Dokumen tersebut membahas tentang aplikasi distribusi peluang untuk analisis data hidrologi. Terdapat beberapa jenis distribusi peluang yang dibahas seperti binomial, Poisson, dan normal. Metode perhitungan peluang dan periode ulang juga dijelaskan untuk beberapa metode seperti California, Hazen, dan Weibull.

1. Kelompok 3

2. Nama kelompokk
• ADE JIWA PRATAMA 2015011065
• AMAR SYAIT HUSAIN 2015011083
• IQBAL YULIANSYAH 2015011045
• DIMAS PRAYUDA 2015011004
• ANISA MEIDASASARI 2015011014
• JHON MICHAIL VINSEN 2015011064
• OBY NUR PRATAMA 2015011093
• RESTI CAHAYA 2015011033
• M FIRKI AQILA 20150111O4
• ANUGRAH MEIDI 2015011084
• AZKA MUHAMMAD SAFARI 2015011073

3. APLIKASI DISTRIBUSI PELUANG UNTUK
ANALISIS DATA HIDROLOGI
3.1 PENDAHULUAN
Teori peluang membahas tentang ukuran atau derajat ketidak-pastian dari suatu kejadian.
Kebenaran dari kesimpulan yang dibuat dari analisis data hidrologi tidak dapat dipastikan benar
secara absolut, karena kesimpulan analisis hidrologi umumnya dibuat berdasarkan data sampel dari
populasi, oleh karena itu aplikasi teori peluang sangat diperlukan dalam analisis hidrologi.
Besarnya peluang sebuah variat adalah jumlah kejadian dari pada deskrit dibagi dengan jumlah
total kejadiannya. Jumlah peluang dari semua variat tersebut sama dengan satu, atau P=1.

4. - Distribusi peluang (probability distribution) adalah sauatu distribusi yang
menggambarkan peluang dari sekumpulan variat sebagai pengganti frekuensinya.
- Peluang kumulatip (cumulative probability) adalah peluang dari suatu variable acak yang
mempunyai nilai sama atau kurang dari suatu nilai tertentu.
Jika nilai sebuah variat adalah x, maka peluang kumulatipnya adalah P(X ≤ x), dan
peluang kumulatip dari suatu variable acak yang mempunyai nilai sama atau lebih dari
suatu nilai tertentu adalah 1-P (X ≤ x ), umumnya ditulis sebagai P(X ≥ x).

5. Dari Gambar (3.1) maka :
P ( a ≤ x ≤ b ) = 𝒂
𝒃
𝑷 𝒙 𝒅𝒙 (3.1.a)
−∞
∞
𝑷 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 (3.1.b)
P (x ≤ a ) = P(x) = −∞
∞
𝑷 𝒙 𝒅𝒙 (3.1.c)

6. Fungsi distribusi peluang umumnya dibedakan sebagai :
1. Deskrit, dan
2. Kontinyu
3.2 APLIKASI DISTRIBUSI PELUANG DESKRIT
Banyak persamaan distribusi peluang deskrit, missal binomial, multinomial, Geometrik,
Hipergeometrik, Poisson, dan Poisson yang disajikan dalam aplikasi analisis hidrologi pada
materi ini.
3.2.1 Aplikasi Distribusi Peluang Binomial
Distribusi ini banyak digunakan untuk varabel deskrit dan merupakan penentuan kondisi
yang terjadi atau tidak (tidak terjadi).

7. Densitas peluangnya dapat ditulis dalam persamaan :
P(R) = 𝐶𝑅
𝑁
𝑃𝑅𝑄𝑁−𝑅
Keterangan :
P(R) = peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah kejadian N
N = jumlah kejadian
R = jumlah kejadian yang diharapkan = 0, 1, 2, ….. N.
P = peluang terjadinya kejadian = disebut juga parameter dari distribusi
Q = peluang kegagalan (tidak terjadi) 1-P
𝐂𝐑
𝐍
=
𝑵!
𝑹! 𝑵−𝑹 !
jumlah kombinasi N dari R pada 1(satu) satuan waktu
dengan N! = 1 x 2 x 3 x ….x (N-1) x N dan O! = 1! = 1

