3) จงหา ค.ร.น. ของ 4 และ 5 วิธีทํา ตัวคูณของ 4 คือ ................................................................................................
  • 67.
    ตัวคูณของ 5 คือ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 4 และ 5 คือ .......................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 4 และ 5 คือ ...................... ตอบ ............................. 4) จงหา ค.ร.น. ของ 2 และ 6 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 6 คือ ............................................................................................... ตัวคูณรวมของ 2 และ 6 คือ .......................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 และ 6 คือ ...................... ตอบ ............................. 5) จงหา ค.ร.น. ของ 5 และ 10 วิธีทํา ตัวคูณของ 5 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 10 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 5 และ 10 คือ ........................................................................ ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 5 และ 10 คือ ...................... ตอบ ............................. 6) จงหา ค.ร.น. ของ 2 , 3 และ 6 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ............. ................................................................................. ตัวคูณของ 3 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 6 คือ ................................................................................................ ตัวคูณรวมของ 2 , 3 และ 6 คือ .................................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 , 3 และ 6 คือ ...................... ตอบ ............................. 7) จงหา ค.ร.น. ของ 3 , 5 และ 10 วิธีทํา ตัวคูณของ 3 คือ ................................................................................................
  • 68.
    ตัวคูณของ 5 คือ............................................................................................... ตัวคูณของ 10 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 3 , 5 และ 10 คือ ............................................................ ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 3 , 5 และ 10 คือ ...................... ตอบ ............................. 8) จงหา ค.ร.น. ของ 2 , 4 และ 6 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 4 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 6 คือ ................................................................................................ ตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 6 คือ ............................................................... ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 , 4 และ 6 คือ ...................... ตอบ ............................. 9) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 9 และ 18 วิธีทํา ตัวคูณของ 6 คือ ................................................................................................ ตัวคูณของ 9 คือ ............................................................................................... ตัวคูณของ 18 คือ ............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 6 , 9 และ 18 คือ .................................................................. ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 6 , 9 และ 18 คือ ...................... ตอบ ............................. 10) จงหา ค.ร.น. ของ 2 , 4 และ 12 วิธีทํา ตัวคูณของ 2 คือ ................................................................................................
  • 69.
    ตัวคูณของ 4 คือ............................................................................................... ตัวคูณของ 12 คือ .............................................................................................. ตัวคูณรวมของ 2 , 4 และ 12 คือ คือ ............................................................. ตัวคูณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ 2 , 4 และ 12 คือ ...................... ตอบ ............................. ............................................................
  • 70.
    เกร็ดความรูที่ 14 การหา ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบ ใหนักเรียนพิจารณาการแยกตัวประกอบของจํานวนนับตอไปนี้ 6 = 2×3 9 = 3×3 ถาจะหา ค.ร.น. ของ 6 และ 9 สามารถหาไดโดยการแยกตัวประกอบ ความหมายของ ค.ร.น. ของ 6 และ 9 คือ จํานวนที่นอยที่สุดที่ 6 และ 9 หารไดลงตัว จํานวนที่ 6 หารไดลงตัวและมีคานอยที่สุดคือ 2 × 3 จํานวนที่ 9 หารไดลงตัวและมีคานอยที่สุดคือ 3 × 3 ดังนั้นจํานวนนับที่นอยที่สุดที่ 6 และ 9 หารไดลงตัวคือ 2 × 3 × 3 = 18 ค.ร.น. ของ 6 และ 9 คือ 2 × 3 × 3 = 18 2 × 3 × 3 = 18 6 9 ถาหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 จะได ดังนี้ 4 = 2×2 6 = 2×3 ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 2 × 2 × 3 = 12 4 6 การหา ค.ร.น. ของ 4 , 9 , 12 9
  • 71.
    4 4 = 2 ×2 9 = 3 ×3 12 = 2 ×2 × 3 ค.ร.น. ของ 4 , 9 และ 12 คือ 2 × 2 × 3 × 3 = 36 12 สรุปวา :- ค.ร.น. หาไดจากผลคูณของจํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวมของจํานวนนับที่ กําหนดใหอยางนอยสองจํานวนและตัวประกอบเฉพาะที่เหลือทุกจํานวน 9 3 3 12 2 2 4 แบบฝกหัดที่ 14
  • 72.
    12 คําชี้แจง จงหา ค.ร.น.ของจํานวนนับตอไปนี้ โดยวิธีแยกตัวประกอบ ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 18 , 24 วิธีทํา 12 = 2 ×2×3 2 2 18 = 2 ×3×3 3 24 = 2 × 2 × 2 ×3 3 2 ค.ร.น. ของ 12 , 18 และ 24 คือ 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72 24 ตอบ ๗๒ 1) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 12 วิธีทํา 6 = ................................. 12 = ................................. ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คือ ................................. ตอบ .................. 2) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 15 วิธีทํา 9 = ................................. 15 = ................................. ค.ร.น. ของ 9 และ 15 คือ ................................. ตอบ .................. 3) จงหา ค.ร.น. ของ 10 , 25 วิธีทํา 10 = ................................. 25 = ................................. ค.ร.น. ของ 10 และ 25 คือ ................................. ตอบ .................. 4) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 12 , 16
  • 73.
