The document summarizes Intuit's journey in developing better metrics to measure customer satisfaction and loyalty through the Net Promoter Score (NPS). It discusses how Intuit shifted from using vague satisfaction statistics to the NPS, which asks customers how likely they are to recommend the company. This led Intuit to gain insights into detractors versus promoters. While the NPS helped Intuit improve customer experience and growth, some critics argue it is not the single best metric and other measures may provide better predictions of customer behaviors.
[Webinar] Survey and Net Promoter Score Best PracticesGainsight
The document discusses survey best practices for measuring Net Promoter Score (NPS) and customer satisfaction. It covers planning surveys, designing effective survey questions, communicating surveys to customers, analyzing survey results, and taking action based on feedback. Implementing regular NPS surveys in Gainsight allows companies to trigger follow-ups for promoters, detractors, and passives to improve the customer experience. Analyzing NPS by customer segments provides insights to increase retention and identify upsell opportunities.
This document provides an overview of solving linear inequalities. It introduces inequality notation and properties, discusses multiplying and dividing by negative numbers, and provides examples of solving different types of linear inequalities. It also covers interval notation, graphing solutions to inequalities on number lines, and using interactive tools like Gizmos for additional practice with inequalities.
Vectors and scalars for IB 11th gradersMESUT MIZRAK
This document discusses vectors and scalars in physics. It defines vectors as quantities that have both magnitude and direction, while scalars only have magnitude. Examples of each are provided. The document then discusses how to calculate the sum or difference of vectors graphically by adding or subtracting their magnitudes and directions. It also covers resolving vectors into perpendicular components, multiplying vectors by scalars, and finding the angle between adjacent vectors graphically or using trigonometry. Diagrams are provided to illustrate these vector concepts and calculations.
„MODALITĂŢI DE ACTIVIZARE A ELEVILOR PRIN METODE ACTIV-PARTICIPATIVE ÎN PRED...Livia Dobrescu
Invatator CORINA ŞUJDEA, Scoala Gimnaziala „Mihail Sadoveanu” Husi, Romania
„MODALITĂŢI DE ACTIVIZARE A ELEVILOR PRIN METODE ACTIV-PARTICIPATIVE ÎN PREDAREA-ÎNVĂŢAREA OPERAŢIILOR MATEMATICE”
The document summarizes Intuit's journey in developing better metrics to measure customer satisfaction and loyalty through the Net Promoter Score (NPS). It discusses how Intuit shifted from using vague satisfaction statistics to the NPS, which asks customers how likely they are to recommend the company. This led Intuit to gain insights into detractors versus promoters. While the NPS helped Intuit improve customer experience and growth, some critics argue it is not the single best metric and other measures may provide better predictions of customer behaviors.
[Webinar] Survey and Net Promoter Score Best PracticesGainsight
The document discusses survey best practices for measuring Net Promoter Score (NPS) and customer satisfaction. It covers planning surveys, designing effective survey questions, communicating surveys to customers, analyzing survey results, and taking action based on feedback. Implementing regular NPS surveys in Gainsight allows companies to trigger follow-ups for promoters, detractors, and passives to improve the customer experience. Analyzing NPS by customer segments provides insights to increase retention and identify upsell opportunities.
This document provides an overview of solving linear inequalities. It introduces inequality notation and properties, discusses multiplying and dividing by negative numbers, and provides examples of solving different types of linear inequalities. It also covers interval notation, graphing solutions to inequalities on number lines, and using interactive tools like Gizmos for additional practice with inequalities.
Vectors and scalars for IB 11th gradersMESUT MIZRAK
This document discusses vectors and scalars in physics. It defines vectors as quantities that have both magnitude and direction, while scalars only have magnitude. Examples of each are provided. The document then discusses how to calculate the sum or difference of vectors graphically by adding or subtracting their magnitudes and directions. It also covers resolving vectors into perpendicular components, multiplying vectors by scalars, and finding the angle between adjacent vectors graphically or using trigonometry. Diagrams are provided to illustrate these vector concepts and calculations.