8. Parameter Distribusi Binomial antara lain adalah :
1. rata-rata hitung (mean) µ = NP (3.3)
2. varian σ𝟐
= 𝑵𝑷𝑸 (3.4)
3. deviasi standar σ = 𝑵𝑷𝑸 (3.5)
4. kemencengan CS =
µ𝟑
σ𝟑 =
𝑸−𝑷
𝑵𝑷𝑸
(3.6)
5. koefisien Kurtosis CK =
𝟏−𝟔𝑷𝑸
𝑵𝑷𝑸
+ 𝟑 (3.7)

9. Aplikasi Distribusi Peluang Poisson
Probabilitas Poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa poisson lebih
dari satu. Apabila Jumlah dari pengukuran atau kejadian N cukup besar, maka
perhitungan dengan menggunakan distribusi i binomial akan tidak sesuai, oleh
karena itu perhitungan dapat menggunakan distribusi peluang Poisson (umumnya
untuk P kecil, misal P < 0,10 dan N > 30) dan nilai rata-rata p adalah konstan, p :
NP. Fungsi distribusi peluang Poisson dapat dirumuskan sebagai berikut:
P(R) = peluang terjadinya sebesar R dalam N kejadian
R = Kejadian yang diharapkan, R = 0, 1, 2,... N.
µ = rata-rata hitung (mean) dari distribusi Poisson
e = 2,71828

10. Dengan parameter statistik sebagai berikut :
Keterangan :
P = peluang terjadinya
Q = Peluang kegagalan

11. Contoh 3.2 :
Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan umur bangunan 100
tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 550 m³/det dengan periode ulang 200
tahun selama periode umur dam tersebut, apabila ditentukan dengan distribusi
peluang Poisson
Jawab Contoh 3.2 :
Periode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1 kali banjir adalah
Berdasarkan persamaan 3.9, maka:

12. Sehingga berdasarkan persamaan 3.8, maka :
Dengan demikian didalam DPS tersebut, pada dam pengendali banjir dengan
umur bangunan 100 tahun, selama periode umur tersebut akan terjadi banjir
periode 200 tahun dengan peluang 30,80 %

13. Contoh 3.3.
Dari tabel 2.4 pada Bab II, telah disajikan data curah hujan rata-rata tahunan
(mm) dalam kaitannya dengan luas DPS Citarum-Jatiluhur, yang dapat disajikan
dalam bentuk tabel 3.1. Tentukan distribusi frekuensi empirisnya dengan distribusi
Poisson.
Tabel 3.1. Frekuensi Distribusi Luas Daerah Curah Hujan
DPS Citarum-Jatiluhur

14. Jawab Contoh 3.3. :
Nilai rata-rata : Sehingga :
Sehingga:
Berdasarkan persamaan (3.8) maka :

15. Tabel 3.2 Frekuensi Distribusi Luas Daerah Hujan DPS Citarum-
Jatiluhur Menurut Distribusi Peluang Poisson
Dari Tabel 3.2 nampak bahwa curah hujan antara 2000 - 2500 mm/tahun akan
terjadi pada daeratr seluas 1504 km2, kira-kira 32,7 dari tiap 100 kejadian.
Curah hujan antara.2s}O - 3000 mm/tahun akan terjadi pada daeratr seluas
1173 km2, kira-kira 25,5 kai tiap 100 kejadian. Sedangkan curah hujan antara
3500 - 4000 mm/tahun akan terjadi pada daeratr seluas z34l.lrr, 2, kira-kira 5
kali dari tiap 100 kejadian.

16. 3.3. APLIKASI DISTRIBUSI PELUANG
KONTINYU

17. 3.3.1. Aplikasi Distribusi Normal
Distribusi normal atau kurva normal disebut pula distribusi Gauss. Fungsi densitas peluang normal (normal probability density function) dari variabel acak
kontinyu X dapat ditulis sebagai berikut :
𝑃 𝑋 =
1
𝜎√2𝜋
. 𝑒
−1
2
(
𝑋−𝜇
𝜎
)2
Keterangan :
• P(X) = fungsi densitas peluang normal (ordinat kurva normal)
• π = 3,14156
• e = 2,71828
• X = variabel acak kontinyu
• µ = rata-rata dari nilai X
• 𝜎 = deviasi standar dari nilai X
Untuk analisis kurva normal cukup menggunakan parameler statistik µ dan σ. Bentuk kurvanya simetris terhadap X = µ, dan grafiknya selalu diatas sumbu datar
X, serta mendekati (berasimtut) sumbu datar X, dimulai dari X = µ + 3 σ dan X -3σ. Nilai mean = modus = median. Nilai X mempunyai batas - ∞ < X < + ∞ .