    วิธีทํา 6 = ................................. 12 = ................................. 16 = .................................. ค.ร.น. ของ 6 , 12 และ 16 คือ ................................. ตอบ .................. 5) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 18 , 24 วิธีทํา 9 = ................................. 18 = ................................. 24 = .................................. ค.ร.น. ของ 9 , 18 และ 24 คือ ................................. ตอบ .................. 6) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 18 , 36 วิธีทํา 9 = ................................. 18 = ................................. 36 = .................................. ค.ร.น. ของ 9 , 18 และ 36 คือ ................................. ตอบ .................. 7) จงหา ค.ร.น. ของ 8 , 15 , 30 วิธีทํา 8 = ................................. 15 = ................................. 30 = .................................. ค.ร.น. ของ 8 , 15 และ 30 คือ ................................. ตอบ .................. 8) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 12 , 16 , 32 วิธีทํา 6 = .................................
  • 74.
    12 = ................................. 16 = .................................. 32 = ................................. ค.ร.น. ของ 6 , 12 , 16 และ 32 คือ ................................. ตอบ .................. 9) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 18 , 36 , 72 วิธีทํา 9 = ................................. 18 = ................................. 36 = .................................. 72 = .................................. ค.ร.น. ของ 9 , 18 , 36 และ 72 คือ ................................. ตอบ .................. 10) จงหา ค.ร.น. ของ 10 , 15 25 , 30 วิธีทํา 10 = ................................. 15 = ................................. 25 = .................................. 30 = .................................. ค.ร.น. ของ 10 , 15 , 25 และ 30 คือ ................................. ตอบ .................. ……………………………………… เกร็ดความรูที่ 15 การหา ค.ร.น. โดยวิธตั้งหาร ี
  • 75.
    ใหนักเรียนพิจารณาการหา ค.ร.น. ของ12 และ 18 โดยวิธตั้งหาร ี ขั้นที่ 1 หาจํานวนเฉพาะที่หาร 12 และ 18 ลงตัวมาเปนตัวหาร คือ 2 2) 12 18 6 9 ขั้นที่ 2 ผลหารคือ 6 และ 9 หาจํานวนเฉพาะที่หาร 6 และ 9 ลงตัว คือ 3 2) 12 18 3) 6 9 2 3 ขั้นที่ 3 ผลหารคือ 2 และ 3 เปนจํานวนเฉพาะไมมีจานวนใดมาหาร 2 และ 3 ไดลง ํ ตัวการหารจึงเสร็จสิ้น จะได ค.ร.น. ของ 12 และ 18 คือ 2 × 3 × 2 × 3 = 36 สรุปวา :- ค.ร.น. คือ ผลคูณของ ตัวหาร และ ผลหาร ทั้งหมด การหา ค.ร.น. ของ 6 , 9 , 12 และ 15 ตองหาจํานวนเฉพาะมาหารจํานวนไดลง ตัวอยางนอยสองจํานวน 3) 6 9 12 15 2) 2 3 4 5 1 3 2 5 ค.ร.น. ของ 6 , 9 , 12 และ 15 คือ 3 × 2 × 3 × 2 × 5 = 180 หมายเหตุ ตัวที่นํามาหารอาจจะไมเปนจํานวนเฉพาะก็ได แตตองหารทุกจํานวนไดลงตัว 4) 16 24 32 8) 16 24 32 2) 4 6 8 2) 2 3 4 2) 2 3 4 1 3 2 1 3 2 ค.ร.น. คือ 4 × 2 × 2 × 3 × 2 = 96 ค.ร.น. คือ 8 × 2 × 3 × 2 = 96 แบบฝกหัดที่ 15 คําชี้แจง จงหา ค.ร.น. ของจํานวนตอไปนี้ โดยวิธีตั้งหาร
  • 76.
    ตัวอยาง จงหา ค.ร.น.ของ 8 , 12 , 16 วิธีทํา 2) 8 12 16 2) 4 6 8 2) 2 3 4 1 3 2 ค.ร.น. ของ 8 , 12 และ 16 คือ 2 × 2 × 2 × 3 × 2 = 48 ตอบ ๔๘ 1) จงหา ค.ร.น. ของ 4 , 10 …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………..…………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 15 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….……………………….. 3) จงหา ค.ร.น. ของ 8 , 20 ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
  • 77.
    ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….………………………… 4) จงหา ค.ร.น.ของ 15 , 30 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….…………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 5) จงหา ค.ร.น. ของ 6 , 8 , 10 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………….…………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 6) จงหา ค.ร.น. ของ 9 , 27 , 45 ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
  • 78.
    ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………..………………………………………………………… 7) จงหา ค.ร.น.ของ 15 , 30 , 36 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 8) จงหา ค.ร.น. ของ 14 , 28 , 32 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 9) จงหา ค.ร.น. ของ 14 , 28 , 35 , 70 ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
  • 79.
    ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………..………………………………………………… 10) จงหา ค.ร.น.ของ 12 , 44 , 66 , 132 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………….………………………………………… …………………………………………………………………………………………. …………………………………………….. เกร็ดความรูที่ 16
  • 80.
    โจทยปญหา ห.ร.ม. ใหนักเรียนพิจารณาโจทยปญหาตอไปนี้ มีกระดาษกวาง 20เซนติเมตร ยาว 30 เซนติเมตร ตองการตีตารางแบงแผนกระดาษ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเทากัน ใหมีขนาดใหญที่สุด โดยไมเหลือเศษ รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสที่แบงไดมีขนาดเทาไรและแบงไดกี่สวน จากโจทยกําหนดใหสามารถเขียนเปนรูปไดดังนี้ . . 20 ซม. 30 ซม. ใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหโจทยจะไดวา กระดาษกวาง 20 เซนติเมตร แบงโดยไมเหลือเศษ คือหาจํานวนที่หาร 20 ไดลงตัว ไดแก 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 กระดาษยาว 30 เซนติเมตร แบงโดยไมเหลือเศษ คือหาจํานวนที่หาร 30 ไดลงตัว ไดแก 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 กําหนดใหเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดานกวางและดานยาวตองเทากัน คือ 1 , 2 , 5 , 10 ใหมีขนาดใหญที่สุด คือ 10 นั่นคือหา ห.ร.ม. ของ 20 และ 30 จะได 10 ดังนี้ ห.ร.ม. ของ 20 และ 30 คือ 2 × 5 = 10 2) 20 30 5) 10 15 2 3 ดานกวาง 20 เซนติเมตร แบงเปนสวนละ 10 เซนติเมตรได 2 สวน
  • 81.
    ดานยาว 30 เซนติเมตรแบงเปนสวนละ 10 เซนติเมตรได 3 สวน 30 ซม. 20 ซม. แบงเปนสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 10 เซนติเมตร แบงได 6 สวน ดังรูป ตัวอยาง คนงาน 3 คนทําตุกตาแตละตัวใชเวลา 10 , 15 และ 20 นาที ตามลําดับ ถา คนงานทั้ง 3 คน เริ่มทําตุกตาตัวแรกพรอมกันเวลา 09.00 น. อยากทราบวาเวลาใดที่ คนงานทั้ง 3 คน จะทําตุกตาพรอมกันเปนครั้งที่สอง วิธีทํา 5 ) 10 15 20 2) 2 3 4 1 3 2 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 10 , 15 และ 20 คือ 5 × 2 × 3 × 2 = 60 คนงานทั้งสามคนจะทําตุกตาพรอมกันครั้งที่สอง เมื่อเวลาผานไป 60 นาที จากครั้งแรกคนงานทั้งสามคนเริ่มทําตุกตาพรอมกันเวลา 09.00 น. เวลาผานไป 60 นาที ครั้งที่สองจะทําตุกตาพรอมกัน เวลา 10.00 น. ตอบ ๑๐.๐๐ น. …………………………………. แบบฝกหัดที่ 16
  • 82.
    คําชี้แจง ใหนักเรียนแสดงวิธีหาคําตอบโจทยปญหาตอไปนี้ 1) เชือกสีขาวยาว 18 เมตร เชือกแดงยาว 24 เมตร ตองการตัดเปนทอนเทาๆกันให ยาวที่สุดโดยไมเหลือเศษ เชือกที่ตัดแลวยาวกี่เมตร และตัดไดทั้งหมดกี่ทอน ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 2) มีลูกบอลสีเหลือง 12 ลูก สีแดง 18 ลูก สีสม 30 ลูก ตองการแบงใสถุงๆละ เทาๆกันโดยใหแตละถุงมีลกบอลสีเดียวกันโดยไมมีลกบอลเหลืออยูจะแบงไดมาก ู ู ที่สุดถุงละกี่ลูก และตองใชถุงทั้งหมดกี่ใบ ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 3) ชั้น ป.6 มีนักเรียนชาย 96 คน นักเรียนหญิง 64 คน ถาตองการจัดแถวนักเรียน ชายและนักเรียนหญิง ใหไดแถวละเทาๆกันและไดจํานวนคนมากที่สุดโดยไมเหลือ เศษ ซึ่งนักเรียนชายหญิงไมปะปนกัน จะจัดไดกี่แถวๆละกีคน ่
  • 83.
    ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 4) มีมวนริบบิ้นยาว 65 , 91 และ 117 เมตร ตามลําดับ ตองการตัดเปนเสนใหยาว ที่สุดเทาๆกันโดยไมเหลือเศษ ริบบิ้นที่ตัดแลวยาวเทาไรและตัดไดทั้งหมดกี่เสน ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... 5) นักเรียนชั้น ป.4 มี 84 คน นักเรียนชั้น ป.5 มี 126 คน นักเรียนชั้น ป.6 มี 210 คน ตองการแบงนักเรียนใหเปนกลุมๆละเทาๆกันและมากที่สุดโดยไมเหลือเศษ ทุกกลุม เปนนักเรียนชั้นเดียวกัน แตละกลุมจะมีนักเรียนกี่คน แบงไดทั้งหมดกี่กลุม ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... เกร็ดความรูที่ 17
  • 84.
    การแกโจทยปญหา ค.ร.น. ใหนักเรียนพิจารณาการแกโจทยปญหา ค.ร.น.ตอไปนี้ ชุมนุมคณิตศาสตรมีประชุมทุกๆ 2 สัปดาห ชุมนุมวิทยาศาสตรมีประชุมทุกๆ 3 สัปดาห ชุมนุมภาษาไทยมีประชุมทุกๆ 4 สัปดาห ถาเริมประชุมพรอมกันครั้งแรกวันที่ 1 ่ สิงหาคม จะประชุมพรอมกันครั้งที่สองเมื่อใด ชุมนุมคณิตศาสตรมีประชุม 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , ... ชุมนุมวิทยาศาสตรมีประชุม 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , ... ชุมนุมภาษาไทยมีประชุม 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , ... ทั้งสามชุมนุมประชุมพรอมกันครั้งที่สอง เมื่อเวลาผานไป 12 สัปดาห หรือ 3 เดือนตรง กับวันที่ 1 พฤศจิกายน แบบฝกหัดที่ 17
  • 85.
    คําชี้แจง ใหนักเรียนแสดงวิธีหาคําตอบโจทยปญหาตอไปนี้ 1) นาฬิกาสามเรือนตีบอกเวลาทุกๆ 15 , 30 , 60 นาทีตามลําดับ ถานาฬิกา ทั้งสามเรือนตีบอกเวลาพรอมกันครั้งแรกเวลา 06.00 น. นาฬิกาทั้งสามเรือนนี้จะ ตีบอกเวลาพรอมกันครั้งที่สองเวลาเทาไร ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... 2) มะละกอราคาผลละ 15 บาท มะมวงราคาผลละ 9 บาท ตองการซื้อผลไม ทั้งสองชนิดเปนจํานวนเงินนอยที่สุดและจายเงินเทาๆกัน จะตองจายเงินทั้งหมดกี่ บาทและไดผลไมชนิดละกี่ผล ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................
  • 86.
    3) รถโดยสารสามสายออกจากสถานี ดังนี้ ทุกๆ 20 , 30 และ 45 นาที ตามลําดับ ถารถทั้งสามสายออกจากสถานีพรอมกันครั้งแรกเวลา 05.00 น. รถทั้ง สามสายนี้จะออกจากสถานีพรอมกันครั้งที่ สองเวลาใด ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 4) ปกเสาโทรศัพทหางกัน 4 กิโลเมตร ปกเสาไฟฟาหางกัน 6 กิโลเมตร ถา ปกเสาทั้งสองตรงกันคูแรก คูตอไปจะปกตรงกันหางจากจุดเริ่มตนเทาไร ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
  • 87.
    5) ในการวิ่งรอบสนามหนึ่งรอบ สมจิต สมใจ สมรักษ ใชเวลาวิ่งดังนี้ 3 , 4 และ 6 นาที ตามลําดับ ถาทั้งสามคนออกวิ่งพรอมกันเวลา 09.00 น. ทั้งสาม คนจะมาพบกันครั้งตอไปเวลาใด ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ................................................................................................... ........................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...................................................................
  • 88.
    เกร็ดความรูที่ 18 โจทยปญหาระคนเกี่ยวกับ ห.ร.ม.และ ค.ร.น. ใหนักเรียนพิจารณาโจทยปญหาตอไปนี้ 1. ผากวาง 36 ซ.ม. ยาว 180 ซ.ม. ตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหดานเปนจํานวนเต็มและมี ขนาดใหญที่สุดจะไดกี่ผืน แตละผืนมีขนาดเทาไร 2) วินัยมีที่ดินแปลงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 40 วา ยาว 60 วา ตองการลอมรัวโดย ้ ปกเสาใหหางกัน เทาๆกัน มากที่สุด จะตองใชเสากี่ตน และปกหางกันเทาไร 3) จงหาจํานวนที่มากที่สุดที่นําไปหาร 138 และ 198 แลวเหลือเศษ 2 และ 6 ตามลําดับ 4) มีเชือก 3 เสน ยาว 24,30 และ 48 เมตร ถาจะตัดเปนทอนใหยาวเทาๆกันมากที่สุดจะ ยาวทอนละกี่เมตร และตัดไดกี่ทอน 5) นาฬิกา 4 เรือน แตละเรือนจะตีทุกๆ 25 , 30 , 36 , 48 นาที อีกกี่ชั่วโมง นาฬิกาทั้ง 4 เรือนจึงจะตีพรอมกันอีกเปนครั้งที่สอง 6) จงหาจํานวนที่นอยที่สุดที่นํามาหารดวย 153 และ 221 แลวเหลือเศษ 13 เทากัน 7) จํานวนสองจํานวนมี ห.ร.ม.เปน 12 และ ค.ร.น. เปน 180 ถาจํานวนหนึ่งคือ 36 จง หาอีกจํานวนหนึ่ง 8) ถาผลคูณของจํานวนสองจํานวนคือ 450 และ ห.ร.ม.ของจํานวนทั้งสองคือ 5 จงหา ค.ร.น.ของจํานวนทั้งสองนี้ 9) ห.ร.ม. ของ 16 กับ 24 คือ 8 จงหา ค.ร.น. ของจํานวนทั้งสองนี้
  • 89.
