Semoga bermanfaat ya

1. Garis Singgung Lingkaran | 1
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Banyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari
sebenarnya menggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda,
katrol timba, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing.
Perhatikanlah sebuah sepeda. Sepeda mempunyai dua buah gir, yaitu
gir belakang pada roda dan gir depan pada pedal. Agar roda sepeda
dapat berputar, gir belakang dihubungkan dengan gir depan melalui
rantai. Gir sepeda berbentuk lingkaran. Sedangkan rantai sepeda yang
bersinggungan dengan gir dapat diumpamakan sebagai garis singgung
lingkaran. Apabila jari- jari kedua gir dan jarak antara kedua roda gir
diketahui, maka panjang rantai sepeda dapat ditentukan. Bagaimanakah
caranya?
A. Pengertian Garis Singgung
Perhatikan gambar berikut
Gambar 1
Gambar 1(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung
lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain,
hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada
lingkaran. Pada Gambar 1(b) , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l
melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak
lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik
Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat
dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.

2. Garis Singgung Lingkaran | 2
B. Melukis Garis Singgung
Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah
memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian
berikut.
1. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu
tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik
singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di
titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus
terhadap jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis
singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.
Langkah 1
Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang
diperpanjang hingga titik Q.
Langkah 2
Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang
dengan menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM =
MT.
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran
tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.
Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari
(diameter) yang melalui titik singgungnya.

3. Garis Singgung Lingkaran | 3
Langkah 3
Buatlah busur dengan pusat A dan B sehingga berpotongan di titik
C. Ingat, jari-jarinya harus sama.
Langkah 4
Hubungkan titik C dan P sehingga membentuk garis CP. Garis inilah
yang disebut garis singgung g yang melalui titik P pada lingkaran
dengan pusat O.
2. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik
di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.
Langkah 1
Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan
titik T yang terletak di luar lingkaran.

4. Garis Singgung Lingkaran | 4
Langkah 2
Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan
menempatkan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.
Langkah 3
Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga
memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.
Langkah 4
Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh
AT dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.

5. Garis Singgung Lingkaran | 5
C. Panjang Garis Singgung Lingkaran
Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan
menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di
luar lingkaran.
Perhatikan gambar berikut.
Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik
O. Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena garis
singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang
garis singgung AB dan BC dapat dihitung dengan menggunakan
teorema Pythagoras.
Perhatikan Δ OAB pada . Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras,
yaitu:
Pada ΔOCB juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
Ternyata,
Uraian tersebut menggambarkan definisi berikut.
Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari
sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang
yang sama.

6. Garis Singgung Lingkaran | 6
Contoh soal
Perhatikan gambar berikut.
Jika diketahui jari-jari lingkaran r = 5 cm dan OB = 13 cm, tentukan:
a. Panjang garis singgung AB,
b. Luas ΔOAB
Jawab:
a. Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras sehingga
Jadi, panjang AB adalah 12 cm.
b. Luas ΔOAB
Jadi luas ΔOAB adalah
D. Garis Singgung Dua Lingkaran
Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati
rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi
yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap
sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung
persekutuan lingkaran.
Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai
garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.

7. Garis Singgung Lingkaran | 7
1. Kedudukan Dua lingkaran Secara umum
Kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis,
yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas.
a. Dua Lingkaran Bersinggungan
Gambar 2
Gambar (a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di
dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis
singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar
(b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar.
Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis
singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung
persekutuan luar, yaitu l dan m.
b. Dua Lingkaran Berpotongan
Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh
Gambar 3 mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r
dan s.
Gambar 3

8. Garis Singgung Lingkaran | 8
c. Dua Lingkaran Saling Lepas
Gambar 4 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau
terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis
persekutuan luar, yaitu k dan l dan dua garis persekutuan dalam,
yaitu m dan n.
Gambar 4
2. Garis Singgung Persekutuan Luar
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q
serta jari- jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung
persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah
langkah-langkah berikut.
Langkah 1
Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r
(r < R). Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya.
Langkah 2
Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q
dengan jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari
PQ, sehingga berpotongan di titik M dan N.

9. Garis Singgung Lingkaran | 9
Langkah 3
Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.
Langkah 4
Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.

