2. Diferents formes d’expressió de la recta
L’equació d’una recta és una relació entre les coordenades
(x,y) de tots i cadascun dels seus punts.
Equació vectorial
(x,y) = (x0,y0) + k · (a,b)
X(x,y) Punt genèric que representa qualsevol punt de la recta
P(x0,y0) Punt conegut de la recta
v = (a,b) Vector no nul que indica la direcció de la recta
3. Equacions paramètriques
Aquesta equació s’obté a partir de la mateixa informació que l’equació
vectorial. Efectuant les operacions indicades a l’equació vectorial obtenim:
(x,y) = (x0,y0) + (ka,kb) x = x0 + ka
(x,y) = (x0 + ka, y0 + kb) y = y0 + kb
Equació contínua
S’obté a partir d’aïllar k de les equacions paramètriques.
x x0 y y0
a b
4. Equació general o implícita
A partir de l’equació contínua podem obtenir l’equació general.
Ax + By + C = 0
b=A - -a = B i ay0 -bx0 = C
AiB són coeficients de x,y
C és el terme independent
·A diferència de les anteriors aquesta no ens dóna cap informació
directa sobre la recta. No obstant això, si assignem qualssevol valor a
x podrem trobar el corresponent valor de y i així trobar les
coordenades de qualsevol punt de la recta.
5. Equació explícita
A partir d’aïllar y de l’equació general de la recta podem
obtenir l’equació explícita.
A C
y x
B B
C A
·Si =n és l’ordenada a l’origen i =m, que és la
B B
pendent, expressem l’equació així:
y mx n
·Es pot passar directament de l’equació continua a l’explícita:
x x0 y y0
y y0 m x x0
a b
6. Incidència i paral·lelisme de rectes
·Es pot determinar si un parell de rectes son paral·leles,
secants o coincidents gràcies a les equacions generals:
Ax By C 0
A' x B' y C ' 0
A B
·PARAL·LELES: mr ms
A' B'
A B
·SECANTS: A' B'
A B C
·COINCIDENTS: A' B' C'
7. Projecció ortogonal d’un punt sobre una recta
·El punt S es la projecció ortogonal de P sobre la recta, s’ha de trobar
les equacions de la recta r i la recta perpendicular que passa per r i P.
·Desprès amb l’equació del punt mitjà substituïm P i P’ i trobem S
x0 x1 y0 y1
M ,
2 2
8. Angle de dues rectes
v w
cos
v w
·Casos particulars:
a) Si les dues rectes són paralel·les l’angle que formen és de 00
b) Si l’angle és de 900 les rectes són perpendiculars
