Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị

CHUYÊN ĐỀ 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số:    
,
y f x y g x
 
Phương trình hoành độ giao điểm:         0
f x g x f x g x
    là một phương trình đại số, tùy theo số
nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép:
tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…
Chú ý:
1) Phương trình bậc 3: 3 2
, 0
ax bx cx d a
   
Nếu có nghiệm 0
x x
 thì phân tích:   
2
0 0
x x Ax Bx C
   
Nếu đặt hàm số   3 2
f x ax bx cx d
    thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc
. 0
CÐ CT
y y  , có 2 nghiệm: . 0
CÐ CT
y y  , có 3 nghiệm phân biệt: . 0
CÐ CT
y y  .
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:
 
. 0
, 0
. 0 0
C Ð CT
C Ð CT
y y
x x
a f
 



 

2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị
 
g x
y
x k


, ta thường lấy hai hoành độ k a
 và k b
 với , 0
a b  .
Góc và khoảng cách:
- Góc giữa 2 vectơ:   2 2 2 2
' '
cos ,
. ' '
xx yy
u v
x y x y


 
- Góc giữa 2 đường thẳng:   2 2 2 2
' '
cos cos , '
. ' '
AA BB
n n
A B A B


 
 
- Khoảng cách    
2 2
B A B A
AB x x y y
   
- Khoảng cách từ  
0 0 0
;
M x y đến  : 0
Ax By C
    :
0 0
2 2
Ax By C
d
A B
 


- Đồ thị hàm bậc 3:  
y f x
 cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB BC
 tức
là 3 nghiệm 1 2 3
, ,
x x x lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.

Phương trình trùng phương 4 2
0, 0
ax bx c a
    có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi 1 2
0 t t
  ,
2 1
9
t t
 .
Tiếp tuyến và tiếp xúc:
- Tiếp tuyến tại điểm  
0 0
;
M x y của đồ thị    
:
C y f x

  
0 0 0
'
y y f x x x
   , hệ số góc:    
' tan 0 ,
f x k x t
 
- Điều kiện 2 đồ thị  
y f x
 và  
y g x
 tiếp xúc là hệ phương trình:
   
   
' '
f x g x
f x g x
 





có nghiệm
- Tiếp tuyến đi qua điểm  
;
K a b : Lập phương trình tiếp tuyến tại 0
x bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua điểm
 
;
K a b thì tìm ra 0
x .
Chú ý: Với hai đường thẳng : , ': ' '
d y ax b d y a x b
    thì có: '
d d
 khi '
a a
 , '
b b
 ; / / '
d d
khi '
a a
 , '
b b
 ; '
d d
 khi . ' 1
a a  
Yếu tố đối xứng:
- Hàm số chẵn: x D x D
    và    
f x f x
 
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung.
- Hàm số lẻ: x D x D
    và    
f x f x
  
Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O.
- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI .
   
Oxy IXY
 với  
0 0
;
I x y :
0
0
x X x
y Y y
 


 

- Điều kiện  
C nhận  
0 0
,
I x y là tâm đối xứng.
   
0 0
0 0 0
, ,
2
f x x f x x
y x x x x D
  
     , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến gốc I nói trên
là hàm số lẻ.
- Điều kiện  
C nhận :
d x a
 làm trục đối xứng;
   , ,
f a x f a x a x a x D
       , hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến  
;0
S a là hàm số
chẵn.
Quỹ tích điểm M:
Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y.

Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y).
Đặc biệt: Nếu    
;
M x y V
 thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số 4 2 2
2 1
y x m x
   luôn cắt đường thẳng 1
y x
  tại đúng hai
điểm phân biệt với mọi giá trị m.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
 
4 2 2 3 2
2 1 1 2 1 0
x m x x x x m x
       
0
x
  hoặc 3 2
2 1 0
x m x
  
Xét hàm số   3 2
2 1
f x x m x
   . Ta có  
0 1 0
f    và
  2 2
' 3 2 0
f x x m
   nên hàm số này đồng biến trên .
Vì    
3 2
lim lim 2 1
x x
f x x m x
 
    
và    
3 2
lim lim 2 1
x x
f x x m x
 
    
nên phương trình   0
f x  luôn có nghiệm duy nhất 0
x  : đpcm.
Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
a)    
3 2
2 1 3 2 2
y x m x m x m
       .
b) 3
3 1
y x mx m
    .
a) Cho    
3 2
0 2 1 3 2 2 0
y x m x m x m
        
  
2
1 2 2 0
x x mx m
     
1
x
   hoặc    
2
2 2 0 1
f x x mx m
    
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt khác −1.
 
2
' 0 2 0
1
1 0 3 0
m m
m
f m
 
    

   
 
    
 

hoặc 2, 3
m m
 
b) D  . Ta có 2 2
' 3 3 , ' 0
y x m y x m
     .
Điều kiện  
m
C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và . 0
CÐ CT
y y 

0
m
  và    
. 0 . 0
CÐ CT
y y f m f m
   
    
2 3
1 2 . 1 2 0 1 4 0
m m m m m m m m
          .
  
3 2 2
4 2 1 0 1 4 3 1 0 1
m m m m m m m
             .
(vì 9 16 0
    nên 2
4 3 1 0,
m m m
    ).
Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng  
m
d đi qua điểm  
2;2
A  và có hệ số góc m cắt đồ thị
của hàm số:
2 1
1
x
y
x



a) Tại hai điểm phân biệt?
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
Phương trình của    
: 2 2 2 2
m
d y m x mx m
      .
Phương trình hoành độ giao điểm của  
m
d và đường cong:
  
2 1
2 2 2 2 1 2 1, 1
1
x
mx m mx m x x x
x

          

 
2
3 2 3 0, 1 1
mx mx m x
      
a) Đường thẳng  
m
d cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt khác −1.
  2
0 0
0
0, 1 0 12 0
a m
m
g m m
 
 

  
 
     
 

hoặc 12
m  .
b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng 1
x   của đồ thị. Đường
thẳng  
m
d cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có
hai nghiệm 1 2
,
x x và 1 2
1
x x
   .
Đặt 1
x t
  thì 1 2 1 2
1 0
x x t t
      .
Phương trình trở thành:    
2
1 3 1 2 3 0
m t m t m
     
 
2
3 0 2
mt mt
    .
ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu 0 0
P m
    .
Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng

a) , 0
y m m
  cắt đồ thị  
C của hàm số 4 2
3 2
y x x
   tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông
tại gốc tọa độ O.
b) 3
y x m
  cắt đồ thị  
C của hàm số
2
1
x
y
x


tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1 2
,
x x và 1 2
x x
 đạt
giá trị nhỏ nhất.
a) Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2 4 2
3 2 3 2 0
x x m x x m
       
Với mọi 0
m  thì đường thẳng y m
 cắt  
C tại hai điểm phân biệt  
;
A
A x m và  
;
B
B x m đối xứng
qua Oy, A B
x x
 .
Tam giác OAB vuông tại O nên 2
. 0 . 0
A B
OAOB x x m
   
Mà 0
A B
x x
  nên ;
A B
x m x m
  
Do đó   
4 2 3 2
3 2 0 2 2 1 0
m m m m m m m
         
2
m
  (vì 0
m  )
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
 
2
2
3 2 3 0, 1
1
x
x m x m x m x
x
       

.
Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt khác 1:
 