18. Apabila sebuah populasi dari data hidrologi, mempunyai distribusi berbentuk distribusi normal, maka :
1) Kira-kira 68,27 %, terletak didaerah satu deviasi standar sekitar nilai rata-ratanya yaitu antara (µ - σ) dan (µ + σ).
2) Kira-kira 95,45 %, terletak didaerah dua deviasi standar sekitar nilai rata-ratanya, yaitu antara (µ - 2σ) dan (µ + 2σ).
3) Kira-kira 99,73 %, terletak didaerah 3 deviasi standar sekitar nilai rata-ratanya, yaitu antara (µ - 3σ) dan (µ + 3σ).
Apabila nilai X adalah standar, dengan kata lain nilai rata-rata µ = 0 dan deviasi standar σ = 1,0, maka
persamaannya dapat ditulis sebagai berikut :
𝑃 𝑡 =
1
√2𝜋
. 𝑒
−1
2
𝑡2
dengan 𝑡 =
𝑋− 𝜇
𝜎
Persamaan diatas disebut dengan distribusi normal standard (standar normal distribution).
Dalam Pemakaian praktis, umunnya rumus-rumus tersebut tidak digunakan secara langsung karena telah
dibuat tabel untuk keperluan perhitungan.

19. 1) Metode Kalifornia
• Dengan metode kalifornia (California Method), peluang dari Xm, dihitung dengan rumus :
𝑃 𝑋𝑚 =
𝑚
𝑁
, atau
𝑇 𝑋𝑚 =
𝑁
𝑚
Keterangan:
• Xm = kumpulan nilai yang diharapkan terjadi. Xm = X ≥ x adalah kumpulan nilai X yang besar atau sama dengan suatu nilai x tertentu. Xm = X ≤ x adalah
kumpulan nilai X yang lebih kecil atau sama dengan nilai x tertentu.
• P(X) = peluang terjadinya kumpulan nilai yang diharapkan selama periode pengamatan
• N = jumlah pengamatan dari variat X
• m = nomor urut kejadian, atau peringkat kejadian.
• T(X) = periode ulang dari kejadian Xm sesuai dengan sifat kumpulan nilai yang diharapkan (Xm). Untuk Xm = X≥x, maka m adalah nomor urut
kejadian dengan urutan variat dari besar ke kecil.
Untuk Xm: X ≤ x, maka m adalalr nomor urut kejadian dengan urutan variat dari kecil ke besar.

20. 2) Metode Hazen
Dalam metode Hazen (Hazen or Forster Method, 1930), peluang dari Xm, dihitung dengan rumus :
𝑃 𝑋𝑚 =
2𝑚−1
2𝑁
, atau
𝑇 𝑋𝑚 =
2𝑁
2𝑚 − 1
Untuk nilai m = l, maka diperoleh T(Xm) = 2N, merupakan kelipatan dua dari data yang tersedia. Dengan demikian untuk m = l, yaitu untuk
nilai variat X yang terbesar dan terjadi pada N tahun, seakan-akan terjadi pada tiap 2N tahun.
3)Metode Bernard dan Bos-Levenbach
Dalam metode Bernard dan Bos-Levenbach, peluang dirumuskan sebagai berikut :
𝑃 𝑋𝑚 =
𝑚−0,3
𝑁+0,4
, atau
𝑇 𝑋𝑚 =
𝑁 + 0,4
𝑚 − 0,3
Digunakan untuk daerah delta di negeri Belanda.

21. 4) Metode Weibull
Dalam metode Weibull, peluang dihitung dengan nrmus sebagai berikut :
𝑃 𝑋𝑚 =
𝑚
𝑁+1
, atau
𝑇 𝑋𝑚 =
𝑁 + 1
𝑚
Rumus ini pada mulanya dikembangkan oleh Weibull (1930), kemudian digunakan oleh Gumbel (1945), Chow (1953), Velz (1952), US
Geological Survey dan lain-lain. Semua variat dapat digambarkan pada kertas peluang, besarnya peluang P(X) adalah 0 < P(Xm) < l. Dapat
digunakan untuk sekelompok data tahunan atau partial, sehingga metode Weibull ini yang sering digambarkan untuk analisis peluang dan
periode ulang.