10. Garis Singgung Lingkaran | 10
Langkah 5
Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R –
r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan
B.
Langkah 6
Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang
kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat
di P pada titik C dan D.
Langkah 7
Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ
sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E
narakgnil rusub halsikuL . dengan pusat di D dan jari-jari AQ
sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F

11. Garis Singgung Lingkaran | 11
Langkah 8
Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D
dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar
dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.
Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Perhatikan
gambar berikut ini.
Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran yang berpusat di P dan Q.
R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran
pertama.
r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran
kedua.
l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB.
k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.
SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang
SQ = l. Panjang SP = AP – BQ = R – r.
AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap)
Sekarang, perhatikan ∆SPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita
bisa meng gunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang
SQ.

12. Garis Singgung Lingkaran | 12
∆SPQ siku-siku di S sehingga
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
adalah:
dengan:
= panjang garis singgung persekutuan luar
= jarak kedua titik pusat lingkaran
= jari-jari lingkaran pertama
= jari-jari lingkaran kedua
Contoh soal
Pada gambar di samping, AB adalah
garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran yang berpusat di P dan Q.
Hitunglah panjang AB.
Jawab :
Dari gambar diperoleh:
jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm,
panjang jari-jari lingkaran pertama, R = 25 cm,
panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm,
panjang garis singgung persekutuan luar = l.
Jadi, panjang garis singgung l adalah 15 cm
, untuk

13. Garis Singgung Lingkaran | 13
3. Garis Singgung Persekutuan Dalam
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan
dalam dua lingkaran berikut ini.
Langkah 1
Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masing-
masing R dan r (r < R), kemudian hubungkan kedua titik pusatnya.
Langkah 2
Buatlah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari
yang panjangnya sama dan harus lebih besar dari 1 2 PQ sehingga
berpotongan di titik M dan N
Langkah 3
Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T.

14. Garis Singgung Lingkaran | 14
Langkah 4
Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT.
Langkah 5
Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r
sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan
B.
Langkah 6
Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga
memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D.
Langkah 7
1) Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga
memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E.

15. Garis Singgung Lingkaran | 15
2) Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga
memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.
Langkah 8
Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF
adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang
berpusat di P dan Q.
b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan gambar berikut ini.
Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua
lingkaran yang berpusat di P dan di Q.
1) R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau
lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang
berpusat di Q atau lingkaran kedua. PS = AS + AP = BQ + AP = r
+ R = R + r.

16. Garis Singgung Lingkaran | 16
2) d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB. • k
adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q.
3) SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan
panjang SQ = panjang AB = d.
4) Oleh karena SQ sejajar AB maka – PSQ = – PAB = 90˚.
5) Sekarang perhatikan ΔPSQ.
Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan – PSQ =
90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk
mencari panjang SQ.
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
adalah:
dengan
= panjang garis singgung persekutuan dalam
= jarak kedua titik pusat lingkaran
= jari-jari lingkaran pertama
= jari-jari lingkaran kedua
Contoh soal
Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan
panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran
tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm.
Jawab : Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut.
Diketahui:
k = 30 cm
R = 14 cm
r = 4 cm

17. Garis Singgung Lingkaran | 17
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm
4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran
Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana
kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu
panjang atau terlalu pendek?
Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap
sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis
singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar berikut ini.
Jika α˚ menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka
besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360˚ – α˚. Kenapa
demikian? Tahukah kamu alasannya? Berdasarkan uraian di atas,
dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan
dua lingkaran. Oleh karena AB = CD maka
Jika α˚ menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka
besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360˚ – α˚. Kenapa
demikian? Tahukah kamu alasannya? Berdasarkan uraian di atas,
dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan
dua lingkaran.
Oleh karena AB = CD maka
Dengan
Panjang sabuk lilitan minimal

18. Garis Singgung Lingkaran | 18
E. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga
Kali ini kita akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan
segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga.
1. Lingkaran Luar Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui
semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis
sumbu sisi-sisi segitiga.
Gambar di samping menunjukkan lingkaran
luar ΔABC dengan pusat O. OA = OB = OC
adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR
adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.
b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga
Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar
suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya.
Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu
harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.
Perhatikan langkah-langkah berikut:
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian,
lukis lah garis sumbu PQ.
2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ
di titik O.
3) Hubungkan O dan Q
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O.
Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.

19. Garis Singgung Lingkaran | 19
2. Lingkaran Dalam Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang
berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga
tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis
bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan lingkaran
dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-
jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut
segitiga.
b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong
ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang
harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu
masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga,

20. Garis Singgung Lingkaran | 20
bukan? Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis
lingkaran dalam segitiga, sebagai berikut:
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR.
Kemudian, lukislah garis bagi ∠P.
2) Lukislah garis bagi ∠Q sehingga memotong garis bagi ∠P di
titik O.
3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari
titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O.
Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.

