1
I. Standar Kompetensi
Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan
masalah
II. Kompetensi Dasar
• Memahami konsep fungsi
• Mendeskripsikan dan menganalisis berbagai konsep dan prinsip fungsi eksponensial dan
logaritma serta menggunakannya dalam menyelesaikan masalah
• Menganalisis data sifat-sifat grafik fungsi eksponensial dan logaritma dari suatu
permasalahan dan menerapkannya dalam pemecahan masalah.
• Menyajikan grafik fungsi eksponensial dan logaritma dalam memecahkan masalah nyata
terkait pertumbuhan dan penyusutan.
• Menggunakan sifat dan aturan pangkat, akar, eksponen dan logaritma dalam
penyelesaian masalah
• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan
pangkat, akar, eksponen dan logaritma
III. Peta Konsep
A. Pengertian Fungsi Eksponen
Kegunaan Fungsi Eksponen dalam kehidupan sehari-hari : Mendiskripsikan Bunga Majemuk,
pertumbuhan populasi dan peluruhan zat radioaktif.
Fungsi Eksponen adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap 𝑥 anggota himpunan
bilangan real dengan tepat satu anggota himpunan bilangan real 𝑘𝑎𝑥
, dengan k suatu
konstanta dan a bilangan pokok (basis), dengan a > 0 dan a ≠1
Diagram Panah
a. Grafik Fungsi Eksponen 𝒇(𝒙) = 𝒌𝒂𝒙
, 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 > 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ∈ 𝑹
Contoh 1:
Lukislah grafik fungsi eksponen berikut ini dalam satu bidang koordinat cartesius :
1. 𝑦 = 2𝑥
dan 𝑦 = 2−𝑥
Bentuk Umum fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau
basis a adalah :
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
, dengan (0 < 𝑎 < 1) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑎 > 1)
𝑥 ka
x
A
B
f
Fungsi Ekspnensial dan Logaritma
Fungsi dan Jenisnya
Relasi dan Fungsi
Unsur-unsur Fungsi
Sifat-sifat Fungsi
Fungsi Eksponensial Fungsi Logaritma
Definisi
Grafik Fungsi
Eksponensial
Aplikasi Fungsi
Eksponensial
Persamaan Eksponen
Definisi
Grafik Fungsi
Logaritma
Persamaan Logaritma
2. 𝑦 = 2𝑥
, 𝑦 = −2𝑥
dan 𝑦 = 2𝑥+1
Jawab :
1. Melukis grafik fungsi eksponen : 𝑦 = 2𝑥
dan 𝑦 = 2−𝑥
𝑥 −2 −1 0 1 2 3
𝑦 = 2𝑥 1
4
𝑦 = 2−𝑥
4
Gambar
2. Melukis grafik fungsi eksponen : 𝑦 = 2𝑥
, 𝑦 = −2𝑥
dan 𝑦 = 2𝑥+1
𝑥 −2 −1 0 1 2 3
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = −2𝑥
𝑦 = 2𝑥+1
Gambar
Jika nilai x makin besar, nilai 𝑦 = 2𝑥
juga makin besar. Sebaliknya, jika nilai x makin
kecil mendekati tak hingga,nilai 𝑦 = 2𝑥
juga makin kecil mendekati nol.
Jadi
Sebuah grafik yang memenuhi pertidaksamaan seperti di atas disebut grafik monoton naik
b. Grafik Fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒌𝒂𝒙
𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝟎 < 𝒂 < 𝟏, 𝒂 ∈ 𝑸 𝒅𝒂𝒏 𝒙 ∈ 𝑹
Melukis grafik fungsi eksponen : 𝑦 = (
1
2
)𝑥
,
𝑥 −2 −1 0 1 2 3
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = −2𝑥
𝑦 = 2𝑥+1
Gambar
Sebuah grafik yang memenuhi pertidaksamaan seperti di atas disebut grafik monoton naik
Setelah mengamati uraian di atas, kita akan memperoleh beberapa pokok penting
tentang fungsi eksponen 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
dan 𝒈(𝒙) = (
𝟏
𝒂
)𝒙
= 𝒂−𝒙
sebagai berikut :
a. Grafik fungsi 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙
dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
terhadap sumbu Y. Hal tersebut dapat dilakukan karena grafik fungsi
eksponen 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
dan 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙
simetris sumbu Y
b. Grafik fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
dan 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙
berpotongan di titik (0,1)
c. Grafik fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
dan 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙
selalu berada di atas sumbu X
d. Sumbu X merupakan asimtot datar bagi kedua grafik fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
dan 𝒈(𝒙) =
𝒂−𝒙
karena grafik itu terus-menerus mendekati sumbu X, tetapi tidak pernah
memotongmya.
e. Fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
dengan a>1 merupakan fungsi monoton naik, sedangkan fungsi
𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙
dengan a >1 merupakan fungsi monoton turun.