22. 5) Metode Lainnya
• - Metode Blom :
𝑃 𝑋𝑚 =
𝑚 − (
3
8
)
𝑁 + 0,25
• - Metode Turkey :
𝑃 𝑋𝑚 =
3𝑚−1
3𝑁+1
• - Metode Gringorten :
𝑃 𝑋𝑚 =
𝑚 − 0,44
𝑁 + 0,22

23. Dengan kaitannya dengan pengertian peluang maka yang disebut kurva frekuensi (frequency curve) adalah kurva yang menggambarkan kejadian
variat Xm dengan besarnya peluang P(Xm) atau dengan besarnya periode ulang T(Xm). Penggambaran dapat dilaksanakan pada kertas :
a) semi-log (semi-logarithmic)
b) log-log (double-logarithmic)
c). peluang ekstrem (extreme probability)
d). peluang logaritmik (logarithmic probability)
e). peluang ekstrem Gumbel (Gumbel's extreme probability)
f). peluang ekstrem logaritmik Gumbel (Gumbel's logarithmic extreme probability).

24. Salah satu tujuan dalam analisis distribusi peluang adalah menentukan periode ulang (return period, recurrence interval). Dari semua persamaan
dapat ditinjukkan bahwa :
𝑇 𝑋𝑚 =
1
𝑃 (𝑋𝑚)
Data variabel hidrologi yarg telah dihitung besarnya peluang atau periode ulangnya, selanjutnya apabila digambarkan pada kertas grafik
peluang, umumnya akan membentuk persamaan garis lurus. Persamaan umum yang digunakan adalah :
X = 𝑋 + 𝑘. 𝑆
Keterangan :
• X = perkiraan nilai yang diharapkan terjadi dengan besar peluang tertentu atau pada periode ulang tertentu.
• x = nilai rata-rata hitung variat.
• S = deviasi standar nilai variat.
• k = faktor frekuensi, merupakan fungsi dari pada peluang atau periode ulang dan tipe model matematik dari distribusi peluang yang
digunakan untuk analisis peluang.

25. • Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan
waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam.
a) Tentukan fungsi densitas peluang dari X.
b) Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.
• Jawaban:
a) a = 0, b = 4, sehingga 𝑓 𝑥 =
1
4
0
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
b) 𝑃 𝑋 ≥ 3 = 𝑁 3
4 1
4
dx =
1
4
𝑥 𝑥=4
𝑥=3
=
4
4
−
3
4
=
1
4

26. Aplikasi Distribusi Gumbel tipe I umumnya digunakan untuk menganalisis data maksimum,
misalnya analisis frekuensi banjir yang merupakan bentuk terapan dari statistika dalam
bidang hidrologi, dimana kita dapat memperkirakan debit maksimum tiap suatu periode
ulang yang dinyatakan dalam tahun.
Keterangan :
𝑃 = 𝑋 ≤ 𝑥 = Fungsi densitas peluang tipe I Gumbel
𝑋 = Variabel Acak Kontinu
𝑒 = Euler’s Number = 2.71828
𝑌 = Faktor Reduksi Gumbel
Peluang Kumulatif dari Distribusi
Gumbel Tipe I adalah :
𝑃 = 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑒 −𝑒 −𝑌
dengan −∞ +< 𝑋 < +∞

27. Persamaan garis lurus model matematis
Distribusi Gumbel Tipe 1 yang ditentukan
dengan menggunakan metode momen adalah :
𝑌 = 𝑎 𝑋 − 𝑋0
𝑎 =
1,283
𝜎
𝑋0 = 𝜇 −
0,577
𝑎
= 𝜇 − 0,455𝜎
Keterangan :
𝜇 = Nilai Rata-rata
𝜎 = Standar Deviasi
Distribusi Gumbel Tipe I mempunyai
koefisien kemencengan (coefficient of
skewness), CS = 1,139 .
Nilai Y merupakan faktor reduksi Gumbel
yang merupakan fungsi dari besarnya
peluang atau periode ulang yang akan
ditunjukkan dalam bentuk tabel.

