Resum i formules de l'assignatura de Mates II de la UOC

1. CODIFICACIÓ
NIF
El número d’identificació fiscal, NIF, consta de vuit dígits numèrics i una lletra.
Aquesta última lletra és la redundància que s’afegeix a aquest número per a detectar
errors en escriure el NIF. El càlcul de la lletra es fa de la següent forma:
- Es fa la divisió sencera (sense decimals) del número del NIF entre 23
- La resta de la divisió serà un nombre comprès entre 0 i 22. Llavors s’associa una
lletra a cada una d’aquestes 23 diferents possibilitats, seguint la taula.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E
Exemple: Calculem quina és la lletra del NIF associada al nombre 35.059.123
Per això dividim aquest nombre entre 23
La resta és 16. Així que, seguint la taula, li correspon la lletra Q

2. EAN-13 – CODI DE BARRES
- Les dues primeres xifres indiquen el país d’origen del producte
- Els cinc següents indiquen el productor
- Els cinc següents indiquen el nombre del producte assignat pel mateix
productor
- L’últim dígit és un dígit de control que conté prou redundància per a detectar
els error.
Per a calcular l’últim dígit:
Suposem que els tretze dígits són: ABCDEFGHIJKLM
Fem l’operació següent:
A + 3·B + C + 3·D + E + 3·F + G + 3·H + I + 3·J + K + 3·L
El dígit de control M, serà el resultat de la diferència de 10 i el resultant de l’última
xifra de l’operació anterior. En cas que el resultat d’aquesta operació sigui un
múltiple de 10, el dígit de control serà un 0.
Exemple 1: Tenim el codi de barres següent: 2001234567893. Hem de comprovar si el
dígit és correcte:
2 + 3.0 + 0 + 3.1 + 2 + 3.3 + 4 + 3.5 + 6 + 3.7 + 8 + 3.9
2 + 0 + 0 + 3 + 2 + 9 + 4 + 15 + 6 +21 + 8 + 27 = 97
L’última xifra és 7 i 10-7=3. Per tant el dígit de control és 3.
Exemple 2: Tenim el codi de barres següent: 028947564562__. Hem de calcular el dígit:
0 + 3 · 2 + 8 + 3 · 9 + 4 + 3 · 7 + 5 + 3 · 6 + 4 + 3 · 5 + 6 + 3 · 2 = 120
El resultat obtingut és múltiple de 10, el dígit de control serà un 0.

3. CODIS LINEALS
FÒRMULA PER A SABER ELS DÍGITS QUE NECESSITEM PER A CODIFICAR
UNA PARAULA
Exemple: Per a 256 tons de grisos necessitem log256 / log2 = 8
DISTÀNCIA DE HAMMING
És la distància entre dues paraules.
Exemple: entre 1101 i 0101, la distància de Hamming és 1 i entre 00110 i 11001 és 5.
DISTÀNCIA MÍNIMA
Es comparen les paraules i es cerquen les distàncies de Hamming. Desprès es
selecciona el més petit que no sigui 0. En el exemple, la distància mínima és 3.
000000 101010 010110 101101
000000 0
101010 3 0
010110 3 4 0
101101 4 3 5 0
SABER QUANS D’ERRORS ES PODEN DETECTAR
Aplicarem la fórmula D-1.
En l’exemple anterior és 3-1 = 2. Això significa que podem detectar 2 errors.
PER A SABER QUANS D’ERRORS ES PODEN CORREGIR
Aplicarem la fórmula
En l’exemple anterior tindríem que 3-1/2=1. Per tant, podríem corregir 1 error.

4. SUMA I PRODUCTE DE NOMBRES DE TIPUS Z2
Suma dels nombres de tipus Z2: Multiplicació dels nombres de tipus Z2:
Suma: + 0 1 Producte: . 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
SUMA DE MATRIUS
Per ha poder sumar matrius, han de tenir el mateix nombre de files i els mateix
nombre de columnes. El resultat serà una altra matriu, que s’obtindrà sumant element
a element.
MULTIPLICACIÓ DE MATRIUS
La matriu de l’esquerra ha de tenir tantes columnes com files la matriu de la dreta.
Obtindrem una matriu amb tantes files com la matriu de l’esquerra i tantes columnes
com la matriu de la dreta.