2
0 2 9 0
1 0 1 0
m m
g
 
    


 
  
 

: Đúng m

Ta có: 1 2
2 2 4
b b
x x
a a
      
   
 
2
2
2 9 1 2
1 8
4 4 2
m m
m
 
    
Vậy giá trị 1 2
x x
 nhỏ nhất khi 1
m   .
Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho
a) Đồ thị của hàm số  
4 2
1
y x m x m
    cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài
bằng nhau.
b) Đường thẳng :
d y x m
   cắt  
2 1
:
1
x
C y
x



tại hai điểm A, B mà 10
AB  .

a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:
 
4 2 2
1 0 1
x m x m x
      hoặc 2
x m
 .
Điều kiện 0
m  và 1
m  . Khi đó, phương trình có 4 nghiệm
1, 1, ,
x x x m x m
     
Đường cong cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi: 3
m  hoặc
1
9
3
m m
   hoặc
1
9
m  (chọn).
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và  
C :
 
2
1 1 0
2 1
1 1
x m x m
x
x m
x x
     
 
    
 


Đường thẳng d cắt  
C tại 2 điểm A, B phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm 1 2
,
x x phân biệt khác 1.
   
 
2 2
1 4 1 0 1
6 5 0
5
1 0,
1 1 1 0
m m m
m m
m
m
m m
      
    

 
   
 
     



Khi đó    
1 1 2 2
; , ;
A x x m B x x m
    và 1 2 1 2
1; . 1
x x m x x m
    
Ta có      
2 2 2
2 1 2 1 2 1
10 10 5
AB x x x x x x
        
     
2 2
1 2 1 2
4 5 1 4 1 5 0
x x x x m m
         
1 1 0
1 5 6
m m
m m
   
 
 
 
  
 
(thỏa mãn).
Vậy 0
m  hay 6
m  .
Bài toán 3.6: Chứng minh các đường thẳng :
d y m x
  luôn cắt đồ thị  
C :
2
3
1
x x
y
x



tại 2 điểm M, N
và cắt 2 tiệm cận của  
C tại P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có cùng trung điểm.
Phương trình hoành độ giao điểm d và  
C :
 
2
2
3
2 4 0, 1
1
x x
m x x m x m x
x

       

.

Ta có 1
x  không là nghiệm và 2
16 0
m
    , m
 nên d luôn cắt  
C tại 2 điểm phân biệt M, N.
Ta có
2
3 2
2
1 1
x x
y x
x x

   
 
nên TCĐ: 1
x  , TCX: 2
y x
  .
Do đó 1
P
x  , hoành độ giao điểm Q của d với TCX: 2
m x x
  
2
2
Q
m
x

  . Do đó
4
2 2 2
P Q M N
x x x x
m
 

  : đpcm.
Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a) 2
y x
  biết tung độ tiếp điểm là 0 2
y 
b) 3 2
1
2 3 1
3
y x x x
     song song với
3
: 9
4
d y x
 
a) Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm  
 
0 0
,
x f x :
    
0 0 0
'
y f x x x f x
  
Vì 0 0
2 2 2 2
y x x
     
 
1
'
2 2
f x
x


nên  
0
1
'
4
f x  .
Thế vào:  
1 1 3
2 2
4 4 2
y x x
     .
b) 2
' 4 3
y x x
    . Đường thẳng d có hệ số góc
3
4
k  .
Tiếp tuyến song song với nên 2
3 3
' 4 3
4 4
y x x
     
2
0
5
4 16 15 0
2
x x x
       hoặc 0
3
2
x   .
Với 0
5
2
x   thì  
0
29
24
f x  nên có tiếp tuyến
3 37
4 12
y x
 
Với 0
3
2
x   thì  
0
5
4
f x   nên có tiếp tuyến
3 1
4 8
y x
  .
Vậy có 2 tiếp tuyến
3 1
4 8
y x
  và
3 37
4 12
y x
  .
Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị:

a) 3 2
2 6 3
y x x
   và có hệ số góc bé nhất.
b)  
y f x
 thỏa mãn    
2 3
1 2 1
f x x f x
    tại 1
x 
a) Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó.
 
2
2
' 6 12 6 6 1 6
y x x x
        , dấu = khi 0 1
x 
nên max ' 6
y   , do đó tiếp tuyến tại  
1; 1
A  là 6 5
y x
   .
b) Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
       
2
4 1 2 . ' 1 2 1 3 1 . ' 1
f x f x f x f x
     
Thế 0
x  :          
2
4 1 . ' 1 1 3 . ' 1 *
f f f x f
 
Thế 0
x  vào        
2 3 2 3
1 2 1 1 1
f x x f x f f
      
   
   
2
1 1 1 0 1 0
f f f
     hoặc  
1 1
f   .
Với  
1 0
f  thì  
* :0 1
 (loại)
Với  
1 1
f  thì        
1
* : 4 ' 1 1 3 ' 1 ' 1
7
f f f

     .
Vậy phương trình tiếp tuyến  
1
1
7
y x
  
Bài toán 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến của  
C hàm số:
a)
3
1
x
y
x



biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  
C đến tiếp tuyến bằng 2 2 .
b) 3 2
3 2
y x x
   biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho
9
OB OA
 .
a) Ta có
 
2
4
' , 1
1
y x
x
  

Phương trình tiếp tuyến d tại    
0 0 0
; , 1
M x y C x
  
 
  0
0
2
0
0
3
4
1
1
x
y x x
x
x

  


   
2 2
0 0 0
4 1 6 3 0
x x y x x
       nên

 
   
 
2 2
0 0 0
4
0
4 1 6 3
, 2 2 2 2
16 1
x x x
d I
x
     
   
 
     
2
4 2 2
0 0 0
1 8 1 16 0 1 4 0
x x x
 
         
 
 
2 0
0
0
1
1 4
3
x
x
x


      

Với 0 1
x  ta có phương trình tiếp tuyến 2
y x
 
Với 0 3
x   , ta có phương trình tiếp tuyến 6
y x
  .
b) Ta có 2
' 3 6
y x x
  .
Tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho 9
OB OA
 nên hệ số góc của
tiếp tuyến d là:
tan 9
OB
k OAB
OA
    
Do đó 2
' 9 3 6 9
y x x
     
 
2
0
2
0
2 3 0 1
3
2 3 0
x x x
x
x x VN
     

 
  
  
 

Với 0 1
x  , phương trình của d là 9 7
y x
 
Với 0 3
x  , phương trình của d là 9 25
y x
  .
C hàm số:
1
2
x
y
x



tại điểm M có hoành độ âm, biết tiếp
tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích
1
6
S  .
Ta có
 
2
3
' , 2
2
y x
x

 

Tiếp tuyến d với  
C tại  
0 0 0
; , 0
M x y x 
 
  0
0
2
0
0
1
3
:
2
2
x
d y x x
x
x


  


Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với Ox và Oy.

