Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i MañéMònica Orpí Mañé
En aquest power point s'expliquen les funcions elementals i els límits a partir de la seva gràfica. Després es calculen els límits de manera analítica i es relaciona amb la gràfica.
S'explica també la resolució analítica de límits, així com la resolució de les indeterminacions.
S'estudia també les diferents discontinuïtats que pot presentar una funció.
S'explica el concepte incial de límit a partir de la paradoxa de Aquiles i la tortuga.
Introducció a les derivades. S'introdueix el concepte de derivada a partir del pendent de les rectes tangents i des d'aquí es dedueixen els conceptes de creixement, decreixement i màxims i mínims d'una funció.
Continguts explicats amb l'ajuda del GeoGebra.
Taula de derivades i alguna aplicació com ara el Polinomi de Taylor amb l'aproximació de la funció arrel quadrada.
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Mònica Orpí Mañé
En aquest document trobareu tota la informació relacionada amb les funcions contínues i derivables. Exercicis resolts i apliacacions d'aquestes propietats així com els teormes més importants que hi estan relacionats, com ara el de Bolzano, el de Rolle, el de Cauchy i el de Lagrange.
Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i MañéMònica Orpí Mañé
En aquest power point s'expliquen les funcions elementals i els límits a partir de la seva gràfica. Després es calculen els límits de manera analítica i es relaciona amb la gràfica.
S'explica també la resolució analítica de límits, així com la resolució de les indeterminacions.
S'estudia també les diferents discontinuïtats que pot presentar una funció.
S'explica el concepte incial de límit a partir de la paradoxa de Aquiles i la tortuga.
Introducció a les derivades. S'introdueix el concepte de derivada a partir del pendent de les rectes tangents i des d'aquí es dedueixen els conceptes de creixement, decreixement i màxims i mínims d'una funció.
Continguts explicats amb l'ajuda del GeoGebra.
Taula de derivades i alguna aplicació com ara el Polinomi de Taylor amb l'aproximació de la funció arrel quadrada.
Funcions contínues i derivables. Els Teoremes de Bolzano, Rolle, Lagrange i e...Mònica Orpí Mañé
En aquest document trobareu tota la informació relacionada amb les funcions contínues i derivables. Exercicis resolts i apliacacions d'aquestes propietats així com els teormes més importants que hi estan relacionats, com ara el de Bolzano, el de Rolle, el de Cauchy i el de Lagrange.
El documento describe las fuentes y la estructura del derecho mercantil. Resume que las principales fuentes del derecho mercantil son la ley mercantil y los usos de comercio, mientras que el derecho civil sólo se aplica en ausencia de estas. Explica que el derecho mercantil regula el estatuto de los empresarios y sus actividades comerciales, y ha evolucionado históricamente para adaptarse a las necesidades del comercio. En la actualidad, existe una tendencia a la armonización del derecho mercantil a nivel de la Un
Este documento introduce conceptos básicos de estadística descriptiva. Explica que la estadística se usa para entender y sacar conclusiones sobre un fenómeno en un lugar y tiempo particulares. Define población, muestra, variables y datos. Luego describe medidas de tendencia central como la media, mediana y moda, y medidas de dispersión como la varianza y desviación típica. Finalmente, introduce conceptos de frecuencias multivariantes y cómo medir la relación entre variables.
1. El documento presenta los resultados de una votación para elegir presidente de una empresa entre varios candidatos (A, B, C, D, E, F). Analiza las preferencias de cada consejero y concluye que el candidato C es el más idóneo para el puesto.
2. Explica cómo representar mediante una tabla la información de los vuelos internacionales entre los países A, B y C. Solicita completar la tabla con más detalles.
