Minggu 3 Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes_compressed.pdf
1. Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes
Minggu ke-3
Mata Kuliah : Teori Peluang
Kode Mata Kuliah : CII2G3
Disusun oleh Tim Dosen MK Teori Peluang
2. 2
Tujuan
Mahasiswa mampu
• menghitung nilai Peluang Bersyarat dan penggunaan Teorema Bayes dalam
penyelesaian beberapa contoh kasus.
Materi :
• Peluang Bersyarat
• Teorema Bayes
3. 3
Pendahuluan
• Permasalahan kebebasan (independence) dan peluang bersyarat (conditional
probability) memainkan peran yang penting dalam teori probabilitas
(peluang)
• Peluang bersyarat merupakan pengetahuan bagaimana suatu informasi
tambahan dapat mengubah pola pikir kita mengenai suatu event dapat terjadi
• Teorema Bayes merupakan aplikasi dari permasalahan peluang bersyarat
untuk memecahkan permasalahan yang biasanya dinyatakan dalam
complicated statements.
4. 4
Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) adalah peluang suatu event terjadi,
jika diketahui event yang lain terjadi lebih dulu
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
P(B|A) =
P(A ∩ B)
P(A)
dengan P(A dan B) = = joint probability dari A dan B P(A)
= marginal probability dari A
P(B) = marginal probability dari B
Probabilitas Event A terjadi jika
diketahui (given) Event B terjadi lebih
dulu
Probabilitas Event B terjadi jika
diketahui (given) Event A terjadi
lebih dulu
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Probabilitas Bersyarat
5. 5
Contoh 1 :
Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali
akan menghasilkan :
a. Angka yang kurang dari 4
b. Angka yang kurang dari 4, dimana angka tersebut
adalah bilangan ganjil
Probabilitas Bersyarat
6. 6
Contoh 1 :
Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali
akan menghasilkan :
a. Angka yang kurang dari 4
b. Angka yang kurang dari 4, dimana angka tersebut
adalah bilangan ganjil
Probabilitas Bersyarat
7. 7
2
1
6
3
6
1
6
1
6
1
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
( =
=
+
+
=
+
+
= P
P
P
B
P
Pemecahan :
a. Misalkan B menyatakan kejadian “kurang dari 4”,
maka
b. Misalkan A menyatakan kejadian “bilangan ganjil”,
maka
2
1
6
3
6
1
6
1
6
1
)
5
(
)
3
(
)
1
(
)
( =
=
+
+
=
+
+
= P
P
P
A
P
3
1
6
2
6
1
6
1
)
3
(
)
1
(
)
( =
=
+
=
+
=
P
P
B
A
P
B = {1, 2, 3}
A = {1, 3, 5} A ∩ B = {1, 3}
Probabilitas Bersyarat
9. 9
Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi CD player, jika diketahui mobil
tersebut juga dilengkapi AC ?
Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nya dilengkapi
dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CD player (CD) dan 20%
dilengkapi kedua alat tersebut.
Contoh 2 :
Probabilitas Bersyarat
10. 10
No CD
CD Total
AC 0.2 0.5 0.7
No AC 0.2 0.1 0.3
Total 0.4 0.6 1.0
Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70%
nya dilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi
dengan CD player (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat
tersebut.
Probabilitas Bersyarat
11. 11
No CD
CD Total
AC 0.2 0.5 0.7
No AC 0.2 0.1 0.3
Total 0.4 0.6 1.0
P(CD|AC) =
P(CDandAC)
P(AC)
=
0.2
0.7
= 0.2857
Probabilitas Bersyarat
12. 12
P(AC dan CD) = 0.2
P(AC dan CD’) = 0.5
P(AC’ dan CD’) = 0.1
P(AC’ dan CD) = 0.2
7
.
0
5
.
0
3
.
0
2
.
0
3
.
0
1
.
0
Mobil
7
.
0
2
.
0
Given ada AC atau
tidak ada AC:
Menggunakan Diagram Pohon
Probabilitas Bersyarat
13. 13
P(CD dan AC) = 0.2
P(CD dan AC’) = 0.2
P(CD’ dan AC’) = 0.1
P(CD’ dan AC) = 0.5
4
.
0
2
.
0
6
.
0
5
.
0
6
.
0
1
.
0
4
.
0
2
.
0
Given ada CD atau
tidak ada CD:
Menggunakan Diagram Pohon
Mobil
Probabilitas Bersyarat
15. 15
Ditemukan oleh Reverend Thomas Bayes abad ke 18.
Dikembangkan secara luas dalam statistik inferensia.
Aplikasi banyak untuk : DSS (Decision Support System)
B1
B2
B3
A Bi
A Bi
TEOREMA BAYES
16. 16
TEOREMA BAYES
Teorema bayes yang hanya dibatasi oleh dua buah kejadian
dapat diperluas untuk kejadian n buah.
Teorema bayes untuk kejadian bersyarat dengan i kejadian
adalah sebagai berikut:
𝑃(𝐵𝑖|𝐴) =
𝑃(𝐵𝑖 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐴)
; P(A) ≠ 0
𝑃(𝐴|𝐵𝑖) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑖)
𝑃(𝐵𝑖)
; P(Bi) ≠ 0
17. 17
Teorema Probabilitas Total
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space
Lalu {ABi} merupakan partisi dari event A, maka
berdasarkan sifat probabilitas didapatkan :
Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i.
