ppt elektro.pdf

Dosen Mata Kuliah
Dr. Yulkifli, M.Si
Mata Kuliah
Elektrodinamika

Menu Utama
Pendahuluan
Persamaan Maxwell
Pandu Gelombang
Pemantulan dan Pembiasan Gelombang
Elektromagnetik
Gelombang Elektromagnetik dalam Medium
Persamaan Gelombang Elektromagnetik
Transversalitas Gelombang Elektromagnetik
Vektor Poynting dan Kekekalan Energi
Gelombang dalam Medium Konduktif
Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma
Hukum Snellius
Persamaan Fresnel
Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat
Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial

Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawa
oleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalar
melalui vakum.
Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yang
berosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalam
suatu antene pemancar radio.
Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah
dengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dan
sebaliknya. Keterkaitan antara E dan B dituangkan dalam
persamaan Maxwell yang mendasari teori medan magnetik.
A. PENDAHULUAN

B. PERSAMAAN MAXWELL
Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan
listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan
Maxwell terdiri dari 4 persamaan medan, yang masing-
masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan
dan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupun
sumber arus.

Persamaan-persamaan Maxwell
0
. 
 B
0
. 
 E
t
B
xE





t
E
xB o



 0


Vakum
Medium
b
D 



.
0
. 
 B
t
B
xE





1.
2.
3.
4.
Click angka untuk mengetahui penurunan rumus masing-masing
persamaan di atas

Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari
hukum Gauss, yang menyatakan bahwa:
“ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu
permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang
dilingkupi permukaan tersebut.”
Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:
 



o
q
dA
n
E

.
.
 



dq
dA
n
E
o

1
.
.
 




dV
dA
n
E
o


1
.

 
  



dV
dA
n
E b
f
o



1
.
.
 
  







dV
P
dA
n
E b
o



1
.
 




















dV
dv
P
E b
o 

D
E
P
E
o 







b
D 




Persamaan Maxwell (1) dalam Medium
 
  





 dV
P
dV
E b
o



 1
Dari teorema divergensi

 





dV
E
dA
n
E

.

Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka
0

 sehingga:
0

b
E 



0




E
Persamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum,
tanpa sumber muatan

Persamaan Maxwell kedua merupakan Hukum Gauss
magnetik, yang menyatakan “fluks medan magnetik yang
menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol,
tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau
dengan kata lain,” garis gaya medan magnet selalu
tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.”
Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua dapat
dituliskan dalam bentuk integral:
 



0
. dA
n
B
B

Dari teorema divergensi dV
B
dA
n
B
 




 .
. maka
 


0
.BdV
0
. 


B Persamaan Maxwell (2) dalam medium dan vakum

Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan Hukum
Faraday-Lenz, yang menyatakan bahwa “pengaruh medan
magnet yang berubah dengan waktu.”
Secara matematis dituliskan:
t






dA
n
B
t
dl
E




 


 .
.
Dari teorema Stokes  




 dA
n
E
x
dl
E .
.










 dA
n
B
t
dA
n
E
x .
.
t
B
E
x







Persamaan Maxwell (3) dalam medium
Dan vakum.



 dA
n
B.

dengan
karena dl
E.



 maka

Persamaan Maxwell keempat merupakan Hukum Ampere:
 

I
dl
B 
.
  I
dl
H.
dA
n
J
J
dl
H f
b .
.

  













  dA
n
t
E
J
dA
n
xH b .
.






















 
t
E
J
xH b








t
D
J
xH b







Persamaan Maxwell (4) dalam medium


 H
B

dA
n
J
I 


 .
dengan
f
b J
J
J





;
dan

I
dl
B 0
. 



dA
n
B
x
l
d
B




 
 .
.

dA
n
J
dA
n
B
x





 
 .
. 0




 J
B
x 0

t
E
B
x






0
0

Untuk persamaan Maxwell (4) dalam vakum, yaitu:
Dari teorema Stokes maka
Persamaan Maxwell (4) dalam Vakum,
Tanpa sumber muatan

t
B
E
































B
t
E























 E
E
E 2
.
B.1. PERSAMAAN GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIK
MEDAN LISTRIK
Dari persamaan Maxwell (3):
Ruas kanan dan ruas kiri dideferensialkan dengan
operasi rotasi, maka:
Dari vektor identitas

0
2
2
0
0
2







t
E
E 

2
2
0
0
2
t
E
E

































B
t
E
E 2
.
2
2
0
0
2
t
E
E










Maka:
Dengan 0
. 