5. MATRIU GENERADORA DE CODI
Serveix per a codificar paraules.
Per exemple: Si volem codificar una paraula de 7 lletres necessitarem un codi de 3
números (log7/log2=2,80).
1- La nostra matriu generadora haurà de tenir 3 files i 7 columnes
2- No pot haver cap fila repetida ni ninguna fila que s’obtingui amb la suma de dos
o més files.
3- Multiplicarem el codi per la matriu generadora per a obtenir el codi lineal.
Si tenim la matriu generadora
i la paraula (0 1 0) obtindríem el codi lineal (0 1 0 1 1 0 1)

6. MATRIU DE COMPROVACIÓ DE PARITAT
Serveix tant per a detectar com per a corregir errors.
Per a saber si una paraula pertany al codi haurem de multiplicar-la per la matriu H. Si
dóna tot 0 és que la paraula pertany al codi.
Exemple: Si el receptor llegeix la paraula (0 1 0 1 1 0 1) i tenim la matriu H següent:
Si no dóna 0 és que hi ha un error en el codi. Cercarem la columna de la matriu de
paritat que coincideixi amb el resultat.
En aquest exemple coincideix amb la tercera columna. Per tant, l’error s’ha produït en
el tercer dígit. Així, el tercer dígit era 1 i ha de ser 0.

7. CRIPTOGRAFIA DE CLAU PRIVADA
La Criptografia pot ser:
- Criptologia – Transmissió de missatges de forma indesxifrable per a tothom aliè
a la comunicació.
- Criptoanàlisi – Intenta desencriptar els missatges encriptats.
La clau privada es caracteritza per l’ús d’una clau secreta acordada entre emissor i
receptor. Són també de clau simètrica perquè s’utilitza el mateix procés per encriptar
que per desencriptar.
ENCRIPTACIÓ DE CÈSAR
Tenim les 27 lletres de l’abecedari.
Si, per exemple, k = 2, el caràcter H és el caràcter J, i el caràcter O és el caràcter Q. Per
encriptar amb la clau secreta k = 2, HOLA = JQNC
A B C D E F G H I J K L
M N Ñ O P Q R S T U V W
X Y Z
Per a desencriptar el missatge només caldria restar k al missatge encriptat. En el
exemple hauríem de restar -2.
ENCRIPTACIÓ DE VIGENÈRE
Modificació del mètode Cèsar per evitar l’atac estadístic. Es fa de la següent manera:
- Es divideix el missatge en blocs amb la mateixa longitud prèviament acordada
- La clau privada està formada per la longitud del bloc i per les claus acordades
- Per exemple, si dividim el missatge en blocs de 4 caràcters, necessitarem
quatre claus privades.
Si volem encriptar la paraula MULTIMEDIA amb el mètode de Vigenère, longitud 3 i
claus k1=1, k2=5 i k3=3
Paraula M U L T I M E D I A
Substitució 12 21 11 20 8 12 4 3 8 0
Clau=k 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1
Substitució 13 26 14 21 13 15 5 8 11 1
Encriptada N Z Ñ U N 0 F I L B
Per a desencriptar, simplement cal fer els mateixos càlculs, però en lloc de sumar la
clau, s’ha de restar.

8. ENCRIPTACIÓ DE VERNAM
Cada caràcter del missatge es codifica segons la taula de caràcters ASCII per una
cadena de 8 bits. Es fa de la següent manera:
1. Es codifica la lletra segons la taula ASCII
2. Es suma la clau privada que ha de ser tan llarga en bits com la longitud del
missatge en bits
3. El codi resultant es substitueix segons la taula ASCII
Exemple: Missatge= HOLA
Clau= 01001010000110101010110101101011
Missatge H O L A
ASCII 01001000 01001111 01001100 01000001
Clau 01001010 00011010 10101101 01101011
Encriptat 00000010 01010101 11100001 00101010
Per a desencriptar el missatge simplement cal restar la clau secreta al missatge
encriptat.
ATAC ESTADÍSTIC
Per a desencriptar un Cèsar només cal anar provant les possibles claus fins que el
missatge tingui sentit.
Els criptosistemes per substitució no és tant fàcil trencar-los. Amb aquest mètode,
cada lletra se substitueix per un altre símbol. Però es pot trencar amb l’atac estadístic.
Es basa en el fet que el símbol encriptat que més es repeteix correspondrà segurament
a la lletra més freqüent en la llengua original. Es pot fer amb el Word:
1. Calcular les freqüències que surten les lletres en el text sense encriptar
(Inici/cerca/cercar lletra per lletra)
2. Calcular les freqüències dels símbols del text encriptat
3. Entre el text encriptat i el text sense encriptar es previsible que no es
produeixin gaires desviacions de freqüències.
4. Quan ja tinguem paraules mitges completes podem conèixer els símbols que
ens queden.