„MODALITĂŢI DE ACTIVIZARE A ELEVILOR PRIN METODE ACTIV-PARTICIPATIVE ÎN PRED...Livia Dobrescu
Invatator CORINA ŞUJDEA, Scoala Gimnaziala „Mihail Sadoveanu” Husi, Romania
„MODALITĂŢI DE ACTIVIZARE A ELEVILOR PRIN METODE ACTIV-PARTICIPATIVE ÎN PREDAREA-ÎNVĂŢAREA OPERAŢIILOR MATEMATICE”
Poveștile pentru copii au un rol complex și benefic în dezvoltarea lor, le vor oferi nu doar divertisment, ci și oportunități de învățare și creștere personală.
Poveștile pentru copii au un rol complex și benefic în dezvoltarea lor, le vor oferi nu doar divertisment, ci și oportunități de învățare și creștere personală.
PARTENERIAT TRANSFRONTALIER REPUBLICA MOLDOVA-ROMÂNIAFlorinaTrofin
olaborarea la nivel transfrontalier prin împărtășirea opiniilor, practicilor, metodelor și strategiilor de lucru cu cadrele didactice din Republica Moldova și România pentru îmbunătățirea procesului educațional cu finalități comune.
Proiect transfrontalier„Povestea are fir bogat”..AngelaButnaru1
Copiii învață din povești cât de mult contează bunătatea, empatia și prietenia, dându-le ocazia să facă diferența între comportamentele pozitive și cele negative.
PROIECT DE PARTENERIAT TRANSFRONTALIER „Educație online fără hotare”DusikaLevinta1
Colaborarea la nivel transfrontalier prin împărtășirea opiniilor, practicilor, metodelor și strategiilor de lucru cu cadrele didactice Republica Moldova și România pentru îmbunătățirea procesului educațional cu finalități comune.
OBIECTIVE Contribuirea la dezvoltarea unei educații de calitate;
Încurajarea formării continue a cadrelor didactice și manageriale;
Facilitarea accesului transfrontalier la resurse educative;
Promovarea dimensiunii interculturale a educației;
Încurajarea inovărilor în elaborarea materialelor didactice;
Utilizarea noilor tehnologii în educație.
2. Inducția matematică
O metodă de raționament , în care concluzia rezultă
pe baza cercetării tuturor cazurilor se numește
inducție completă .
Inducția completă are un domeniu restrâns de
aplicabilitate în matematică
De regulă , propozițiile matematice se referă la o
mulțime infinită de elemente și nu este posibil de
considerat , pe rând toate aceste elemente !
3. Inducția matematică
Există însă o metodă de a raționa ,
care înlocuiește analiza unei mulțimi
infinite de cazuri cu demonstrarea
faptului că , dacă o propoziție este
adevărată într-un caz , atunci ea se
dovedește adevărată și în cazul care
succede acestuia .
O astfel de metodă de raționament
se numește inducție matematică .
4. Inducția matematică
Pentru înțelegere considerăm propoziția :
Pentru orice număr natural are loc egalitatea :
Notăm cu această egalitate , fiind o propoziție
care depinde de numărul natural
1n ≥
2
1 3 5 ... (2 1)n n+ + + + − =
( )P n
1n ≥
5. Inducția matematică
Pentru convingere verificăm dacă această propoziție este
adevărată pentru câteva valori date lui n
De exemplu , pentru obținem propoziția
adică
Efectuând calculele obținem atunci :
4n = ( )4P
2
1 3 5 ... ( 4 42 1)+ + + + × − =
2
1 3 5 .. 4. 7+ + + + =
6. Inducția matematică
Observăm că în această sumă termenii sunt din 2 în 2 !
Din acest motiv între 5 și 7 nu mai există și alți termeni ,
deci spațiile punctate dispar !
Efectuând calculele obținem că
16=16 deci este o propoziție
adevărată .
