Inducția matematică este o metodă de raționament în matematică care permite demonstrarea unei propoziții pentru toate numerele naturale prin verificarea unei valori de bază și demonstrând că, dacă este adevărată pentru un anumit caz, este și pentru cazul următor. Această metodă are aplicații variate, incluzând calculul sumelor și produselor, demonstrarea egalităților și inegalităților, precum și probleme de divizibilitate. Lecția este realizată de profesorul Curt Marius la Liceul Tehnologic de Industrie Alimentară Fetești.

1. ALGEBRĂ

2. Inducția matematică
 O metodă de raționament , în care concluzia rezultă pe
baza cercetării tuturor cazurilor se numește inducție
completă .
 Inducția completă are un domeniu restrâns de
aplicabilitate în matematică
 De regulă , propozițiile matematice se referă la o
mulțime infinită de elemente și nu este posibil de
considerat , pe rând toate aceste elemente !

3. Inducția matematică
 Există însă o metodă de a raționa ,
care înlocuiește analiza unei
mulțimi infinite de cazuri cu
demonstrarea faptului că , dacă o
propoziție este adevărată într-un
caz , atunci ea se dovedește
adevărată și în cazul care succede
acestuia .
 O astfel de metodă de raționament
se numește inducție matematică .

4. Inducția matematică
 Pentru înțelegere considerăm propoziția :
 Pentru orice număr natural are loc egalitatea :
 Notăm cu această egalitate , fiind o propoziție
care depinde de numărul natural
1n 
2
1 3 5 ... (2 1)n n     
( )P n
1n 

5. Inducția matematică
 Pentru convingere verificăm dacă această propoziție
este adevărată pentru câteva valori date lui n
 De exemplu , pentru obținem propoziția
adică
 Efectuând calculele obținem atunci :
4n  ( )4P
2
1 3 5 ... ( 4 42 1)      
2
1 3 5 .. 4. 7    

6. Inducția matematică
 Observăm că în această sumă termenii sunt din 2 în 2 !
 Din acest motiv între 5 și 7 nu mai există și alți termeni
, deci spațiile punctate dispar !
 Efectuând calculele obținem că
16=16 deci este o propoziție
adevărată .
2
41 3 5 7   
(4)P

7. Inducția matematică
 Deci când calculăm o sumă cu spații punctate vom
înlocui valoarea lui n în ultimul termen al sumei
pentru a determina termenul la care suma se termină .
 Deoarece ultimul termen este 1 și
primul termen este tot 1 termenii
dintre ei dispar și suma nu are decât un termen .
2
( ) :1 3 5 ... (21 1)1 1P       
2
( ) :1 3 5 ...1 1 1P     

8. Inducția matematică
2
( ) :1 1 1P  Obținem astfel ceea ce este adevărat .
 Faptul că propoziția este adevărată pentru câteva valori
date lui n nu demonstrează însă că ea este adevărată
pentru orice număr natural n
 O demonstrație pentru acest lucru este dată de metoda
inducției matematice .

9. Inducția matematică
 Aplicarea metodei inducției matematice pentru a
demonstra o propoziție constă în
parcurgerea a două etape :
 I. Verificarea : Pentru sau cea mai mică valoare
pe care i-o putem da , verificăm dacă propoziția
este adevărată .
 II. Demonstrația : . Presupunem
și demonstrăm că
 Concluzia :
( ) ,P n n 
0n 
(0)P
( ) ( 1)P k P k 
( ) ( )P k A ( 1) ( )P k A
( ) ( ) ( )P n A n 

10. Inducția matematică
 Să demonstrăm atunci :
 I. Verificarea :
⇔
⇔
(A)
 II. Demonstrația :
 Presupunem că propoziția
este (A)
2
1 3 5 ... (2 1) , ( ) 1n n n       
2
( ) :1 3 5 ... (21 1)1 1P       
( ) : 1 3 5 ...1P    2
1 1 
2
( ) :1 1 1P 
( ) ( 1)P k P k 
2
( ) :1 3 5 ... (2 1)P k k k     

11. Inducția matematică
 Demonstrăm că propoziția
este (A)
 Dacă ultimul termen din propoziția l-am
obținut pentru atunci penultimul îl obținem
pentru deci :
⇔
2
( ) :1 3 5 ... (2( )1 1 11) ( )k k kP       
( 1)P k 
1n k 
n k
2
( 1) :1 3 5 ... (2 1)
(2 2 1) ( 1)
P k k
k k
      
    
2
( 1) :1 3 5 ... (2 1)
(2 1) ( 1)
P k k
k k
      
   

12. Inducția matematică
 Se observă că în propoziția suma subliniată cu
roșu este de fapt suma din propoziția care a fost
presupusă adevărată și atunci poate fi
înlocuită cu ⇨
 Această propoziție este adevărată
deoarece
2
( 1) :1 3 5 ... (2 1) (2 1) ( 1)P k k k k         
( )P k
( 1)P k 
( )P k
2
k
2 2
( 1) : 2 1 ( 1)P k k k k    
2 2 2
2 ( )a ab b a b   

13. Inducția matematică
 Concluzia este atunci că : ∎
 Metoda inducției matematice are o largă utilizare în
matematică . Ea poate fi folosită la calcularea de sume
și produse , la demonstrarea unor egalități și
inegalități , în probleme de divizibilitate a numerelor .
( ) , ( ) ( ) 1P n A n 

14. Inducția matematică
 Iată câteva exemple în care puteți folosi această
metodă :
 1)
 2)
 3)
( 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
2
n n
n n

      
2 2 2 2 ( 1)(2 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
6
n n n
n n
 
      
2
3 3 3 3 ( 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
2
n n
n n
 
       
 

15. Inducția matematică
 4) Calculați suma și
demonstrați rezultatul obținut prin inducție
matematică pentru
 5) Fie suma
a) Să se arate că ,
b) Să se calculeze suma folosind a)
c) Demonstrați prin metoda inducției
matematice rezultatul de la b)
1 2 2 3 3 4 ... ( 1)n
S n n        
( ) 1n 
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 ( 1)n
S
n n
    
   
1 1 1
( 1) 1k k k k
 
 
k 

n
S

16. Inducția matematică
 Aici lecția noastră se termină ! Spor la lucru !
 Lecție realizată de prof. CURT MARIUS
 Liceul Tehnologic De Industrie Alimentara fetesti