IRISAN KERUCUT

Oleh : Kelompok 3
1. Rafly Ramdhani
2. Alvin alfaridzi
3. Mochamad Sofyan Hidayat

Pengertian
Himpunan titik (x, y) yang memenuhi persamaan
AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0 disebut irisan
kerucut. Secara geometris kurvanya dapat diperoleh
dengan memotong suatu kerucut tegak lurus dengan
suatu bidang datar.
Pengertian
AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0 disebut irisan kerucut.
Secara geometris kurvanya dapat diperoleh dengan memotong
suatu kerucut tegak lurus dengan suatu bidang datar.

Pengertian
suatu bidang datar.
Jenis - jenis Irisan Kerucut
Lingkaran Ellips
Parabola
Hiperbola

Pengertian
suatu bidang datar.
Lingkaran
Bidang irisan tegak lurus sumbu kerucut, hasil irisannya
berbentuk lingkaran. Hasil irisannya
berbentuk lingkaran

Pengertian
suatu bidang datar.
Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu
itu disebut pusat lingkaran.
r
O
P(x,y)
jari-jari (r) merupakan jarak
titik pusat lingkaran
terhadap lingkaran.

Pengertian
suatu bidang datar.
Persamaan Lingkaran
a. Persamaan Lingkaran dengan pusat di (0,0)
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat
di (0,0) adalah:
r2 =
r
O
P(x,y)
Perhatikan gambar disamping!
Jarak dari titik P(x,y) ke pusat
lingkaran (0,0) adalah:
PO =
<=> r =
<=> r2 =
X
2
2
y
x 
   2
2
0
0 

 y
x
2
2
y
x 
2
2
y
x 

Pengertian
suatu bidang datar.
Persamaan lingkaran dengan pusat di (a,b)
Perhatikan gambar disamping!
Jarak dari titik P(x,y) ke pusat
lingkaran A(a,b) adalah:
PA =
<=> r =
<=> r2 =
Y
r
O X
P(x,y)
A(a,b)
Jadi, persamaan lingkaran dengan
pusat di (a,b) adalah:
r2 =    2
2
b
y
a
x 


   2
2
b
y
a
x 


   2
2
b
y
a
x 


   2
2
b
y
a
x 



Pengertian
suatu bidang datar.
Contoh Soal
Buktikan bahwa adalah persamaan lingkaran dan kemudian
tentukan pusat dan jari-jarinya.
Jawab:
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
Jadi, terbukti bahwa persamaan adalah persamaan lingkaran dengan
pusat (-1,4) dan jari-jari 5
0
20
4
2
2
2




 y
x
y
x
0
20
4
2
2
2




 y
x
y
x
20
4
2
2
2



 y
x
y
x
4
1
20
4
4
1
2 2
2







 y
y
x
x
    25
4
1
2
2



 y
x
 
    25
4
1
2
2




 y
x
0
20
4
2
2
2




 y
x
y
x

Pengertian
suatu bidang datar.
Bidang irisan sejajar dengan salah satu garis pelukis, hasil irisannya
berbentuk parabola.
Gambar 4
Hasil irisan berbentuk
parabola
PARABOLA

Pengertian
suatu bidang datar.
Definisi Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik P sedemikian sehingga jarak P
dari suatu titik tertentu selalu sama jaraknya dari suatu garis tertentu.
O
A
Y
X
A’
F(P,0)
P(x,y)
x = -p
Gambar 5

Pengertian
suatu bidang datar.
PENJELASAN
Titik tertentu itu disebut fokus, garis tertentu itu disebut direktriks. Garis yang tegak
lurus pada direktriks dan melalui fokus disebut sumbu parabola. Perpotongan antara sumbu
dan parabola disebut puncak parabola.
Untuk memperoleh persamaan parabola, ambil sumbu-sumbu koordinat yang fokus F
mempunyai koordinat F(p,0) dan garis direktriks AA’ mempunyai persamaan x = -p, dan
puncak parabola (0,0). (lihat gambar 5)
Pengambilan sumbu-sumbu koordinat itu menuju ke persamaan yang paling sederhana.
Menurut definisi, jarak PF harus sama dengan jarak dari P ke AA’ (tegak lurus).