    10) จงหาจํานวนที่มีคานอยที่สุดเมื่อนํา 30, 33 , 51 และ 63 ไปหารแลวเหลือเศษ 14 เสมอ 11) มีสม 176 ผล มะมวง 48 ผล ตองการจัดใสตะกราใหมีผลไมในตะกราอยางเดียวให มากที่สุดโดยไมเหมือนกัน จะตองใชตะกรากี่ใบ 12) จํานวนสองจํานวนคูณกันได 350 ถา ค.ร.น. เปน 70 แลว ห.ร.ม. เปนเทาใด 13) ดาวหาง A โคจรมาใหมนุษยเห็นทุกๆ 8 ป ดาวหาง B โคจรมาใหมนุษยเห็นทุกๆ 76 ป อีกกี่ปดาวหางทั้งสองจะโคจรมาใหมนุษยเห็นในปเดียวกัน นักเรียนจะพบวา โจทยปญหาแตละขอสามารถแกปญหาไดดวยวิธีการแตกตางกัน บาง ขอแกปญหาโดยวิธีการหา ห.ร.ม. บางขอแกปญหาโดยวิธีการหา ค.ร.น. หรือบางขอตอง ใชทั้งสองวิธีการรวมกัน จากโจทยปญหาที่กําหนดใหแตละขอ นักเรียนสามารถสรุปวิธีการแกปญหาได ดังตอไปนี้ วิธีการแกปญหา โดยการหา ห.ร.ม. โดยการหา ค.ร.น. ใช ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ขอที่ 1 , 2 , 3 , 4 , 11 5 , 6 , 10 , 13 7 , 8 , 9 , 12 ใหนักเรียนทดสอบความรูเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. แกโจทยปญหาดังกลาว
  • 90.
    แบบฝกหัดที่ 18 คําชี้แจง ใหนักเรียนแกโจทยโจทยปญหาระคนตอไปนี้ 1. วินัยมีที่ดินแปลงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 40 วา ยาว 60 วา ตองการลอมรั้ว โดยปกเสาใหหางกัน เทาๆกัน มากที่สุด จะตองใชเสากี่ตน  วิธีทํา ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ ............................ 2. มีสม 176 ผล มะมวง 48 ผล ตองการจัดใสตะกราใหมีผลไมในตะกราอยางเดียวให มากที่สุดโดยไมเหมือนกัน จะตองใชตะกรากี่ใบ วิธีทํา ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. ตอบ ..........................
  • 91.
    3. ดาวหาง Aโคจรมาใหมนุษยเห็นทุกๆ 8 ป ดาวหาง B โคจรมาใหมนุษยเห็นทุกๆ 76 ป อีกกี่ปดาวหางทั้งสองจะโคจรมาใหมนุษยเห็นในปเดียวกัน วิธีทํา .................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ .......................... 4. จงหาจํานวนที่มีคานอยที่สุดเมื่อนํา 30 , 33 , 51 และ 63 ไปหารแลวเหลือเศษ 14 เสมอ วิธีทํา ................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ ..........................
  • 92.
    5. จํานวนสองจํานวนมี ห.ร.ม.เปน12 และ ค.ร.น. เปน 180 ถาจํานวนหนึ่งคือ 36 จง หาอีกจํานวนหนึ่ง วิธีทํา .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ .......................... 6. จํานวนสองจํานวนคูณกันได 350 ถา ค.ร.น. เปน 70 แลว ห.ร.ม. เปนเทาใด วิธทํา ี ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตอบ .......................... αααααααααααα
  • 93.
