Исследование логарифмической функции с помощью мат. анализа

1. Исследование
логарифмической
функции с помощью
мат. анализа
Ученика 11-А класса
Костенко Влада

2. Рассмотрим логарифмическую функцию y = loga x, где
основание a больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Согласно
определению производной, дадим аргументу x приращение Δx > 0,
причем предположим, что x + Δx > 0. Логарифмическая функция получит
соответствующее приращение Δy, равное
Разделим обе части равенства на Δx:
Обозначим Тогда последнее соотношение можно переписать в
виде
Используя свойство логарифма степенной функции, получаем:
xxxy aa log)(log 
  )1(log
1
log
1
log)(log
1
x
x
xx
xx
x
xxx
xy
x
aaaa











nx
x 1


)
1
1(log*
1
)1(log
1
n
n
xx
x
xx
y
aa 






n
a
nxx
y
)
1
1(log
1




3. Полагая Δx → 0 (в этом случае h → ∞), находим предел отношения
приращений, т.е. производную логарифмической функции:
Здесь мы использовали свойство предела от сложной функции,
учитывая, что логарифмическая функция является непрерывной. Предел
в квадратных скобках равен знаменитому числу e, которое
приблизительно составляет 2.718281828...
Следовательно, производная логарифмической функции имеет вид
По формуле перехода к новому основанию логарифма, имеем:
Таким образом,












n
x
a
n
a
xx nxnxx
y
)
1
1(limlog
1
)
1
1(log
1
limlim
0
718281828.2)
1
1(lim 

e
n
n
x
e
x
x aa log
1
)(log 
aa
e
ea
ln
1
ln
ln
log 
ax
xxy a
ln
1
)(log)( 

4. x
x
xf
3cos
ln
)( 









x
x
xf
3cos
ln
)(


 2
)3(cos
ln)3(cos3cos)(ln
x
xxxx



x
xxxx
x
3cos
ln)3)(3sin(3cos
1
2
.
3cos
ln3sin33cos
2
xx
xxxx 

,2
v
uvvu
v
u 








Последовательно
определяем, от какого
выражения берется
производная.
Сначала берется
производная частного
а для производной
знаменателя используется
производная сложной
функции (производная cos u
умножается на ).u