9. Taula de caràcters ASCII
Decimal ASCII Binari Decimal ASCII Binari
32 blanc 00100000 90 Z 01011010
33 ! 00100001 91 [ 01011011
34 " 00100010 92 / 01011100
35 # 00100011 93 ] 01011101
36 $ 00100100 94 ^ 01011110
37 % 00100101 95 _ 01011111
38 & 00100110 96 ' 01100000
40 ( 00101000 97 a 01100001
41 ) 00101001 98 b 01100010
42 * 00101010 99 c 01100011
44 , 00101100 100 d 01100100
45 - 00101101 101 e 01100101
46 . 00101110 102 f 01100110
65 A 01000001 103 g 01100111
66 B 01000010 104 h 01101000
67 C 01000011 105 i 01101001
68 D 01000100 106 j 01101010
69 E 01000101 107 k 01101011
70 F 01000110 108 l 01101100
71 G 01000111 109 m 01101101
72 II 01001000 110 n 01101110
73 I 01001001 111 o 01101111
74 J 01001010 112 p 01110000
75 K 01001011 113 q 01110001
76 L 01001100 114 r 01110010
77 M 01001101 115 s 01110011
78 N 01001110 116 t 01110100
79 O 01001111 117 u 01110101
80 P 01010000 118 v 01110110
81 Q 01010001 119 w 01110111
82 R 01010010 120 x 01111000
83 S 01010011 121 y 01111001
84 T 01010100 122 z 01111010
85 U 01010101 123 { 01111011
86 V 01010110 124 | 01111100
87 W 01010111 125 } 01111101
88 X 01011000 126 ~ 01111110
89 Y 01011001

10. COMPRESSIÓ
MÈTODE DE HUFFMAN
Mètode de compressió sense pèrdua d’informació
Si tenim, per exemple, una cadena de caràcters, s’ha de contar la freqüència amb la
que apareix el caràcter i la seva probabilitat.
Per exemple, la paraula FISICAS. Tenim 7 lletres, la I apareix dues vegades, per tant, la
probabilitat és de 2/7. Començaríem a reomplir el quadre:
Caràcter F I S C A
Freqüència 1 2 2 1 1
Probabilitat 1/7 2/7 2/7 1/7 1/7
Ordenem les lletres segons la probabilitat i comencem a construir l’arbre de Huffman.
En el peu hi posarem les que tenen menys probabilitat. Si l’arbre dóna 1, serà
correcte.
A cada branca li donem un número. Les branques dretes l’1 i les esquerres el 0.
Caràcter F I S C A
Freqüència 1 2 2 1 1
Probabilitat 1/7 2/7 2/7 1/7 1/7
Codificació 111 00 10 110 01
Si codifiquéssim FISICAS necessitaríem 3 bits per caràcter (log7/log2=2,80)
Per tant, FISICAS sense comprimir, necessitaria 7x3 = 21 bits
Comprimint la paraula amb el mètode de Huffman, la codificació seria:
111 00 10 00 110 01 10
Per tant, hem necessitat 17 bits.

11. TAXA DE COMPRESSIÓ
ES fa de la següent manera:
Bits sense comprimir – bits comprimits = bits que ens hem estalviat
Bits que ens hem estalviat / bits sense comprimir · 100 = taxa de compressió
En l’exemple anterior:
21(bits sense comprimir) – 17 (bits comprimits) = 4 (bits que ens hem estalviat)
4/21•100 = 19% és la taxa de compressió.

12. ESTADÍSTICA
L’altura d’un nen és una variable mentre que les quantitats 95 cm, 83 cm, 88 cm, són
dades sobre aquesta variable.
Sovint es representa la variable amb una lletra majúscula, mentre que les dades de la
variable en lletres minúscules. Per exemple, X = altura d’un nen; x1 = 95, x2 = 83, x3 =
88.
Classificació
- Variables qualitatives – Es refereixen als atributs dels individus. Es tracta
d’una variable classificatòria. Exemple: Nivell d’estudis o lloc de naixement.
- Variables quantitatives – Impliquen el concepte de magnitud. Poden ser:
- Contínues – Quan entre dos valors de la variable hi pot haver infinits
valors (Decimals). Exemple: pes, talla, etc.
- Discretes – Entre dos valors successius de la variable ni hi ha cap valor.
No tenen decimals, encara que la mitjana si pugui tenir-los. Exemple:
nombre de fills.
GRÀFIC DE TIJA I FULLES
Són molt útils quan no tenim un gran nombre de dades individuals.
1-S’ordenen les dades de més petites a més grans, classificant-les en ordre
ascendent.
2-Després, hem de triar quina part dels valors és la tija i quina la fulla.
Normalment, les unitats senceres coma tiges i els decimals com a fulles.
Exemple:
Amb el 112, es posa l’11 en la tija i el 2 en
la fulla. Amb el 87, per exemple, es posa
el 8 en la tija i el 7 en la fulla.
Es pot identificar un valor que més o
menys és el centre de la distribució. En
aquest cas són les dades de 60 alumnes.
El valor de la meitat és 30. Si contem 30
en la part de les fulles, ens trobarem que
100 és el valor mitjà.