Pengertian
suatu bidang datar.
Jarak P ke AA’ adalah p
x 
Jarak P ke F adalah    2
2
0


 y
p
x
Sehingga diperoleh:
   2
2
0




 y
p
x
p
x ... (kedua ruas dikuadratkan)
 
2
2
2
2





 


 y
p
x
p
x
  2
2
2
2
2 y
p
x
p
px
x 





2
2
2
2
2
2
2 y
p
px
x
p
px
x 






2
2
2 y
px
px 



px
y 4
2


Jadi, persamaan parabola dengan fokus
F(p,0) dan garis direktriks x= -p adalah

Pengertian
suatu bidang datar.
Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan-persamaan parabola dengan
fokus dan direktriks yang berbeda.
Persamaan-persamaan parabola tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut.
 Puncak (0,0)
Persamaan Fokus Direktriks Sumbu
parabola
Grafiknya
(p,0) x = -p Sumbu x Terbuka ke kanan
(-p,0) x =p Sumbu x Terbuka ke kiri
(0,p) y = -p Sumbu y Terbuka ke atas
(0,-p) y = p Sumbu y Terbuka ke bawah
py
x 4
2


px
y 4
2

px
y 4
2


py
x 4
2


Pengertian
suatu bidang datar.
 Puncak (h,k)
Persamaan Fokus Direktriks Sumbu
parabola
Grafiknya
(h+p,k) x = h-p y=k Terbuka ke kanan
(h-p,k) x =h+p y=k Terbuka ke kiri
(h,k+p) y = k-p x=h Terbuka ke atas
(h,k-p) y = k+p x=h Terbuka ke bawah
   
h
x
p
k
y 

 4
2
   
h
x
p
k
y 


 4
2
   
k
y
p
h
x 

 4
2
   
k
y
p
h
x 


 4
2

Pengertian
suatu bidang datar.
Contoh:
Tentukan koordinat fokus, koordinat titik puncak, persamaan direktriks, dan
lukiskan grafiknya dari parabola dengan persamaan 3
4
1 2


 x
x
y
Jawab:
Persamaan di atas diubah menjadi bentuk umum persamaan parabola, diperoleh
3
4
1 2


 x
x
y
12
4
4 2



 x
x
y
  4
12
2
4
2




 x
y
  16
2
4
2



 x
y
 2
2
16
4 


 x
y
   2
2
4
4 


 x
y
   
4
4
2
2



 y
x
 
     
 
4
1
4
2
2





 y
x

Pengertian
suatu bidang datar.
Persamaan  
     
 
4
1
4
2
2




 y
x merupakan persamaan parabola dengan
puncak (h,k) dengan persamaan    
k
y
p
h
x 

 4
2
maka grafik terbuka ke atas
sehingga diperoleh
P = 1, maka koordinat fokus F(-2, -4+1) = F(-2, -3)
Koordinat titik puncak: (-2, -4)
Persamaan direktriks: y = -4-1 = -5
Grafiknya
Pembuat nol:
3
4
1
16
4
4
0










y
y
y
x
 
2
atau
6
4
2
16
2
0
2












x
x
x
x
y
Gambar 6

Pengertian
suatu bidang datar.
Bidang irisan dengan sumbu kerucut membentuk sudut α, α < 900, hasil
irisannya berbentuk elips.
Hasil irisan berbentuk elips
Gambar 7
ELIPS

Pengertian
suatu bidang datar.
Definisi Elips:
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik P sedemikian sehingga jumlah
jarak P terhadap dua titik tertentu adalah tetap.
O X
Y
D(0,b)
A(-a,0) C(a,0)
B(0,-b)
F1(-p,0)
P(x,y)
F2(p,0)
Gambar 8
a
b
p
e
a
x 
e
a
x 


Pengertian
suatu bidang datar.
 Kedua titik tertentu itu disebut fokus-fokus elips.
 Garis penghubung kedua fokus disebut sumbu panjang (sumbu mayor).
 Garis melalui titik tengah kedua fokus dan tegak lurus terhadap sumbu sumbu
mayor disebut sumbu pendek (sumbu minor).
 Titik potong kedua sumbu disebut pusat elips.
 Titik potong elips dengan kedua sumbu disebut puncak elips (A, B, C, D).
 Jarak A ke C dan B ke D masing-masing merupakan panjang dari sumbu panjang
dan sumbu pendek.
Persamaan elips dapat diperoleh dengan:
 Pilih sumbu-sumbu yang berfokus
 Misalkan jumlah jarak yang tetap adalah
2a berarti 2a > 2p atau a > p )
0
,
(
dan
)
0
,
( 2
1 p
F
p
F 

Pengertian
suatu bidang datar.
Sehingga menurut definisi, diperoleh
       
   
    2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
0
0
2
y
p
x
a
y
p
x
a
y
p
x
y
p
x
a
y
p
x
y
p
x
a
PF
PF

























Kuadratkan kedua ruas, maka diperoleh
     
 
 
 
  2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
4
4
2
4
4
y
p
x
a
a
px
y
p
x
a
a
px
y
p
px
x
y
p
x
a
a
y
p
px
x
y
p
x
y
p
x
a
a
y
p
x


