B. Penerapan Fungsi Eksponen
a. Pertumbuhan (Pertambahan)
𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑓(𝑥)
≥ 𝑎𝑔(𝑥)
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)
𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑓(𝑥)
≤ 𝑎𝑔(𝑥)
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
𝐽𝑖𝑘𝑎 0 < 𝑎 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑓(𝑥)
≥ 𝑎𝑔(𝑥)
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
𝐽𝑖𝑘𝑎 0 < 𝑎 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑓(𝑥)
≤ 𝑎𝑔(𝑥)
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)
Pertumbuhan secara eksponensial dapat dituliskan dalam fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥
dengan
𝑎 = 𝑝 + 1 dan nilai 𝑝 > 0. Nilai p menyatakan laju pertumbuhan. Jika 𝑎 = 𝑝 +
1 𝑑𝑎𝑛 𝑝 > 0, maka fungsi eksponen 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥
dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑓(𝑥) = 𝑘(𝑝 + 1)𝑥
Secara umum, pertumbuhan secara eksponensial dapat kita nyatakan sebagai berikut :
Misalkan banyak modal populasi atau besaran awal adalah P0. Jika terjadi pertumbuhan
sebesar i (dalam %) aetiap satuan jangka waktu tertentu maka jumlah populasi atau
modal setelah t waktu dapat ditentukan sbb :
𝑷𝒕 = 𝑷𝒐(𝟏 + 𝒊)𝒕
Apabila pertumbuhan terjadi secara kontinu atau terus menerus maka besar populasi
atau modal setelah mengalami pertumbuhan selama t waktu dapat dihitung
menggunakan rumus :
𝑷𝒕 = 𝑷𝒐𝒆𝒊𝒕
dengan e = 2,718281... dan i adalah besarnya pertumbuhan pada periode
tertentu.
Contoh : Lia menabung sebesar Rp 500.000,00 di suatu bank selama 5 tahun dengan
bunga majemuk 10% per tahun. Pada setiap akhir tahun bunga pada tahun yang
bersangkutan ditambahkan dengan uang yang tersimpan sehingga seluruhnya
menjadi modal awal tahun berikutnya. Berapa uang Lia pada akhir tahun ke-5?
b. Peluruhan (Pengurangan atau penyusutan)
Penyusutan secara eksponensial dapat dituliskan dalam fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥
dengan 𝑎 =
1 − 𝑝 dan nilai 0 < 𝑝 < 1. Nilai p menyatakan laju penyusutan. Jika 𝑎 = 1 − 𝑝 , 0 < 𝑝 <
1𝑑𝑎𝑛 𝑝 > 0, maka fungsi eksponen 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥
dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥) =
𝑘(1 − 𝑝)𝑥
Contoh : Pada pukul 05.00 pagi massa suatu radioaktif adalah 0,5 kg. Apabila diketahui
laju peluruhan zat radioaktif tersebut 2% setiap jam, hitujnglah sisa zat radioaktif
itu pada pukul 09.00 pagi.
Latihan Soal :
1. Pada awal tahun 2010, Lusi menabung di bank sebesar Rp 1.000.000,00. Bank
tersebut memberikan bunga majemuk sebesar 9% per tahun. Tentukan besar uang
Lusi setelah akhir tahun 2016?
2. Suatu mesin dibeli seharga Rp 5.000.000,00. Apabila laju penyusutan mesin tersebut
5% setiap tahun, berapa harga mesin tersebut setelah 5 tahun?
3. Suatu rumah dibangun dengan biaya Rp 45.000.000,00. Dengan perkembangan
zaman, harga rumah tersebut naik dengan laju kenaikan 15% per tahun. Tentukan
harga rumah setelah 6 tahun.
4. Masa awal uranium pada pukul 08.00 adalah 150 gram. Setiap setengah jam uranium
menyusut sebesar 2%. Tentukan sisa uranium pada pukul 12.00?
C. Persamaan Eksponen
1. PANGKAT BULAT POSITIF
Jika a  R dan n > 1, n  A maka
an
= a.a.a.a.a.a.a.....a
sebanyak n kali
a disebut bilangan pokok
n disebut pangkat / eksponen
Sifat-sifat eksponen bulat positif
Jika a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif
1. am
. an
= am + n
2. am
: an
= am - n
3. (am
)n
= amn
4. (a.b)m
= am
.bm
5. m
m
m
b
a
b
a
=
)
(
Contoh 1 :
Sederhanakan :
1. a3
.a5
= a3 + 5
= a8
2. a7
: a2
= a7 – 2
= a5
3. (a3
b6
c4
)2
= a3.2
b6.2
c4.2
= a6
b12
c8
4. (a8
: a6
)3
= (a8 – 6
)3
= a2.3
= a6
5.
12
8
4
3
2
4
2
5
1
3
4
2
5
3
)
(
)
.
( b
a
b
a
b
a
ab
b
a
=
=
=







 −
−
2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN RASIONAL
m
m
m
m
a
a
a
a
a
−
−
=
=
= 0
0
1
Jadi m
m
a
a
1
=
−
Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan
b
a
dan B
b
a 
, dan 0

b .
m
n
a merupakan bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
Contoh 2 :
1. Nyatakan dengan eksponen positif :
a. 5
5 1
a
a =
−
b. 2
5
5
2
4
3
12
a
b
b
a
=
−
−
2. Sederhanakan :
a. 2
4
4
2
2
5
6
3
a
b
b
a
b
a
b
a
=
= −
b.
b
b
b
b
b
1
1
2
5
5
2
2
5
5
6
5
4
=
=








=







 −
−
−
c. 3
14
3
4
6
3
4
2
12
3
4
2
3
2
9
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
−
3. Sederhanakan :
a. ( ) 16
2
2
2
8 4
3
4
.
3
3
4
3
3
4
=
=
=
=
b. ( ) ( ) ( ) ( ) 12
3
.