E
t
E
B







0
0

dan sehingga
dengan
0
0
1



c
0
1
2
2
2
2







t
E
c
E

0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2

















 
x
E
t
c
z
y
x
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2

















 
y
E
t
c
z
y
x
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2

















 
z
E
t
c
z
y
x
Sehingga persamaan gelombang medan listrik
dalam bentuk diferensial:
Solusi paling sederhana:
   
t
kz
E
t
z
E 




cos
, 0

MEDAN MAGNET
t
E
xB o



 0

























 B
B
B 2
.

t
E
B
B

















 )
. 0
0
2


0
. 


B
t
B
E








t
E
B
















 )
(
0
0

Dengan operasi rotasi:
Karena vektor identitas
Dan persamaan Maxwell (2) serta (3):
dan

0
1
2
2
2
2







t
B
c
B
2
2
2
2 1
t
B
c
B






2
2
0
0
2
t
B
B








Maka persamaan gelombang medan magnet dalam
bentuk diferensial:
sehingga
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2

















 
x
B
t
c
z
y
x
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2

















 
y
B
t
c
z
y
x

0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2

















 
z
B
t
c
z
y
x
Solusinya:    
t
kz
B
t
z
B 




cos
, 0
Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk
medan Listrik dan medan magnet merupakan contoh
eksplisit dari gelombang datar (Plan Wave)
)
( t
kz
f 

k
v 

Bentuk umum:
Kecepatan:
Bentuk muka gelombangnya
tegak lurus vektor satuan k,
maka:
tan
. kons
z
k 



Sifat-sifat gelombang datar:
1. Mempunyai arah jalar tertentu (dalam persamaan,
arah z).
2. Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.
3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada
koordinat transversal (pada contoh, koordinat
transversalnya x dan y).
Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi:
)
,
(
)
,
( t
z
E
j
t
z
E
i
E y
x





)
,
(
)
,
( t
z
B
j
t
z
B
i
B y
x





)
,
(
)
,
( t
x
E
k
t
x
E
j
E z
y





)
,
(
)
,
( t
x
B
k
t
x
B
j
B z
y






B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIK
t
E
B







0
0

t
E
y
B
x
B z
z
y











0
0
 0
)
,
(




t
t
z
E z
MEDAN LISTRIK
Untuk membuktikan sifat dari gelomabng datar yaitu
transversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4):
Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)
Sisi temporal
0
. 


E
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(












z
t
z
E
y
t
z
E
x
t
z
E z
y
x
0
)
,
(




z
t
z
E z

Yang berarti Ez tidak bergantung pada t
Jadi Ez (z,t) = konstan =0, yang berarti arah getar
dari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah
rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai
komponen-komponen pada arah yang tegak lurus
pada arah rambat.
0
. 


B
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(












z
t
z
B
y
t
z
B
x
t
z
B z
y
x
0
)
,
(




z
t
z
Bz
MEDAN MAGNET
Sisi spatial, yang berarti Bz tidak bergantung
pada z.

t
B
E
x







t
t
z
B
y
E
x
E z
x
y











)
,
(
0
)
,
(




t
t
z
Bz
Dan dari persamaan Maxwell (3):
Sisi temporal, yang berarti Bz
tidak bergantung pada t.
Yang berarti arah getar gelombang medan magnet tegak
lurus terhadap arah rambatnya.
Dengan demikian maka gelombang
Elektromagnetik merupakan gelombang transversal.

y
x E
j
E
i
E





)
cos(
)
cos( 0
0 t
kz
E
j
t
kz
E
i
E y
x 
 






y
x B
j
B
i
B





)
cos(
)
cos( 0
0 t
kz
B
j
t
kz
B
i
B y
x 
 






t
B
E
x





























y
ox
ox
oy jB
B
i
t
kz
jE
E
i
t
kz
k 0
)
sin(
)
sin( 






















y
ox
ox
oy jB
B
i
jE
E
i
k 0

 