 
2 2
0 0 0 0
2
0
2 2 2 2
;0 , 0;
3 2
x x x x
A B
x
 
 
   
 
   

   
. Ta có
 
2 2
0 0 0 0
2
0
2 2 2 2
1 1 1 1 1
. .
6 2 6 2 3 6
2
x x x x
S OAOB
x
   
    

2
0 0 0 0
2
0 0
0 0
0 1 0
4 1
3 4 0
x x x x
x x
x x
      

 
     
  
 

Chọn 0 0
x  nên có hai tiếp tuyến là:
 
1 2
1 1 1
: 1 ; :
3 12 6
d y x d y x
      .
C hàm số:
a) 3 2
5 2
y x x
   và đi qua  
0;2
A
b)
 
1 2
, 0
1
m x m
y m
mx m
  
 
 
và đi qua  
1; 1
M  
a) Ta có: 2
' 3 10
y x x
  . Phương trình tiếp tuyến tại điểm  
0 0
;
M x y
  
0 0 0
'
y f x x x y
  
    
3 3 2
0 0 0 0 0
3 10 5 2
y x x x x x x
     
Cho tiếp tuyến qua  
0;2
A :     
2 3 2
0 0 0 0 0
2 3 10 0 5 2
x x x x x
     
 
3 2 2
0 0 0 0 0
2 5 0 2 5 0 0
x x x x x
        hoặc 0
5
2
x 
Với 0 0
x  thì có tiếp tuyến 2
y 
Với 0
5
2
x  thì có tiếp tuyến
25
2
4
y x
  
b) Ta có
 
2
1 1
' ,
1
m
y x
m
mx m
 
 
 
Gọi d là tiếp tuyến với  
m
C tại điểm  
0 0
;
T x y bất kỳ.
  
0 0 0
: '
d y y x x x y
  

 
 
  0
0
2
0
0
1 2
1
1
1
m x m
y x x
mx m
mx m
  

  
 
 
Tiếp tuyến d đi qua  
1; 1
M   nên ta có:
 
  0
0
2
0
0
1 2
1
1
1
1
m x m
x
mx m
mx m
  

  
 
 
 
0 0
2
0
0
1 1
0
1
1
x x
mx m
mx m
 
  
 
 
 
 
2
0
0
2
0
1
0 1
1
m x
x
mx m

    
 
(vì 0
m  )
Vậy phương trình tiếp tuyến : 2
d y x
   .
Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:
  2
1 : 5 6
P y x x
   và   2
2 : 5 11
P y x x
   
     
2
1 : 5 6 ' 2 5
P y f x x x f x x
      
     
2
2 : 5 11 ' 2 5
P y g x x x g x x
        
Gọi tiếp tuyến chung là y ax b
  và  
 
1 1 1
;
M x f x ,  
 
2 2 2
;
M x g x là 2 tiếp điểm tương ứng. Ta có hệ:
 
 
 
 
2
1 1 1 1 1
1 1
2
2 2 2 2 2
2
2
5 6
' 2 5
5 11
2 5
'
f x ax b x x ax b
f x a x a
g x ax b x x ax b
x a
g x a
       
 
  
 

 
      
 
   
 

Do đó  
1 2
2 10 0
x x
   nên 2 1
5
x x
 
và     
2 2
1 1 2 2 1 1 2
5 6 5 11 2 5
x x x x x x x
        
nên      
2 2
2
1 1 1 1 1
5 17 5 5 5 2 5 0
x x x x x
        
2
1 1 1
2 10 8 0 1
x x x
      hoặc 1 4
x  .
Với 1 1
x  thì 3, 5
a b
   . Với 1 4
x  thì 3, 10
a b
   .
Vậy có 2 tiếp tuyến chung: 3 10
y x
  và 3 5
y x
   .

Bài toán 3.13: Tìm điểm M trên đồ thị  
C hàm số:
2 2
2
x
y
x



sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm
cận của A, B với 2 5
AB  .
Phương trình tiếp tuyến tại    
0 0 0
; , 2
M x y C x
 
 
  0
0
2
0
0
2 2
2
:
2
2
x
d y x x
x
x


  


Giao điểm của d với tiệm cận đứng 2
x  là 0
0
2
2;
2
x
A
x
 
 

 
;
Giao điểm của d với tiệm cận ngang 2
y  là  
0
2 2;2
B x 
   
 
2
2 2
0
0 0 2
0 0
2 4
2 4 2 2 2
2 2
x
AB x x
x x
 
      
 
 
 
Ta có  
 
2
0 2
0
4
2 5 2 5
2
AB x
x
    

   
 
 
2
4 2 0 0 0
0 0 2
0 0
0
2 1 1; 3
2 5 2 4 0
0; 4
2 4
x x x
x x
x x
x
    


          
 
 

Vậy        
0;1 , 1;0 , 3;4 , 4;3
M M M M .
Bài toán 3.14: Cho hàm số   4 2
2
y f x x x
   có đồ thị  
C . Trên đồ thị  
C lấy điểm phân biệt là A và B
có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của  
C tại các điểm A và B song song với
nhau.
Ta có   3
' 4 4
f x x x
  . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B, a b
 . Hệ số góc của tiếp tuyến của
 
C tại A và B lần lượt là:
   
3 3
' 4 4 , ' 4 4
A B
k f a a a k f b b b
     
Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có phương trình là
          
          
' ' '
' ' '
y f a x a f a f a x f a af a
y f b x b f b f b x f b bf b
     
     
Hai tiếp tuyến này song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

  
3 3 2 2
4 4 4 4 1 0
A B
k k a a b b a b a ab b
          
2 2
1
a ab b
   
Hai tiếp tuyến của  
C tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi
       
2 2 2 2
4 2 4 2
1, 1,
' ' 3 2 3 2
a ab b a b a ab b a b
f a af a f b bf b a a b b
 
       
 

 
       

 

Giải hệ này, ta được nghiệm là      
; 1;1 , 1; 1
a b   
Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của  
C tại A và B song song với nhau là 2 2
1
a ab b
   ,
1
a   , a b
 .
Bài toán 3.15: Tiếp tuyến  
T của  
1
:
2
H y
x


tại điểm M có hoành độ 2
x a
  , cắt trục hoành Ox tại A
và cắt đường thẳng : 2
d x  tại B. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác giới hạn bởi tiếp
tuyến, Ox và d không đổi.
 
2
1
'
2
y
x



. Phương trình tiếp tuyến  
T tại x a
 :
 
 
2
1 1
2
2
y x a
a
a

  


.
Giao điểm A với trục hoành
Cho 0
A
y  thì
 
2
1
2 2
2
2
A
x a
x a
a
a

   


.
Giao điểm B với đường thẳng : 2
d x  .
Cho 2
B
x  thì
 
 
2
2 1 2
2 2
2
B
a
y
a a
a
 
  
 

.
Vì:
2 2 2 1
,
2 2 2 2
A B A B
M M
x x a y y
a x y
a
   
    

nên tiếp điểm M là trung điểm của AB.
Gọi I là giao điểm của Ox và d thì  
2;0
I . Tam giác cần xác định là tam giác ABI vuông tại I có diện tích:
1 1 2
. 2 2 2 0 2
2 2 2
S IA IB a
a
     

: không đổi

Bài toán 3.16: Cho hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
 


. Chứng minh rằng qua điểm  
3; 1
M  vẽ được hai tiếp tuyến với
đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau.
Phương trình đường thẳng qua  
3; 1
M  hệ số góc là a là  
3 1
y a x
   , đường thẳng là tiếp tuyến với
đồ thị khi hệ sau có nghiệm:
   
   
   
 
 
2
2
2
3 3
3 1 1
1
2
' ' 2
1
x x
a x
f x g x x
x x
f x g x a
x
  
  

  
 

  

 
 
 