2
3
2
27
.
32 2
3
1
3
5
2
5
3
1
5
2
=
=
=
Tugas I
1. Sederhanakan :
a. ( )( )2
2
3
6
4
3
.
.
.
.
. c
b
a
c
b
a
b.
5
3
2
3
6
5
















y
x
y
x
c. 4
6
3
5
9
27
−
−
q
p
q
p
d.
2
3
1
3
2
3
1
2
−
−
−
−










b
a
b
a
2. Tentukan nilai dari :
a. ( ) ( ) 2
1
3
1
25
64
−
b.
2
3
2
2
3
3
1
9
.
64
9
.
64
−
3. Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif
a. 1
2
2
1
−
−
−
−
−
+
y
x
y
x
b. 2
3
4
0
1
2
−
−
−
−
−
+
+
+
+
a
a
a
a
a
a
4. Hitunglah :
3
27
.
6
27
5
16
.
8
16
3
1
3
2
2
1
4
3
+
−
−
+
−
−
5. Jika diketahui 3
2
1
2
1
=
+
−
x
x . Tentukan nilai dari 1
−
+ x
x .
Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya(eksponen), bilangan
pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen :
1. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙)
= 𝟏
Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini :
1. 43𝑥+6 = 1
2. 3
𝑥2−4𝑥−5
3𝑥−1 = 1
Jawab :
2. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙)
= 𝒂𝒑
Jika 𝑎𝑓(𝑥)
= 1 (𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 0
Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini :
1. √5−2𝑥+2 − 625 = 0
2. (
3−1
3𝑥−2)
2
= √
1
9
3
3. 3𝑥3−10𝑥2−11𝑥−3
= √
1
729
Jawab :
3. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙)
= 𝒃𝒇(𝒙)
Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini :
1.52𝑥−6
= 32𝑥−6
2.5𝑥2+𝑥−42
= 4𝑥2+𝑥−42
3.
1
9
32𝑥2−4
= 52𝑥2−6
Jawab:
4. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙)
= 𝒃𝒇(𝒙)
Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh :
a. 62𝑥−4 = 362𝑥+3
b. 4𝑥−2
= √83𝑥+1
3
Jawab :
5. Bentuk : {𝒉(𝒙)}𝒇(𝒙)
= {𝒉(𝒙)}𝒈(𝒙)
Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh 4 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini :
Jika 𝑎𝑓(𝑥)
= 𝑎𝑝 (𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 𝑝
Jika 𝑎𝑓(𝑥)
= 𝑏𝑓(𝑥) (𝑎, 𝑏 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 𝑏) maka
𝑓(𝑥) = 0 Jika {ℎ(𝑥)}𝑓(𝑥)
= {ℎ(𝑥)}𝑔(𝑥)
maka kemungkinan
penyelesaiannya :
1. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
2. ℎ(𝑥) = 1
3. ℎ(𝑥) = 0, asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya positif
4. ℎ(𝑥) = −1, asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya ganjil atau
keduanya genap
Jika 𝑎𝑓(𝑥)
= 𝑏𝑓(𝑥) (𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
1. (𝑥 − 10)𝑥2−9
= (𝑥 − 10)3−𝑥
2. (𝑥2
− 6𝑥 + 8)2𝑥+1
= (𝑥2
− 6𝑥 + 8)𝑥−2
Jawab :
6. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙)
= 𝒃𝒈(𝒙)
Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh :
1. 3𝑥+2
= 23𝑥
Jawab :
7. Bentuk : 𝐀{𝐚𝐟(𝐱)
}
𝟐
+ 𝐁{𝐚𝐟(𝐱)
} + 𝐂 = 𝟎
Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini :
1. 32𝑥
− 2 ∙ 3𝑥+1
− 27 = 0
2. 4𝑥+1
− 10 ∙ 2𝑥+1
+ 16 = 0
3. 52𝑥−2
+ 4 ∙ 5𝑥+1
= 3.125
Jawab :
8. Bentuk : 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
= 𝟏, 𝒇(𝒙) ≠ 𝒈(𝒙)
Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh :
1. (4𝑥 − 3)3𝑥+6
= 1
2. (5 − 2𝑥)3+2𝑥−𝑥2
= 1
Jawab :
Jika 𝐴{𝑎𝑓(𝑥)
}
2
+ 𝐵{𝑎𝑓(𝑥)
} + 𝐶 = 0 maka penyelesaiannya
Misal, 𝑎𝑓(𝑥)
= 𝑥 maka persamaan semula ekuivalen dgn :
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0
Jika 𝑎𝑓(𝑥)
= 𝑏𝑓(𝑥) (𝑎 ≤ 𝑏; 𝑎, 𝑏 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎, 𝑏 ≠ 1 𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑓(𝑥) ≠ 𝑔(𝑥)) maka
log 𝑎𝑓(𝑥)
= log 𝑏𝑔(𝑥)
Jika 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
= 𝟏, 𝒇(𝒙) ≠ 𝒈(𝒙) maka kemungkinan
penyelesaiannya :
1. 𝑔(𝑥) = 0
2. 𝑓(𝑥) = 1
3. 𝑓(𝑥) = −1, asalkan 𝑔(𝑥) genap
9. Bentuk : 𝒈(𝒙)𝒇(𝒙)
= 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙)
Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh :
(2𝑥
− 2𝑥 − 3)6−2𝑥
= (2 − 𝑥2
)6−2𝑥
D. Fungsi Logaritma
Logaritma adalah invers dari perpangkatan atau eksponen. Oleh sebab itu, fungsi
logaritma adalah invers dari fungsi eksponen.