2
41 3 5 7+ + + =
(4)P
7. Inducția matematică
Deci când calculăm o sumă cu spații punctate vom înlocui
valoarea lui n în ultimul termen al sumei pentru a
determina termenul la care suma se termină .
Deoarece ultimul termen este 1 și
primul termen este tot 1 termenii
dintre ei dispar și suma nu are decât un termen .
2
( ) : 1 3 5 ... (21 1)1 1P + + + + × − =
2
( ) : 1 3 5 ...1 1 1P + + + + =
8. Inducția matematică
2
( ) :1 1 1P =Obținem astfel ceea ce este adevărat .
Faptul că propoziția este adevărată pentru câteva
valori date lui n nu demonstrează însă că ea este
adevărată pentru orice număr natural n
O demonstrație pentru acest lucru este dată de
metoda inducției matematice .
9. Inducția matematică
Aplicarea metodei inducției matematice pentru a
demonstra o propoziție constă în
parcurgerea a două etape :
I. Verificarea : Pentru sau cea mai mică valoare
pe care i-o putem da , verificăm dacă propoziția
este adevărată .
II. Demonstrația : . Presupunem
și demonstrăm că
Concluzia :
( ) ,P n n ∈ ¥
0n =
(0)P
( ) ( 1)P k P k→ +
( ) ( )P k A ( 1) ( )P k A+
( ) ( ) ( )P n A n∀ ∈ ¥
11. Inducția matematică
Demonstrăm că propoziția
este (A)
Dacă ultimul termen din propoziția l-am
obținut pentru atunci penultimul îl obținem
pentru deci :
⇔
2
( ) : 1 3 5 ... (2( )1 1 11) ( )k k kP + + + + − +=+ +
( 1)P k +
1n k= +
n k=
2
( 1) : 1 3 5 ... (2 1)
(2 2 1) ( 1)
P k k
k k
+ + + + + − +
+ + − = +
2
( 1) : 1 3 5 ... (2 1)
(2 1) ( 1)
P k k
k k
+ + + + + − +
+ + = +
12. Inducția matematică
Se observă că în propoziția suma subliniată cu roșu
este de fapt suma din propoziția care a fost presupusă
adevărată și atunci poate fi
înlocuită cu ⇨
Această propoziție este adevărată
deoarece
2
( 1) : 1 3 5 ... (2 1) (2 1) ( 1)P k k k k+ + + + + − + + = +
( )P k
( 1)P k +
( )P k
2
k
2 2
( 1) : 2 1 ( 1)P k k k k+ + + = +
2 2 2
2 ( )a ab b a b+ + = +
13. Inducția matematică
Concluzia este atunci că : ∎
Metoda inducției matematice are o largă utilizare în
matematică . Ea poate fi folosită la calcularea de sume
și produse , la demonstrarea unor egalități și
inegalități , în probleme de divizibilitate a numerelor .
( ) , ( ) ( ) 1P n A n∀ ≥
14. Inducția matematică
Iată câteva exemple în care puteți folosi această
metodă :
1)
2)
3)
( 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
2
n n
n n
+
+ + + + = ∀ ≥
2 2 2 2 ( 1)(2 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
6
n n n
n n
+ +
+ + + + = ∀ ≥
2
3 3 3 3 ( 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
2
n n
n n
+
+ + + + = ∀ ≥
15. Inducția matematică
4) Calculați suma și
demonstrați rezultatul obținut prin inducție matematică
pentru
5) Fie suma
a) Să se arate că ,
b) Să se calculeze suma folosind a)
c) Demonstrați prin metoda inducției
matematice rezultatul de la b)
1 2 2 3 3 4 ... ( 1)n
S n n= × + × + × + + +
( ) 1n∀ ≥
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 ( 1)n
S
n n
= + + + +
× × × +
1 1 1
( 1) 1k k k k
= −
+ +
k ∗
∈ ¥
n
S
16. Inducția matematică
Aici lecția noastră se termină ! Spor la lucru !
Lecție realizată de prof. Ionescu Cristian
Liceul Tehnologic “Goga Ionescu” Titu
26.10.2014