Thay (2) vào (1) và rút gọn ta được: 2
1 0
x x
  
PT có 2 nghiệm thỏa mãn: 1 2 1 2
1, . 1
x x x x
    .
Ta có:    
   
2 2
1 1 2 2
1 2 2 2
1 2
2 2
' . ' .
1 1
x x x x
y x y x
x x
 

 
   
   
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
2 4 1 2 4
1
1 1 1 1
x x x x x x x x
x x x x
    
   
     
Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau.
Bài toán 3.17: Cho hàm số  
3 2
3 2
y x x C
    . Tìm trên  
C những điểm mà qua đó chỉ kẻ được một
tiếp tuyến với  
C .
Giả sử  
0 0
;
M x y là một điểm trên  
C . Giả sử tiếp tuyến  
t kẻ từ M đến  
C tiếp xúc với  
C tại
 
1 1
;
N x y . Khi đó phương trình của  
t có dạng:   
2
1 1 1 1
3 6
y y x x x x
    
Vì  
t đi qua M nên ta có:   
2
0 1 1 1 0 1
3 6
y y x x x x
    
Và N thuộc  
C nên ta có: 3 2
1 1 1
3 2
y x x
  
Suy ra  
3 2
1 0 1 0 1 0
2 3 1 6 2 0
x x x x x y
     
nên 3 2 3 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0
2 3 3 6 3 0
x x x x x x x x
     
   
2
1 0 1 0 1 0
2 3 0
x x x x x x
       hay 0
1
3
2
x
x


Điều kiện có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

0
0 0
3
1
2
x
x x

   . Từ đó tính được 0 0
y  .
Vậy  
1;0
M là điểm duy nhất trên  
C mà qua đó có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với  
C .
Bài toán 3.18: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị  
2
2 2
:
1
x x
C y
x
 


đi qua giao điểm của 2 tiệm cận.
Ta có
1
1 , 1
1
y x x
x
    

nên có TCĐ: 1
x   ,
TCX: 1
y x
  , giao điểm 2 tiệm cận  
1;0
I 
Phương trình đường thẳng  
d qua I với hệ số góc k là  
1
y k x
  .
Giả sử d là tiếp tuyến của  
C thì hệ sau có nghiệm.
 
 
 
 
2
2
1
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
1
1
1
k x x
x
x x
x
x
k
x

   
  


     
 
   

    



 
1 1 2
1 0
1 1 1
x
x x x
      
  
: vô lý
Vậy không một tiếp tuyến nào của  
C đi qua I.
Bài toán 3.19: Chứng minh tiếp tuyến tại  
1;0
A  của đồ thị   4 2
: 2
C y x x x
    cũng là tiếp tuyến của
đồ thị này tại một điểm B khác A nữa.
Ta có 3
' 4 4 1
y x x
    .
Với 0 0
1, 0
x y
   thì  
0
' 1
f x  nên tiếp tuyến tại  
1;0
A  là 1
y x
  .
Đặt    
4 2
2 ; 1
y f x x x x y g x x
        .
Để tiếp tuyến tại A cũng là tiếp tuyến tại B khác A thì hệ sau có nghiệm 0 1
x   :
   
   
4 2
3
2 1
' ' 4 4 1 1
f x g x x x x x
f x g x x x
      
 

 
    

 

 
 
2
2
4 2
3 2
1 0
2 1 0
1
4 4 0 4 1 0
x
x x
x
x x x x
  
   
 
    
 
  
  
 

.

Chọn nghiệm 0 1 1
x    nên  
1;2
B : đpcm.
Chú ý: Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm.
Bài toán 3.20: Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau:  
2
3
2 2
x
y f x x
   và  
3
2
x
y g x
x
 

. Viết
phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm.
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
 
 
 
2 2
2
2
3 3 3 3
1
2 2 2 2 2 2
3 6
3 3 2
2 2
2 2 2
x x x x
x x
x x
x x x
x
x
x
 
   
 
 
 

 
   
   
 
   
  

 
  

Ta có   2
0
0 0
1 3 3
5
5 0
2 2
x
x x
x
x
x x
x

  
 

  
  
  
   



.
Suy ra hệ phương trình có một nghiệm duy nhất 0
x  . Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gốc tọa độ
O.
Ta có  
3
' 0
2
y  nên phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là
3
2
y x
 .
Bài toán 3.21: Tìm tham số để đồ thị hàm số
a)    
3
: 1 1
C y x k x
    tiếp xúc với trục hoành
b)  
 
2
2 2 2
:
2
x m x m
C y
x
   


có tiệm cận tiếp xúc với đường cong: 3 2
3 8
y x x x
   .
a) Đồ thị  
C tiếp xúc với trục hoành ứng với k sao cho:
 
3
2
3
1 1 0
0
3
' 0 3 0
4
k
x k x
y
y k
x k


    

  
 
 

 
 
 
 
b) Ta có
  
2 2 2
2 2
x x m
y x m
x x
  
   
 
nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y x m
  . Đường
thẳng này tiếp xúc với 3 2
3 8
y x x x
   khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
3 2 3 2
2 2
3 8 3 9
1 3 6 8 2 3 0
x m x x x m x x x
x x x x
 
      
 

 
     
 
 

3 2
3 9
1 3
m x x x
x x
   
 
   

Với 1
x   , ta có 5
m  và với 3
x  thì 27
m  
Vậy có hai giá trị m cần tìm là 5
m  , 27
m   .
Bài toán 3.22: Cho hàm số  
3
3 2
y x x C
   . Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc  
C . Gọi ', ', '
A B C
là giao điểm của  
C với tiếp tuyến của  
C tại A, B, C. Chứng minh rằng ', ', '
A B C thẳng hàng.
Phương trình tiếp tuyến của  
C tại điểm  
;
A A
A x y có dạng:
  
2
3 3
A A A
y x x x y
   
Phương trình hoành độ giao điểm của  
C và tiếp tuyến có dạng:
  
2 3
3 3 3 2
A A A
x x x y x x
     
  
2 3 3
3 3 3 2 3 2
A A A A
x x x x x x x
        
   
2
2 0
A A
x x x x
   
Do đó tiếp tuyến của  
C tại A cắt  
C tại 2 điểm có hoành độ A
x chính là A và điểm có hoành độ 2 A
x

là điểm '
A , tức là ' 2
A A
x x
  .
Tương tự ' '
2 , 2
B B C C
x x x x
    .
Ta chứng minh nhận xét: A, B, C thuộc  
C thẳng hàng khi và chỉ khi 0
A B C
x x x
   .
Thật vậy, giả sử A, B, C nằm trên đường thẳng có phương trình y ax b
  .
Khi đó , ,
A B C
x x x là nghiệm của phương trình.
   
3 3
3 2 3 2 0
x x ax b x a x b
         
Áp dụng định lý Viet, ta suy ra 0
A B C
x x x
  
Ngược lại, giả sử 0
A B C
x x x
   . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B cắt '
C thì theo phần thuận
ta có 0
A B C
x x x
   suy ra '
C C
x x
 suy ra '
C trùng với C và có nghĩa là A, B, C thẳng hàng. Nhận xét
được chứng minh.
Áp dụng do A, B, C thẳng hàng nên ta có 0
A B C
x x x
   .
Mà  
' ' ' 2 0
A B C A B C
x x x x x x
       nên suy ra ', ', '
A B C thẳng hàng (đpcm).
Bài toán 3.23: Cho hàm số
 
2 2
3 2 2
3
mx m x
y
x m
  


. Tìm m để góc giữa 2 tiệm cận bằng 45°.