    แบบทดสอบหลังเรียน หนวยการเรียนรูที่ 3เรื่อง ตัวประกอบของจํานวนนับ รายวิชาคณิตศาสตร (ค16101) ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ภาคเรียนที่ 1 ปการศึกษา 2552 .......................................... แบบทดสอบฉบับเปนแบบปรนัยนี้ มีจํานวน 20 ขอ เวลา 30 นาที คะแนนเต็ม 20 คะแนน คําชี้แจง จงกาเครื่องหมาย  ขอที่ถูกตองที่สุดเพียงขอเดียวเทานั้น 1. ขอใดเปนตัวประกอบทุกตัวของ 35 ก. 1 , 3 , 5 , 35 ข. 1 , 5 , 7 , 35 ค. 1 , 3 , 7 , 35 ง. 1 , 2 , 7 , 35 2. ขอใดคือตัวประกอบทั้งหมดของ 9 ก. 1 , 2 , 3 ข. 1 , 3 , 6 ค. 1 , 3 , 9 ง. 1 , 2 , 9 3. 97 เปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด ก. เปน เพราะมีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 97 ข. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 97 ค. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 9 และ 7 ง. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1 , 7 , 9 และ 97
  • 94.
    4. 57 เปนจํานวนเฉพาะหรือไมเพราะเหตุใด ก.ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 57 ข. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 3 และ 19 ค. เปน เพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 57 ง. ไมเปน เพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 3 , 19 และ 57 5. ขอใดเปนตัวประกอบเฉพาะของ 42 ก. 6 , 7 ข. 1 , 2 , 3 ค. 2 , 3 , 7 ง. 1 , 6 , 7 6. ขอใดเปนตัวประกอบเฉพาะของ 51 ก. 3 , 17 ข. 1 , 51 ค. 1 , 3 , 7 , 51 ง. 1 , 3 , 17 7. ขอใดเปนการแยกตัวประกอบของ 96 ก. 96 = 3 × 8 × 4 ข. 96 = 3 × 32 ค. 96 = 3 × 25 ง. 96 = 6 × 16
  • 95.
    8. ขอใดแยกตัวประกอบไมถูกตอง ก. 16= 42 ข. 27 = 33 ค. 12 = 22 × 3 ง. 10 = 2 × 5 9. ขอใดเปนตัวหารรวมของ 4 และ 6 ก. 1 , 2 ข. 1 , 3 ค. 1 , 4 ง. 1 , 6 10. ห.ร.ม. ของ 10 , 20 , 30 และ 60 คือขอใด ก. 25 ข. 20 ค. 15 ง. 10 11. 7 เปน ห.ร.ม. ของจํานวนนับในขอใด ก. 7 , 29 ข. 7 , 27 ค. 7 , 21 ง. 7 , 15 12. ขอใดเปนตัวคูณรวมของ 4 และ 6 ก. 12 , 24 , 36 , ... ข. 8 , 16 , 24 , ... ค. 6 , 12 , 18 , ... ง. 4 , 8 , 12 , ...
  • 96.
    13. ขอใดเปนตัวคูณรวมของ 6, 10 และ 15 ก. 1 , 2 , 3 , ... ข. 10 , 20 , 30 , ... ค. 15 , 30 , 45 , ... ง. 30 , 60 , 90 , ... 14. ค.ร.น. ขอ ง 8 , 12 และ 32 คือขอใด ก. 96 ข. 64 ค. 48 ง. 24 15. จํานวน 36 เปน ค.ร.น. ของจํานวนนับในขอใด ก. 6 , 15 , 18 ข. 8 , 16 , 32 ค. 9 , 18 , 36 ง. 15 , 30 , 36 16. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 6 , 18 และ 30 มีคาตางกันเทาไร ก. 90 ข. 84 ค. 15 ง. 6 17. เชือกสีขาวยาว 27 เมตร เชือกสีเขียวยาว 36 เมตร ตองการตัดเปนทอนยาว เทาๆกันใหแตละทอนมีขนาดยาวที่สุดและไมเหลือเศษ จะตัดไดทั้งหมดกี่ทอน ก. 18 ทอน ข. 12 ทอน ค. 9 ทอน ง. 7 ทอน
  • 97.
    18. รถไฟขบวนที่ 1ออกทุกๆ 30 นาที รถไฟขบวนที่ 2 ออกทุกๆ 45 นาที รถไฟ ขบวน ที่ 3 ออกทุกๆ 1 ชั่วโมง รถไฟทั้งสามขบวนออกพรอมกันครั้งแรกเวลา 06.00 น. รถไฟ ทั้งสามขบวนนี้จะออกพรอมกันครั้งที่สองเวลาเทาไร ก. 10.00 น. ข. 09.00 น. ค. 08.00 น. ง. 07.30 น. 19. นมถั่วเหลืองราคากลองละ 8 บาท นมโคสดราคากลองละ 10 บาท ถาตองการ ซื้อนม ทั้งสองชนิด โดยจายเปนเงินคานมถั่วเหลืองและคานมโคสดอยางละ เทาๆกัน จะไดนมชนิดละกี่กลอง ก. นมถั่วเหลือง 4 กลอง นมโคสด 5 กลอง ข. นมถั่วเหลือง 5 กลอง นมโคสด 4 กลอง ค. นมถั่วเหลือง 3 กลอง นมโคสด 4 กลอง ง. นมถั่วเหลือง 4 กลอง นมโคสด 3 กลอง 20. พลอย , พิมพ และ พัฒน วิ่งรอบสนามเด็กเลน หนึ่งรอบใชเวลา 3 , 4 และ 5 นาทีตามลําดับ ถาทั้งสามคนออกวิ่งพรอมกันเวลา 09.00 น. เวลาใดที่ทั้งสามคนจะวิ่ง พรอมกันเปนครั้งที่สอง ก. 11.30 น. ข. 11.00 น. ค. 10.30 น. ง. 10.00 น. ..................................