28. T (tahun) Peluang Y
1.001 0.001 -1.93
1.005 0.005 -1.67
1.01 0.01 -1.53
1.05 0.05 -1.097
1.11 0.1 -0.834
1.25 0.2 -0.476
1.33 0.25 -0.326
1.43 0.3 -0.185
1.67 0.4 0.087
2 0.5 0.366
2.5 0.6 0.671
3.33 0.7 1.03
4 0.75 1.24
5 0.8 1.51
10 0.9 2.25
20 0.95 2.97
50 0.98 3.9
100 0.99 4.6
200 0.995 5.29
500 0.998 6.21
1000 0.999 6.9
Tabel Nilai Variabel Reduksi Gumbel
Sumber : Bonnier, 1980

29. Contoh Soal 1
Diketahui dari table 1 data debit banjir
maksimum dari Pos Duga air sungai
Citarum hingga Nanjung tahun 1918-1934
dan tahun 1973 hingga 1985. Apabila
sampel data tersebut berasal dari populasi
yang homogen dengan data terdistribusi
normal. Tentukan perkiraan debit banjir
maksimum yang bisa diharapkan terjadi
untuk periode ulang 2, 5, 10, 20 dan 50
tahun dengan menggunakan Metode
Matematis Distribusi Gumbel tipe I.
No. Tahun Debit (mᶟ/det)
1 1918 244
2 1919 217
3 1920 285
4 1921 261
5 1922 295
6 1923 252
7 1924 275
8 1925 204
9 1926 208
10 1927 194
11 1928 256
12 1929 207
13 1930 354
14 1931 445
15 1932 350
16 1933 336
17 1934 328
18 1973 269
19 1974 323
20 1975 364
21 1976 247
22 1977 290
23 1978 302
24 1979 301
25 1980 284
26 1981 276
27 1982 261
28 1983 303
29 1984 335
30 1985 320
30
286.2
55.56009483
Jumlah
rata-rata
Standar Deviasi
Data Debit Banjir Maksimum DPS Citarumdi Pos Duga Air nanjuung 1918-1980

30. Dari tabel 3.8., maka parameter statistik dari
sampel sebanyak N = 30 (tahun) data debit
banjir maksimum sungai Citarum - Nanjung
X = 286,20 m³/det
S = 55,56 m³/det
Persamaan garis lurus untuk distribusi
Gumbel dihitung dengan persamaan,
Y = a ( X – X0)
Nilai a, diperoleh dari :
a =
1,283
𝑆
=
1,283
55,56
= 0,023
Dan nilai X0, adalah :
X0 = X -
0,577
𝑎
X0 = X -
0,577
0,023
X0 = 286,20 -
0,577
0,023
= 261,21
No. Tahun Debit (mᶟ/det)
1 1918 244
2 1919 217
3 1920 285
4 1921 261
5 1922 295
6 1923 252
7 1924 275
8 1925 204
9 1926 208
10 1927 194
11 1928 256
12 1929 207
13 1930 354
14 1931 445
15 1932 350
16 1933 336
17 1934 328
18 1973 269
19 1974 323
20 1975 364
21 1976 247
22 1977 290
23 1978 302
24 1979 301
25 1980 284
26 1981 276
27 1982 261
28 1983 303
29 1984 335
30 1985 320
30
286.2
55.56009483
Jumlah
rata-rata
Standar Deviasi
Data Debit Banjir Maksimum DPS Citarumdi Pos Duga Air nanjuung 1918-1980

31. Dengan demikian persamaan garis lurusnya adalah :
y = a ( x – x0)
y = 0,023 (X – 261,21) atau
X =
𝑌+6,005
0,023
Dari tabel, maka
𝑋2 =
0,366 + 6,005
0,023
= 277
𝑋5 =
1,510 + 6,005
0,023
= 359
𝑋10 =
2,250 + 6,005
0,023
= 390
𝑋20 =
2,970 + 6,005
0,023
= 431
𝑋20 =
4,600 + 6,005
0,023
= 461
Tabel Perkiraan Debit Banjir Maksimum yang dapat
diharapkan dari daerah pengaliran sungai
Citarum- Nanjung dihitung dengan rumus 3.27
Debit Maksimum Periode ulang Peluang
(m³/det) (tahun) (%)
1 277 2 50
2 328 5 20
3 359 10 10
4 390 20 5
5 431 50 2
6 461 100 1
No