Ta có:
6 2 1
2 ,
3 3
m
y mx m
x m

   

Khi 0
m  thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại
Khi 0
m  thì đồ thị có tiệm cận đứng: 3
x m
  và tiệm cận xiên: 2
y mx
  .
Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45° 1
m
   .
Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng 2
y m
 cắt đồ thị hàm số
2
2 1
1
x mx
y
x
 


tại hai điểm phân biệt M và
N sao cho OM vuông góc với ON.
Đường thẳng 2
y m
 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M và N khi phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân
biệt 1 2
,
x x khác 1:
2
2
2 1
2 1 2 0
1
x mx
m x m
x
 
    

. Do đó:
1
, 0
2
m m
  .
Ta có
    
 
 
2
2
2 2 1 2 1 2
' '
1
i
i
x m x x mx m
y y x
x
x
    
  

Điều kiện
2
1 2 1 2
2 2 4
. 1 1
m m m
OM ON
x x x x
      
2 1 5
4 2 1 0
4
m m m
 
      (chọn).
Bài toán 3.25: Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc đồ thị  
2
4 5 4
:
2
x x
C y
x
 


đến 2
tiệm cận là một hằng số.
2
4 5 4 2
4 3
2 2
x x
y x
x x
 
   
 
nên TCĐ : 2
x
   ,
TCX: ': 4 3 4 3 0
y x x y
      
Với  
2
;4 3
2
M x x C
x
 
  
 

 
, khoảng cách đến 2 tiệm cận:
   
2 2
, . , ' 2 .
16 1. 2 17
d M d M x
x
    
 
: không đổi.

Bài toán 3.26: Tìm m để đồ thị hàm số: 3 2
3 1
y x x mx
    có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó cách đều
đường thẳng : 2
d y x
  .
D  . Ta có 2
' 3 6
y x x m
   .
Điều kiện có CĐ và CT là ' 9 3 0 3
m m
     
Ta có
1 1 1 1
' 2 1 1
3 3 3 3
y x y m x m
   
     
   
   
nên đường thẳng qua 2 điểm CĐ, CT là
1 1
': 2 1 1
3 3
d y m x m
 
   
 
 
.
Điều kiện CĐ, CT cách đều : 2
d y x
  là '
d hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm  
1; 1
I m
của đoạn nối CĐ, CT.
1 1
2 1 2, 1 0
3 3
m m
 
    
 
 
hoặc 1 2
m  
0
m
  hoặc 1
m   (chọn)
Bài toán 3.27: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ thuộc đồ thị  
C : 2
1
4
2
y x x
  cắt trục tung Oy
tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M.
Với điều kiện 2 1
4 0 0
4
x x x
     thì:
2
1 8
'
4 4
x
y
x x



Phương trình tiếp tuyến tại  
0 0
;
M x y là:
  2
0 0 0
2
0 0
1 8 1
4
2
4 4
x
y x x x x
x x

   

Tiếp tuyến cắt Oy tại 0
2
0 0
0;
4 4
x
A
x x
 
 
 

 
Ta có:  
2
2 2 0
0 0 0 2
0 0
1
0 4
2 4 4
x
AM x x x
x x
 
 
    
 

 
 
2
0
2
0 0
16 4
x
AO
x x
 

: đpcm

Bài toán 3.28: Tìm các điểm M thuộc  
1
:
1
x
C y
x



sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm
cận của  
C ngắn nhất.
Đồ thị  
1
:
1
x
C y
x



có TCĐ: 1
x  , TCN: 1
y  nên giao điểm 2 tiệm cận là  
1;1
I . Ta có
 
1
;
1
x
M x C
x

 

 

 
nên khoảng cách:
   
 
2
2 2
2
1 4
1 1 1 4
1 1
x
IM x x
x x

 
       
 

  
Dấu = xảy ra khi  
 
 
2 2
2
4
1 1 2 1 2
1
x x x
x
       

.
Vậy    
1 2
1 2;1 2 , 1 2;1 2
M M
    .
Bài toán 3.29: Cho hàm số:
1
1
x
y
x



có đồ thị  
C . Tìm điểm M trên đồ thị  
C sao cho tổng khoảng cách
từ M đến các đường thẳng 1 : 2 4 0
x y
    và 2 : 2 2 0
x y
    là nhỏ nhất.
Giả sử  
0
0 0
0
1
; , 1
1
x
M x C x
x
 

 
 

 
. Tổng khoảng cách là
0 0
0 0
2 4
2 3
1 1
5 5
x x
x x
d
  
 
 
0 0
0 0
1 2 4
2 3
1 1
5
x x
x x
 
    
 
 
 
 
0 0 0
0 0 0
1 2 4 3 2
2 3 1
1 1 1
5 5
x x x
x x x
       
  
0
0
3 2 6 2
1
1
5 5
x
x
 
   
 
 

 
Dấu đẳng thức xảy ra
2 0
0
0
1 2
1 2
1 2
x
x
x
  
    
 



Vậy điểm M thỏa mãn    
1 2;1 2 , 1 2;1 2
M M
   
Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị  
4 3
:
3
x
C y
x



có tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất.
Đồ thị
4 3
3
x
y
x



có TCĐ : 3
x
  , TCN ': 4
y
  .
Gọi  
4 3
;
3
x
M x C
x

 

 

 
, ta có    
; ; '
d M d M
  
4 3 9
3 4 3 2 9 6
3 3
x
x x
x x

        
 
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi  
2
9
3 3 9
3
x x
x
    

, do đó có 2 điểm  
6;7
M và  
' 0;1
M .
1
:
1
x
C y
x



có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.
Gọi  
1
;
1
x
M x C
x

 

 

 
, tổng khoảng cách đến 2 trục là
1
, 1
1
x
d x x
x

   

.
Xét điểm    
0;1
A C
 thì 1
d  nên min 1
d  , khi đó chỉ xét các điểm có: 1
x  ,
1
1
1
x
x



nên
0 1
x
  , khi đó:
 
1 2 2
1 2 1 2 2 2
1 1 1
x
d x x x
x x x

            
  
Dấu = xảy ra khi  
2
2
1 1 2 1 2
1
x x x
x
        

Vậy có 2 điểm    
1 2;1 2 , ' 1 2;1 2
M M
     
2
3
:
2
x
C y
x



có tổng khoảng cách đến 2 trục bé nhất.
Gọi  
2
3
;
2
x
M x C
x
 


 

 
thì tổng khoảng cách đến 2 trục
2
3
, 2
2
x
d x x
x

  

.

