1. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
1
1
TEMA 7
OPTIMITZACIO SENSE
RESTRICCIONS
Anem a veure el propòsit:
Si tenim un problema [P], que hem d’opt f(x) s.a. (subjecte a) tal
que:
{ } ( )
Per classificar les formes quadràtiques podem utilitzar dos mètodes:
- Per elements de la diagonal si és una matriu diagonal.
Una matriu és diagonal si:
( )
a. Definida positiva si
b. Definida negativa si
c. Semidefinida positiva si
d. Semidefinida negativa si
e. Indefinida si
- Pel mètode de la regla de Sylvester: usarem els menors principals
diagonals o dominants.
( )
a. Q és definida positiva si
b. Q és definida negativa si és a dir, alternen signes
començant per negatiu.
c. Q és indefinida si almenys un dels menors principals d’ordre parell és negatiu.
Per trobar els òptims tenim dues condicions:
i. Condició necessària de primer ordre (CNPO).

2. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
2
2
( )
Hi ha un paral·lelisme amb les funcions d’una variable, les quals les derivàvem i les
igualàvem a 0. No obstant, aquí es mira el gradient, format per les parcials i s’iguala a
0.
ii. Condició suficient de segon ordre (CSSO).
- Si l’Hessiana en el possible òptim és definida positiva  MÍNIM LOCAL
- Si l’Hessiana en el possible òptim és definida negativa  MÀXIM LOCAL
- Si l’Hessiana en el possible òptim és indefinida  PUNT DE SELLA
Un punt de sella és, si visualitzem una sella de muntar a cavall, hi ha uns punts crítics
els quals poden ser un màxim o bé un mínim, per això anul·la el gradient.
A més tenim la condició suficient de globalitat dels extrems locals:
- Si f és convexa i és un mínim local  és mínim global
- Si f és còncava i és un màxim local  és un màxim global
Caracterització de les funcions còncaves/convexes:
 Si ( ) és definida positiva per tot x  f és CONVEXA
 Si ( ) és definida negativa per tot x  f és CÒNCAVA
EXEMPLE I
Troba i classifica els punts crítics d’aquesta funció:
( )
1. CNPO  ( )
(1)
(2)
(1) ( ) ( ) ( )
(2) ( ) ( ) ( )
(3)+(5)  PC(0,0)
(3)+(6)  PC(0,1/2)
(4)+(5)  PC(4,0)

3. Matemàtiques II
Melanie Nogué Fructuoso
3
3
(4)+(6)  PC(4,1/2)
2. CSSO  Classificar
PC (0,0)
( ) ( )
PC (0,1/2)
( ) ( )
PC (4,0)
( ) ( )
PC(4,1/2)
( ) ( )
PC (0,0) MÀXIM
PC (0, ½) PUNT DE SELLA
PC (4,0) PUNT DE SELLA
PC (4, ½ ) MÍNIM