32. Tabel Hubungan Periode Ulang (T) dengan reduksi Variat dari
Variabel (Y)
Perhitungan persamaan garis lurus untuk distribusi Gumbel , menggunakan metode nomen seperti dijelaskan
pada rumus 3.27, paling sering digunakan karena lebih sederhana dan kurang menyimpang. Persamaan garis
lurus untuk distribusi frekuensi tipe 1 Gumbel dapat juga menggunakan persamaan distribusi frekuensi empiris
sebagai berikut
𝑥 = 𝑥 +
𝑆
𝑆𝑛
(𝑌 − 𝑌𝑛)
T Y
2 0.3065
5 1.4999
10 2.2504
20 2.9702
50 3.9019
100 4.6001

33. Keterangan :
X = nilai variat yang diharapkan terjadi
𝑥 = nilai rata-rata hitung variat
Y = nilai reduksi variat dari variabel yang diharapkan terjadi pada
periode ulang tertentu (hubungan antara periode ulang T
dengan Y dapat dilihat pada tabel 3.10), atau dapat dihitung
dengan rumus :
𝑌 = − ln − ln
𝑇 − 1
𝑇
Yn = nilai rata-rata dari reduksi variat (mean of reduced variate) nilainya
tergantung dari jumlah data (n) dan dapat dilihat pada table 3.11.A
Sn = deviasi standar dari reduksi variat (standard deviation of the
reduced variate), nilainya tergantung dari jumlah data (n) dan
dapat dilihat pada table 3.11.B

34. Dalam analisis data debit minimum, maka debit minimum terkecil berkaitan dengan periode ulang yang
besar. Apabila data diurutkan mulai dari nilai m = 1 adalah nilai minimum yang paling kecil maka persamaan
kumulatif peluangnya adalah :
P(xm) = = (3.33)
Persamaan peluang kumulatif dari distribusi Gumbel Tipe III adalah:
P(X) = (3.34)
Keterangan:
P(X) = peluang kumilatip dari kejadian yang nilainya kurang atau sama dengan X.
e = 2,71828.
X = variabel acak kontinyu.
n = batas bawatr nilai X.
α = parameter skala.
β = parameter lokasi.

35. Transformasinya adalah :
Y = α (3.35)
maka persamaan (3.34), menjadi :
P(X) = e-Y (3.36)
Dengan menggambarkan metode momen, Gumbel Tipe III adalah :
β = x
̄ + Ao(S) (3.37)
ϵ = β – βo(S) (3.38)
CS = βo3 (3.39)
r = fungsi gamma

36. 1.hitung nilai rata-rata (x
̄ ) deviasi standar (S) dan koefisien kemencengan (CS).
2.berdasarkan nilai (CS) tenhrkan nilai parameter , Ao dan Bo dari tabel III-2 pada bagian akhir
buku ini.
3.hitung parameter B dan ;
β = x
̄ + Ao(S) (3.40)
ϵ = – βo (S) (3.41)
4.tentukan nilai reduksi variat (log Y) dari tabel 3.13, berkaitan dengan periode ulang (T) yang
diinginkan atau peluangnya (P) atau dihitung rumus :
P(X)=1–ey (3.42)
5.persamaan teoritis untuk tiap nilai log Y dan nilai X yang diharapkan adalah :
log(X-ϵ) = log(β-ϵ) = log(β-ϵ) + (log Y) (3.43)
6.persamaan (3.43) dapat digambarkan pada kertas peluang log- normal atau ekstream logaritmik
Gumbel.