 B
E
k 


B
k
E

 cB
E 
Hubungan E dan B, misal menjalar dalam arah z:
B
E




Hubungan vektor propogasi k, medan listrik E,
dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar:

B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN
ENERGI
Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari
Energi Medan listrik dan energi medan magnet.
E
B u
u
u 

2
0
2
0 2
1
2
1
E
B
u 



t
E
E
t
B
B
dt
du












0
0
1


t
B
E
x







Laju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energi
terhadap waktu:
Dari persamaan Maxwell (3) dan (4), maka:
dan
t
E
B







0
0



























B
E
E
B
dt
du
0
0
1
1


  


























B
E
E
B
B
E
































B
E
E
B
dt
du 
0
1

 
B
E
dt
du 






0
1

0





S
dt
du
Sehingga
Dari vektor identitas
maka
 
B
E
S





0
1

dengan disebut vektor poynting
Hukum Kekekalan Energi
mengungkapkan besarnya energi persatuan
waktu per satuan luas yang dibawa oleh
medan elektromagnetik

C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
DALAM MEDIUM
t
D
J
H
t
B
E
B
D
b
b
















0
.
. 
Persamaan-persamaan Maxwell

C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF
Dalam medium konduktif yang bebas sumber, dan dari
hubungan B = μ H dan D = ε E, persamaan
Maxwell 4 dapat ditulis:
,
)
(
),
(
)
(
2
2
t
E
t
J
E
t
B
E
dengan
t
E
J
t
B
t
t
E
J
B
t
D
J
H b














































maka
0
0
)
)
.
(
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2



























t
E
t
E
E
t
E
t
E
E
t
E
t
E
E
E






Dengan solusi : E(z, t) = E0 cos (kz - ωt)
Atau dalam bentuk kompleks :
E(z, t) = E0 e-i (kz - ωt )
E
J
dan
E
E
E 









 2
)
.
(
)
(

Sehingga :
E
e
E
i
t
E
E
i
e
E
i
t
E
t
z
i
t
z
i
2
)
(
0
2
2
2
2
)
(
0





k

k













E(z, t) = E0 e-i (kz - ωt ) 0
2
2
2








t
E
t
E
E 

  E
e
E
i
e
E
z
E t
z
i
t
z
i 2
)
(
0
2
2
)
(
0
2
2
2
k
k 
k

k






 



-k2E + μεω2E – μσiωE = 0
k2E - μεω2E + μσiωE = 0
k2= μεω2 – iμσω

Misal : k = a + ib
k2 = (a + ib)2 = a2 – b2 + 2abi
Dari pers k2= μεω2 – iμσω, maka :
a2 – b2 = μεω2 dan 2ab = - μσω
2
2
2
2
2
2
)
2
(
)
2
(









a
a
a
a a
b
2



kalikan dengan 4a2
4(a2)2 – 4μεω2a2 – (μσω)2 = 0

Dengan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh :
2
2
2
2
2
,
1
2
2
2
2
2
2
,
1
2
2
2
2
2
2
,
1
2
2
2
2
2
2
,
1
)
(
1
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
2
1
2
)
(
8
)
)(
4
(
4
)
4
(
4
)
(





























a
a
a
a
4(a2)2 – 4μεω2a2 – (μσω)2 = 0


















2
2
2
1
1
)
(
2
1



a
Karena a bilangan riil, maka a2 harus positif
sehingga dipilih:
2
2
2
2
2
,
1 )
(
1
2
1
)
(
2
1
)
(




 


a

















2
2
2
2
,
1 1
1
)
(
2
1
)
(



a









































































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1













b
b
b
b
a2 – b2 = μεω2
b2 = a2 - μεω2 
















2
2
2
1
1
)
(
2
1



a

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
1
)
(
1
1
2
1
)
(
1
1
2
1
)
)(
(
*



k






k
k
kk
k



























b
a
ib
a
ib
a
k merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan
dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif,
cepat rambat gelombang bergantung pada frekuensi.
Medium tersebut seperti medium dispersif.
Besarnya bilangan gelombang

Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, σ >>
maka
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2



















































a
a
a
a

Sehingga :
2
2
2
2










b
b
a
b
Jika maka


2


1


 b
a
Dengan besaran δ disebut tebal kulit (skin depth)

