Probabilitas dan Statistika

1. Peluang Bersyarat
Eni Sumarminingsih, SSi, MM

2. Definisi

Peluang bersyarat A bila B diketahui
dilambangkan dengan P(A|B) dan
didefinisikan sebagai
P( A B)
P( A | B)
P( B)
jika P(B) > 0

3. Contoh
Tidak
melanjutkan
ke perguruan
tinggi
Melanjutkan
ke perguruan
tinggi
Laki – laki
450
50
Perempuan
150
250

4. Perhatikan kejadian – kejadian berikut :
L : kejadian yang terpilih laki - laki
K: kejadian yang terpilih adalah orang yang
melanjutkan ke perguruan tinggi
Dengan menggunakan ruang contoh yang
dipersempit K, maka akan didapatkan
P(L|K) = 450/600 = ¾

5. 
Misalkan n(A) melambangkan
banyaknya unsur dalam himpunan A
n( K L ) n( K L ) / n( S ) P ( K L )
P( L | K )
,
n( K )
n( K ) / n( S )
P( K )

6. P( K
P(K )
L)
600
900
P( L | K )
450
900
1
2
2
3
1/ 2
2/3
3
4

7. Contoh lain
Peluang Kereta Api Gajayana berangkat tepat pada
waktunya adalah P(B) = 0.85, peluang Kereta Api
Gajayana datang tepat pada waktunya adalah P(D)
= 0. 90 dan peluang kereta api tersebut berangkat
dan datang tepat pada waktunya adalah P(B D) =
0.75. Hitung peluang bahwa Kereta Api Gajayana
itu (a) datang tepat pada waktunya bila diketahui
kereta api tersebut berangkat tepat pada waktunya,
dan (B) berangkat tepat pada waktunya bila
diketahui kereta api tersebut datang tepat pada
waktunya.

8. Kaidah Bayes
B
A
Bc
A = (B A) (Bc A)
P(A) = P [(B A) (Bc A)]
= P(B A) + P(Bc A)]
= P(B)P(A|B) + P(Bc)P(A|Bc)

9. Kaidah Total Peluang
Bila kejadian – kejadian Bi
untuk i =
1, 2, …,k, maka untuk sembarang
kejadian A yang merupakan himpunan
bagian S berlaku
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2)
+ … + P(Bk) P(A|Bk).

10. Contoh 1
Tiga wakil partai A, B dan C mencalonkan diri sebagai
presiden. Peluang wakil dari partai A terpilih
sebagai presiden adalah 0.4, peluang wakil dari
partai B terpilih adalah 0.3 dan peluang wakil dari
partai C terpilih adalah 0.3. Seandainya wakil dari
partai A terpilih sebagai presiden, peluang
terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.7.
Seandainya yang terpilih adalah wakil dari partai B,
peluang terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.4.
Bila yang terpilih adalah wakil dari partai C maka
peluang terjadinya kenaikan harga BBM adalah 0.6.
Berapa peluang terjadinya kenaikan harga BBM ?

11. Contoh 2

Sebuah toko menjual bola lampu. Empat
puluh lima persen dari bola lampu yang
dijual toko tersebut diproduksi oleh pabrik A
dan sisanya diproduksi oleh pabrik B.Bola
lampu yang diproduksi pabrik A mempunyai
peluang cacat sebesar 3 persen sedangkan
yang diproduksi pabrik B mempunyai
peluang cacat sebesar 5 persen. Bila
seseorang membeli bola lampu dari toko
tersebut, berapa peluang dia akan
mendapatkan bola lampu yang cacat?

12. Kaidah Bayes
Jika kejadian – kejadian B1, B2, …, Bk
merupakan sekatan dari ruang contoh
S dengan P(Bi) 0 untuk I = 1, 2, …,
k, maka untuk sembarang kejadian A
yang bersifat P(A) 0,
P( Br ) P( A | Br )
P( Br | A)
P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) ... P( Bk ) P( A | Bk )

13. 
Untuk masalah dalam Contoh 1
misalkan ada orang yang tidak
mengetahui siapa yang menjadi
presiden karena dia tinggal di pelosok
daerah. Bila beberapa waktu kemudian
ternyata harga BBM naik, berapa
peluang bahwa yang menjadi presiden
adalah wakil dari partai A?

14. Untuk masalah pada contoh 2, misalkan
ada seseorang yang membeli bola
lampu dari toko tersebut. Setelah
sampai rumah dan dicoba, ternyata
lampu tersebut cacat. Berapa peluang
bahwa lampu tersebut diproduksi oleh
pabrik A?

15. Soal - soal
1. Proses produksi bola lampu dalam suatu
pabrik dibagi dalam empat shift. Pada
suatu hari, 1% dari bola lampu yang
diproduksi oleh shift pertama rusak, 3%
dari yang diproduksi shift kedua rusak, 2%
dari yang diproduksi shift ketiga rusak dan
1% dari yang diproduksi oleh shift
keempat rusak. Bila produktivitas keempat
shift tersebut sama, berapa peluang bola
lampu yang diproduksi pada hari itu
rusak?

16. 2. Kantong A berisi 3 bola biru, 2 bola
merah dan 5 bola hijau. Kantong B
berisi 1 bola biru, 4 merah dan 3 hijau.
Sebuah bola diambil dari kantong A
dan tanpa dilihat warnanya kemudian
dimasukkan ke kantong B. Lalu dari
kantong B diambil 1 bola. Berapa
peluang terambilnya bola hijau.

17. 3. Suatu produk yang dijual oleh toko A, 30%
- nya diproduksi oleh pabrik X dan sisanya
diproduksi oleh pabrik Y. Produk yang
diproduksi oleh pabrik X mempunyai
peluang cacat sebesar 0.05 dan produk
yang diproduksi pabrik Y mempunyai
peluang cacat sebesar 0.07. Bila Dion
membeli produk tersebut dari toko A dan
ternyata produk tersebut cacat, berapa
peluang bahwa produk tersebut adalah
produk yang diproduksi oleh pabrik X?

18. 4. Suatu kuliah Pengantar Teori Peluang diikuti oleh 50
mahasiswa tahun ke-2, 15 mahasiswa tahun ke-3
dan 10 mahasiswa tahun ke-4. Diketahui
mahasiswa yang mendapat nilai A adalah 10 orang
dari mahasiswa tahun ke-2, 8 orang dari mahasiswa
tahun ke-3 dan 5 orang dari mahasiswa tahun ke-4.
Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak, berapa
peluang dia :
– Mendapat nilai A, bila diketahui dia mahasiswa dari tahun
ke-3?
– Mendapat nilai A?
– Mahasiswa tahun ke-2, bila diketahui dia mendapat nilai
A?