En az iki değişken ile doğrusal programlama ile modellenen gerçek hayat problemi

1. AHMET YESEVİ ÜNİVERSİTESİ
Yöneylem Araştırması Ö devi
Ad Soyad : Şahabettin AKCA
Öğrenci Numarası : 132132178
Bölüm : Bilgisayar Mühendisliği - Lisans

2. Soru 1: En az iki değ iş kenle doğ rusal programlama ş eklinde modellenebilecek bir gerç ek hayat
problemi bulunuz. Bu kapsamda:
a. Problemin tanımını;
Çevik Balkon Fabrikası; pvc çift ısı camlı ve alimünyim kaplama cam balkon olmak üzere, iki
tip özel üretim yapmaktadır. Bunlardan birincisi pvc ısı camlı balkon (buna “A” balkon diyelim ) ,
ikincisi ise alimünyim kaplama balkon (buna da “B” balkon diyelim) balkon kapatma çeşitleridir.
“A” balkon için fabrikada üretim kalıbında kullanılan 1 adet enjeksiyon makinası ve “B”
balkon içinse yine 1 adet enjeksiyon makinası vardır.
“A” balkon için 9 saat işçilik ve 12 metre kartuş malzemesi , “B” balkon içinse 6 saat işçilik
ve 16 metre kartuş malzemesi gerekmektedir.
“A” balkon için birim kar ; 1150 TL ve “B” balkon için birim kar ; 950 TL'dir.
Fabrikada 200 adet enjeksiyon, 2100 saat işçilik ve 2976 metre kartuş sınırlamaları
bulunmaktadır.
b. Doğrusal problemleme ;
Amaç; verilen kısıtlar altında fabrikada mümkün olan en karlı üretim yöntemini belirlemektir.
Kara değişkenleri;
X1: PVC Isıcamlı (A) balkon modeli sayısı
X2: Alimünyim Kaplamalı (B) balkon modeli sayısı
Zenb = X1.1150 + X2.950
X1 + X2 ≤ 200 ..... enjeksiyonlar
9X1 + 6 X2 ≤ 2100 ........ işçilik
12X1 + 1 6 X2 ≤ 2976 ........ kartuşlar
X1 , X2 ≥ 0 ........... negatif olmama koşulu

3. b. Problemin dual modeli ;
Zenk = 200Y1 + 2100Y2 + 2976 Y3
3Y1 + 9Y2 + 12 Y3 ≥ 1150
Y1 + 6Y2 + 16 Y3 ≥ 2100
Y1 , Y2 , Y3 ≥ 0
Soru 2: Aşağıda ki doğrusal problemleme modelinde
ZEnb = 2X1 + 4X2
s.t. 5X1 + 4X2 ≤ 20
X2 ≤ 4
- X1 + 2X2 ≥ 0
X1 , X2 ≥ 0
a. Problemin optimal çözümünün grafik yöntemle bulunması;
Grafik çözüm için verilen denklemleri “= “ ifadesiyle kullanmamız gerekir.
A: 5X1 + 4X2 ≤ 20 denkleminin çözümü için, denklemi değişkenlerin yerine tek tek “0”
katsayısı kullanıp büyük eşit işaretini eşit kabul ederiz;
5X1 + 4X2 = 20 => 5.0 + 4X2 = 20 => X2 = 5 ve X1 = 4 olur.
B: X2 ≤ 4 => X2 = 4
C: - X1 + 2X2 ≥ 0 => - X1 + 2X2 = 0

4. Grafikte A denkleminin doğrusu ile B denklemi doğrusunun kesiştiği nokta Z'nin en büyük değerini
verir.
5X1 + 4X2 = 20 ve X2 = 4 denklemlerinin ortak çözümünden
5X1 + 16 = 20 => X1 = 4/5 olur, buradan değişkenlerini yerine yazarsak
2X1 + 4X2 = > 2.4/5 + 4.4 = 17.6

5. b. Problemin optimal çözümünün Simplex Algoritması yöntemiyle bulunması;
Problemi simplex algoritması yardımıyla çözmemiz için verilen denklemi standart forma
çevirmemiz gerekli ;
ZEnb = 2X1 + 4X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5
= 5X1 + 4X2 + X3 = 20
= X2 + X4 = 4
= X1 - 2X2 - X5 = 0
Standart form yukarıda ki gibidir. Problemin tablo yardımıyla çözümü;
TDV X1 X2 X3 X4 X5 Ç.V. ORAN
0 X3 5 4 1 0 0 20 20/4 = 5
0 X4 0 1 0 1 0 4 4/1 = 4
0 X5 -1 2 0 0 -1 0 ----
Zj 0 0 0 0 0 0 ----
Zj - Cj -2 -4 0 0 0 0 ----
Zj - Cj satırı negatif sonuç veriyorsa optimal çözüm aramaya devam etmemiz gereklidir.
5 4 1 0 0 20
4.0 4.1 4.0 4.1 4.0 4.4 * alt alta çıkartırız
5 0 1 - 4 0 4 *ilk satır yeni değerleri
-1 2 0 0 -1 0
2.0 2.1 2.0 2.1 2.0 2.4 * alt alta toplarız
1 0 0 2 1 8 *3. satır yeni değerleri

6. TDV X1 X2 X3 X4 X5 Ç.V. ORAN
0 X3 5 0 1 -4 0 4 4/5 = 0,8
4 X4 0 1 0 1 0 4 ----
0 X5 1 0 0 2 1 8 8/1 = 8
Zj 0 4 0 4 0 16 ----
Zj - Cj 0-2= -2 4-4 = 0 0 4- 0= 4 0 ---- ----
Zj - Cj satırı yine negatif sonuç veriyor, optimal çözüm aramaya devam etmemiz gereklidir.
5/5 = 1 0/5 = 0 1/5 -4/5 0/5 = 0 4/5 *1. satır yeni değerleri
1 0 0 2 1 8
-1 0 1/5 -4/5 0 4/5 * alt alta çıkarırız
0 0 -1/5 14/5 1 36/5 *3. satır yeni değerleri
TDV X1 X2 X3 X4 X5 Ç.V.
2 X3 1 0 1/5 -4/5 0 4/5
4 X4 0 1 0 1 0 4
0 X5 0 0 -1/5 14/5 1 36/5
Zj 2 4 2/5 12/5 0 88/5
Zj - Cj 2-2= 0 4-4 = 0 2/5 12/5 0 ----
Zj - Cj satırı ≥ 0 olursa çözümümüz en iyi çözümdür diyebiliriz.
X1 = 4/5 , X2 = 4 , X3 = 0 , X4 = 0 , X5 = 36/5 buradan;
ZEnb = 2X1 + 4X2 => değişkenleri yerine yazarsak 2.4/5 + 4.4 = 17,6 sonucuna ulaşırız.