Dokumen tersebut membahas tentang magnetostatika dan hukum-hukum dasar yang terkait, seperti hukum Lorentz, hukum Biot-Savart, dan hukum Ampere. Dokumen ini juga membahas konsep vektor potensial magnetik dan ekspansi multipol yang terkait dengan distribusi arus listrik."

1. MAGNETOSTATICS
By : Septiko Aji

2. The Lorentz Force Law
Magnetic Field
 Prinsip Elektrostatik
Menganggap muatan sumber dalam keadaan diam
 Prinsip Magnetostatik
Muatan yang bergerak (ada arus listrik) akan
menghasilkan E (medan listrik) dan B (medan magnet)
 Arah Medan Magnet (gambar 5.3 & 5.4)
Prinsip yang
digunakan untuk
menjelaskan
interaksi dua
kawat berarus
ketika didekatkan

3. The Lorentz Force Law
Magnetic Force
 Gaya magnetik akibat muatan Q yang bergerak dengan
kecepatan v
Fm ag Q(v B)
 Muatan bergerak akan muncul B dan E maka total
gayanya F Q E (v B) Lorentz Force law
L
 Cycloid motion, terjadi ketika sebuah partikel bermuatan
diletakkan di dalam ruang bermedan magnet dan medan
listrik serba sama dan arahnya saling tegak lurus
(gambar 5.7)

4. The Lorentz Force Law
Current
 Jika muatan yang terdistribusi garis mengalir dalam
kawat dengan kecepatan v maka :q l
q
I λv
t t l
 Gaya magnetik tiap elemen kawat (gambar 5.9)
Fmag (v B)dq (v B) dl (I B)dl I (dl B)

5. The Lorentz Force Law
Current
 Jika muatan mengalir pada suatu permukaan (surface),
aliran tersebut dinyatakan rapat arus permukaan, K
(surface current density)
 Sebuah pita dengan tebal dl searah dengan arus
(gambar 5.13), arus yang mengalir dI dI
maka nilai K,
K v
dl
 Gaya magnetik pada muatan yang terdistribusi muatan
Fmag (v B)dq (v B) da (K B)da

6. The Lorentz Force Law
Current
 Jika muatan mengalir pada benda berdimensi tiga
(ruang), aliran tersebut dinyatakan rapat arus pervolume
(J).
 Sebuah tabung dengan diameter da sejajar dengan arus
(gambar 5.14), arus yang mengalir dI maka nilai J,
dI
J v
da
Gaya magnetik pada muatan yang terdistribusi muatan
Fmag (v B)dq (v B) d (J B)d

7. The Lorentz Force Law
Current
 Arus yang mengalir melewati permukaan s, Jda
I Jda
S S
dq d d
dimana I d
dt dt t
maka q
J da
t
dengan teorema divergensi dapat diturunkan
J Persamaan Kontinuitas
t

8. The Biot-Savart Law
Steady Current
 Arus steady (aliran muatan yang tetap) akan
menghasilkan medan magnet yang konstan terhadap
waktu.
 Apabila ada arus yang mengalir pada sebuah kawat ,
sesuai persamaan kontinuitas maka
0 da J 0
t n
The Magnetic Field of a Steady Current
 Medan magnet dari sebuah arus steady (hukum Biot-
Savart). ˆ ˆ
o I r oI dl r
B(r ) 2
dl
4 r 4 r2
o 4 10 7 NA 2
Permeabili tas

9. The Divergence and Curl of B
Straight-Line Current
 Medan magnet akibat kawat lurus tak hingga berarus
listrik (gambar 5.27), medan magnet tersebut memilik
curl tetapi tidak memiliki divergensi
 Integral B terhadap lintasan berjari2 s yang berpusat
pada kawat lurus sangat panjang sbb :
I
o oI
B dl dl dl o I
2 s 2 s
Jika digunakan koordinat silindris, untuk
arus yang mengalir sejajar sumbu z
I ˆ
B o
dl dss sd ˆ dzz
ˆ ˆ
2 s

10. The Divergence and Curl of B
Straight-Line Current
oI 1 o I
Maka B dl sd d o I
2 s 2 0
Umpamakan sebendel kawat lurus, masing-masing melalui
oI
loop berkontribusi , maka bentuk integralnya
B dl I
o enc hukum ampere
Dimana I enc adalah arus total yang dilingkupi oleh
integrasi

11. The Divergence and Curl of B
Straight-Line Current
Jika aliran muatan mepresentasikan rapat muatan tiap
volume. Maka arus yang dicakup adalah
I enc J da
Maka sesuai teorema stokes
( B) da o J da
Maka diperoleh hukum ampere dalam bentuk lain
( B) o J

12. The Divergence and Curl of B
The Divergence and Curl of B
 Hukum Biot-savart untuk arus terdistribusi tiap muatan
oI
ˆ
J (r ) r
B 2
d
4 r
Perhatikan gambar 5.30
B adalah sebuah fungsi (x,y,z)
J adalah sebuah fungsi (x’,y’,z’)
r ˆ ˆ
(x x )x ( y y ) y (z z )z
d dx dy dz
Divergensi dari hukum biot-savart didapat
oI
ˆ
r
B ( J 2 )d
4 r

13. The Divergence and Curl of B
The Divergence and Curl of B
Dengan melibatkan perkalian aturan 6
ˆ
r ˆ
r ˆ
r
(J 2 ) 2
( J) J ( 2
)
r r r
J 0 karena J dideferensialkan terhadap variabel
(x,y,z) padahal J tidak bergantung (x,y,z) dan didapat
B 0
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa tidak ada
monopole magnet (tidak seperti medan listrik yang dapat
dihasilkan oleh satu muatan tunggal atau monopole)

14. The Divergence and Curl of B
Applications of Ampere’s Law
 Hukum Ampere B oJ
 Hukum Ampere dalam bentuk integral (Teorema Stokes)
( B) da B dl o J da
B dl I
o enc
 Contoh 5.7 Tentukan medan magnet pada jarak s dari
kawat panjang berarus listrik tetap
B dl B dl B2 s I
o enc o I
oI
B
2 s

15. Comparison of Magnetostatics and Electrostatics
 Divergensi dan Curl pada medan elektrostatic
E 0
1
E Gauss' s Law
o
 Divergensi dan Curl pada medan magnetostatik
B 0
B o J Ampere' s Law
 Gaya Lorentz
FL Q E (v B)

16. Magnetic Vector Potential
The Vector Potential
 Dengan E 0 memungkinkan memperkenalkan
sebuah potensial skalar (V)
E V
 Pada Magnetostatik B 0 memungkinkan untuk
memperkenalkan potensial vektor (A) yang dinyatakan
sbb: B A
dikaitkan dengan Hukum Ampere
2
B ( A) ( A) A o J
A 0
Dengan 2
maka bentuk hukum ampere menjadi
A oJ

17. Magnetic Vector Potential
The Vector Potential
memiliki solusi
o J (r )
A d
4 r
 Untuk Arus berdistribusi garis memiliki solusi
I
o o 1
A dl I dl
4 r 4 r
 Untuk Arus berdistribusi permukaan memiliki solusi
o K
A da
4 r

18. Magnetic Vector Potential
Summary; Magnetostatic Boundary conditions
Diagram untuk menyimpulkan hubungan tiga besaran
pokok dalam magnetostatik

19. Magnetic Vector Potential
Multipole Expansion of the Vector Potential
 Ide dari multipole ekspansion adalah sebuah deret dari
1/r (perhatikan gambar 5.51)
1 1
r r 2 (r ) 2 2rr cos
1 1 r n
( ) Pn (cos )
r rn0 r
maka vektor potensial oleh suatu loop arus bisa ditulis
kembali
1 oI 1
A o
I dl (r ) n Pn (cos )dl
4 r 4 n 0 rn 1

20. Magnetic Vector Potential
Multipole Expansion of the Vector Potential
 Karena tidak ada monopole, maka suku yang dominan
adalah dipole yaitu :
oI oI
Adip 2
r cos dl 2
ˆ
(r r )dl
4 r 4 r
 Integral tersebut dapat dtulis kembali dg melibatkan pers
1.108
ˆ
(r r )dl ˆ
r da
om rˆ
Adip (r )
kemudian 4 r2
dimana m adalah moment dipole magnetik
m I da Ia