The document discusses the Bolzano-Weierstrass theorem, which states that every bounded real number sequence has a convergent subsequence. It first provides definitions of sequences and subsequences. It then proves the theorem by showing that every sequence has a monotonic subsequence by considering cases where the sequence has infinitely many peaks or finitely many peaks. The proof establishes the existence of convergent subsequences for bounded sequences.
Permutasi dan kombinasi adalah pengaturan objek dalam urutan berbeda. Permutasi memperhatikan urutan sedangkan kombinasi tidak. Permutasi n objek adalah n! sedangkan kombinasi n diambil r adalah n!/(r!(n-r)!).
Sejarah perkembangan kalkulus dan konsep konsep keterkaitanHelvyEffendi
Dokumen ini membahas sejarah perkembangan kalkulus dari zaman kuno hingga modern, termasuk para penemu utamanya seperti Archimedes, Newton, Leibniz, dan Riemann. Konsep-konsep kalkulus yang dibahas meliputi turunan, integral, dan notasi-notasi yang berkaitan.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip induksi yang dijelaskan seperti prinsip induksi sederhana, induksi yang dirampatkan, induksi kuat, serta bentuk induksi secara umum beserta contoh-contoh penerapannya.
The document discusses the Bolzano-Weierstrass theorem, which states that every bounded real number sequence has a convergent subsequence. It first provides definitions of sequences and subsequences. It then proves the theorem by showing that every sequence has a monotonic subsequence by considering cases where the sequence has infinitely many peaks or finitely many peaks. The proof establishes the existence of convergent subsequences for bounded sequences.
Permutasi dan kombinasi adalah pengaturan objek dalam urutan berbeda. Permutasi memperhatikan urutan sedangkan kombinasi tidak. Permutasi n objek adalah n! sedangkan kombinasi n diambil r adalah n!/(r!(n-r)!).
Sejarah perkembangan kalkulus dan konsep konsep keterkaitanHelvyEffendi
Dokumen ini membahas sejarah perkembangan kalkulus dari zaman kuno hingga modern, termasuk para penemu utamanya seperti Archimedes, Newton, Leibniz, dan Riemann. Konsep-konsep kalkulus yang dibahas meliputi turunan, integral, dan notasi-notasi yang berkaitan.
Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Terdapat beberapa prinsip induksi yang dijelaskan seperti prinsip induksi sederhana, induksi yang dirampatkan, induksi kuat, serta bentuk induksi secara umum beserta contoh-contoh penerapannya.
Dokumen ini memberikan penjelasan mengenai sistem bilangan termasuk bilangan asli, cacah, bulat, rasional, real, dan kompleks. Bilangan-bilangan tersebut memiliki karakteristik dan contoh yang berbeda-beda.
Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )Indra Gunawan
Dokumen ini membahas teori bilangan prima dan beberapa teorema terkaitnya, seperti teorema ketunggalan bilangan prima, teorema perkalian bilangan prima, dan teorema fundamental aritmetika. Dokumen ini juga menjelaskan metode-metode untuk menemukan bilangan prima seperti saringan Eratosthenes dan rumus Fermat.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear tiga variabel dan berbagai metode penyelesaiannya, yaitu metode eliminasi, substitusi, campuran, determinan, dan invers matriks. Diberikan contoh soal dan penyelesaiannya menggunakan berbagai metode di atas, yang menunjukkan bahwa hasilnya akan sama walaupun menggunakan metode yang berbeda.
Teks tersebut membahas tentang kombinatorika dan konsep-konsep dasarnya seperti permutasi dan kombinasi. Secara singkat, teks tersebut menjelaskan cara menghitung jumlah kemungkinan susunan objek-objek tanpa harus menyebutkan satu per satu susunannya menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan, serta rumus-rumus permutasi dan kombinasi.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerAna Sugiyarti
Dokumen tersebut menjelaskan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang meliputi Metode Gauss dan Metode Gauss-Jordan. Kedua metode tersebut mengubah matriks keseluruhan sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon dengan menggunakan aturan-aturan OBE.