Maka dapat didefinisikan theorema probabilitas total
sbb :
18. 18
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space
Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka :
Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total,diperoleh :
Ini merupakan teorema Bayes
Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi
Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila
diketahui event A terjadi)
Teorema Bayes
19. 19
1. Seorang pengusaha perumahan mempunyai 10 kunci induk untuk membuka
rumah-rumah baru, yang baru selesai dibangunnya. Sebuah rumah hanya
mungkin dibuka oleh sebuah kunci induk tertentu. Apabila 30% dari rumah-
rumah tersebut biasanya tidak terkunci, berapakah peluangnya pengusaha
tersebut dapat masuk ke suatu rumah tertentu, apabila dia mengambil 4
kunci secara acak sebelum meninggalkan kantornya?
Latihan
20. 20
2. Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3 perusahaan
yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari perusahaan X, 20% dari
perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z. Berdasarkan pengalaman, 3%
microchip perusahaan X cacat, 5% microchip perusahaan Y cacat, dan 4%
microchip perusahaan Z cacat. Pada saat microchips tersebut sampai di
pabrik, mereka langsung menempatkannya dalam kotak tanpa inspeksi atau
mengidentifikasi asal microchip terlebih dahulu. Seorang pekerja mengambil
sebuah microchip secara acak dan ternyata cacat. Berapa peluang bahwa
microchip tersebut berasal dari perusahaan Y?
Latihan
21. 21
Teorema Bayes
Sebuah perusahaan pengeboran minyak mengestimasi bahwa peluang
pengeboran itu sukses adalah 40%. Dari pengalaman perusahaan
tersebut diketahui bahwa 60% keberhasilan pengeboran itu karena
dikerjakan dengan prosedur yang benar dan tepat sedangkan 20%
pengeborannya gagal walaupun dikerjakan dengan prosedur yang
benar dan tepat.
Jika perusahaan pengeboran tersebut sudah melaksanakan prosedur
yang benar dan tepat berapa peluang perusahaan tersebut berhasil
dalam pengeboran minyaknya?
22. 22
Jadi, peluang perusahaan tersebut berhasil dalam
pengeboran, jika diketahui sudah menggunakan
prosedur yang benar dan tepat adalah 0.667
P(S|M) =
P(M|S)P(S)
P(M|S)P(S) + P(M|G)P(G)
=
(0.6)(0.4)
(0.6)(0.4) + (0.2)(0.6)
=
0.24
0.24 + 0.12
= 0.667
23. 23
Misalkan :
𝑆 adalah kejadian pengeboran sukses,
𝐺 adalah kejadian pengeboran gagal, dan
𝑀 adalah kejadian pengeboran berhasil dengan metode yang benar
dan tepat, sehingga
𝑃 𝑆 = 0.4 dan 𝑃 𝐺 = 0.6 merupakan peluang prior.
Kemudian, peluang bersyarat 𝑃 𝑀 𝑆 = 0.6 dan 𝑃 𝑀 𝐺 = 0.2
Tentukan 𝑃(𝑆|𝑀)?
24. 24
Tabel Kontingensi
Kejadian Peluang Prior Peluang Bersyarat Peluang Gabungan Peluang Akhir
Sukses (S) 0.4 0.6 (0.4)(0.6)=0.24
0.24
0.36
= 0.667
Gagal (G) 0.6 0.2 (0.6)(0.2)=0.12
0.12
0.36
= 0.333
Total 1 0.8 0.36 1
P(M|S)
P(M|G)
Jadi peluang perusahaan tersebut berhasil dalam pengeboran, jika
diketahui sudah menggunakan prosedur yang benar dan tepat
adalah 0.667
25. 25
1. Suatu perusahaan TV mempunyai tiga pabrik, yaitu A, B, dan C
dengan persentase produksi masing-masing adalah 15%, 35%, dan
50%. Tiap pabrik menghasilkan produk (TV) cacat, yaitu masing-
masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C)
a. Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan
produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV
yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat?
b. Sebuah TV diambil secara acak dan ditemukan dalam
keadaan cacat, berapakah peluang TV yang cacat tersebut
berasal dari produksi pabrik B?
Latihan
26. 26
Latihan
2. Sebuah perusahaan konsultan menyewa mobil dari 3 (tiga) agen : agen D
20 %. Agen E 20 %, dan agen F 60 %. Jika 10 % mobil dari agen D
mempunyai ban jelek, 12 % mobil dari agen E mempunyai ban jelek, dan
4 % mobil dari agen F mempunyai ban jelek.
a. Berapakah peluang bahwa mobil yang disewa perusahaan itu mempunyai ban jelek?
b. Berapakah peluang bahwa mobil yang disewa ternyata mempunyai ban jelek,
berasal dari agen F?
27. 27
3. Suatu generator telekomunikasi nirkabel mempunyai 3 pilihan tempat
untuk membangun pemancar sinyal yaitu :
• didaerah tengah kota,
• daerah kaki bukit dikota
• daerah tepi pantai,
dengan masing-masing mempunyai peluang 0.2; 0.3 dan 0.5.
Bila pemancar dibangun di tengah kota, peluang terjadi ganguan sinyal
adalah 0.05. Bila pemancar dibangun di kaki bukit, peluang terjadinya
gangguan sinyal adalah 0.06.Bila pemancar dibangun di tepi pantai,
peluang gangguan sinyal adalah 0.08.
a. Berapakah peluang terjadinya gangguan sinyal?
b. Bila diketahui telah terjadinya gangguan pada sinyal, berapa
peluang bahwa operator tsb ternyata telah membangun
pemancar di tepi pantai?
Latihan