21. Garis Singgung Lingkaran | 21
Latihan Soal
1. Perhatikan gambar beikut
Hitung panjang garis singgung AB!
Jawab
Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras sehingga
, Jadi panjang garissinggung AB adalah 24
2. Pada gambar di samping,
lingkaran O berjari-jari 7 cm dan
lingkaran P berjari-jari 5 cm.
Tentukan panjang garis singgung
persekutuan luar AB.
Jawab :
Dari soal diketahui: AO = R = 7 cm BP = r = 5 cm Kedua lingkaran
bersinggungan di luar sehingga jarak kedua titik pusat lingkaran
adalah
maka
, Jadi panjang garis singgung AB adalah

22. Garis Singgung Lingkaran | 22
3. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15
cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang
jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari
lingkaran yang lain.
Jawab :
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d =
15 cm.
Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm.
Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran adalah 3 cm maka R = 3 cm.
, Jadipanjang jari-jari yang lain adalah 5 cm.
4. Gambar di samping menunjukkan
penampang 3 buah paralon yang terikat
rapat oleh seutas tali. Jika ketiga paralon
tersebut memiliki ukuran jari- jari yang
sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali
pengikatnya.
Jawab:
Jari-jari = r = 14 cm.
PQ = RS = TU = MN = NO = MO = 2r = 2 × 14 = 28 cm
ΔMNO sama sisi, sehingga ∠MNO = ∠MON
∠OMN = 60˚
∠QNR = ∠SOT = ∠ PMU = 360˚ ∠(∠MNQ + ∠MNO + ∠RNO)
= 360˚ ∠(90˚ + 60˚ + 90˚)
= 360˚ ∠240˚ = 120˚

23. Garis Singgung Lingkaran | 23
Sehingga panjang
panjang tali pengikat paralon
Jadi, panjang tali pengikat paralon tersebut adalah 172 cm
5. Berdasarkan gambar di samping, jika
jari-jari lingkaran 9 cm, hitunglah
panjang lilitan minimalnya!
Jawab:
Jari-jari = 9 cm d = 2r = 2 × 9 = 18 cm
Banyaknya garis singgung = n = 4 buah
Panjang lilitan minimal = nd + πd
= 4 × 18 + 3,14 × 18 = 72 + 56,52
= 128,52 cm
Jadi, panjang lilitan minimalnya adalah 128,52 cm.

24. Garis Singgung Lingkaran | 24
LKS
(LEMBAR KEGIATAN SISWA)
Apakah ada perbedaan antara garis , , dan ?
Jika ya, apa bedanya?
Garis merupakan garis singgung lingkaran . Berdasarkan uraaian
diatas, apa yang dimaksud garis singgung ligkaran?
l
O
m
A
O
C
A
B
A O
Ya/Tidak
NAMA :.......................................
:.......................................
NO :.......................................
:.......................................

25. Garis Singgung Lingkaran | 25
LKS
(LEMBAR KEGIATAN SISWA)
Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua
buah lingkaran, kalian dapat menggunakan teorema phytahoras.
Dari gambar diatas terdapat dua buah lingkaran, yaitu lingkaran satu
(L1) yang berpusat di dan lingkarandua (L2 )yang berpusat di
Jari-jari lingkarang yang berpusat di
Jari-jari lingkarang yang berpusat di
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah
Jarak titik pusat kedua lingkarang adalah
NAMA :.......................................
:.......................................
NO :.......................................
:.......................................

26. Garis Singgung Lingkaran | 26
Langkah-langkah menentukan panjang garis singgung persekutuan
dalam:
Dengan jarak kedua titik pusat jari-jari lingkarang besar , dan jarak
jari-jari ligkarang kecil r maka dapat diketahui rumus garis singgung
persekutuan dalam adalah:
1. Besar sudut adalah ........................ (Ingat pengertian garis singgung)
2. Garis sejajar dengan garis , sehingga sudut sudut ..................
3. Perhatikan segiempat
Garis .................... dan sudut sudut
.............................
Jadi segiempat adalah..............._............... dengan panjang = ...........
dan lebar = ...........
4. Perhatikan !
Membentuk ........................... dan sudut dititik ........................
5. Dengan menggunakan teorema phytagoras, maka:
Karena garis sejajar , maka:
Panjang
Panjang
Panjang