13. HISTOGRAMES
Estan formats per classes o intervals de la mateixa mida.
L’histograma no és simètric. La part llarga i baixa de la distribució asimètrica es
denomina cua. Es diu que l’histograma és obliquo cap a la dreta si la cua està a la dreta
i cap a l’esquerra si la cua està a l’esquerra.
GRÀFIC DE CAIXES
Són una representació gràfica compacta de tota la distribució de la variable.

14. MEDIANA
La mediana és el valor que divideix una distribució per la meitat.
1-El primer pas és col·locar totes les dades de menor a major.
2-S’aplica la següent fórmula que ens diu la posició de la mediana, on n és el
número de dades que tenim:
3-Si el total de dades és impar ens donarà un número que es troba en la meitat
de les dades.
4-Si el total de dades és par, la posició de la mediana cau entre dos números.
Per exemple, tenim aquestes dades.
1233457889
10+1/2= 5,5 la mediana cau entre el 4 i el 5, per tant, és 4,5
123457889
9+1/2=5 la mediana cau en la 5a posició, per tant és 5
QUARTILS
El 1er quartil és el punt intermedi entre el valor mínim i la mediana.
El 2on quartil el forma la mediana.
El 3er quartil és el punt entre la mediana i el valor màxim.
Exemples
1233457889 123457889
1er quartil = 3 1er quartil = Un número entre el 2 i el 3 =
2on quartil = 4,5 2,5
3er quartil = 8 2on quartil = 5
3er quartil = 8
EL RANG
El rang d’una variable consisteix a restar el valor màxim del mínim.
LA MITJANA ARITMÈTICA
Per a calcular la mitjana o el terme mitja, es sumaran totes les dades entre sí i es
divideixen entre el número de dades.

15. LA VARIÀNCIA
1- Calcular la mitjana dels valors
2- Restar la mitjana a cada valor.
3- Algunes de les desviacions sempre seran positives i algunes sempre
seran negatives. La seva suma ha de ser 0.
4- Elevarem al quadrat cada desviació. Les desviacions quadrades sempre
són positives.
6- Sumarem totes les desviacions quadrades i les dividirem pel nombre de
desviacions – 1.
7- El número que obtenim és la variància, i se simbolitza per S2.
Exemple: tenim les dades 2 8 9 9
1. Calcularem la mitjana dels valor 2+8+9+9=28/4=7
2. La restarem a cada valor. La suma ha de donar 0.
2-7=-5
8-7=1
9-7=2
9-7=2
-5+1+2+2=0
3. Elevarem al quadrat cada desviació
5^2=25
1^2=1
2^2=4
2^2=4
4. Sumarem les desviacions quadrades i aplicarem la fórmula
25+1+4+4=34
34/4-1=11,33=variància
DESVIACIÓ TÍPICA O DESVIACIÓ ESTÀNDARD
És l’arrel quadrada de la variància i se simbolitza per S.
En l’exemple anterior, la desviació típica és √11,33=3,36

16. QUADRE DE FREQÜÈNCIES
Tenim les següents dades:
113334566
Calcularem la mitjana
1+1+3+3+3+4+5+6+6=32/9=3,555
Dades Freqüències Freqüències Freqü.Absol. Freqü. Relat. (data-mitjana)2
absolutes relatives Acumulades Acumulades ·Freqüència absoluta
1 2 2/9=0,222 2 0,222 (1-3,555)2·2=13,056
3 3 3/9=0,333 5 0,555 (3-3,555)2·3=0,924
4 1 1/9=0,111 6 0,666 (4-3,555)2·1=0,198
5 1 1/9=0,111 7 0,777 (5-3,555)2·1=2,088
6 2 2/9=0,222 9 1 (6-3,555)2·2=11,956
9 1 28,222
Freqüències absolutes – És la freqüència en què apareix una dada. La seva suma ha de
donar el total de les dades.
Freqüències relatives – És la freqüència absoluta partida per el nombre de dades. Ha
de donar 1.
Freqüències absolutes acumulades – Ha de donar el mateix que la suma de les
freqüències absolutes.
Freqüències relatives acumulades – Ha de donar 1
Per a calcular la variància bastarà en dividir la suma de la última columna entre el total
de dades menys 1.
Variància = 28,222/9-1 = 3,527
La desviació estàndard és l’arrel quadrada de la variància. √3,527=1,878