Jadi

k
)
1
( i
ib
a




merupakan bilangan gelombang untuk medium
dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah
maka solusinya :
 
)
(
0
)
1
(
0
)
(
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
t
z
i
z
t
z
i
i
t
z
ib
a
i
e
e
E
t
z
E
e
E
t
z
E
e
E
t
z
E

























Untuk medium yang konduktivitasnya rendah
(konduktor buruk),  jauh lebih kecil dari ωε. Maka
Skin depthnya :








 2
2
2
)
(
1
1
2 


a
Diuraikan dengan deret Maclaurin










!
3
)
2
)(
1
(
!
2
)
1
(
1
)
1
(
3
2
x
n
n
n
x
n
nx
x n

jika 2
)
(



x maka :
..........
)
1
2
1
(
2
1
.
!
2
1
2
1
1
)
1
( 2
2
1





 x
x
x
........
)
(
2
1
1
)
(
1
......
)
)(
2
1
(
4
1
)
(
2
1
1
)
(
1
2
2
1
2
4
2
2
1
2

































Jadi,













2
4
4
.......
)
(
2
1
2
2
.......
)
(
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2






















a
a
a
a
a



2


 b
a dengan




2

yang disebut skin depth

1


 b
a

Dari solusi persamaan gelombang pada medium
konduktif yaitu :
)
(
0
)
,
(
t
z
i
z
e
e
E
t
z
E







yang dapat ditafsirkan setelah menempuh jarak
sebesar δ, maka amplitudo gelombang berkurang
menjadi dari amplitudo semula.
e
1
Jika z = δ maka
)
1
(
0
)
1
(
1
0
)
,
(
)
,
(
t
i
t
i
e
e
E
t
z
E
e
e
E
t
z
E










E
B

k

Medan Magnet :
Jadi medan listrik (E) dan medan magnet (B)
tidak lagi mempunyai fase yang sama
 
t
z
ib
a
i
o e
E
ib
a
t
z
B 





 )
(
)
,
(

i
re
ib
a 


Karena dengan 







 
a
b
b
a
r 1
2
2
tan
dan
, 
maka
 








 t
z
ib
a
i
o e
E
b
a
t
z
B )
(
2
2
)
,
(
 
t
z
ib
a
i
e
E
t
z
E 



 )
(
0
)
,
(

2
1
2
2
2
2
2
2
2
)
(
1
1
2
)
(
1
1
2
)
(
1
1
2


































k
a
k
a
a
dengan kv = ω, dan karena a > k , maka kecepatan fase
pada medium konduktif < v di udara/non konduktif
Kecepatan fase:

Besarnya vektor poynting untuk medium
konduktif, yaitu :
)
(
1
B
E
S




 dengan E
B

k







 )
(
1
E
E
S

k

2
1
E
S k


)
(
2
2
0
)
(
1 t
z
i
e
E
ib
a
S 
k























 
 2
)
(
2
2
0
2
2 


t
z
ib
a
i
e
E
b
a
S
Faktor
merupakan faktor redaman dalam perambatan energi.
 
t
z
ib
a
i
e
E
ib
a
S 





 )
(
2
2
0
)
(
Untuk medium konduktif

1


 b
a

















 
 2
2
2
2
0
2
2 




t
z
i
z
e
e
E
b
a
S
maka

z
e
2


C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR
DAN PLASMA
Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat
pada atom dan molekul sehingga dapat digunakan
persamaan Maxwell 3, yaitu :
t
B
E






t
J
t
E
E








 0
2
2
0
0
2



-
0
0
2
2
0
0
2








t
J
t
E
E 

 (1)

Gerakan elektron :
E
q
dt
dv
m e
 dengan v = kecepatan elektron
Ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan Nqe
E
q
N
t
N
vq
m e
e 2
)
(
)
(



)
2
........(
)
( 2
E
q
N
t
J
m e



Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
0
)
(
2
0
2
2
0
0
2





 E
m
Nq
t
E
E e



dan J = vqeN, maka :

Sehingga :
0
)
( 2
0
2
2
0
0
2





 E
m
q
N
t
E
E e



dan )
(
0
)
,
( t
kz
i
e
E
t
z
E 



E
k
e
E
k
i
E t
kz
i 2
)
(
0
2
2
2



 
 