Secara Umum fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut :
Contoh 7:
1. Lukislah grafik fungsi logaritma 𝑦 = 3log 𝑥 dan fungsi eksponen 𝑦 = 3𝑥
dalam satu
bidang koordinat kartesius.
2. Lukislah grafik fungsi logaritma 𝑦 = 3log 𝑥 dan fungsi logaritma 𝑦 =
1
3log 𝑥
dalam
satu bidang koordinat kartesius.
Jawab :
1. Melukis grafik fungsi logaritma 𝑦 = 3log 𝑥 dan fungsi eksponen 𝑦 = 3𝑥
𝑥 1
9
1
3
1 3 9
𝑦 = 3log 𝑥 -2 -1 0 1 2
𝑥 −2 −1 0 1 2
𝑦 = 3𝑥
9
1
3
1 1 3 9
Gambar
2. Melukis grafik fungsi logaritma 𝑦 = 3log 𝑥 dan fungsi logaritma 𝑦 =
1
3log 𝑥
𝑥 1
9
1
3
1 3 9
𝑦 = 3log 𝑥 -2 -1 0 1 2
𝑦 =
1
3log 𝑥
2 1 0 -1 -2
Gambar
Jika 𝒈(𝒙)𝒇(𝒙)
= 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙)
maka kemungkinan penyelesaiannya :
1. 𝑔(𝑥) = 0 untuk 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 ℎ(𝑥) ≠ 0
2. 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥)
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠
1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
𝑦 = 𝑎 log 𝑥
Fungsi logaritma 𝑦 = 𝑎 log 𝑥 merupakan fungsi invers
dari fungsi eksponen 𝑦 = 𝑎𝑥
𝑦 = 𝑎 log 𝑥
E. PERSAMAAN LOGARITMA
Persamaan logaritma didefinisikan sebagai berikut :
Beberapa macam bentuk persamaan logaritma
1. Bentuk : 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒑
Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh 8:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :
1. 2log(3𝑥−2)(𝑥+2) = 4
2. log(𝑥 − 1) + log(𝑥 − 2) = log 6
3. (3𝑥 + 2)log 8 = 5log 2
Jawab :
2. Bentuk : 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙)
Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh 9:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :
1. 2log (24−3𝑥) = 3log (24−3𝑥)
2. 7log (𝑥2+5𝑥−23) = 5log (𝑥2+5𝑥−23)
3. 5log (5𝑥 + 51−𝑥 − 5) = 3log (5𝑥 + 51−𝑥 − 5)
Jawab :
3. Bentuk : 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒈(𝒙)
Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh10 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :
1. 5log (𝑥−3) = 5log (𝑥+1) − 2log 2
2. log (2𝑥2
+ 3) = 1 + log (𝑥 + 1)
3. log {log 7 + log (𝑥 − 3)} = log log (2𝑥 + 1)
Jawab
Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya
mengandung variabel 𝑥 dan tidak menutup kemungkinan
bilangan pokoknya juga mengandung variabel 𝑥.
Jika 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒑 maka 𝒇 (𝒙) = 𝒑 asalkan 𝒇(𝒙) > 0
Jika 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) dengan (𝒂 ≠ 𝒃) asalkan 𝒇(𝒙) = 𝟏
Jika 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒈(𝒙) maka 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) asalkan 𝒇(𝒙)
dan 𝒈(𝒙) keduanya positif
4. Bentuk : 𝒉(𝒙)𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)𝒍𝒐𝒈 𝒈(𝒙)
Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh 11:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :
1. 𝑥log (6𝑥+5) = 𝑥log (3𝑥+7)
2. (5𝑥 − 2)log (4𝑥−3) = (5𝑥 − 2)log (2𝑥−1)
3. 𝑥log (𝑥2+3𝑥−5) = 𝑥log (3𝑥2−4𝑥+1)
4.
2log (2𝑥−3)
2log 𝑥
− 𝑥log (𝑥+6) +
1
(𝑥+2)log 𝑥
= 1
Jawab :
5. Bentuk : 𝑨 {𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙}
𝟐
+ 𝑩{𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙} + 𝑪 = 𝟎
Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut :
Contoh 12:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :
1. log2
x2
− log x3
− 9 = 0
2. 3log 𝑥 − 2 = 𝑥log 38
3. 9log 𝑥 − 𝑥log 3 =
1
2
Jawab :
Latihan Soal
1. 3
2
8 3
2
=
− − x
x
2. 0
10
3
3 1
2
=
−
− +
x
x
3. 0
10
5
5 2
=
−
+ −x
x
4. 36
3
35
=
− x
x
5. 0
9
3
.
82
3 2
2
=
+
−
+ x
x
6. 0
7
9
3
.
2 1
=
+
−
+ x
x
7. 0
15
5
8
5
1
2
=
+
− x
x
Jika 𝒉(𝒙)𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)𝒍𝒐𝒈 𝒈(𝒙) maka 𝒇(𝒙) =
𝒈(𝒙) asalkan 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) keduanya positif serta (𝒉(𝒙) >
0 𝑑𝑎𝑛 ℎ(𝒙) ≠ 𝟏).
