Inducția matematică este o metodă de raționament utilizată în matematică pentru a demonstra că o propoziție este adevărată pentru toate numerele naturale. Aceasta implică două etape: verificarea adevărului propoziției pentru o valoare bază și demonstrarea că, dacă este adevărată pentru un caz k, atunci este adevărată și pentru cazul k+1. Metoda este folosită frecvent pentru a calcula sume, produse și pentru a demonstra egalități și inegalități.

1. Inducția matematică
ALGEBRĂ

2. Inducția matematică
O metodă de raționament , în care concluzia rezultă
pe baza cercetării tuturor cazurilor se numește
inducție completă .
Inducția completă are un domeniu restrâns de
aplicabilitate în matematică
De regulă , propozițiile matematice se referă la o
mulțime infinită de elemente și nu este posibil de
considerat , pe rând toate aceste elemente !

3. Inducția matematică
Există însă o metodă de a raționa ,
care înlocuiește analiza unei mulțimi
infinite de cazuri cu demonstrarea
faptului că , dacă o propoziție este
adevărată într-un caz , atunci ea se
dovedește adevărată și în cazul care
succede acestuia .
O astfel de metodă de raționament
se numește inducție matematică .

4. Inducția matematică
Pentru înțelegere considerăm propoziția :
Pentru orice număr natural are loc egalitatea :
 Notăm cu această egalitate , fiind o propoziție
care depinde de numărul natural
1n ≥
2
1 3 5 ... (2 1)n n+ + + + − =
( )P n
1n ≥

5. Inducția matematică
Pentru convingere verificăm dacă această propoziție este
adevărată pentru câteva valori date lui n
De exemplu , pentru obținem propoziția
adică
Efectuând calculele obținem atunci :
4n = ( )4P
2
1 3 5 ... ( 4 42 1)+ + + + × − =
2
1 3 5 .. 4. 7+ + + + =

6. Inducția matematică
Observăm că în această sumă termenii sunt din 2 în 2 !
Din acest motiv între 5 și 7 nu mai există și alți termeni ,
deci spațiile punctate dispar !
Efectuând calculele obținem că
16=16 deci este o propoziție
adevărată .
2
41 3 5 7+ + + =
(4)P

7. Inducția matematică
Deci când calculăm o sumă cu spații punctate vom înlocui
valoarea lui n în ultimul termen al sumei pentru a
determina termenul la care suma se termină .
Deoarece ultimul termen este 1 și
primul termen este tot 1 termenii
dintre ei dispar și suma nu are decât un termen .
2
( ) : 1 3 5 ... (21 1)1 1P + + + + × − =
2
( ) : 1 3 5 ...1 1 1P + + + + =

8. Inducția matematică
2
( ) :1 1 1P =Obținem astfel ceea ce este adevărat .
Faptul că propoziția este adevărată pentru câteva
valori date lui n nu demonstrează însă că ea este
adevărată pentru orice număr natural n
O demonstrație pentru acest lucru este dată de
metoda inducției matematice .

9. Inducția matematică
Aplicarea metodei inducției matematice pentru a
demonstra o propoziție constă în
parcurgerea a două etape :
 I. Verificarea : Pentru sau cea mai mică valoare
pe care i-o putem da , verificăm dacă propoziția
este adevărată .
II. Demonstrația : . Presupunem
și demonstrăm că
Concluzia :
( ) ,P n n ∈ ¥
0n =
(0)P
( ) ( 1)P k P k→ +
( ) ( )P k A ( 1) ( )P k A+
( ) ( ) ( )P n A n∀ ∈ ¥

10. Inducția matematică
Să demonstrăm atunci :
I. Verificarea :
⇔
⇔
(A)
II. Demonstrația :
Presupunem că propoziția
este (A)
2
1 3 5 ... (2 1) , ( ) 1n n n+ + + + − = ∀ ≥
2
( ) : 1 3 5 ... (21 1)1 1P + + + + × − =
( ) : 1 3 5 ...1P + + + 2
1 1+ =
2
( ) :1 1 1P =
( ) ( 1)P k P k→ +
2
( ) :1 3 5 ... (2 1)P k k k+ + + + − =

11. Inducția matematică
Demonstrăm că propoziția
este (A)
Dacă ultimul termen din propoziția l-am
obținut pentru atunci penultimul îl obținem
pentru deci :
⇔
2
( ) : 1 3 5 ... (2( )1 1 11) ( )k k kP + + + + − +=+ +
( 1)P k +
1n k= +
n k=
2
( 1) : 1 3 5 ... (2 1)
(2 2 1) ( 1)
P k k
k k
+ + + + + − +
+ + − = +
2
( 1) : 1 3 5 ... (2 1)
(2 1) ( 1)
P k k
k k
+ + + + + − +
+ + = +

12. Inducția matematică
Se observă că în propoziția suma subliniată cu roșu
este de fapt suma din propoziția care a fost presupusă
adevărată și atunci poate fi
înlocuită cu ⇨
Această propoziție este adevărată
deoarece
2
( 1) : 1 3 5 ... (2 1) (2 1) ( 1)P k k k k+ + + + + − + + = +
( )P k
( 1)P k +
( )P k
2
k
2 2
( 1) : 2 1 ( 1)P k k k k+ + + = +
2 2 2
2 ( )a ab b a b+ + = +

13. Inducția matematică
Concluzia este atunci că : ∎
Metoda inducției matematice are o largă utilizare în
matematică . Ea poate fi folosită la calcularea de sume
și produse , la demonstrarea unor egalități și
inegalități , în probleme de divizibilitate a numerelor .
( ) , ( ) ( ) 1P n A n∀ ≥

14. Inducția matematică
Iată câteva exemple în care puteți folosi această
metodă :
1)
2)
3)
( 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
2
n n
n n
+
+ + + + = ∀ ≥
2 2 2 2 ( 1)(2 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
6
n n n
n n
+ +
+ + + + = ∀ ≥
2
3 3 3 3 ( 1)
1 2 3 ... , ( ) 1
2
n n
n n
 +
+ + + + = ∀ ≥ 
 

15. Inducția matematică
4) Calculați suma și
demonstrați rezultatul obținut prin inducție matematică
pentru
5) Fie suma
a) Să se arate că ,
b) Să se calculeze suma folosind a)
c) Demonstrați prin metoda inducției
matematice rezultatul de la b)
1 2 2 3 3 4 ... ( 1)n
S n n= × + × + × + + +
( ) 1n∀ ≥
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 ( 1)n
S
n n
= + + + +
× × × +
1 1 1
( 1) 1k k k k
= −
+ +
k ∗
∈ ¥
n
S

16. Inducția matematică
Aici lecția noastră se termină ! Spor la lucru !
Lecție realizată de prof. Ionescu Cristian
Liceul Tehnologic “Goga Ionescu” Titu
26.10.2014