37. Untuk analisis kekeringan (&aught) umrunnya
persamaan (3.43) digambarkan pada kertas
ekstrem logaritmik Gumbel.
Periode
Ulang
T=1/P(X)
Peluang
P(X)
Reduksi
Log Y
1,01 0,990 0,663
1,05 0,952 0,482
1,10 0,909 0,380
1,20 0,833 0,253
1,30 0,769 0,166
1,40 0,714 0,099
1,50 0,667 0,041
1,58 0,633 0,000
2,00 0,500 - 0,159
3,00 0,333 - 0,393
4,00 0,250 - 0,541
5,00 0,200 - 0,652
10,00 0,100 - 0,979
15,00 0,067 -1,155
20,00 0,050 -1,292
25,00 0,040 -1,387
30,00 0,033 -1,469
40,00 0,025 -1,602
50,00 0,020 -1,699
75,00 0,013 -1,886
100,00 0,010 -2,000
Tabel 3.13 Nilai Reduksi Variat Untuk Distribusi Gumbel
Tipe III

38. Contoh 3.9.
Data pada tabel 3.14, menunjukkan debit minimum sesaat dari daerah pengaliran
Sungai Bogowonto di lokasi pos duga air Bener, Purworejo, Propinsi Jawa
Tengah, Tahun 1973 - 1984. Tentukan model matematiknya dengan menggunakan
persamaan empiris distribusi peluang Gumbel Tipe III dan tentukan debit
minimum yang dapat diharapkan terjadi pada periode ulang :2;5;10;20;50 dan 100
apabila data tersebut dianggap berasal dari populasi yang homogen.

39. Jawab Contoh 3.9
Terlebih dahulu harus dihitung nilai rata-rata (x
̄ ), deviasi standar (S) dan koefisien kemencengan (CS).
Tabel 3.l4 Debit Minimum Sesaat DPS Bogowonto-Bener Tahun l973 -1984.
Sumber data : Buku Publikasi Debit Tahunan , Pusat Litbang Pengairan.
No Tahun Debit(m^3/det
)
1 1973 3,89
2 1974 3,58
3 1975 3,53
4 1976 1,51
5 1977 1,5
6 1978 4
7 1979 1,5
8 1980 1,51
9 1981 1,49
10 1982 0,85
11 1983 1,21
12 1984 0,75
N=14 buah
X=2,11m^3/det
S=1,24m^3/det
CS=0,678

40. Berdasarkan data dari tabel 3.14, maka diperoleh tiga parameter statistik
• debit minimum rata-rata x
̄ = m3/det
• deviasi standar S =1,24 m3/det
• koefisien kemencengan CS = 0,687
Koefisien kemencengan dihitung dengan rumus 2.30 (bab II).
Berdasarkan nilai koefisien kemencengan Cs : 0,687, maka dari tabel skala parameter
(lihat tabel III-2, pada bagian akhir buku ini) dapat diperoleh nilai :
• skala parameter = 0,52
• faktor frekuensi Ao = 0,235
• faktor frekuensi Bo = 2,082

41. Dari persamaan (3.40) dan (3.41), maka dapat dihitung parameter β dan ϵ
β = x
̄ +Ao.S
β = 2,11 + (0,235)(1,25)
β = 2,401
ϵ = β – βo.S
ϵ = 2,401- (2,082)(1,24)
ϵ = - 0,180
Langkah selanjutnya adalatr menentukan faktor reduksi variat untuk berbagai nilai
periode ulang T (atau peluang P) yaitu nilai log Y,dari tabel 3.13 dan berdasarkan
persamaan 3.43,maka dapat dihitung debit minimum berdasarkan periode ulang tertentu.
Log (X-ϵ) = Log(β-ϵ) + . (log Y)
Log (X+0,180) = Log(2,581) + 0,52 log Y

42. maka:
1. Log (X2 + 0,180) = 0,412 + 0,52 (- 0,159)
Log (X2+ 0,180) = 0,329
Log X2 = (log 2,134 - 0,180)
X2 = l,954
2.Log (X5 + 0,180) =0,412+0,52 (- 0,652)
Log (X5 + 0,180) = 0,0726
Log X5 = (log 2,134 - 0,180)
X5 = 1,002

43. Dengan cara yang sama maka akan dapat diperoleh hasil seperti yang ditunjukkan pada
tabel 3.15.
Tabel 3.15 Perkiraan debit minimum yang dapat diharapkan
terjadi di DPS Bogowonto - Bener.
No Debit Minimum
(m3/det)
Periode Ulang
(tahun)
Peluang
(%)
1 1,954 2 50
2 1,002 5 20
3 0,619 10 10
4 0,369 20 5
5 0,157 50 2
6 0,056 100 1
Sumber: Perhitungan data tabel 3.14, dengan menggunakan model matematik
persamaan distribusi Gumbel Tipe III