Dokumen tersebut membahas konsep graph berarah dan network. Terdapat definisi graph berarah, contoh graph berarah, serta istilah-istilah terkait seperti titik, busur, derajat keluar, dan derajat masuk. Juga dibahas konsep network yang meliputi titik sumber, titik tujuan, dan kapasitas busur. [/ringkasan]
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang ruang vektor umum, ruang bagian, dan beberapa contohnya. Ruang vektor didefinisikan sebagai himpunan dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang memenuhi 10 sifat tertentu. Ruang bagian adalah ruang vektor yang merupakan bagian dari ruang vektor lain dengan operasi yang sama.
1) Vektor adalah besaran yang memiliki besaran dan arah. Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal atau dibubuhi tanda panah.
2) Vektor dapat ada di ruang R1, R2, dan R3 yang masing-masing memiliki 1, 2, dan 3 sumbu koordinat. Vektor basis adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat.
3) Operasi vektor meliputi penjumlahan, pengurangan,
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan, penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Terdapat contoh-contoh soal dan penjelasan singkat mengenai setiap operasi hitung bilangan.
Dokumen ini memberikan penjelasan mengenai sistem bilangan termasuk bilangan asli, cacah, bulat, rasional, real, dan kompleks. Bilangan-bilangan tersebut memiliki karakteristik dan contoh yang berbeda-beda.
Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )Indra Gunawan
Dokumen ini membahas teori bilangan prima dan beberapa teorema terkaitnya, seperti teorema ketunggalan bilangan prima, teorema perkalian bilangan prima, dan teorema fundamental aritmetika. Dokumen ini juga menjelaskan metode-metode untuk menemukan bilangan prima seperti saringan Eratosthenes dan rumus Fermat.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear tiga variabel dan berbagai metode penyelesaiannya, yaitu metode eliminasi, substitusi, campuran, determinan, dan invers matriks. Diberikan contoh soal dan penyelesaiannya menggunakan berbagai metode di atas, yang menunjukkan bahwa hasilnya akan sama walaupun menggunakan metode yang berbeda.
Teks tersebut membahas tentang kombinatorika dan konsep-konsep dasarnya seperti permutasi dan kombinasi. Secara singkat, teks tersebut menjelaskan cara menghitung jumlah kemungkinan susunan objek-objek tanpa harus menyebutkan satu per satu susunannya menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan, serta rumus-rumus permutasi dan kombinasi.
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerAna Sugiyarti
Dokumen tersebut menjelaskan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang meliputi Metode Gauss dan Metode Gauss-Jordan. Kedua metode tersebut mengubah matriks keseluruhan sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon dengan menggunakan aturan-aturan OBE.
Dokumen tersebut membahas konsep graph berarah dan network. Terdapat definisi graph berarah, contoh graph berarah, serta istilah-istilah terkait seperti titik, busur, derajat keluar, dan derajat masuk. Juga dibahas konsep network yang meliputi titik sumber, titik tujuan, dan kapasitas busur. [/ringkasan]
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang ruang vektor umum, ruang bagian, dan beberapa contohnya. Ruang vektor didefinisikan sebagai himpunan dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang memenuhi 10 sifat tertentu. Ruang bagian adalah ruang vektor yang merupakan bagian dari ruang vektor lain dengan operasi yang sama.
1) Vektor adalah besaran yang memiliki besaran dan arah. Vektor dapat ditulis menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal atau dibubuhi tanda panah.
2) Vektor dapat ada di ruang R1, R2, dan R3 yang masing-masing memiliki 1, 2, dan 3 sumbu koordinat. Vektor basis adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat.
3) Operasi vektor meliputi penjumlahan, pengurangan,
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan, penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Terdapat contoh-contoh soal dan penjelasan singkat mengenai setiap operasi hitung bilangan.