Jika 𝑨 {𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙}
𝟐
+ 𝑩{𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙} + 𝑪 = dengan (𝒂 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠
1, 𝐴, 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐶 ∈ 𝑅). Agar lebih mudah dalam menyelesaikan
dengan pemisalan, 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝒚
8. 2
2
.
3
4 1
1
−
=
+ +
+ x
x
9. 32
2
.
24
2 1
1
2
=
− −
+ x
x
10. 0
3
3
.
2
9 1
1
=
−
− −
− x
x
Daftar Pustaka
Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Suwah,Sembiring.2012.Matematika X. Penerbit Yrama Widya,Erlangga.
Djumanta,Wahyudin.2008.Matematika X. Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Sukino.Matematika X. Jakarta : Penerbit erlangga

Persamaan Eksponen.pdf

  • 1.
    1 I. Standar Kompetensi Menggunakanaturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah II. Kompetensi Dasar • Memahami konsep fungsi • Mendeskripsikan dan menganalisis berbagai konsep dan prinsip fungsi eksponensial dan logaritma serta menggunakannya dalam menyelesaikan masalah • Menganalisis data sifat-sifat grafik fungsi eksponensial dan logaritma dari suatu permasalahan dan menerapkannya dalam pemecahan masalah. • Menyajikan grafik fungsi eksponensial dan logaritma dalam memecahkan masalah nyata terkait pertumbuhan dan penyusutan. • Menggunakan sifat dan aturan pangkat, akar, eksponen dan logaritma dalam penyelesaian masalah • Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan pangkat, akar, eksponen dan logaritma III. Peta Konsep A. Pengertian Fungsi Eksponen Kegunaan Fungsi Eksponen dalam kehidupan sehari-hari : Mendiskripsikan Bunga Majemuk, pertumbuhan populasi dan peluruhan zat radioaktif. Fungsi Eksponen adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap 𝑥 anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota himpunan bilangan real 𝑘𝑎𝑥 , dengan k suatu konstanta dan a bilangan pokok (basis), dengan a > 0 dan a ≠1 Diagram Panah a. Grafik Fungsi Eksponen 𝒇(𝒙) = 𝒌𝒂𝒙 , 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 > 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ∈ 𝑹 Contoh 1: Lukislah grafik fungsi eksponen berikut ini dalam satu bidang koordinat cartesius : 1. 𝑦 = 2𝑥 dan 𝑦 = 2−𝑥 Bentuk Umum fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah : 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , dengan (0 < 𝑎 < 1) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑎 > 1) 𝑥 ka x A B f Fungsi Ekspnensial dan Logaritma Fungsi dan Jenisnya Relasi dan Fungsi Unsur-unsur Fungsi Sifat-sifat Fungsi Fungsi Eksponensial Fungsi Logaritma Definisi Grafik Fungsi Eksponensial Aplikasi Fungsi Eksponensial Persamaan Eksponen Definisi Grafik Fungsi Logaritma Persamaan Logaritma
  • 2.
    2. 𝑦 =2𝑥 , 𝑦 = −2𝑥 dan 𝑦 = 2𝑥+1 Jawab : 1. Melukis grafik fungsi eksponen : 𝑦 = 2𝑥 dan 𝑦 = 2−𝑥 𝑥 −2 −1 0 1 2 3 𝑦 = 2𝑥 1 4 𝑦 = 2−𝑥 4 Gambar 2. Melukis grafik fungsi eksponen : 𝑦 = 2𝑥 , 𝑦 = −2𝑥 dan 𝑦 = 2𝑥+1 𝑥 −2 −1 0 1 2 3 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = −2𝑥 𝑦 = 2𝑥+1 Gambar Jika nilai x makin besar, nilai 𝑦 = 2𝑥 juga makin besar. Sebaliknya, jika nilai x makin kecil mendekati tak hingga,nilai 𝑦 = 2𝑥 juga makin kecil mendekati nol. Jadi Sebuah grafik yang memenuhi pertidaksamaan seperti di atas disebut grafik monoton naik b. Grafik Fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒌𝒂𝒙 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝟎 < 𝒂 < 𝟏, 𝒂 ∈ 𝑸 𝒅𝒂𝒏 𝒙 ∈ 𝑹 Melukis grafik fungsi eksponen : 𝑦 = ( 1 2 )𝑥 , 𝑥 −2 −1 0 1 2 3 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = −2𝑥 𝑦 = 2𝑥+1 Gambar Sebuah grafik yang memenuhi pertidaksamaan seperti di atas disebut grafik monoton naik Setelah mengamati uraian di atas, kita akan memperoleh beberapa pokok penting tentang fungsi eksponen 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 dan 𝒈(𝒙) = ( 𝟏 𝒂 )𝒙 = 𝒂−𝒙 sebagai berikut : a. Grafik fungsi 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 terhadap sumbu Y. Hal tersebut dapat dilakukan karena grafik fungsi eksponen 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 dan 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙 simetris sumbu Y b. Grafik fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 dan 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙 berpotongan di titik (0,1) c. Grafik fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 dan 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙 selalu berada di atas sumbu X d. Sumbu X merupakan asimtot datar bagi kedua grafik fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 dan 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙 karena grafik itu terus-menerus mendekati sumbu X, tetapi tidak pernah memotongmya. e. Fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 dengan a>1 merupakan fungsi monoton naik, sedangkan fungsi 𝒈(𝒙) = 𝒂−𝒙 dengan a >1 merupakan fungsi monoton turun. B. Penerapan Fungsi Eksponen a. Pertumbuhan (Pertambahan) 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑔(𝑥) 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑔(𝑥) 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝐽𝑖𝑘𝑎 0 < 𝑎 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑔(𝑥) 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝐽𝑖𝑘𝑎 0 < 𝑎 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑔(𝑥) 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)
  • 3.