3. Pide calcular el número de posibles combinaciones para ir de diferentes puntos de salida A a diferentes puntos
Este documento resume conceptos clave de microeconomía como la maximización de beneficios a largo plazo, rendimientos de escala, curvas de costes totales, medios y marginales, así como la determinación del equilibrio de mercado bajo competencia imperfecta como el monopolio. Explica cómo las empresas fijan precios para maximizar ganancias teniendo en cuenta las curvas de demanda, y los efectos de la discriminación de precios.
Este documento resume las principales características de las obligaciones desde una perspectiva jurídica. Explica que una obligación vincula a un acreedor y un deudor, donde el acreedor tiene derecho a exigir una conducta del deudor. Las obligaciones pueden nacer de contratos, cuasicontratos o actos ilícitos. Se clasifican en mancomunadas, solidarias y según su objeto o naturaleza. El cumplimiento requiere identidad, integridad e indivisibilidad, mientras que el incumplimiento puede ser
El documento describe los conceptos clave de la administración estratégica. Explica que involucra todas las funciones básicas de la administración como la planeación, organización, dirección y control para desarrollar las estrategias de una organización. Luego detalla el proceso de administración estratégica en 6 pasos y los tres tipos de estrategias que pueden utilizarse: corporativas, de competitividad y funcionales. Finalmente, discute temas contemporáneos como las estrategias de e-business, servicio al cliente e innovación.
Este documento presenta la planificación de un curso de Legislación Comercial para estudiantes de Administración de Empresas. El curso busca que los estudiantes conozcan los principios y leyes comerciales para dirigir sociedades y empresas. Se describen 13 ejes de aprendizaje con sus respectivas competencias, preguntas, acciones y bibliografía. La evaluación será continua y busca diagnosticar, formar y calificar el nivel de competencias de los estudiantes.
Este documento describe los conceptos clave relacionados con la empresa y la competencia desde una perspectiva jurídica. Explica que la empresa es una organización que desarrolla actividades económicas y está sujeta a diversos negocios jurídicos como la compraventa. Luego, se enfoca en la compraventa de la empresa, incluyendo las obligaciones del comprador y vendedor y los elementos que se transmiten. También analiza el derecho a la competencia y la competencia desleal, destacando que la finalidad de la ley es proteger a
Este documento resume los conceptos clave del contrato según el derecho español. Explica que un contrato es un acuerdo de voluntades entre dos o más partes que crea obligaciones entre ellas. Detalla los elementos esenciales de un contrato, como el consentimiento, objeto y causa. También cubre temas como la autonomía de la voluntad, los tipos de contratos y los vicios del consentimiento que pueden afectar la validez de un contrato.
El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables, incluyendo su definición, dominio y construcción. También presenta ejemplos de funciones que modelan costos en función de parámetros, y graficación de superficies tridimensionales mediante curvas de nivel.
Este documento describe los conceptos fundamentales del oligopolio y las estrategias que pueden adoptar las empresas en este tipo de mercado. Explica que en un oligopolio hay un número reducido de empresas que ofrecen bienes diferenciados o homogéneos, con barreras de entrada y salida significativas. Las empresas pueden elegir la cantidad, el precio o ambos de forma simultánea o secuencial. Las estrategias principales son el equilibrio Cournot, Bertrand y Stackelberg. Finalmente, analiza la colusión como una estrategia no permitida.
Este documento describe los conceptos clave relacionados con la administración y desempeño de equipos. Explica las etapas de desarrollo de grupos, los factores que afectan el desempeño de grupos como las habilidades de los miembros, tamaño y estructura, y los procesos internos como comunicación y manejo de conflictos. También define qué es un equipo, diferenciándolo de un grupo, y menciona tipos de equipos como de solución de problemas y autodirigidos.
Microeconomía; teoría del consumidor y producciónMelanie Nogué
Este documento resume la teoría del consumidor microeconómica. Explica que los consumidores buscan maximizar su bienestar al comprar bienes sujetos a su restricción presupuestaria. Describe las curvas de indiferencia que representan las preferencias del consumidor y cómo se intersectan con la recta presupuestaria para determinar la cesta de bienes óptima. También analiza cómo los cambios en los precios, la renta u otros factores afectan la demanda de los bienes.