Dokumen ini membahas tentang hakekat dan karakteristik matematika. Matematika didefinisikan sebagai ilmu pengetahuan yang didapat dari berpikir logis dan berpola. Matematika memiliki objek abstrak, bertumpu pada kesepakatan aksioma dan konsep primitif, serta berpola pikir deduktif untuk menyimpulkan pola dan hubungan matematis.
1. Dokumen tersebut membahas tentang pola bilangan dan konsep-konsep matematika terkait seperti barisan bilangan, deret bilangan, pola-pola khusus seperti pola genap, ganjil, persegi, dan geometri.
2. Juga membahas cara menentukan rumus suku ke-n dari suatu barisan bilangan melalui pengamatan pola, secara intuitif, atau menggunakan prosedur matematika.
3. Contoh soal dan penyelesaiannya d
Makalah ini membahas tentang kombinatorika dan menjelaskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam menghitung kemungkinan susunan objek. Dibahas pula contoh-contoh permasalahan kombinatorika beserta penyelesaiannya seperti menentukan jumlah anggota klub, memilih perwakilan, dan membentuk bilangan tiga angka.
Dokumen tersebut membahas tentang bilangan bulat dan operasi-operasinya seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatif yang tertutup di bawah operasi-operasinya. Dokumen ini juga menjelaskan konsep dan pengertian bilangan bulat serta sifat-sifat dan aturan yang berlaku pada setiap operasi bilangan bulat.
EN Introduction to Fractions by Slidesgo.pptxSelvi299270
Dokumen tersebut membahas tentang sistem numerasi Romawi dan Hindu-Arab. Sistem Romawi memiliki kelemahan dalam penjumlahan dan perkalian angka, sementara sistem Hindu-Arab memiliki aturan dan konsep yang memungkinkan penjumlahan dan perkalian angka dengan mudah. Dokumen tersebut juga menjelaskan konsep dan aturan yang digunakan dalam sistem numerasi seperti aturan aditif, pengelompokan sederhana, dan aturan tempat serta multiplikatif
1. KEISTIMEWAAN ANGKA 3
(Esay ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Teori Bilangan)
Dosen pembimbing Eko Yulianto M.Pd
Oleh:
Syifa Fauziah Septiani (142151005)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SILIWANGI
TASIKMALAYA
2015
2. KEISTIMEWAAN ANGKA 3
Pada zaman sekarang, hampir
tak ada negara yang tak mengenal
angka. Semuanya mengenal angka 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 0. Di Indonesia
angka sudah tidak asing lagi
khususnya dalam dunia pendidikan,
dimana angka sering kali ditemukan
dalam setiap mata pelajaran. Tidak
hanya di dalam mata pelajaran
matematika tetapi juga mata pelajaran
lainnya. Disadari atau tidak di dalam
suatu angka terdapat suatu keanehan,
keunikan atau keistimewaan. Dan
tahukah kalian apa keistimewaan dari
angka-angka?
Mungkin sebagian orang
sudah banyak mengetahui
keistimewaan dari angka seperti
angka 0 yang apabila dikalikan
dengan angka berapapun hasilnya
akan tetap 0. Tapi, apakah kalian tahu
keistimewaan dari angka 3?