    Pertumbuhan secara eksponensialdapat dituliskan dalam fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥 dengan 𝑎 = 𝑝 + 1 dan nilai 𝑝 > 0. Nilai p menyatakan laju pertumbuhan. Jika 𝑎 = 𝑝 + 1 𝑑𝑎𝑛 𝑝 > 0, maka fungsi eksponen 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑘(𝑝 + 1)𝑥 Secara umum, pertumbuhan secara eksponensial dapat kita nyatakan sebagai berikut : Misalkan banyak modal populasi atau besaran awal adalah P0. Jika terjadi pertumbuhan sebesar i (dalam %) aetiap satuan jangka waktu tertentu maka jumlah populasi atau modal setelah t waktu dapat ditentukan sbb : 𝑷𝒕 = 𝑷𝒐(𝟏 + 𝒊)𝒕 Apabila pertumbuhan terjadi secara kontinu atau terus menerus maka besar populasi atau modal setelah mengalami pertumbuhan selama t waktu dapat dihitung menggunakan rumus : 𝑷𝒕 = 𝑷𝒐𝒆𝒊𝒕 dengan e = 2,718281... dan i adalah besarnya pertumbuhan pada periode tertentu. Contoh : Lia menabung sebesar Rp 500.000,00 di suatu bank selama 5 tahun dengan bunga majemuk 10% per tahun. Pada setiap akhir tahun bunga pada tahun yang bersangkutan ditambahkan dengan uang yang tersimpan sehingga seluruhnya menjadi modal awal tahun berikutnya. Berapa uang Lia pada akhir tahun ke-5? b. Peluruhan (Pengurangan atau penyusutan) Penyusutan secara eksponensial dapat dituliskan dalam fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥 dengan 𝑎 = 1 − 𝑝 dan nilai 0 < 𝑝 < 1. Nilai p menyatakan laju penyusutan. Jika 𝑎 = 1 − 𝑝 , 0 < 𝑝 < 1𝑑𝑎𝑛 𝑝 > 0, maka fungsi eksponen 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑘(1 − 𝑝)𝑥 Contoh : Pada pukul 05.00 pagi massa suatu radioaktif adalah 0,5 kg. Apabila diketahui laju peluruhan zat radioaktif tersebut 2% setiap jam, hitujnglah sisa zat radioaktif itu pada pukul 09.00 pagi. Latihan Soal : 1. Pada awal tahun 2010, Lusi menabung di bank sebesar Rp 1.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga majemuk sebesar 9% per tahun. Tentukan besar uang Lusi setelah akhir tahun 2016? 2. Suatu mesin dibeli seharga Rp 5.000.000,00. Apabila laju penyusutan mesin tersebut 5% setiap tahun, berapa harga mesin tersebut setelah 5 tahun? 3. Suatu rumah dibangun dengan biaya Rp 45.000.000,00. Dengan perkembangan zaman, harga rumah tersebut naik dengan laju kenaikan 15% per tahun. Tentukan harga rumah setelah 6 tahun. 4. Masa awal uranium pada pukul 08.00 adalah 150 gram. Setiap setengah jam uranium menyusut sebesar 2%. Tentukan sisa uranium pada pukul 12.00? C. Persamaan Eksponen 1. PANGKAT BULAT POSITIF Jika a  R dan n > 1, n  A maka an = a.a.a.a.a.a.a.....a sebanyak n kali a disebut bilangan pokok n disebut pangkat / eksponen Sifat-sifat eksponen bulat positif
  • 4.
    Jika a danb bilangan real, m dan n bilangan bulat positif 1. am . an = am + n 2. am : an = am - n 3. (am )n = amn 4. (a.b)m = am .bm 5. m m m b a b a = ) ( Contoh 1 : Sederhanakan : 1. a3 .a5 = a3 + 5 = a8 2. a7 : a2 = a7 – 2 = a5 3. (a3 b6 c4 )2 = a3.2 b6.2 c4.2 = a6 b12 c8 4. (a8 : a6 )3 = (a8 – 6 )3 = a2.3 = a6 5. 12 8 4 3 2 4 2 5 1 3 4 2 5 3 ) ( ) . ( b a b a b a ab b a = = =         − − 2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN RASIONAL m m m m a a a a a − − = = = 0 0 1 Jadi m m a a 1 = − Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan b a dan B b a  , dan 0  b . m n a merupakan bilangan dengan pangkat tak sebenarnya. Contoh 2 : 1. Nyatakan dengan eksponen positif : a. 5 5 1 a a = − b. 2 5 5 2 4 3 12 a b b a = − − 2. Sederhanakan : a. 2 4 4 2 2 5 6 3 a b b a b a b a = = − b. b b b b b 1 1 2 5 5 2 2 5 5 6 5 4 = =         =         − − − c. 3 14 3 4 6 3 4 2 12 3 4 2 3 2 9 x x x x x x x = = = − 3. Sederhanakan : a. ( ) 16 2 2 2 8 4 3 4 . 3 3 4 3 3 4 = = = = b. ( ) ( ) ( ) ( ) 12 3 . 2 3 2 27 . 32 2 3 1 3 5 2 5 3 1 5 2 = = =
  • 5.