L’∞ I LES SEVES CURIOSITATS. ELS LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ A L’ESTUDI DE LE...Mònica Orpí Mañé
Estudi de les curiositats que presenta l'infnit: Demostracions errònies, l'Hotel de Hilbert i tamanys d'infinits
Definició i càlcul de límits de les funcions elementals i la seva apliacació a les gràfiques d'aquestes funcions: Branques, discontinuïtats i asímptotes.
Mètodes de resolució de les principals indeterminacions.
Estudi exahustiu de les funcions polinòmiques a partir de la seva descomposició factorial.
Este documento describe los conceptos básicos de derecho civil relacionados con las personas físicas y jurídicas. Explica que la personalidad jurídica comienza con el nacimiento y termina con la muerte, y que los menores de edad tienen una capacidad limitada que aumenta con la edad. También cubre los temas de la emancipación, la incapacitación y la prodigalidad, y define la diferencia entre capacidad jurídica y capacidad de obrar.
El documento resume el funcionamiento de la Unión Europea. Explica que la UE está compuesta por 27 países y 500 millones de habitantes, y que su objetivo es promover la paz, la prosperidad y la democracia en Europa. Describe las cuatro principales instituciones de la UE - el Parlamento Europeo, el Consejo de la UE, la Comisión Europea y el Tribunal de Justicia de la UE - y sus funciones respectivas. También explica brevemente cómo se hace la legislación de la UE y las fuentes del derecho comunitario.
Este documento resume las principales fuentes del derecho en España. Explica que las fuentes formales directas son la ley, la costumbre y los principios generales del derecho. Las fuentes indirectas que ayudan a interpretar la ley son la jurisprudencia y la doctrina. Describe la jerarquía de las normas en España, siendo la Constitución la norma suprema, seguida de los tratados internacionales, las leyes orgánicas y las leyes ordinarias. Finalmente, explica conceptos como la entrada en vigor de las leyes, su vig
Este documento presenta varios problemas matemáticos relacionados con funciones, derivadas parciales y curvas de nivel. En la primera sección, se analiza cómo varía la cantidad de minutos de llamadas de un consumidor en función de los costes laborales y la tasa de interés. En la segunda sección, se estudia una función f(x,y) y se calculan su dominio, gradiente y plano tangente en un punto. Finalmente, se analiza si se puede aplicar el teorema de la función implícita a una curva de nivel de f.
Este documento presenta una introducción a conceptos básicos de economía. Explica que la economía estudia cómo los individuos y sociedades toman decisiones sobre el uso de recursos escasos. Describe los principios de la oferta y la demanda, y cómo los mercados tienden a alcanzar un equilibrio entre la oferta y la demanda a través de los precios. También introduce conceptos como la curva de posibilidades de producción y el flujo circular de la renta para explicar cómo funciona la economía a nivel macro.
1. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
1
RESUM MATEMATIQUES PARCIAL II
TEMA 4: LÍMITS I CONTINUÏTAT EN FUNCIONS DE DIFERENTS
VARIABLES
Límit: punts propers amb imatges properes a un nombre real L el qual és el
límit. Si existeix, aquest és únic.
Si en calcular el límit ens dóna indeterminació, ens acostarem al punt per
trajectòries rectilínies, parabòliques o varies:
- Si troben 2 resultats diferents el límit no existeix.
- Encara que després de varius càlculs ens dóna el mateix no vol dir que sigui el
límit buscat, sinó que és CANDIDAT A LÍMIT (ja que hi ha infinites trajectòries).
Per tant, QUÈ HEM DE FER?
i. Determinar el punt amb indeterminació.
ii. Buscar un candidat amb trajectòries.
iii. Si el límit per diferents trajectòries és:
i. Diferent: NO EXISTEIX EL LÍMIT.
ii. Iguals: no podem assegurar que és el límit. Aleshores haurem
de seguir la definició.