Gambar 1. Angka 3
Di bawah ini adalah beberapa
keistimewaan dari angka 3 secara
matematis diantaranya :
1. Semua bilangan yang hasil
penambahan digitnya kelipatan 3,
6, atau 9, pasti bilangan tersebut
dapat dibagi 3. Contoh :
12 = 1 + 2 = 3
33 = 3 + 3 = 6
63 = 6 + 3 = 9
2. Bilangan yang digit-digitnya
berulang sebanyak 3 kali pasti bisa
dibagi 3. Contoh : 222 = 2 + 2 + 2
= 6 (3x)
666 = 6 + 6 + 6 = 18 = 1 + 8 = 9
(3x)
Pembuktian :
Misal nnn →bilangan berulang
nnn = 100n + 10n + n
= (99n + n) + (9n + n) + n
= [3| (99n + 9n)] + n + n + n
= n + n + n
= 3n
= 3|3n
3. Bilangan yang digit-digitnya
berurut sebanyak 3 kali pasti bisa
dibagi 3. Contoh :
123 = 1 + 2 + 3 = 6 (3x)
678 = 6 + 7 + 8 = 21 = 2 + 1 = 3
(3x)
Pembuktian :
3. Misal abc → bilangan berurut
dengan a = n, b = (n+1), c = (n+2)
= n + (n+1) + (n+2)
= 100n + 10 (n+1) + (n+2)
= (99n+n) + (9+1) (n+1) +
(n+2)
= 99n + n + 9 (n+1) + (n+1)
+ (n+2)
= [3|99n + 9 (n+1)] + n +
(n+1) + (n+2)
= n + (n+1) + (n+2)
= 3n + 3
= 3 (n+1)
= 3|3 (n+1)
4. Bilangan yang digit-digitnya
berurut sebanyak 3 kali dengan
pola aritmatika pasti bisa dibagi 3.
Contoh :
123 = 1 + 2 + 3 = 6 (3x)
246 = 2 + 4 + 6 = 12 = 1 + 2 = 3
(3x)
Bisa juga dengan rumus deret
aritmatika a + (n-1)b dengan
pembuktian yang sama seperti
yang sudah dijelaskan pada poin 3.
Adapun keitimewaan angka 3
dalam persepsi Islam adalah sebagai
berikut :
1. Angka 3 didapatkan dari
pelaksanaan hari arafah, yaitu
tanggal 9, dan bulan (12)
Dzulhijjah = 9 + 1 + 2 = 12 → 1+2
= 3. Angka tanggal = 9 : 3 = 3.
Angka bulan = 12 : 3 = 4 sehingga
3+4 adalah 7 yang merupakan
jumlah kali yang diulang-ulang
dalam ibadah haji; tawaf keliling
ka'bah 7x, sai 7x, dan melempar
batu 7buah x 3 = 21 → 2+1 = 3.
2. Dalam Agama Islam Allah itu
Maha Esa dalam 3 hal yaitu:
a. Dzat-Nya. Artinya, dzat-Nya
tidak tersusun dari beberapa
bagian dan tak ada dzat
makhluk yang serupa dengan
dzat-Nya.
b. Sifat-Nya. Artinya, tak ada
sifat-Nya yang rangkap di
dalam satu nama dan satu
makna, dan tidak ada makhluk
yang mempunyai sifat yang
serupa dengan sifat-sifat-Nya.
c. Perbuatan-Nya. Artinya, tak
ada perbuatan bagi makhluk.
Allah-lah yang menciptakan
seluruh perbuatan makhluk-
Nya.
Dalil Naqli:
Q.S. Al-Ikhlas ayat 1-4.
“Katakanlah: ‘Dia-lah Allah, Yang
Maha Esa, Allah adalah Tuhan
yang bergantung kepada-Nya
4. segala sesuatu. Dia tiada beranak
dan tiada pula diperanakkan, dan
tidak ada sesuatu yang setara
dengan Dia.”
3. Rukun agama dalam agama islam
terdiri dari tiga, yaitu islam, iman,
dan ihsan. Dimana ketiga rukun
agama ini merupakan suatu aspek
yang membentuk sebuah
rangkaian kesatuan yang saling
mengait satu sama lain. Kita bisa
menganalogikan islam, iman, dan
ihsan sebagai sebuah rumah.