E
i
e
E
i
t
E t
kz
i

 



 
 )
(
0
E
e
E
i
t
E t
kz
i 2
)
(
0
2
2
2
2

 




 

maka,

0
)
(
)
(
2
0
2
0
0
2



 E
m
q
N
E
E
k e




-
-
m
q
N
k e
2
)
(
0
2
0
0
2



 

2
0
2
2
0
0
2
)
(
1




 m
q
N
k e


karena
0
0
2 1



c dan 2
2
2
1
v
k


2
0
2
2
2
0
0
)
(
1
1




 m
q
N
k e

 dengan 2
2
)
(
p
e
m
q
N












 2
2
2
2
1

p
v
c
maka

Berdasarkan definisi indeks bias :
v
c
n 









 2
2
2
1

p
n
2
2
1

p
n 
 Indeks Bias Plasma

Bila ω<ωp maka nilai indeks bias n
berupa bilangan imajiner yang berarti
gelombang di dalam plasma tsb akan
teredam.
Bila ω ≥ ωp, maka nilai indeks bias n
berupa bilangan nyata (real) sehingga
gelombang akan diteruskan.

D.1 HUKUM SNELLIUS
Tinjau untuk kasus Transverse Electric (TE)
D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN
GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
E1 k1
B1
E2
k2
B2
E3
k3
B3
Med1
Med2
μ2ε2
μ1ε1
1
 2

3

x
x
x

Dari gambar tersebut diperoleh persamaan
untuk gelombang medan magnet
)
(
01
1
01
1
1
)
cos(
)
,
( t
r
k
i
e
B
t
r
k
B
t
r
B 
 





)
(
02
2
02
2
2
)
cos(
)
,
( t
r
k
i
e
B
t
r
k
B
t
r
B 
 





)
(
03
3
03
3
3
)
cos(
)
,
( t
r
k
i
e
B
t
r
k
B
t
r
B 
 





dengan
k1 = k1 [ i sin (α1) – j cos (α1)]
k2 = k2 [ i sin (α2) + j cos (α2)]
k3 = k3 [ i sin (α3) – j cos (α3)]
Persamaan 1
Persamaan 2

]
)
cos
(
)
sin
(
[
01
1
1
1
1
)
,
( t
y
x
k
i
e
B
t
r
B 

 


]
)
cos
(
)
sin
(
[
03
3
3
3
3
)
,
( t
y
x
k
i
e
B
t
r
B 

 


]
)
cos
(
)
sin
(
[
02
2
2
2
2
)
,
( t
y
x
k
i
e
B
t
r
B 

 

 Persamaan 3
Syarat batas di y = 0 ; maka
B1x – B2x = B3x
B1 cos α1 – B2 cos α2 = B3 cos α3
Dan persamaan 3 menjadi :
)
sin
(
3
03
)
sin
(
2
02
)
sin
(
1
01
3
3
2
2
1
1
.
cos
.
cos
.
cos 




 x
k
i
x
k
i
x
k
i
e
B
e
B
e
B 

Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2:

Persamaan
dapat dipandang sebagai Aeax + Bebx = Cecx
dengan menggunakan deret eksponensial:




























 .....
!
2
1
.....
!
2
1
.....
!
2
1
2
2
2
2
2
2
x
c
cx
C
x
b
bx
B
x
a
ax
A
dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh :
A + B =C
Aax + Bbx = Ccx
Aax + Bbx = (A + B) cx
)
sin
(
3
03
)
sin
(
2
02
)
sin
(
1
01
3
3
2
2
1
1
.
cos
.
cos
.
cos 




 x
k
i
x
k
i
x
k
i
e
B
e
B
e
B 


    












cx
cx
B
A
bx
ax
B
A
diperoleh a = b = c
maka k1 sin α1 = k2 sin α2
Karena gelombang datang dan gelombang pantul
berada dalam medium yang sama yaitu medium 1
maka : k1 = k2
sehingga α1 = α2
k1 sin α1 = k3 sin α3
Dari a = c maka
Dalam bentuk matriks :

n
c
v
v
c
n
v
k 





n
k
c
n
n
c
k 





maka k1 dan k3 sebanding dengan n1 dan n3
sehingga n1 sin α1 = n2 sin α3
Persamaan Snellius

D.2. PERSAMAAN FRESNELL
Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnya
akan ditunjukkan perbandingan Amplitudo gelombang
pantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombang
datang yang disebut dengan persamaan Fresnell
Kasus Transverse Magnetik (TM)
B1
k1
E1 k2
B2
B3*
k3
E3
1
2
μ2ε2
μ1ε1
x
E2







Dengan memasukkan batas di y = 0 (berdasarkan gambar)
Untuk medan listrik :
E1x + E2x = E3x
     

 cos
cos 3
2
1 E
E
E 

Untuk medan magnet :
B1 – B2 = B3
  3
2
2
1
1
1
1
E
v
E
E
v


Dengan B=E/c di Vakum atau B= E/v di medium
sehingga dan n=c/v maka 1/v ~ n
maka n1 (E1-E2) = n2 E3
 
2
2
1
1
3
n
E
E
n
E


……… 1
……… 2.1
……… 2.2

Persamaan 2.2 disubstitusikan kedalam
persamaan 1,maka akan diperoleh :
       
       



























cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
n
n
E
n
n
E
E
E
n
n
E
E
Maka diperoleh koefisien refleksi yaitu
perbandingan antara medan pantul terhadap medan
datang (E2/E1).
dikali n2
maka
   
   




cos
cos
cos
cos
2
1
2
1
1
2




n
n
n
n
E
E
rTM
   
   




cos
cos
cos
cos
2
1
2
1
1
2
n
n
n
n
E
E
rTM



 ……… 3

Dari persamaan 2.1 kita peroleh persamaan
n1 (E1-E2) = n2 E3
1
3
2
1
1
2
n
E
n
E
n
E

 …… 4
Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 1, maka :
   
     





cos
cos
cos
2
cos
cos
3
3
1
2
1
3
1
3
2
1
1
1
E
E
n
n
E
E
n
E
n
E
n
E










 

dikali n1
maka      
     
 






cos
cos
cos
2
cos
cos
cos
2
2
1
3
1
1
3
1
3
2
1
1
n
n
E
E
n
E
n
E
n
E
n




Dari persamaan diatas dapat dicari koefisien transmisi,
Yaitu perbandingan antara E3/E1
 
   



cos
cos
cos
2
2
1
1
1
3
n
n
n
E
E
tTM




Kasus Transver Elektrik (TE)
B1
k1
E1
k2
E
2
B3
k3
E3
1
2
μ2ε2
μ1ε1
x
B2






Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syarat
batas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :
Untuk meda magnet
B1x-B2x = B3x
  
 cos
cos 3
2
1 B
B
B 
 ……… 1

Untuk medan listrik
E1 + E2 = E3
Dari hubungan E
B

k
 B
E
k


k


v
v
c
n 
maka
v1 (B1 + B2) = v2 B3 v ~ 1/n
....... 2.1
 
2
1
1
2
3 B
B
n
n
B 
 ....... 2.2
  3
2
2
1
1
1
1
B
n
B
B
n


;
; ; ;
E1 + E2 = E3





cos
cos
cos
cos
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
B
B
rTE








cos
cos
cos
cos
2
1
2
1
n
n
n
n
rTE



   






cos
cos
cos
cos
cos
cos
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1























n
n
B
n
n
B
B
B
n
n
B
B




cos
cos
cos
cos
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
B
B
RTE





Persamaan 2.2 disubstitusikan ke pesamaan 1
Sehingga diperoleh :
maka

Dari persamaan 2.1 kita peroleh
  3
2
2
1
1
1
B
n
B
B
n


1
3
2
1
2 B
B
n
n
B 
 ....... 3
Persamaan 3 disubstitusi ke persamaan 1





cos
cos
cos
2
cos
cos
3
3
2
1
1
3
1
3
2
1
1
B
B
n
n
B
B
B
B
n
n
B





















 


 cos
cos
cos
cos
2 2
1
3
1
2 n
n
B
B
n 




cos
cos
cos
2
2
1
2
1
3
n
n
n
B
B
tTE




Apabila sudut bias 0
90 maka,
Dari hukum Snellius diperoleh hubungan
1
2
1
2
1
1
3
2
1
1
sin
90
sin
sin
sin
sin
n
n
n
n
n
n
o







Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 0
90
sudut kritis
Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,
maka terjadi pemantulan total.
maka n1 > n2

Apabila o
90



dari hukum Snellius diperoleh hubungan:
 
1
2
tan
n
n


Sudut datang yang menghasilkan
o
90



Sudut Brewster






cos
sin
)
90
sin(
sin
sin
sin
1
2
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
o





E. PANDU GELOMBANG
Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnya
dibatasi oleh permukaan disebut rongga (cavity).
Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasi
oleh permukaan disebut dengan pandu gelombang

Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar
konduktor sempurna, Sehingga bahan material
tersebut berlaku E = 0 Dan B = 0
Misalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan
Bentuk fungsi sebagai berikut :
     
     
t
kx
i
o
t
kx
i
o
e
z
y
B
t
z
y
x
B
e
z
y
E
t
z
y
x
E






,
,
,
,
,
,
,
,
Persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Maxwell 3
dan 4 ,Maka akan diperoleh :
x
y
z
B
i
z
E
z
E







y
z
x
B
i
ikE
z
E





z
y
x
B
i
ikE
y
E






x
y
z
E
c
i
z
B
y
B
2








……… 1
……… 2.2 ……… 2.4
……… 2.3
……… 2.1

y
z
x
E
c
i
ikB
z
B
2






z
y
x
E
c
i
ikB
y
B
2





Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan
Solusi Untuk Ey, Ez, By, dan Bz sebagai berikut
  














z
B
y
E
k
k
c
i
E x
x
y 
 2
2
/
  














y
B
z
E
k
k
c
i
E x
x
z 
 2
2
/
  














z
E
c
y
B
k
k
c
i
B x
x
y 2
2
2
/


  














y
E
c
z
B
k
k
c
i
B x
x
z 2
2
2
/


……… 2.5
……… 2.6
……… 3.1
……… 3.2
……… 3.3
……… 3.4

Dari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen
Longitudinal Ex dan Bx diketahui, maka komponen
lainnya dapat diketahui.
Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam
Persamaan Maxwell, kita akan peroleh persamaan
Differensial dari komponen longitudinal sebagai
Berikut :
0
2
2
2
2
2
2






















x
E
k
c
z
y

0
2
2
2
2
2
2






















x
B
k
c
z
y

0
ˆ 
 B
n 0
ˆ 
 B
n
……… 4.1
……… 4.2
……… 5
Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan
konduktor sempurna, yaitu :

Dengan n̂ adalah vektor satuan normal pada
konduktor, maka akan kita peroleh
Ex = 0 Di permukaan
0



n
Bx Di permukaan
Bila Ex = 0, disebut gelombang TE (Transverse elektrik
Bila Bx = 0, disebut gelombangTM (Transverse MAgnetik),
Dan Ex = 0 dan Bx = 0, disebut gelombang TEM (Transverse
Electric Magnetik)
Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak
pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Bila Ex = 0, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum
0






z
E
y
E z
y
……… 6.1
……… 6.2
……… 7

Dan bila Bx = 0, maka menurut hukum Faraday
Berlaku hubungan
0






z
E
y
E y
x
Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik
V = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum Gauss
Atau persamaan Laplace untuk V, berlaku pula V = konstan
Didalam rongga. Ini berarti E = 0 didalam rongga. Dari
Persamaan
E
t
B






Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidak
ada gelombang didalam rongga
……… 8

E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN
PENAMPANG SEGI EMPAT
Persamaan differensial dari komponen longitudinal
0
2
2
2
2
2
2






















x
B
k
c
z
y
 ……… 1

Dan syarat batas 0
ˆ 
 B
n 0
ˆ 
 B
n
dan
Maka dengan pemisalan : Bx (y,z) = Y (y) Z(z)
Substitusikan ke persamaan 1, maka :
0
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2






















z
Z
y
Y
k
c
z
y

0
2
2
2
2
2
2






















YZ
k
c
z
Z
Y
y
Y
Z

0
1
1 2
2
2
2
2
2





















k
k
z
Z
Z
y
Y
Y

Sehingga 0
2
2
2










 k
c
Z
k
Y
k

dengan
z
y
k
z
Z
Z
k
y
Y
Y
2
2
2
2
2
2
1
1








Solusi dari persamaan 3 :
   