TRAJECTÒRIES RECTILÍNIES
( ) ( )
( ) ( )
TRAJECTÒRIES PARABÒLIQUES
( ) ( )
( ) ( )
On ens hauria de donar:
( ( ( )) ( ( ( ))
Cal recordar una sèrie d’operacions:
| | | | | | | | | | | |
| |
| |
| |
| | | | | |
1. Funcions contínues
Una de les propietats fonamentals és que sumes, productes, restes... de funcions
contínues donaran com a resultat funcions contínues. Per exemple:
2. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
2
( ) {
( )
( )
Aquí es pot dir que f(x,y) és contínua a R²{0,0} perquè és un quocient de
funcions contínues. I què passa a (0,0)?
( ) ( )
( )
Per tant, no és contínua a (0,0).
2. Teorema de Weiestrass
Sigui una funció contínua en un conjunt compacte (tancat i fitat), llavors f assoleix
un valor màxim i mínim absoluts.
Per exemple:
( ) {( ) }
i. F(x,y) és contínua a tot R² ja que és un producte de dues funcions
contínues.
ii. Necessitem saber si el conjunt és compacte. Si representem veiem que
efectivament ho és. Amb això tenim que f(x,y) assoleix un màxim i un
mínim absoluts. Per trobar-los apliquem les corbes de nivell.
En el punt (3,4) trobem el màxim i en (1,1) trobem el màxim. No ens interessa
saber la corba de nivell exacte, sinó el punt on es troben el màxim i el mínim.
TEMA 5: DERIVADES PARCIALS I DIRECCIONALS
1. Derivada direccional
Si tenim:
- Una funció definida en .
3. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
3
- Un punt del domini.
La derivada direccional en la direcció donada pel vector v ve donada per:
( )
( ) ( )
No obstant, en dues variables tenim:
- f: , un punt ( ) i un vector ( ) definim la derivada direccional
com:
( )
( ) ( ) ( )
Cal destacar que sempre usarem el vector unitari ||v||=1, el qual es calcula:
|| || (
| | | |
)
Ara bé, aquesta fórmula no l’utilitzarem a no ser que ens preguntin si una funció és
diferenciable.
2. Derivades parcials
Són un cas de les direccionals i segueixen els vectors de la base canònica. Veiem
un exemple:
( )
3. Gradient d’una funció
( )
( )
( )
4. Derivades parcials a f:
Per exemple, si tenim una funció de R³ a R² com:
4. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
4
( ) ( )
Tenim dues components de f que són c1 i c2 i a més, cadascuna d’aquestes té tres
parcials, segons la variable la qual volem calcular la derivada parcial.
5. Matriu Jacobiana
( ) ( )
On el que va dins de la matriu és el vector gradient de cada component transposat.
6. Interpretació de les derivades parcials
Podem fer tres interpretacions:
i. Taxa de variació: ens diu quant varia la funció en patir una certa variació
de la variable en qüestió.
ii. ( ) f és creixent en la direcció positiva de xi.
iii. ( ) f és decreixent en la direcció positiva de xi.
7. Interpretació de les derivades direccionals
Són semblants a les parcials, no obstant totes les variables varien.
i. ( ) f creix en el punt x0 en la direcció donada per v.
ii. ( ) f decreix en el punt x0 en la direcció donada per v.
8. Interpretació econòmica de les derivades parcials
S’anomena MARGINAL i és la taxa de variació d’una funció econòmica.
9. Interpretació geomètrica del gradient
i. Pla tangent.
ii. ( ) és ortogonal a la corba de nivell que passa per (aplicació pel
TFIM).
iii. ( ) indica la direcció de màxim creixement de f.
5. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
5
10. Pla tangent
Usarem el gradient per calcular el pla tangent que passa per un punt. Tenim
f: , la qual f(x,y) i un punt P( ), aleshores:
( ) ( )
On l’equació del pla tangent és:
( )( ) ( )( )
O és el mateix que:
( ) ( )
11. Funcions diferenciables
Una funció és diferenciable si té una recta tangent que s’apropi a la funció, a més
serà diferenciable si es pot derivar:
- Si té ∞ rectes tangents NO ÉS DIFERENCIABLE
- En funció de varies variables serà diferenciable si hi ha un pla tangent que
s’apropi a f.
La existència de derivades parcials no implica diferenciabilitat. No
obstant, si totes les parcials són contínues implica que la funció és
diferenciable en el punt.
*funcions amb un pla tangent però no són contínues.
**funcions amb derivades parcials contínues les anomenades classe ce-u.
11.1. Conseqüències de les f: diferenciables
i. Aproximació d’imatges pel pla tangent.
No contínues Contínues ***
Funcions no diferenciables Funcions diferenciables
6. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
6
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
On podrem trobar les imatges al voltant de ( )
ii. Càlcul de derivades direccionals:
( ) (
( )
( )
) ( )
O el que és el mateix:
( ) ( ) ( )
12. Regla de la cadena
Tenim C=C(x, y) i x=x(m1, m2, m3) i y=y(m1, m2, m3). Per saber com varia C en
funció de m1, m2, m3 s’ha de veure que hi h una composició definida per:
Aleshores, hem d’aplicar la regla de la cadena i per a fer-ho ens hem de fer la
pregunta:
Quants camins hi ha per arribar, per exemple a m1?
En el nostre exemple seria:
I trobem que hi ha 2 camins fins arribar a m1.
13. Derivades parcials segones
És derivar parcialment dues vegades una funció. La nomenclatura és:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
M1
M2
M3
X
Y
C
7. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
7
S’anomena matriu Hessiana la que recull totes les derivades parcials segones,
essent:
( ) ( )
On yx i xy seran iguals. És a dir, es tracta d’una matriu simètrica.
14. Teorema de Schwartz
Tenim una funció amb derivades parcials segones contínues, aleshores s’anomena
que és una funció de classe C² (classe ce-dos). A més, les derivades parcials
segones creuades són iguals.
TEMA 6: TEOREMA DE LA FUNCIÓ IMPLÍCITA (TFIM)
Per saber si existeix una funció ( ) que va de al voltant d’un punt,
definida implícitament diferenciable de manera que la imatge de f(x,y, ( )) és igual
a 0, hem de fer:
i. La funció és de classe ce-u? (les parcials són contínues?)
ii. La funció en el punt és igual a 0?
iii. en el punt és diferent a 0?
Si es compleixen aquests punts podem dir que:
( )
( ) ( ( ))
1. Aplicacions i conseqüències
Tenim f: , un punt ( ) que pertany al domini i una corba de nivell en
aquest punt que l’anomenem K.
Si ( ) ( ) i es verifica el TFIM, tenim que:
i. Pendent de la recta tangent a la corba de nivell en ( ).
( )
ii. El vector gradient és perpendicular al vector director de la recta tangent
(v(b,-a)).
8. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
8
2. Teorema de la funció inversa TFIN
Aquí tractarem amb funcions vectorials i no pas amb escalars. Serveix per saber, si
tenim f(x,y)=(u,w) quant variaria u si augmentéssim x o y.
No obstant, amb el teorema trobarem les parcials que busquem però no pas ,
sinó que simplement ens ajudarà. Per tant haurem de calcular:
i. Existeix F en el punt?
ii. Cadascuna de les components de f és de classe ce-u?
iii. El determinant de la matriu Jacobiana de f en el punt és diferent a 0?
Aleshores podrem dir que:
( )
( ) (̂ ̂) [ (̂ ̂)]
És a dir, per trobar la inversa haurem de fer la inversa de la matriu Jacobiana.
Si tenim:
( )
| |
( )