Dimana iman sebagai pondasi,
islam sebagai dinding dan ihsan
sebagai atapnya. Jika diantara
ketiganya ada yang hilang, maka
rumah tersebut tidak akan
sempurna. Dalam kehidupan, jika
diantara ketiga aspek tersebut ada
yang hilang dalam diri seseorang,
maka orang tersebut tidak akan
merasakan dalam hatinya, muslim
yang menjaga rukun iman akan
selalu menjaga keyakinannya
terhadap Tuhannya, muslim yang
menjaga rukun islam akan selalu
dekat dengan Tuhannya dan
muslim yang selalu berihsan akan
selalu baik dalam hubungan
dengan lingkungannya. Ihsan
merupakan perbuatan atau wujud
pengaplikasian dari iman dan
islam itu sendiri.
Setelah kalian membaca
mengenai keistimewaan angka 3,
pasti akan timbul dibenak kalian
sebuah pertanyaan mengapa angka 3
unik?
Menurut penulis, angka 3
merupakan salah satu angka ganjil.
Dimana Allah SWT sangat mencintai
angka-angka (bilangan) ganjil.
Sebagaimana sabda Rosululloh SAW
yang diriwayatkan oleh Bukhori dan
Muslim yang artinya: “Sesungguhnya
Allah SWT itu Esa dan Dia mencintai
yang witir (ganjil)”. (HR Bukhari dan
Muslim).
Bukti lainnya adalah Nabi
Muhammad SAW lahir pada tanggal
12 Robiul Awal yang mana apabila 12
itu dijumlahkan maka hasilnya 1 + 2
= 3 dan bulan Robiul Awal
merupakan bulan ke 3 dalam kalender
Hijriah.
Lalu apa manfaatnya jika kita
mengetahui keunikan dan
keistimewaan angka 3???
Oke pertanyaan yang brilliant!
Manfaat dari kita mengetahui
keistimewaan angka-angka
5. khususnya angka 3 yaitu menambah
keimanan kita akan kebesaran dan
keagungan Yang Maha Kuasa.
Karena segala sesuatu yang
diciptakan oleh Allah SWT pasti
memiliki tujuan dan bukan hanya
sekedar kebetulan semata. Ini
merupakan cara Allah SWT agar
hamba-Nya bisa mentafakuri (bahan
renungan) akan segala nikmat dan
karunia-Nya. Selain itu juga
menambah wawasan serta ilmu
pengetahuan bahwa setiap angka
ternyata memiliki keistimewaan
tersendiri yang tidak banyak
diketahui orang. Karena paradigma di
kalangan masyarakat awam
berasumsi bahwa angka-angka hanya
sekedar angka saja yang tidak
memiliki keistimewaan. Dan itu
adalah asumsi yang harus dihilangkan
karena salah besar!
Oleh karena itu, dapat
disimpulkan bahwa angka-angka
(bilangan) memiliki keunikan serta
keistimewaan tersendiri contohnya
pada angka 3 seperti yang telah
dijelaskan diatas. Dan tidak ada
salahnya jika kita mengetahui serta
mempelajarinya secara lebih
mendalam. Siapa tahu apa yang
dipelajari kita sekarang akan
memberikan suatu manfaat bagi
hidup kita di masa yang akan datang.
Wallohu a’lam bis shawab.
DAFTAR PUSTAKA
Alifbraja. (2011). Misteri Angka 3.
[Online]. Tersedia :
http://nuurislami.blogspot.com/2
011/03/misteri-angka-3.html.
(29 Mei 2015).
Fadlulloh, M. (2013). makalah
tentang hubungan islam, iman,
dan ihsan. [Online]. Tersedia :
http://makalahpendidikanku.blog
spot.com/2013/10/makalah-
tentang-hubungan-islam-iman-
dan.html. (29 Mei 2015)
Saefullah, S. (2013). Mengapa Allah
SWT Suka dengan Hal Ganjil?.
[Online]. Tersedia :
https://www.islampos.com/meng
apa-allah-swt-suka-dengan-hal-
ganjil-105513/. (1 Juni 2015).