    Tugas I 1. Sederhanakan: a. ( )( )2 2 3 6 4 3 . . . . . c b a c b a b. 5 3 2 3 6 5                 y x y x c. 4 6 3 5 9 27 − − q p q p d. 2 3 1 3 2 3 1 2 − − − −           b a b a 2. Tentukan nilai dari : a. ( ) ( ) 2 1 3 1 25 64 − b. 2 3 2 2 3 3 1 9 . 64 9 . 64 − 3. Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif a. 1 2 2 1 − − − − − + y x y x b. 2 3 4 0 1 2 − − − − − + + + + a a a a a a 4. Hitunglah : 3 27 . 6 27 5 16 . 8 16 3 1 3 2 2 1 4 3 + − − + − − 5. Jika diketahui 3 2 1 2 1 = + − x x . Tentukan nilai dari 1 − + x x . Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya(eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel. Ada beberapa bentuk persamaan eksponen : 1. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙) = 𝟏 Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini : 1. 43𝑥+6 = 1 2. 3 𝑥2−4𝑥−5 3𝑥−1 = 1 Jawab : 2. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒂𝒑 Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 1 (𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 0
  • 6.
    Himpunan penyelesaiannya dapatditentukan dengan sifat berikut : Contoh 2: Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini : 1. √5−2𝑥+2 − 625 = 0 2. ( 3−1 3𝑥−2) 2 = √ 1 9 3 3. 3𝑥3−10𝑥2−11𝑥−3 = √ 1 729 Jawab : 3. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒃𝒇(𝒙) Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh 3: Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini : 1.52𝑥−6 = 32𝑥−6 2.5𝑥2+𝑥−42 = 4𝑥2+𝑥−42 3. 1 9 32𝑥2−4 = 52𝑥2−6 Jawab: 4. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒃𝒇(𝒙) Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh : a. 62𝑥−4 = 362𝑥+3 b. 4𝑥−2 = √83𝑥+1 3 Jawab : 5. Bentuk : {𝒉(𝒙)}𝒇(𝒙) = {𝒉(𝒙)}𝒈(𝒙) Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh 4 : Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini : Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝 (𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 𝑝 Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑓(𝑥) (𝑎, 𝑏 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 𝑏) maka 𝑓(𝑥) = 0 Jika {ℎ(𝑥)}𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥)}𝑔(𝑥) maka kemungkinan penyelesaiannya : 1. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 2. ℎ(𝑥) = 1 3. ℎ(𝑥) = 0, asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya positif 4. ℎ(𝑥) = −1, asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya ganjil atau keduanya genap Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑓(𝑥) (𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
  • 7.
    1. (𝑥 −10)𝑥2−9 = (𝑥 − 10)3−𝑥 2. (𝑥2 − 6𝑥 + 8)2𝑥+1 = (𝑥2 − 6𝑥 + 8)𝑥−2 Jawab : 6. Bentuk : 𝒂𝒇(𝒙) = 𝒃𝒈(𝒙) Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh : 1. 3𝑥+2 = 23𝑥 Jawab : 7. Bentuk : 𝐀{𝐚𝐟(𝐱) } 𝟐 + 𝐁{𝐚𝐟(𝐱) } + 𝐂 = 𝟎 Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh 5: Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini : 1. 32𝑥 − 2 ∙ 3𝑥+1 − 27 = 0 2. 4𝑥+1 − 10 ∙ 2𝑥+1 + 16 = 0 3. 52𝑥−2 + 4 ∙ 5𝑥+1 = 3.125 Jawab : 8. Bentuk : 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) = 𝟏, 𝒇(𝒙) ≠ 𝒈(𝒙) Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh : 1. (4𝑥 − 3)3𝑥+6 = 1 2. (5 − 2𝑥)3+2𝑥−𝑥2 = 1 Jawab : Jika 𝐴{𝑎𝑓(𝑥) } 2 + 𝐵{𝑎𝑓(𝑥) } + 𝐶 = 0 maka penyelesaiannya Misal, 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑥 maka persamaan semula ekuivalen dgn : 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑓(𝑥) (𝑎 ≤ 𝑏; 𝑎, 𝑏 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎, 𝑏 ≠ 1 𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑓(𝑥) ≠ 𝑔(𝑥)) maka log 𝑎𝑓(𝑥) = log 𝑏𝑔(𝑥) Jika 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) = 𝟏, 𝒇(𝒙) ≠ 𝒈(𝒙) maka kemungkinan penyelesaiannya : 1. 𝑔(𝑥) = 0 2. 𝑓(𝑥) = 1 3. 𝑓(𝑥) = −1, asalkan 𝑔(𝑥) genap
  • 8.