  • 98.
  • 99.
    เฉลยแบบทดสอบกอนเรียน ขอที่ คําตอบ ขอที่คําตอบ ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ 1 ค 6 ง 11 ข 16 ค 2 ข 7 ข 12 ข 17 ก 3 ก 8 ข 13 ก 18 ค 4 ข 9 ง 14 ง 19 ก 5 ข 10 ก 15 ข 20 ก เฉลยแบบฝกหัดที่ 1 1) √ 2) √ 3)  4)  5) √ 6) √ 7) √ 8) √ 9) √ 10)  เฉลยแบบฝกหัดที่ 2 1) 1,2,3,6 2) 1,2,4,8 3) 1,3,9 4) 1 , 2 , 5 , 10 5) 1 , 3 , 5 , 15 6) 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 7) 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 8) 1 , 5 , 25 9) 1 , 3 , 9 , 27 10) 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30
  • 100.
    เฉลยแบบฝกหัดที่ 3 1) 2,205 2) 1,872 3) 3,276 4) 4,800 5) 2,772 6) 1,764 7) 6,840 8) 4,536 9) 1,296 10) 1,050 เฉลยแบบฝกหัดที่ 4 1) 8 2) 8 3) 33 4) 8 5) 11 6) 11 7) 33 8) 57 9) 33 10) 33 เฉลยแบบฝกหัดที่ 5 1) √ 2)  3)  4) √ 5)  6) √ 7)  8) √ 9) √ 10) 
  • 101.
    เฉลยแบบฝกหัดที่ 6 1) 2,5 2) 2 , 7 3) 3,7 4) 5 5) 3 , 13 6) 2 , 11 7) 3 , 17 8) 7 , 12 9) 5 , 19 10) 2 , 3 , 17 เฉลยแบบฝกหัดที่ 7.1 1) √ 2)  3)  4) √ 5) √ 6) √ 7)  8) √ 9)  10)  เฉลยแบบฝกหัดที่ 7.2 1) 2 ×2 × 3 × 3 2) 2×2×3 3) 2×3×5 4) 2×5×5 5) 2 × 2 ×2 × 2 ×3 6) 2 × 11 7) 2 × 13 8) 5×5×3 9) 5×5×5 10) 2 × 2 ×5 × 5 เฉลยแบบฝกหัดที่ 7.3 1) 34 2) 2 × 5 × 32 3) 24 × 5 4) 26 5) 33 6) 22 × 33 7) 2 × 112 8) 53 × 2 9) 72 × 32 10) 132 × 22
  • 102.
    เฉลยแบบฝกหัดที่ 8 1) 2× 3 × 13 2) 3 × 3 × 3 3) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 4) 2 × 2 × 3 × 3 × 3 5) 5 × 5 × 5 6) 2 × 3 × 5 × 5 7) 2 × 2 × 2 × 5 × 5 8) 5 × 5 × 5 × 2 9) 2 × 2 × 3 × 5 × 5 10) 2 × 3 × 3 × 5 × 5 เฉลยแบบฝกหัดที่ 9 1) 2 2) 5 3) 4 4) 7 5) 3 6) 3 7) 4 8) 7 9) 6 10) 9 เฉลยแบบฝกหัดที่ 10 1) 15 2) 40 3) 7 4) 6 5) 4 6) 10 7) 2 8) 11 9) 13 10) 6 เฉลยแบบฝกหัดที่ 11 1) 15 2) 6 3) 3 4) 7 5) 7 6) 6 7) 9 8) 5 9) 4 10) 15
  • 103.
    เฉลยแบบฝกหัดที่ 12 1) 8, 16 , 24 ,... 2) 12 , 24 , 36 ,... 3) 6 , 12 , 18 ,... 4) 4 , 8 , 12 , … 5) 18 , 36 , 54 ,... 6) 30 , 60 , 90 ,... 7) 10 , 20 , 30 ,... 8) 20 , 40 , 60 ,... 9) 24 , 48 , 72 ,... 10) 60 , 120 , 180 ,... เฉลยแบบฝกหัดที่ 13 1) 6 2) 10 3) 20 4) 6 5) 10 6) 6 7) 30 8) 12 9) 18 10) 12 เฉลยแบบฝกหัดที่ 14 1) 12 2) 45 3) 50 4) 48 5) 72 6) 36 7) 120 8) 96 9) 72 10) 150 เฉลยแบบฝกหัดที่ 15 1) 20 2) 45 3) 40 4) 30 5) 120 6) 135 7) 180 8) 224 9) 140 10) 132
  • 104.
