Download to read offline
![[Material elektroteknik] buku](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/materialelektroteknikbuku-180430115108-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Vektor & hukum ampere
- 1. 1. HUKUM AMPERE 1.1Analisis Besar Gaya Tarik atau Tolak Arus Sejajar Hukum ampere menghitung besarnya gaya antara dua arus listrik. Seperti halnya hukum coulomb menghitung besarnya gaya antara dua muatan listrik. Perhatikan gambar berikut : Pada gambar di atas menunjukkan dua buah kawat panjang, sejajar yang menyalurkan arus dalam arah yang sama. Kita perhatikan gaya pada segmen ∆l2 yang menyalurkan arus I2 seperti yang ditunjukkan pada gambar. Medan magnet B1 pada segmen akibat arus I1 adalah tegak lurus terhadap segmen I2 ∆l2. Ini juga berlaku untuk semua elemen arus di sepanjang kawat tersebut. Gaya magnet pada segmen I2 ∆l2 diarahkan menuju arus I1. Begitu juga dengan segmen arus I1 ∆l1 akan mengalami gaya magnetik yang diarahkan menuju arus I2 akibat medan magnetic yang muncul dari arus I2. Dengan demikian, dua arus yang searah akan tarik-menarik. Jika satu arus dibalik, gayanya akan berlawanan. Dengan demikian, dua arus yang sejajar dan berlawanan arah akan tolak-menolak. Tarikan atau tolakan arus sejajar yang searah dan berlawanan ditemukan secara percobaan oleh Ampere satu pekan sebelum dia mendenganar penemuan Oersted tentang pengaruh arus pada jarum kompas. Besar gaya magnetik pada segmen I2 ∆l2 ialah 1222 BIF ×∆=
- 2. Karena medan magnetikpada segmen I2 ∆l2 tegak lurus terhadap segmen arusnya, maka kita peroleh: 1222 BIF ∆= Jika jarak R antara kedua kawat jauh lebih kecil dibandingkan dengan panjangnya, maka besarnya medan di I2 ∆l2 akibat arus I1 akan mendekati medan akibat kawat panjang takterhingga yang menyalurkan arus yang dirumuskan dengan persamaan: R I R I B 2 42 00 π µ π µ == Dengan demikian besarnya gaya pada segmen I2 ∆l2 ialah: R I IF π µ 2 10 222 ∆= Jadi gaya per panjang satuan adalah R II R II l F 210210 2 2 4 2 2 π µ π µ == ∆ Jika dua buah kawat sejajar yang sangat panjang yang terpisah sejarak satu meter menyalurkan arus yang sama, arus dalam setiap kawat didefinisikan sebagai satu ampere apabila gaya per panjang satuan pada setiap kawat adalah 2 × 10-7 N/m. Ini merupakan definisi dari hukum ampere. 1.2 Arah Hukum Ampere r B π µ 2 0Ι = Antara dua konduktor akan bekerja gaya interaksi. Gaya ini bekerja dalam banyak situasi di mana kawat dialiri arus tertutup anatara kawat yang satu dengan kawat yang lainnya. Ini juga merupakan dasar penting dalam hubungannya dengan definisi Hukum Ampere. Gambar (1) menunjukkan sebagian kecil dari dua buah kawat panjang lurus sejajar yang dipisahkan oleh jarak r dan membawa arus I dan I’, dan menunjuk arah yang sama. Setiap konduktor terletak di medan magnet yang disusun terhadap yang lain, sehingga mengalami gaya. Diagram ini menunjukkan beberapa garis medan yang diakibatkan oleh arus pada konduktor
- 3. yang lebih lemah.Konduktor yang lebih lemah menghasilkan sebuah medan magnet B , pada posisi di atas konduktor memiliki besar Dengan menerapkan kaidah tangan kanan, dapat ditunjukkan bahwa gaya yang bekerja pada konduktor yang berada di atas (seperti pada gambar) memiliki arah ke bawah. 2. Potensial Vektor 2.1 Pembuktian 0=•∇ B (Divergen B = 0) Berdasarkan persamaan Biot Savart dapat dinyatakan bahwa medan listrik disekitar kawat besarnya adalah ∫ × = L rt dl r uuI B 2 0 ˆˆ 4π µ ∫ × •∇=⋅∇ L rt r udluI B 2 0 ˆˆ 4π µ ∫ × •∇=⋅∇ L r r ulId B 2 0 ˆ 4π µ ∫ × •∇=⋅∇ L r r uldI B 2 0 ˆ 4π µ Sementara itu berdasarkan identitas vektor dapat dinyatakan bahwa ( ) ×∇•−×∇• = ו∇ 222 ˆˆˆ r u ldld r u r u ld rrr Mengingat ld tidak mengandung (x,y,z), maka 0=×∇ ld , disamping itu r B π µ 2 0Ι =