Xét điểm  
3
0;
2
A C
 

 
 
thì
3
2
d  , do đó
3
min
2
d  nên chỉ xét các điểm có hoành độ
3
2
x  .
Khi đó
2
3
0
2
x
x



nên
2
3
2
x
d x
x

 

.
Nếu
3
0
2
x
  thì    
 
2 2
2
3 2 8 7
, '
2 2
x x x
d f x x f x
x x
  
   
 
 
2
' 0 2
2
f x x
    .
Lập BBT thì  
3
min 0
2
d f
  .
Nếu
3
0
2
x
   thì    
 
2
2
3 1
, ' 0
2 2
x
d g x x g x
x x
 
     
 
Do đó g nghịch biến trên    
3 3
;0 0
2 2
g x g
 
   


 
.
So sánh thì
3
min
2
d  tại
3
0;
2
M A
 
  
 
.
Bài toán 3.33: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị  
C :
2
1
2
x x
y
x
 


có khoảng cách bé nhất.
Hàm số
2
1 1
1 , 2
2 2
x x
y x x
x x
 
    
 
Gọi
1 1
2 ;3 , 2 ;3
A a a B b b
a b
   
     
   
   
là 2 điểm thuộc 2 nhánh với , 0
a b  . Ta có:
   
2 2
2 2
2 1 1 1
1 1
BA a b a b a b
a b ab
 
   
         
 
   
   
 
 
 
2
2 2 2 2
2 1 2 1
2 4 2
a b ab
ab a b ab a b
   
      
   
   
1
8 4 2 8 4.2 2
ab
ab
 
    
 
 
.

Dấu = xảy ra khi a b
 và 4
1 1
2
2
ab a b
ab
   
Vậy 4
4 4
1 1
2 ;3 2
2 2
A
 
  
 
 
và 4
4 4
1 1
2 ;3 2
2 2
B
 
  
 
 
Bài toán 3.34: Tìm điểm M thuộc     2
: 3 8 9
P y f x x x
     và N thuộc  
'
P :   2
8 13
y g x x x
   
sao cho MN bé nhất.
Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với
nhau và chúng vuông góc với đoạn MN.
Gọi  
   
 
1 1
; , ;
M x f x N x g x thì    
1
' '
f x g x

1
1
6 8 2 8
3
x x
x x
    
  
Do đó    
2 4 3 2
4 36 192 392 352 121
MN x x x x h x
     
Ta có    
3 2
' 64 9 36 49 22
h x x x x
   
   
2 2
64 1 9 27 22
x x x
   
 
' 0 1
h x x
   . Lập BBT thì    
min 1 5
h x h
  .
Khi đó    
1;4 , 3; 2
M N   ; kiểm tra MN vuông góc với 2 tiếp tuyến tại M, N: đúng. Vậy  
1;4
M ,
 
3; 2
N   .
Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị  
C :
a)
2
2 2
3
x x
y
x
 


có tâm đối xứng.
b) 4 3 2
4 4
y x x x
   có trục đối xứng.
a) Ta có
5
1
3
y x
x
  

nên  
C có TCĐ: 3
x  và TCX: 1
y x
  , do đó giao điểm 2 tiệm cận  
3;4
I .
Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
3
:
4
x X
OI
y Y
 


 

. Thế vào  
C thì được:
5 5
4 3 1
3 3
Y X Y X
X X
       
 

Vì  
5
Y F X X
X
   là hàm số lẻ  đpcm.
b)  
3 2 2
' 4 12 8 4 3 2
y x x x x x x
     
' 0 2
y x
    hoặc 1
x   hoặc 0
x  .
Xét điểm  
1;1
I  . Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI :
1
1
x X
y Y
 


 

. Thế và hàm số:
     
4 3 2 4 2
1 1 4 1 4 1 2
Y X X X Y X X
          là hàm số chẵn  đpcm.
Bài toán 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số
2
2
1
x x
y
x
 


đối xứng nhau qua điểm
5
0;
2
I
 
 
 
.
Ta có
4
2
1
y x
x
  

. Gọi    
1 1 2 2
; , ;
E x y F x y theo đề bài:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
0
0 0
4 4
4 5
5 9
1 1
x x
x x x x
x x
y y x x
x x
 

   
 

 
  
    
   
 
  

Do đó 2
1 2 1
, 9
x x x
    nên  
3; 2
E   và  
3;7
F .
Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
 


đối xứng nhau qua đường thẳng
: 3
d y x
  .
Xét đường thẳng '
d vuông góc với d thì ':
d y x b
   .
PT hoành độ giao điểm của '
d và  
2
2 2
: , 1
1
x x
C x b x
x
 
   

.
 
2
2 3 2 0
x b x b
      .
Điều kiện    
2 2
3 8 2 2 7 0
b b b b
        
Hoành độ giao điểm I của d và '
d :
3
3
2
I
b
x x b x

     
I là trung điểm đoạn AB:
2
A B
I
x x
x


3 3
9
2 4
b b
b
 
    (chọn).

Vậy
14 14 14 14
3 ;6 , 3 ;6
2 2 2 2
A B
   
   
   
   
.
Bài toán 3.38: Tìm m để đường thẳng 4
y x
   cắt đồ thị hàm số
 
2
2
1
x m x m
y
x
  


tại hai điểm đối
xứng nhau qua y x
 .
Điều kiện PT hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt khác −1:
 
   
2
2
2
4 2 7 4 0 1
1
x m x m
x x m x m
x
  
        

.
Đk:
   
   
2
2
1
2 1 7 4 0
2
7 8 4 0 11 104 11 104
hay
m m m
m m m m

        
 

 
     
 
      

Gọi 1 2
,
x x là hoành độ hai giao điểm, ta có 1 2
,
x x là nghiệm của (1) theo định lí Viet: 1 2
7
2
m
x x

   .
Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y x
 vuông góc với đường thẳng 4
y x
   nên tung độ của
hai giao điểm lần lượt là 2 1
,
x x .
Do đó 2 1 1 2
4 4 7 8 1
x x x x m m
            (thỏa mãn).
Bài toán 3.39: Tìm những cặp điểm nguyên trên   3
: 4 1
C y x x
   đối xứng với nhau qua đường thẳng
y x
 và không nằm trên đường thẳng đó.
Nếu gọi  
;
A x y thì điểm đối xứng của A qua đường thẳng y x
 có tọa độ là  
;
y x . Vì thế yêu cầu của
bài toán tương đương với việc tìm nghiệm nguyên  
;
x y với x y
 của hệ phương trình
3
3
4 1
4 1
y x x
x y y
   


  


nên   
2 2 2 2
3 0 3
x y x xy y x xy y
        
Phương trình 2 2
3
x xy y
   có nghiệm nguyên x y
 là        
2; 1 , 1;2 , 2;1 , 1; 2
    .
Thử lại vào hệ, ta chọn 2 nghiệm    
2; 1 , 1;2
 
Vậy cặp điểm nguyên duy nhất đối xứng với nhau qua đường thẳng y x
 và không nằm trên đường thẳng
đó là  
2; 1
 và  
1;2
 .