Pengertian
suatu bidang datar.
Kuadratkan kembali kedua ruas, maka diperoleh
 
 
 
   
    ...(1)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
p
a
a
x
p
a
y
a
x
p
a
p
a
a
y
a
x
p
x
a
p
a
a
y
a
p
a
px
a
x
a
a
px
a
x
p
y
p
px
x
a
a
px
a
x
p
y
p
x
a
a
px
a
x
p

































Karena a > p, maka 0
dan 2
2
2
2


 p
a
p
a
Misalkan  
0
,
2
2
2


 b
b
p
a
Maka persamaan (1) menjadi ...(2)
2
2
2
2
2
2
b
a
y
a
x
b 


Pengertian
suatu bidang datar.
Bagilah masing-masing ruas persamaan (2) dengan 2
2
b
a , maka diperoleh
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2





b
y
a
x
b
a
b
a
b
a
y
a
b
a
x
b
Jadi, persamaan elips dengan fokus )
0
,
(
dan
)
0
,
( 2
1 p
F
p
F  adalah
1
2
2
2
2


b
y
a
x

Pengertian
suatu bidang datar.
Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan-persamaan elips dengan
fokus, sumbu mayor dan sumbu minor yang berbeda.
Persamaan-persamaan elips tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut.
 Pusat (0,0)
Persamaan Fokus Sumbu mayor Sumbu minor
Terletak pada
sumbu x
Terletak pada
sumbu y
Terletak pada
sumbu y
Terletak pada
sumbu x
1
2
2
2
2


b
y
a
x
1
2
2
2
2


a
y
b
x
)
,
0
(
)
,
0
(
2
1
p
F
p
F 
)
0
,
(
)
0
,
(
2
1
p
F
p
F 

Pengertian
suatu bidang datar.
 Pusat (h,k)
Persamaan Fokus Sumbu
mayor
Sumbu minor
y = k x = h
x= h y = k
)
,
(
)
,
(
2
1
k
p
h
F
k
p
h
F


)
,
(
)
,
(
2
1
p
k
h
F
p
k
h
F


    1
2
2
2
2




b
k
y
a
h
x
    1
2
2
2
2




a
k
y
b
h
x

Pengertian
suatu bidang datar.
Contoh:
Diketahui elips dengan persamaan 0
92
8
4
4 2
2




 y
x
y
x
Tentukanlah:
a) Koordinat titik pusat elips
b) Panjang sumbu mayor dan panjang
sumbu minor
c) Koordinat fokus-fokus
d) Koordinat titik-titik puncak
e) Lukiskan grafiknya

Pengertian
suatu bidang datar.
Jawab:
Persamaan di atas diubah menjadi bentuk umum persamaan elips, diperoleh
   
   
   
    ...(*)
1
25
1
100
2
100
1
4
2
4
4
92
1
4
2
92
4
1
4
4
2
92
8
4
4
0
92
8
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


































y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Dari persamaan (*), dapat ditentukan
a) Koordinat titik pusat elips: (2,1)

Pengertian
suatu bidang datar.
b) Menghitung panjang sumbu mayor dan sumbu minor
5
25
10
100
2
2






b
b
a
a
Panjang sumbu mayor = 2a = 2 x 10 =20
Panjang sumbu minor = 2b = 2 x 5 = 10
c) Mencari koordinat fokus
3
5
75
25
100
2
2









p
p
p
b
a
p
Koordinat fokus-fokus: )
1
,
3
5
2
(
dan
)
1
,
3
5
2
( 2
1 
 F
F

Pengertian
suatu bidang datar.
d) Koordinat titik-titik puncak
A (2+10, 1) = A(12,1)
B (2-10, 1) = A(-8,1)
C (2, 1+5) = A(2,6)
D (2, 1-5) = A(2,-4)
Y
Gambar 9
X
(2,6)
(2,-4)
(2,1)
(12,1)
(-8,1)
e) Grafik
)
1
,
3
5
2
(
1 
F )
1
,
3
5
2
(
2 
F

Pengertian
suatu bidang datar.
Hiperbola
Hiperbola adalah salah satu dari tiga jenis irisan kerucut, yang
dibentuk oleh irisan suatu bidang dan kerucut ganda.
Persamaan hiperbola dengan pusat O (0, 0).
Vertikal: (x²/b²) – (y²/a²) = 1
Horisontal: (x²/a²) – (y²/b²) = 1
keterangan:
•a : ½ x Panjang sumbu nyata
•b : ½ x panjang sumbu imajiner
Rumus Hiperbola Vertikal dan Horisontal pada Titik pusat (0,0)

IRISAN KERUCUT

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to IRISAN KERUCUT

Similar to IRISAN KERUCUT (20)

IRISAN KERUCUT