    เฉลยแบบฝกหัดที่ 16 1) 6 เมตร 7 ทอน 2) 6 ลูก 10 ใบ 3) 5 แถว 32 คน 4) 13 เมตรได 21 เสน 5) 42 คน 10 กลุม เฉลยแบบฝกหัดที่ 17 1) 07.00 น. 2) 90 บาท มะละกอ 3 ผล มะมวง 5 ผล 3) 08.00 น. 4) 12 กิโลเมตร 5) 04.02 น. เฉลยแบบฝกหัดที่ 18 1) 14 ตน 2) 14 ใบ 3) 162 ป 4) 117,824 5) 60 6) 5 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ ขอที่ คําตอบ 1 ข 6 ก 11 ค 16 ข 2 ค 7 ค 12 ก 17 ง 3 ข 8 ก 13 ง 18 ข 4 ง 9 ก 14 ก 19 ข 5 ค 10 ง 15 ค 20 ง แบบบันทึกคะแนน
  • 105.
    แบบฝกที่ คะแนน 1 2.1-2.3 3 4 5 6 7.1-7.3 8 9 10 11 ปรับปรุง 12 13 14 15 16 17 18 รวม เฉลี่ย
  • 106.
    แบบบันทึกคะแนนกอนเรียน – หลังเรียน เกณฑการประเมินคุณภาพ 8 - 10 ดีเยี่ยม อันดับที่ 1 6-7 ดี อันดับที่ 2 5 ผาน อันดับที่ 3 0-4 พยายามใหม ปรับปรุง นักเรียนอยูคุณภาพ ระดับใดครับ
  • 107.
    บรรณานุกรม กรมวิชาการ , กระทรวงศึกษาธิการ. หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2544 กรุงเทพมหานคร : อักษรเจริญทัศน , 2544. กรมวิชาการ , กระทรวงศึกษาธิการ . เอกสารเสริมความรูคณิตศาสตรระดับประถมศึกษา อันดับ 3 ตัวประกอบ ค.ร.น. ห.ร.ม. กรุงเทพมหานคร : องคการคาของคุรุสภา , 2539. กลุมพัฒนามาตรฐานคุณภาพการศึกษา . คูมือจัดการเรียนรูกลุมสาระการเรียนรู  คณิตศาสตร กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพองคการรับสงสินคาและพัสดุภัณฑ , 2544. คณะวิทยากรชมรมกรรมการสถานศึกษาขันพื้นฐาน. หลักสูตรสถานศึกษากลุม ้ คณิตศาสตร กรุงเทพมหานคร : บุค พอยท จํากัด, 2544. คํารน ลอมในเมือง . คูมือฝกปฏิบัติการเสนทางกาวหนาทางวิชาชีพและแนวทางการ จัดทําผลงานทางวิชาการ ตําแหนงอาจารย 3 เกณฑใหม ฉบับสมบูรณ เลม 1 มหาสารคาม : โรงพิมพประสานการพิมพ , 2545. ศักดา บุญโต . คูมือเทคนิคการสอนคณิตศาสตรระดับประถมศึกษา กรุงเทพมหานคร :  บริษัทเคล็ดไทย จํากัด , 2544. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี , กระทรวงศึกษาธิการ . การจัด สาระการเรียนรูกลุมคณิตศาสตรชวงชั้นที่ 1 – 2 หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน กรุงเทพมหานคร : กราฟฟค , 2546. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี , กระทรวงศึกษาธิการ . คูมือ วัดผลประเมินผลคณิตศาสตร กรุงเทพมหานคร : องคการคาของคุรุสภา , 2546. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี , กระทรวงศึกษาธิการ . เอกสาร การอบรมครูผูสอนคณิตศาสตร ชั้นประถมศึกษาปที่ 4 – 6 ดวยระบบทางไกลทาง สถานีโทรทัศนเพื่อการศึกษา (ETV) กรุงเทพมหานคร : องคการคาของคุรุสภา , 2550.
  • 108.
    บรรณานุกรม (ตอ) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ,กระทรวงศึกษาธิการ . เอกสาร ประกอบการอบรมครูคณิตศาสตร ชั้นประถมศึกษาปที่ 6 ทางสถานีโทรทัศนเพื่อ การศึกษา ( ETV) กรุงเทพมหานคร : บริษัท เซเวน พริ้นติ้ง กรุป จํากัด , 2549. สุวร กาญจนมยูร . เทคนิคการสอนคณิตศาสตรระดับประถมศึกษา เลม 3 กรุงเทพมหานคร : ไทยวัฒนาพานิช , 2533. อํานวย จําปาเงิน . เอกสารเสริมความรูคณิตศาสตร สุพรรณบุรี : หจก.ออฟเซ็ทอารท ออโตเมชั่น , 2543.