Bài toán 3.40: Cho  
f x là hàm đa thức bậc 4. Chứng minh đồ thị của  
f x có trục đối xứng x a
 khi và
chỉ khi:  
' 0
f a  và  
''' 0
f a  .
Ta khai triển  
f x theo x a
 :
         
4 3 2
4 3 2 1 0
f x a x a a x a a x a a x a a
        
trong đó:
 
 
!
i
i
f a
a
i
 nên đồ thị của đa thức  
f x có trục đối xứng x a
 khi và chỉ khi
   
g x f x a
  là hàm số chẵn:
 
 
 
 
 
 
3
3
1
1
0 ' 0
0 3!
1 ''' 0
0
1!
f a
f a
a
a f a
f a


  

  
 
  
 
 
 



 Mở rộng cho các đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x a
 khi và chỉ khi
     
 
2 1
' ''' ... 0
m
f a f a f a

    .
Bài toán 3.41: Tìm điểm cố định của:
a) Các đồ thị
 
2
2 2 6 5
2
x m x m
y
x
   


b) Các đường thẳng qua CĐ, CT của đồ thị:  
3 2
3 2 1 3
y mx mx m x m
      .
a) Gọi  
0 0
;
M x y là tọa độ điểm mà đồ thị đi qua m
 .
Ta có 0 0 ,
y x m m
   
 
2 2
0 0 0 0
1 0,
x m y x x m
       .
2
0 0 0
2
0 0
0 0 0
1 1, 0
1, 0
x x y
x y
y x x
   


 
    
 
 

Vậy đồ thị có hai điểm cố định  
1;0
M và  
' 1;0
M  .
b) 2
' 3 6 2 1, 0 0
y mx mx m m
        hoặc 1
m  .
Ta có
1 2 2 10
'
3 3 3
x m m
y y x
  
   nên đường thẳng qua CĐ, CT là:

 
2 2 10 2 10
2 1
3 3 3 3
m m m x
y x x
  
      .
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT qua điểm cố định
1
;3
2
A
 

 
 
.
Bài toán 3.42: Tìm những điểm M mà mọi đồ thị sau không đi qua
a)
9
9
mx
y
x



.
b)  
3 2 2 2
3 2 1 5 1
y x mx m x m m
       với M thuộc : 1
d x  .
a) Gọi  
0 0
;
M x y là các điểm mà mọi đồ thị không đi qua:
 
0
0
0
0 0 0 0
0
9
9
,
9, 9 9 ,
9
x
mx
y m
x mx y x m
x



   
    
 
0
0 0
9
0, 1
x
x y


    

. Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng: 9
x  và 0
x  , bỏ điểm  
0; 1
A  .
b) Gọi  
1;
M y d
 là điểm cần tìm:
2 2
1 3 2 1 5 1,
y m m m m m
        .
   
2 13
3 8 1 0 16 3 1 0
3
m m y y y
             
Vậy các điểm cần tìm là  
1;
M y với
13
3
y   .
Bài toán 3.43: Chứng minh các đồ thị    
3 2
1 3 1 4
y m x m x mx m
      luôn đi qua 3 điểm cố định
thẳng hàng.
Gọi  
0 0
;
M x y điểm cố định của các đồ thị:
   
3 2
0 0 0 0
1 3 1 4 ,
y m x m x mx m m
       .
 
3 2 3 2
0 0 0 0 0 0
3 4 1 3 ,
y x x x m x x m
        .
 
3 2
0 0 0
3 2
0 0 0
3 4 1 0 1
3 (2)
x x x
y x x
    

 
 



Ta chứng minh (1) có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số   3 2
3 4 1
f x x x x
    thì f liên tục trên , ta có
 
6 85 0
f     ,  
1 5 0
f    ,  
0 1 0
f    ,  
2 11 0
f   nên (1) có 3 nghiệm phân biệt thuộc 3
khoảng      
6; 1 , 1;0 , 0;2
   .
Từ   3 2
0 0 0
1 3 4 1
x x x
    nên   0 0
2 4 1
y x
   .
Vậy 3 điểm cố định thẳng hàng trên đường thẳng 4 1
y x
  .
Bài toán 3.44: Chứng minh các đồ thị hàm số
 
1
, 0
m x m
y m
x m
 
 

luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố
định tại một điểm cố định.
Gọi  
0 0
;
M x y là điểm cố định:
  0
0
0
1
, 0
m x m
y m
x m
 
  

   
0 0 0
1 , , 0
m x m y x m x m m
        .
   
0 0 0 0 0
1 1 0, , 0
x y m x y x m m
        
0 0
0, 1
x y
    . Ta có
 
 
2
2
' , ' 0 1
m
y x m y
x m

    

.
Vậy các đồ thị luôn luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố định  
0; 1
M  , có tiếp tuyến chung 1
y x
   .
Bài toán 3.45: Trên đồ thị  
C của hàm số 3 2
3 2
y x x
    có những cặp điểm mà tại đó 2 tiếp tuyến cùng
có hệ số góc p, chứng minh trung điểm của các đoạn thẳng nối từng cặp điểm đó là điểm cố định.
Tiếp tuyến với  
C có hệ số góc p, hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:
 
2 2
' 3 6 3 6 0 1
y p x x p x x p
       
' 9 3 0 3
p p
     
Với 3
p  thì  
C có 2 tiếp tuyến song song với hệ số góc p.
Gọi 1 2
,
x x là nghiệm của (1), với 2 tiếp điểm 1 2
,
M M thì trung điểm 1 2
M M có hoành độ: 1 2
1
2
I
x x
x

 
0
I
y
  .
Vậy trung điểm 1 2
M M là điểm cố định  
1;0
I .
Bài toán 3.46: Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng hai đường của họ  
2 2
:
m
x mx m
C y
x m
  


đi
qua.

Giả sử  
0 0
;
x y là một điểm trong mặt phẳng mà có đúng hai đường cong  
m
C đi qua. Khi đó phương
trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt
   
2 2
2
0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
x mx m
y m x y m x x y
x m
  
      

Điều kiện   
0 0 0 0
0 3 0
x y y x
     
Vậy các điểm cần tìm có tọa độ  
0 0
;
x y thỏa mãn quan hệ
  
0 0 0 0
3 0
x y y x
  
Bài toán 3.47: Tìm quỹ tích các tâm đối xứng của các đồ thị  
m
C :
a)
 
1
m x m
y
x m
 


b)
5
6 1
y mx m
x m
   

a)  

D m
  . Ta có
   
lim , lim
x m x m
y y
 
   
    nên TCĐ: x m
  với 0
m  .
Ta có
 
1
lim lim 1
x x
m x m
y m
x m
 
 
  

nên TCN: 1
y m
 
Giao điểm 2 tiệm cận  
; 1
I m m
  , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI :
1
x X m
y Y m
 


  

. Thế vào
 
m
C thì được:
  
 
2
1
1
m X m m m
Y m Y
X m m X
  
    
 
Ta có  
2
m
Y F x
X
  là hàm số lẻ nên  
C có tâm đối xứng I có tọa độ x m
  ; 1
y m
  . Khử tham
số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là đường thẳng : 1, 0
d y x x
    .
b) Đồ thị  
5
: 6 1 ,
m
C y mx m x m
x m
    

có TCĐ:
x m
 và TCX: 6 1
y mx m
   nên giao điểm  
2
; 6 1
I m m m
  .
Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OI thì được tâm đối xứng I có tọa độ: x m
 , 2
6 1
y m m
   .
Khử tham số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là parabol   2
: 6 1
P y x x
   .
Bài toán 3.48: Tìm quỹ tích của điểm:

a) Cực đại của đồ thị
2
2 3 5
1
x mx m
y
x
  


b) Cực tiểu của đồ thị  
3 2 2 3
3 3 1 3
y x mx m x m m
     
a)  
1
D  ,
2
2 3 5
' , ' 4
1
x mx m
y m
x
  
   

.
Điều kiện có 2 cực trị là 0,1 2 5 0 4
m m
        , hoành độ cực trị là 1 4
x m
   .
Lập BBT thì điểm cực đại A:  
1 4,
x m y f x
    .
Ta có  
2
1 4 4 1
x m m x
       thế vào y thì được quỹ tích các điểm cực đại thuộc
  2
: 2 6 10
P y x x
    , vì 1 4 1
x m
    nên giới hạn là 1
x  .
b) D  ,  
2 2
' 3 6 3 1
y x mx m
   