- 4. 0 ˆ 2 =×∇ r ur Sehingga, 0=•∇ B (terbukti) 2.2Perumusan Potensial Vektor (A) Untuk Menghitung Besarnya A Untuk medan magnet JB 0µ=×∇ , tetapi 0=•∇ B . Karena divergensi dari suatu curl adalah nol, maka dengan alas an tersebut dapat diasumsikan bahwa medan magnet dapat dituliskan: AB ×∇= A disebut sebaga potensial vector magnetic (weber/m). sekarang akan ditentukan A sebagai berikut: Berdasarkan hokum Biot-Savart, maka medan B adalah: ∫ ∫ × == 2 0 2 0 ˆ 4 ˆ 4 r ldI dl r I B rrt µ π µµµ π µ Melalui identitas vector dapat dinyatakan: ×∇= ×∇ − ×∇ ×∇= ∇×−= × r ld r ld r ld r ld r ld r 1ˆ 2 µ ....(1) Karena 0=×∇ ld maka persamaan menjadi: ×∇= × r ld r ld r 2 ˆµ , Sehingga B dapat dinyatakan dengan, ∫ ×∇= r ldI B π µ 4 0 ×∇= ∫ r ldI B π µ 4 0 ……………………………………………..... (2) Dari persamaan (1) dan (2) dapat dituliskan bahwa;
- 5. ∫= c r ldI A π µ 4 0 …………………………………………………….. (3) Persamaan (3)adalah A untuk arus filament (kawat berarus). Bila distribusi arusnya volume dan permukaan maka potensial vector yang dihasilkan masing- masing adalah: ∫= V dv r J A π µ 4 0 ∫= S r akd A π µ 4 0 Sementara itu potensial vektor yang dihasilkan oleh titik muatan yang bergerak adalah: r vq A π µ 4 0 = 3 Integral Garis ( )∫ ⋅ λdB 3.1 Pembuktian ∫∫ Ω−=⋅ π µ λ 4 0 I dB Garis gaya dari B yang ditimbulkan oleh arus adalah melingkar. Garis lingkaran ini disebut λ . Seperti yang ditunjukkan gambar berikut: B
- 6. Integral garis Bpada λ dapat dirumuskan ∫ ⋅ λ λdB Apabila ditinjau sebuah ttik P yang berada diluar gambar (diluar lingkaran) maka masing-masing titik dari konduktor dihubungkan dengan titik P sehingga garis penghubung ini membentuk sudut ruang Ω . Jika P digeser searah B sejauh d λ maka sudut ruang Ω akan berubah menjadi Ωd . Perubahan sudut ruang Ωd akan terjadi juga kalau p diam tapi sirkuit bergeser berlawanan arah dengan B sejauh λd pula. Segiempat ABCD, dimana DC = dS dan AD = λλ− Luas ABCD = λλ− x ds Besar sudut ruang yang ditutupi luas ABCD adalah ( ) 2 r rdsd ⋅×− λ Dengan demikian dapat dihitung Ωd ( ) ∫ ⋅×− =Ω S r rdsd d 2 λ ∫ × ⋅−=Ω 2 r rds dd λ
- 7. Dari ∫ × = S r rdsI B 2 0 4 π µ Maka, B I dd 0 4 µ π λ−=Ω Atau Ω−=⋅d I dB π µ λ 4 0 Tanda negatif berarti pengambilan Ω adalah positif pada bagian dari I itu dan B menjauhi rangkaian. Pada sisi yang lain Ω dibayangkan negatif. Dengan demikian integral garis B, ∫ ∫ Ω−=⋅ λ π µ λ d I dB 4 0 3.2 Pembuktian ∫ = 0. λdB Bila Kawat I dan λ Tidak Saling Bergelut Kalau λ tidak menggelut rangkaian arus: I Kalau P bergarak sepanjang λ maka besarnya Ω mula-mula bertambah kemudian mengecil. Jumlah perubahan Ω adalah nol untuk seluruh λ . Sehingga, ∫ =Ω 0d Berarti integral garis B menjadi ∫∫ Ω−=⋅ d I dB π µ 4 0
- 8. 0. 4 0 π µ λ I dB −=⋅∫ 0=⋅∫ λdB 3.3Pembuktian IdB 0µλ =⋅∫ untuk Kawat I dan λ Saling Bergelut I A Q P B Jika P bergerak sampai di Q maka besar perubahan sudut Ω adalah 2π. Kalau P bergerak dari O ke P maka perubahan sudut Ω adalah -2π, sehingga perubahan besar Ω seluruhnya -2π – (2π) = -4π. Harga integral garis B dinyatakan dengan : ∫∫ −=⋅ dl I dlB o π µ 4 ( )π π µ 4 4 −−= Io IdlB Oµ=⋅∫ Di mana I adalah jumlah arus yang menggelut λ atau jumlah yang digelut λ. Karena I = ds⋅∫∫τ Dengan s merupakan luas permukaan Jadi integrasi garis B dapat dinyatakan dengan: IdlB o∫ =⋅ µ 4. Fluks Magnetik Φ 4.1 Hubungan Φ dengan B
- 9. Medan magnetmerupakan suatumedan vector dan dapat dinyatakan dengan garis medan. Misalnya Ad adalah vector elemen luas suatu permukaan S, B adalah vector induksi magnet pada elemen luas tersebut, maka jumlah garis medan (garis gaya) atau fluks magnetic () yang keluar dari permukaan S adalah; ∫=Φ S adB …………………………..(1) Integral pada persamaan (1) merupakan integral permukaan. Persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk: ∫ •=Φ S danB ˆ Atau, ∫ ∫==Φ S S n daBBda .cosθ Dimana adalah sudut antara B dan nˆ , Bn = B cos merupakan komponen B pada arah normal. Sehubungan dengan uraian di atas maka induksi magnet B dapat diartikan sebagai banyaknya garis gaya tiap satuan luas, atau disebut rapat fluks (rapat garis gaya). 4.2 Besarnya Φ yang masuk bidang bola Besarnya Φ yang masuk bidang bola yaitu : ∫ ==Φ 0adB Nilai nol pada fluks magnet disebabkan oleh jumlah garis gaya yang masuk sama dengan jumlah garis gaya yang keluar, sehingga jumlahnya sama dengan nol. 5. Potensial Skalar Magnetik (Vm) 5.1 Hubungan B dengan Vm Pada daerah dimana 0≠J maka 0≠×∇ B , hal ini dapat dibuktikan melalui penurunan persamaan berikut. JB •=×∇ 0µ ..................................................(1)
- 10. Sedangkan pada daerah0=J maka 0=×∇ B . Seperti yang tampak pada daerah diluar kawat berarus, B dapat ditentukan dengan potensial skalar magnetik (Vm). Seperti halnya pada hubungan kuat medan listrik dengan potensial yang dirumuskan seperti persamaan berikut. mVE −∇= ........................................................(2) Maka untuk medan magnet B dapat ditentukan potensial skalar magnetik (Vm) dengan hubungan sesuai dengan hubungan E dan V, sebagai berikut. mVB −∇= .......................................................(3) 5.2 Besarnya Vm Dengan dasar integral garis dari B yang perumusannya sebagai berikut. ∫ ∫ Ω−=• λ π µ λ d I dB 4 0 ....................................(4a) atau Ω−=• d I dB π µ λ 4 0 .........................................(4b) dan λd dapat diubah ke dalam bentuk dx , dy , dan dz , serta meburut kalkulus dapat ditulis sebagai berikut. dz z dy y dx x d ∂ Ω∂ + ∂ Ω∂ + ∂ Ω∂ =Ω ........................(5) dan batas Vm dapat ditentukan dengan sudut ruang Ω , dan pemecahannya adalah sebagai berikut. dz z dy y dx x d ∂ Ω∂ + ∂ Ω∂ + ∂ Ω∂ =Ω ( )kdzjdyidx z k y j x i ++• ∂ Ω∂ + ∂ Ω∂ + ∂ Ω∂ = λdd •Ω∇=Ω ………………………….(6) Berdasarkan persamaan (4b), maka diperoleh persamaan sebagai berikut. Ω−=• d I dB π µ λ 4 0 ( )λ π µ λ d I dB •Ω∇−=• 4 0
- 11. Ω∇−= π µ 4 0 I B ......................................(7) Selanjutnya substitusikanpersamaan (3) ke persamaan (7), maka akan diperoleh sebagai berikut. Ω∇−=∇− π µ 4 0 I Vm ..............................(8a) atau Ω= π µ 4 0 I Vm .........................................(8b) 6. Pembuktian JB •=×∇ 0µ Berdasarkan Hukum Stock hubungan integral garis dan integral luas sebuah vektor adalah sebagai berikut. ( )∫ ∫∫ •×∇=• S dsBdB λ ................................................(9) dengan λ adalah garis batas luas integrala garis dari B, dimana ∫ ∫∫ •=• S dsJdB 0µλ ...................................................(10) Jadi dengan mensubstitusikan persamaan (10) ke persamaan (9), maka ( ) ∫∫∫∫ •=•×∇ SS dsJdsB 0µ ( ) dsJdsB •=•×∇ 0µ ( ) JB 0µ=×∇ ..............................................................(11)