    9. Bentuk :𝒈(𝒙)𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙) Himpunan penyelesaian nya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh : (2𝑥 − 2𝑥 − 3)6−2𝑥 = (2 − 𝑥2 )6−2𝑥 D. Fungsi Logaritma Logaritma adalah invers dari perpangkatan atau eksponen. Oleh sebab itu, fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen. Secara Umum fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut : Contoh 7: 1. Lukislah grafik fungsi logaritma 𝑦 = 3log 𝑥 dan fungsi eksponen 𝑦 = 3𝑥 dalam satu bidang koordinat kartesius. 2. Lukislah grafik fungsi logaritma 𝑦 = 3log 𝑥 dan fungsi logaritma 𝑦 = 1 3log 𝑥 dalam satu bidang koordinat kartesius. Jawab : 1. Melukis grafik fungsi logaritma 𝑦 = 3log 𝑥 dan fungsi eksponen 𝑦 = 3𝑥 𝑥 1 9 1 3 1 3 9 𝑦 = 3log 𝑥 -2 -1 0 1 2 𝑥 −2 −1 0 1 2 𝑦 = 3𝑥 9 1 3 1 1 3 9 Gambar 2. Melukis grafik fungsi logaritma 𝑦 = 3log 𝑥 dan fungsi logaritma 𝑦 = 1 3log 𝑥 𝑥 1 9 1 3 1 3 9 𝑦 = 3log 𝑥 -2 -1 0 1 2 𝑦 = 1 3log 𝑥 2 1 0 -1 -2 Gambar Jika 𝒈(𝒙)𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙) maka kemungkinan penyelesaiannya : 1. 𝑔(𝑥) = 0 untuk 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 ℎ(𝑥) ≠ 0 2. 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : 𝑦 = 𝑎 log 𝑥 Fungsi logaritma 𝑦 = 𝑎 log 𝑥 merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑦 = 𝑎 log 𝑥
  • 9.
    E. PERSAMAAN LOGARITMA Persamaanlogaritma didefinisikan sebagai berikut : Beberapa macam bentuk persamaan logaritma 1. Bentuk : 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒑 Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh 8: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut : 1. 2log(3𝑥−2)(𝑥+2) = 4 2. log(𝑥 − 1) + log(𝑥 − 2) = log 6 3. (3𝑥 + 2)log 8 = 5log 2 Jawab : 2. Bentuk : 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh 9: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut : 1. 2log (24−3𝑥) = 3log (24−3𝑥) 2. 7log (𝑥2+5𝑥−23) = 5log (𝑥2+5𝑥−23) 3. 5log (5𝑥 + 51−𝑥 − 5) = 3log (5𝑥 + 51−𝑥 − 5) Jawab : 3. Bentuk : 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒈(𝒙) Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh10 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut : 1. 5log (𝑥−3) = 5log (𝑥+1) − 2log 2 2. log (2𝑥2 + 3) = 1 + log (𝑥 + 1) 3. log {log 7 + log (𝑥 − 3)} = log log (2𝑥 + 1) Jawab Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel 𝑥 dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel 𝑥. Jika 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒑 maka 𝒇 (𝒙) = 𝒑 asalkan 𝒇(𝒙) > 0 Jika 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒃𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) dengan (𝒂 ≠ 𝒃) asalkan 𝒇(𝒙) = 𝟏 Jika 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒈(𝒙) maka 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) asalkan 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) keduanya positif
  • 10.
    4. Bentuk :𝒉(𝒙)𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)𝒍𝒐𝒈 𝒈(𝒙) Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh 11: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut : 1. 𝑥log (6𝑥+5) = 𝑥log (3𝑥+7) 2. (5𝑥 − 2)log (4𝑥−3) = (5𝑥 − 2)log (2𝑥−1) 3. 𝑥log (𝑥2+3𝑥−5) = 𝑥log (3𝑥2−4𝑥+1) 4. 2log (2𝑥−3) 2log 𝑥 − 𝑥log (𝑥+6) + 1 (𝑥+2)log 𝑥 = 1 Jawab : 5. Bentuk : 𝑨 {𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙} 𝟐 + 𝑩{𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙} + 𝑪 = 𝟎 Himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan sifat berikut : Contoh 12: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut : 1. log2 x2 − log x3 − 9 = 0 2. 3log 𝑥 − 2 = 𝑥log 38 3. 9log 𝑥 − 𝑥log 3 = 1 2 Jawab : Latihan Soal 1. 3 2 8 3 2 = − − x x 2. 0 10 3 3 1 2 = − − + x x 3. 0 10 5 5 2 = − + −x x 4. 36 3 35 = − x x 5. 0 9 3 . 82 3 2 2 = + − + x x 6. 0 7 9 3 . 2 1 = + − + x x 7. 0 15 5 8 5 1 2 = + − x x Jika 𝒉(𝒙)𝒍𝒐𝒈 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙)𝒍𝒐𝒈 𝒈(𝒙) maka 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) asalkan 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) keduanya positif serta (𝒉(𝒙) > 0 𝑑𝑎𝑛 ℎ(𝒙) ≠ 𝟏). Jika 𝑨 {𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙} 𝟐 + 𝑩{𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙} + 𝑪 = dengan (𝒂 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝐴, 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐶 ∈ 𝑅). Agar lebih mudah dalam menyelesaikan dengan pemisalan, 𝒂𝒍𝒐𝒈 𝒙 = 𝒚
  • 11.
    8. 2 2 . 3 4 1 1 − = ++ + x x 9. 32 2 . 24 2 1 1 2 = − − + x x 10. 0 3 3 . 2 9 1 1 = − − − − x x Daftar Pustaka Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit Erlangga, Jakarta. Suwah,Sembiring.2012.Matematika X. Penerbit Yrama Widya,Erlangga. Djumanta,Wahyudin.2008.Matematika X. Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Sukino.Matematika X. Jakarta : Penerbit erlangga