1. Rectes en el pla
Carla Giménez i Marc Vidal 1 CT1

2. Com es pot expressar una recta
Les rectes s'expressen amb equacions, que són la relació entre les
coordenades (x,y) de tots i cadascun dels seus punts. Aquestes
equacions són:

3. Com es troben les equacions
• A partir d’un punt P(4, -1) i d’un vector director v(2, 5)
podem trobar l’equació vectorial:
r: (x, y) = (4,-1) + K (2,5)
punt vector director
• A partir de la equació vectorial podem trobar les equacions
paramètriques: x = 4 +2K
r: (x, y) = (4,-1) + K (2,5) r:
y = -1 + 5K
•Apartir de les equacions paramètriques podem trobar la
equació contínua:
x = 4 +2K x–4 y+1
r: r: =
y = -1 + 5K 2 5

4. Com es troben les equacions
• A partir d’una equació contínua podem trobar la equació
general:
x–4 y+1 r: 5(x-4) = 2(y+1)
r: = 5x – 20 = 2y + 2
2 5
5x – 2y – 20 – 2 = 0
5x – 2y – 22 = 0
• A partir de la equació general podem trobar l’equació
explícita:
r: 5(x-4) = 2(y+1)
5x – 20 = 2y + 2 r: 5 x 22 = y
5x – 2y – 20 – 2 = 0 2 2
5x – 2y – 22 = 0

5. Exercici resolt d’equacions
de les rectes
Escriu les diferents equacions de la recta que passa pel punt P(4,-1) i té com
a vector director el vector v = (2, 5).
• Equació vectorial: • Equacions paramètriques: • Equació contínua:
r: (x, y) = (4,-1) + K (2,5) x = 4 +2K
r: r:
y = -1 + 5K
• Equació general:
r: 5(x-4) = 2(y+1) •Equació explícita:
5x – 20 = 2y + 2 r: =y
5x – 2y – 20 – 2 = 0
5x – 2y – 22 = 0

6. Què és i com es calcula el pendent
El pendent d’una recta, és una mesura de la inclinació de la recta
i es calcula a partir de l’equació explícita:
y= y = mx + n Ordenada
en l’origen
Pendent
de la recta

7. Exercici resolt del pendent
Considera la recta de l’equació:
Troba el pendent:
2(2 – x) = – 3 (y)
4 – 2x = – 3y
de la recta. – 2x – 3y + 4 = 0
pendent =

8. Posicions relatives de la recta

9. Exercici resolt de posicions
relatives de la recta
Esbrina si el punt P(5, 1) pertany o no a cadascuna de les rectes. Justifica’n
les respostes.
a) (x,y) = (1, – 1) + K (2, 1)
x = 1 + 2K 5 = 1 + 2K K=2
P(5, 1) Sí que pertany.
y=–1+K 1 = –1 + K K=2
b) x = 3 + 2K 5 = 3 + 2K K=1
P(5, 1) No pertany.
y = 1 +K 1=1+K K=0
c) x + 2y – 3 = 0
P(5, 1) 5 + 2(1) – 3 = 0
No pertany.
5+2–3=0

10. Projecció ortogonal i punt simètric
d’una recta
P
Considerem una recta r i un punt P
P’ exterior a la recta r. El punt P’, és la
r
projecció ortogonal de P a la recta r.
P
Considerem una recta r i un punt P
exterior a la recta r. El punt S, és el punt P’ r
simètric de P respecte de la recta r.
S

11. Exercici resolt de la projecció
ortogonal i el punt simètric
Donat el punt P(3,4):
a) Determina la projecció ortogonal de P sobre la recta r: 4x + y =1
r: 4x + y – 1 = 0 P(3,4) x – 4y + C = 0
s: x – 4y – 1 = 0 3 – 4(4) + C = 0 C = 13
4x + y – 1 = 0 4x + y – 1 = 0 4 (4y – 13) + y – 1 = 0
x – 4y + 13 = 0 x = 4y - 13 16y – 52 + y – 1 = 0
16y + y = 52 + 1
x = 4y – 13 17y = 53
y=
x=4( ) – 13

12. Exercici resolt de la projecció
ortogonal i el punt simètric
b) Troba les coordenades del punt simètric de P respecte la recta r.
P(3, 4)
(a, b)

13. Els angles entre dues rectes

14. Exercici resolt d’angles
entre dues rectes
Calcula l’angle que formen les rectes r: x + y + 4 = 0 i s: y = – 4x – 2
r: x + y + 4 = 0 r: x + y + 4 = 0 y=–x+4=0
s: y = – 4x – 2 s: y = – 4x – 2
——— 30,9

15. Distàncies

16. Exercici resolt de
distàncies entre rectes
Troba la distància entre les rectes 2x – 3y + 5 = 0 i 4x – 6y + 3 = 0.
r: 2x – 3y + 5 =0
s: 4x – 6y + 3 = 0 r: x=1
són paral·leles
P(1, )