y
k
B
y
k
A
Y y
y cos
sin 

dibagi YZ
……… 2
………3
……… 4

Syarat batas 0

dy
dY
di y = 0 dan di y = a
0 = ky A, maka A = 0
   
y
k
yB
k
y
k
A
k
dy
dY
y
y
y
y sin
cos 

 
a
k
B
k y
y sin
0  maka, 
m
a
ky  dengan m = 0, 1, 2,….
atau
a
m
ky


Untuk solusi z
k
z
Z
Z
2
2
2
1




yaitu    
Z
k
B
Z
k
A
Z z
z cos
sin 

Syarat batas 0

dz
dZ
di z = 0, z = b
   
Z
k
B
k
Z
k
A
k
dz
dZ
z
z
z
z sin
cos 

maka untuk  
A
k
Z
k
A
k
dz
dZ
z
z
z


0
cos
  0
cos 
Z
kz
Untuk  
Z
k
B
k
dz
dZ
z
z sin
 0

B
kz dan kzz = 0
Sin kzz = 0
b
n
k
n
b
k
n
z
k
z
z
z






maka dengan n = 0, 1, 2, ….
z=b

maka untuk
   

















a
y
m
B
y
a
m
B
Y
k
B
Y
k
A
Y y
y


cos
cos
0
cos
sin    

















b
z
n
B
b
z
n
B
Z
k
B
Z
k
A
Z z
z


cos
cos
0
cos
sin
Sehingga   













b
z
n
B
a
y
m
B
z
y
Bx


cos
cos
,
Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari
persamaan yang sudah didapat
0
2
2
2










 k
c
Z
k
Y
k
 dengan
a
m
ky

 b
n
kz


dan
maka
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0

































































b
n
a
m
c
k
b
n
a
m
c
k
k
c
b
n
a
m









mn
c
k
2
2
1

 

2
2














b
n
a
m
c
mn 


Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapat
diperoleh dari persamaan
dk
d
vg


dk
d
vg
/
1


Dari persamaan : mm
c
k
2
2
1

 

 
 
 
mm
mm
mm
mm
mm
c
d
dk
c
d
dk
c
d
dk
d
d
c
d
dk
c
d
d
d
dk
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1







































2
2
2
2
2
2
2
1 




















mm
g
mm
g
mm
g
v
v
c
v

E.2 PANDU GELOMBANG JALUR
TRANSMISI KOAKSIAL
Dari persamaan Maxwell 3 dan 4 diperoleh :
y
z
x
E
c
i
ikB
z
B
2






Gambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa
jalur trandmisi koaksial (coaxial) transmition line),
terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktor
silinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder
z
y
x
E
c
i
ikB
y
B
2






0






z
B
y
B z
y
0






z
B
y
B y
x
Maka cBz = Ey dan cBy = -Ez
Untuk medan listrik : Untuk medan magnet :
0






z
E
y
E z
y
0






z
E
y
E y
x
Solusi dengan menggunakan koordinat silinder
r
r
E
E o
o
ˆ
1
 dan 
 ˆ
1
r
c
E
B o
o
Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar
konduktor sempurna, berlaku E = 0 dan B = 0
Sehingga fungsi gelombangnya
     
     
t
kx
i
o
t
kx
i
o
e
z
y
B
t
z
y
x
B
e
z
y
E
t
z
y
x
E






,
,
,
,
,
,
,
,

Untuk persamaan :
     
t
kx
i
o e
z
y
E
t
z
y
x
E 

 ,
,
,
,
   
t
kx
E
i
t
kx
E o
o 
 


 cos
ˆ
cos
Substitusikan r
r
E
E o
o
ˆ
1

diperoleh  r
t
kx
r
E
E o
ˆ
cos 


Untuk persamaan
     
t
kx
i
o e
z
y
B
t
z
y
x
B 

 ,
,
,
,
   
t
kx
B
i
t
kx
B o
o 
 


 cos
ˆ
cos
yang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi

 ˆ
1
r
c
E
B o
o maka  

 ˆ
cos
r
t
kx
c
E
B o 

ppt elektro.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to ppt elektro.pdf

Similar to ppt elektro.pdf (20)

More from SintyaAsiah1

More from SintyaAsiah1 (7)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

ppt elektro.pdf