Fet per R.Brufau

1. EXPRESSIONS DE LA RECTA¡Tots som trilobits!

2. Només amb un punt qualsevol de la recta i un vector director, en tenim suficient per a trobar totes les equacions de la recta. Veiem el procés a continuació: P(x,y) = (a,b)Vector directorPunt cartesià

3. Ens donen les següents dades:El punt P(2,1)I el vector director = (1,2) Veiem la representació gràfica d’aquestes dades:

4. Component vertical del vector directorComponent horitzontal del vector director

5. En primer lloc, trobarem l’equació vectorial de la recta:Només substituint els valors que ens han donat en l’equació, en tenim suficient per a trobar-la:Coeficient lambda per a trobar infinits puntsComponent x d’un del punt P de la rectaComponent y d’un del punt P de la rectaComponent horitzontal del vector directorComponent vertical del vector directorCoordenades del punt a determinar

6. L’equació vectorial:P(2,1) = (1,2)Eq. vectorial(x,y) = (2,1) + 𝛌(1,2)

7. A partir de l’equació vectorial, podem trobar totes les altres fent algunes modificacions matemàtiques. Veiem-les a continuació:

8. De la vectorial, passem a les paramètriques:Eqs. paramètriques*Podem fer això ja que en la vectorial, els components x i y no estan relacionats directament per cap operació matemàtica i per tant podem separar la vectorial en els paràmetres que modifiquen els components horitzontals i verticals.

9. Passem de la vectorial a les paramètriques:* Si ho pensem, podem substituir els valors de les coordenades de P i dels components del vector director en les paramètriques sense passar per la vectorial.

10. Hem de trobar una manera de relacionar ambdós paràmetres entre si; Per a fer això, tenim l’equació contínua. Veiem com funciona i com la podem trobar:

11. De les paramètriques a la contínua:Encara que les paramètriques siguin dues equacions separades, les podem relacionar a través de λja que en ambdues equacions ha de tenir el mateix valor per a obtenir un punt real de la recta:

12. L’equació contínua:Tot veien el procediment anterior, podem afirmar el següent:I per tant:Doncs bé, aquesta és l’equació contínua!

13. La contínuaSi ho pensem bé, no fa falta passar per la vectorial ni la paramètrica per a trobar les altres equacions de la recta ja que directament podem substituir les coordenades del punt P i els components del vector director en aquesta equació:Component x d’un del punt P de la rectaComponent y d’un del punt P de la rectaComponent horitzontal del vector directorComponent vertical del vector director

14. Aquí tenim l’equació contínua de la nostra recta:Eq. contínua

15. El següent pas, consisteix a igualar a 0 la contínua. L’equació resultant, es coneix com a general o implícita.

16. De la contínua a la generalUn cop hem arribat aquí, hem d’establir unes pautes per a poder continuar:

17. Equació general o implícitaSeguint les pautes abans citades, arribem a l’equació general:I tot seguint-les, arribem a l’equació general de la nostra recta:Eq. general

18. Parem un moment i examinem les propietats d’aquesta equació:Ens permet estudiar la posició relativa entre rectes:Condició d’igualtatCondició de paral·lelitzatCondició de tall en el plaCondició de perpendicularitat

19. Propietats de l’equació general:Ens permet saber quin angle forma amb l’horitzontal:Ens permet trobar el vector director de la recta i el vector director de la recta que li és perpendicular:Angle amb l’horitzontalVector director de la rectaVector director de la recta perpendicular

20. Per últim, podem trobar distàncies amb aquesta equació i una fórmula ben simple:Distància punt-recta: Distància recta-recta: Estudiem la posició relativa de les rectes i si són paral·leles, trobem un punt qualsevol d’una d’elles i utilitzem la fòrmula punt-recta.Coordenades del puntPropietats de l’equació general:Coeficients de l’equació general de la recta

21. De la general a l’explícita:A continuació, aïllarem la y tot trobant l’equació explícita de la recta:Un cop hem arribat aquí, establim unes igualtats:

22. Equació explícita:I finalment, obtenim l’equació explícita:On m representa el pendent de la recta i n l’ordenada a l’origen*.Eq. explícita* Valor d’y quan x = 0; Punt de tall amb l’eix vertical

23. De nou, aquesta d’aquesta equació, podem trobar algunes propietats:Ens permet estudiar la posició relativa entre dues rectes:I conèixer l’angle d’inclinació de la recta:Condició de paral·lelitzatCondició de perpendicularitatAngle amb l’horitzontal

24. L’expressió punt-pendent d ela recta:Partint de la contínua i fent petites modificacions, arribem a l’expressió punt-pendent:Un cop hem arribat aquí, hem d’establir una igualtat:Expressió punt-pendent

25. De la general a la canònica:Quan A, B i C ≠ 0 podem dur a terme el següent procés:Un cop hem arribat aquí, hem d’establir les següents igualtats:p = Abcisa a l’origen (valor d’x quan y = 0 o punt de tall amb l’eix horitzontal) n = ordenada a l’origenEq. explícita

26. L’equació canònica de la nostra recta és: L’equació canònica ens proporciona, de forma directa, informació sobre els punts de tall de la recta amb els eixos de coordenadesAlerta!No tenen equació canònica aquelles rectes que passin per l’origen de coordenades ja que ens trobaríem davant d’una divisió entre 0Talla l’eix horitzontal a la posició (3/2, 0)Talla l’eix vertical a la posició (0,-3)

27. + ∞Fins aquí el treball, ara us deixo que m’han dit que si segueixo escalant per aquesta recta, arribaré a l’infinit.y = 2x - 3- ∞