Vì ' 9 0
   , m
 nên đồ thị luôn có CĐ, CT có hoành độ 1
x m
   .
Lập BBT thì điểm cực tiểu là  
: 1 ; 1 2
B x m y f m
      .
Vậy quỹ tích của điểm cực tiểu là đường thẳng : 2
d y   .
Bài toán 3.49: Với các giá trị nào của m đường thẳng y m x
  cắt đồ thị
2
2 1
1
x x
y
x
 


tại hai điểm phân
biệt A, B. Khi đó, tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB.
PT hoành độ giao điểm:  
2
2
2 1
3 2 1 0, 1
1
x x
m x x m x m x
x
 
        

.
Vì 1
x  không phải là nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ
khi:
   
2 2
2 12 1 0 8 8 0
m m m m
         
4 2 6
m
   hoặc 4 2 6
m   . Hoành độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
2
2 6
A B
M
x x m
x
 
  .
Vì điểm M nằm trên đường thẳng y m x
  nên M M
y m x
  .
Khử m, ta có 6 2
M
m x
  nên 6 2 5 2
M M M M
y x x x
     .
Vậy tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng 5 2
y x
  .

Giới hạn:
6
4 2 6 6 2 4 2 6 1
3
m x x
         và 4 2 6
m  
6
6 2 4 2 6 1
3
x x
       .
Bài toán 3.50: Tim quỹ tích các điểm thuộc trục tung mà từ đó vẽ ít nhất một tiếp tuyến với đồ thị
2
1
1
x x
y
x
 


.
Ta có  
1
D  ,
 
 
2
2
'
1
x x
y
x



nên phương trình tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ 0 1
x  .
 
 
 
2
0 0 0 0
0
2
0
0
2 1
1
1
x x x x
y x x
x
x
  
  


Cho 0
x  thì
 
0
2
0
2 1
1
x
y
x



Xét  
 
2
2 1
, 1
1
x
f x x
x

 

thì  
 
3
2
'
1
x
f x
x



Cho  
' 1 0 0
f x
   .
Bảng biến thiên
x  0 1 
'
y − 0 + −
y 0  
−1 0
Do đó 1
y   , nên quỹ tích của điểm thuộc trục tung cần tìm là  
0;
B y với 1
y  .
Bài toán 3.51: Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến  
1
: 1
1
C y x x
x
  

mà 2 tiếp
tuyến này vuông góc với nhau.
Gọi  
;
M a b , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k:  
y k x a b
   .
Điều kiện d tiếp xúc  
C là hệ sau có nghiệm 1
x 

 
 
 
 
2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
x k x a b x k x a b
x x
k x k x
x x
 
         
 

  
 
 
 
     


 


Do đó    
 
2
2 1
1 1 1
1 4
k a b k a b k
x
       

.
Ta có phương trình bậc 2 theo hệ số góc k:
     
 
2 2 2
1 2 1 2 4 0, 1
g k a k a b k b k
         .
Yêu cầu bài toán:  
1 2
1, 1, 1 0
a k k g
    .
     
 
2 2
2 2
1, 4 1 , 1 2 1 2 4 0
a b a a a b b
             .
 
2 2
1 4, 1, 1
a b a a b
       .
Vậy quỹ tích các điểm cần tìm là đường tròn  
2 2
1 4
x y
   bỏ đi 4 điểm    
1;2 , 1; 2
A B  ,
 
1 2; 2
C  và  
1 2; 2
D   .
3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng
a) 2
y x m
   cắt đồ thị hàm số
2
1
x x
y
x
 
 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn
thẳng AB thuộc trục tung.
b) y m
 cắt đồ thị 4 2
2 2
y x x
   tại 4 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.
Hướng dẫn
a) Phương trình hoành độ giao điểm    
2
3 1 1 0 0
x m x x
     .
Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
,
x x khác 0 với mọi m. Hoành độ trung điểm I
của AB: 1 2
1
1
2 6
x x m
x
 
  .
Kết quả 1
m  .
b) Kết quả
41
25
m 
Bài tập 3.2: Tìm m sao cho đường thẳng
a)  
2 4
y m x
   cắt đồ thị hàm số  
2
4
x
y C
x

 tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó.

b) y x m
   cắt đồ thị hàm số
2
1
x
y
x

 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 4
AB  .
Hướng dẫn
a) Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm cùng dấu.
Kết quả 1
m 
b) Kết quả 2 6
m   .
Bài tập 3.3: Cho hàm số
 
4 3
x
y
x


có đồ thị  
C . Tìm tọa độ điểm M thuộc  
C sao cho tiếp tuyến của
 
C tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B và diện tích tam giác OAB là
3
8
.
Hướng dẫn
Các tiếp điểm  
0 0
3 3
, 1 5
2 4
x x
  
Bài tập 3.4: Cho hàm số   2
cos sin
y f x x m x
   . Tìm m để hai tiếp tuyến tại
4
x

  và
3
x

 song
song hoặc trùng nhau.
Hướng dẫn
Điều kiện ' '
4 3
f f
 
   
 
   
   
. Kết quả
 
3 2
2 1
m
 


Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị
  2
2 1
1
m x m
y
x
 


luôn tiếp xúc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Hướng dẫn
Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y x
 .
Điều kiện 2 đồ thị  
y f x
 và  
y g x
 tiếp xúc là hệ phương trình:
   
   
' '
f x g x
f x g x
 





có nghiệm. Kết quả 1
m  .
Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
a) 4 2
2 2
y x x
    tại điểm uốn
b) 3 2
3
y x x
   và có hệ số góc lớn nhất
Hướng dẫn
a) 3 2
' 4 4 , '' 12 4
y x x y x
     

Kết quả
8 7
3
3 3
y x
   và
8 7
3
3 3
y x
 
b) Kết quả 3 1
y x
 
Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
 


có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc O.
Hướng dẫn
Điều kiện    
f x f x
   có nghiệm 0
x  và 1
x   .
Kết quả
1
2
m   hoặc
1
, 1
2
m m
   .
Bài tập 3.8: Tìm hai điểm trên 2 nhánh đồ thị  
2 3
:
1
x
C y
x



có khoảng cách bé nhất.
Hướng dẫn
Kết quả    
4 4 4 4
1 5;2 5 , 1 5;2 5
A B
   
Bài tập 3.9: Tìm những điểm mà mọi đồ thị không đi qua:
     
3 2 2 2
1 3 5 2
y x m x m m x m m
       
Hướng dẫn
Kết quả đường thẳng 1
x  , bỏ điểm  
1;7
A và các điểm  
;
M x y sao cho
      
2 3 2
1 1 2 4 5 0
x x x x x y
 
       
 
Bài tập 3.10: Tìm điểm M trên đồ thị  
4 3
:
3
x
H y
x



có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất.
Hướng dẫn
Kết quả  
0;1
M hoặc  
6;7
M
Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3
1
y x mx m
    , tại giao điểm với trục Oy, tạo với
hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Hướng dẫn
Kết quả 1
m  hay 3 2 2
m   

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị

Similar to Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị (20)

More from Bui Loi

More from Bui Loi (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị