1. Il Triangolo diIl Triangolo di
TartagliaTartaglia
Federico PeirettiFederico Peiretti Idro, 12/09/08Idro, 12/09/08

2. http://polito.it/polymath

3. “La Matematica è sempre la stessa, non
cambia, e non c’è bisogno di cambiare i libri
di testo”
Umberto Bossi

4. L'istruzione dei licei è del 1923 (Legge Gentile) e da allora la
struttura didattica è rimasta pressoché immutata, salvo le
modifiche che riguardano l'insegnamento delle lingue classiche
e l'inserimento dell'educazione civica e dell'educazione stradale.

5. Trigonometria: Le
funzioni goniometriche:
seno, coseno e tangente.
Formule per l'addizione,
la sottrazione, la
duplicazione e la
bisezione degli
argomenti. Uso delle
tavole goniometriche ed
applicazione alla
risoluzione dei triangoli
rettilinei. Geometria:
Cenni sui poliedri
equivalenti, sulla base,
eventualmente, del
principio di Cavalieri.
Regole pratiche per la
determinazione di aree e
volumi dei solidi studiati.
Nelle tre classi:
esercizi semplici di
applicazione dell'algebra
alla geometria.
Programma della terza liceo classico

6. Per molti la Matematica è
soltanto una serie di sgradevoli
artifici meccanici: non è
assolutamente vero! per me è
un argomento eccitante e
sensuale. Mi piace, e
personalmente ne ricavo più
piacere di quanto molta gente
non ne tragga dall'arte. Mi
sento come un artista. Mi
piacciono le cose belle e
queste sono già lì, l'uomo non
le deve creare, ma scoprire.
Io sono veramente stupefatto
dalla bellezza della Natura. E
la Matematica è Natura.
Nessuno può aver inventato
l'Universo matematico che era
là e aspettava soltanto di essere
scoperto. E' una cosa pazzesca
e straordinaria.
John Conway

7. Chilakamarri
Vijayalakshmi
Docente prima al King's
College London e
successivamente alla Sri
Padmavati Mahila
Visvavidyalayam
(Women’s University)
(SPMVV) in Tirupati,
Andhra Pradesh, India
“In tutto il mondo tanti studenti rifiutano la
matematica, la temono e la trovano
sgradevole. Nelle scuole, non solo indiane, i
programmi prevedono algoritmi, regole,
capacità e metodi che insistono sul “fare”
piuttosto che sul “pensare” la matematica. I
contenuti hanno tempi rigidi di svolgimento e
le verifiche non danno importanza alle abilità,
agli interessi e al livello cognitivo dello
studente. Il presupposto è che la matematica
deve “scorrere” dal livello più alto, quello
dell’insegnante, a quello più basso, quello
dell’allievo, ignorando qualsiasi relazione
interpersonale. Gli insegnanti si regolano per
le loro lezioni sulla capacità di uno studente
medio, che in realtà non esiste, con il risultato
di annoiare tutta la classe. L’insegnamento
della matematica è dominato dalla
disumanità, dalla spersonalizzazione e dalla
decontestualizzazione. Come risultato, lo
studente si chiede che cosa stia studiando e
perché, ma non trova una risposta”.

8. “Che senso ha studiare la Matematica? Non ho mai utilizzato seni e coseni
nella mia vita di tutti i giorni. Che senso ha imparare a risolvere equazioni di
2° grado? Anche se un giocatore di calcio ne risolve una in modo inconscio
ogni volta che pensa dove sia meglio piazzare un calcio di punizione, non
credo che Wayne Rooney utilizzi la formula che gli è stata insegnata a scuola
per prendere decisioni di questo tipo. E allora perché dovremmo
preoccuparci di una nuova indagine resa nota oggi secondo la quale il
fallimento dell’insegnamento della Matematica nel Regno Unito ha avuto
come risultato la scomparsa di mezzo milione di matematici?”
“Il nostro sistema scolastico non raggiunge il suo
obiettivo più importante, quello di far vedere che
la matematica è molto più degli esercizi tecnici
proposti in classe. Se insegniamo ai ragazzi a
suonare uno strumento musicale soltanto
attraverso scale e solfeggi, senza fargli mai sentire
qualcosa della musica meravigliosa che essi
vorrebbero imparare a suonare o un giorno
persino a comporre, la maggior parte di loro
resterà soltanto con l’idea che lo studio della
musica sia una tortura. E così è per la
matematica”.

9. Talete: ogni volta, ilTalete: ogni volta, il
professore aveva parlato loroprofessore aveva parlato loro
del teorema, non dell’uomo;del teorema, non dell’uomo;
d’altra parte durante le lezionid’altra parte durante le lezioni
di matematica non si parlavadi matematica non si parlava
mai di esseri umani. Di tantomai di esseri umani. Di tanto
in tanto si sentivain tanto si sentiva
eccheggiare un nome:eccheggiare un nome:
Talete, Pitagora, Pascal,Talete, Pitagora, Pascal,
Cartesio, ma era soltanto unCartesio, ma era soltanto un
nome, per l’appunto, comenome, per l’appunto, come
quello di un formaggio o diquello di un formaggio o di
una stazione di metrò.una stazione di metrò.
Denis GuedjDenis Guedj

10. E’ necessario che la matematica
scolastica torni ad essere - o divenga
maggiormente – un compito educativo
adatto alla promozione culturale e
umana dei giovani. E’ necessario che la
matematica si apra alla vita reale, alle
altre discipline, alle possibili
applicazioni, che riduca la sua funzione
selettiva dei più studiosi e volonterosi.
Raimondo Bolletta

11. Archimede, 287 - 212 a. C.

12. Le tre Grazie portano dei canestri pieni di mele e
incontrano sul loro cammino le nove Muse, alle quali
ne danno un certo numero, uguale per ciascuna. Alla
fine le Grazie si accorgono di avere ancora ognuna
tante mele quante ne hanno date a ciascuna Musa.
Quante mele avevano le Grazie e quante ne hanno
date?
Umberto Bottazzini, dall’Antologia Greca

13. Niccolò Fontana Tartaglia, circa 1500 - 1557
Tartaglia perse il padre,
un corriere a cavallo, al
servizio del governo della
città, quando aveva
appena sei anni. La sua
famiglia finì in miseria e
non poté permettersi
alcuna scuola. Frequentò
soltanto per 15 giorni,
all’età di 14 anni, una
“scuola di scrivere”, per
imparare l’alfabeto, ma
arrivato alla lettera “k”, la
dovette abbandonare, non
potendo continuare a
pagare il maestro.

14. Il castello della città di Brescia
Lunedì 19 febbraio 1512.
E’ mattina. I francesi,
grazie all’arrivo di nuove
truppe, hanno appena
ripreso il controllo di
Brescia che si era
ribellata al loro dominio,
costringendoli a
rifugiarsi nel Castello. La
città era rimasta soltanto
per due settimane nelle
mani degli insorti e ora
inizia la rappresaglia,
con i francesi, guidati da
Gaston de Foix, decisi a
infliggere una punizione
esemplare alla città.

15. Duomo vecchio di Brescia (Rotonda)
Quando che li francesi saccheggiorno Bressa, oltre che ne fu svalisata la casa,
ma più che essendo io fugito nel domo de Bressa insieme con mia madre et
mia sorella et molti altri huomini, credendone in tal luogo esser salvi, ma tal
pensiero ne andò fallito perchè alla presentia de mia madre mi fu date cinque
ferrite mortale, cioè tre sulla testa et due sulla fazza fra le quale una me ne
haveva à traverso la bocca et denti, la quale della masella et la medesima
della inferiore, per la qual ferrita, non solamente io non poteva parlar, ma
neanche poteva manzare.
Niccolò Fontana, il Tartaglia, 1500 circa - 1557

16. A guidare i soldati nel saccheggio di Brescia del 1512, c’era Gaston de
Foix (1489 – 1512), il celebre uomo d’armi francese, morto a 23 anni
durante la battaglia di Ravenna.

17. Girolamo Cardano, 1501 – 1576
Scipio Ferreus Bononiensis ab
hinc triginta fermé capitulum
hoc invenit, tradidit verò
Anthonio Mariae Florido
Veneto, qui cùm in certamen
cum Nicolao Tartalea
Brixellense aliquando venisset,
occasionem dedit, ut Nicolaus
invenerit & ipse, qui cum nobis
rogantibus tradidisset,
suppressa demonstratione,
freti hoc auxilio,
demonstrationem quaesivimus,
eamque in modos, quod
difficillimum fuit, redacta sic
subiiciemus.
Girolamo Cardano, Ars
Magna, capitolo XI

18. Ben mi meraviglio di voi & di lui
(perche so che voi parlati per bocca
sua) che abbiati ardire di humiliare
tanto la detta mia inventione, con la
quale vi haveti pensato di farve
immortali. Non vedeti voi che eglie
cosa nota a cadauno intelligente, &
lui medesimo Cardano lo confessa in
detta opera che tale mia inventione è
l'anima di tutto il detto suo volume.
Non vedeti voi che cavando la detta
mia pianta del detto vostro giardino,
tal vostro giardino restaria una oscura
selva, perche tutte le altre cose
sostantiale derivano da detta mia
pianta, Et tamen el non se vergogna
de dire nella detta sua opera, che tutti
li altri capitoli che in quella si trovano
oltra il mio essere tutte sue & vostre
inventioni le quali erano state da me
invente, & ritrovate gia 5 anni avanti
che gli insegnasse a lui tal mia
particolarita.
Niccolò TartagliaFrontespizio dell’Ars Magna di Girolamo Cardano

19. Due piroscafi A e B
sono partiti insieme
per un viaggio di
6000 miglia
all’andata e altrettanti
al ritorno.
Il piroscafo A
mantiene una velocità
di 8 miglia all’ora
nell’andata e 12 miglia
all’ora nel ritorno; il
piroscafo B mantiene
una velocità costante
di 10 miglia all’ora.
Arrivano essi insieme
al luogo di partenza?
B precede A di 50 ore

20. Tartaglia è il padre della moderna balistica, presentata per la prima
volta come disciplina matematica nella sua opera Nova Scientia
(1537) in cui descrive metodi e strumenti dell'artiglieria, in
particolare un quadrante a pendolo, detto "archipenzolo, per
misurare l'inclinazione del cannone.

21. "Habitando in Verona l’anno MDXXI
Illustrissimo S. Duca mi fu adimandato
da un mio intimo et cordial amico
Peritissimo bombardiere del Castel
Vecchio…dil modo di mettere a segno
un pezzo de artiglieria al più che può
tirare. E a benche in tal arte io non
avesse pratica alcuna niente di meno
desideroso di servir l’amico mi promisi
di farli in breve rissoluta risposta. Et
poi che hebbi ben masticata et
ruminata tal materia, gli conclusi et
dimostrai con ragioni naturale et
geometrice qual mente bisognava che
la bocca dil pezzo stesse ellevata
talmente che guardasse rettamente a
45 gradi sopra a l’orizonte, et per far tal
cosa ispedientemente bisognava
havere una squadra de alcun metallo
over legno sodo che habbia
interchiuso un quadrante con lo suo
perpendicolo come di sotto appare in
disegno…."

22. Nova Scientia
La NOVA SCIENTIA in rete http://www.mhs.ox.ac.uk/geometry/cat1.htm

23. Chi Brama di ueder noue inuentioni,
Non tolte da Platon, ne da Plotino,
Ne d'alcun altro Greco, ouer Latino,
Ma sol da Larte, misura, e Ragioni.
Lega di questo le interrogationi,
Fatte da Pietro, Pol, Zuann', e Martino
(Si come, l'occorea sera, e Matino)
Et simelmente, le responsioni.
Qui dentr'intendara, sè non m'inganno,
De molti effetti assai speculatiui,
La causa propinqua del suo danno,
Anchor de molti atti operatiui,
Se uedera essequir con puoc'affanno
Nell'arte della guerra Profittiui.
Et molto defensui.
Con altre cose di magno ualore,
Et inuentioni nell'arte maggiore.
http://it.wikisource.org/wiki/Quesiti_et_inventioni_diverse

24. Quando che 'l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto
trovan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
che il loro produtto sempre sia eguale
al terzo cubo delle cose netto,
El residuo poi suo generale
delli lor lati cubi ben sotratti
varrà la tua cosa principale.
In el secondo de codesti atti
quando che 'l cubo restasse lui solo
tu osserverai quant'altri contratti,
Del numero farai due tal partà volo
che l'una in l'altra si produca schietto
el terzo cubo delle cose in stolo
Dalla qual poi, per commun precetto
torrai li lati cubi insieme gionti
et cotal somma sarà il tuo concetto.
El terzo poi de questi nostri conti
se solve col secondo se ben guardi
che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, et non con passi tardi
nel mille cinquecente, quatro e trenta
con fondamenti ben saldi e gagliardi
Nella città dal mare intorno centa.

25. Veduta di Venezia
dall'Isolario di Benedetto
Bordone, 1528
Questi trovai, et non con passi tardi
nel mille cinquecente, quatro e trenta
con fondamenti ben saldi e gagliardi
Nella città dal mare intorno centa.

26. Nei primi due versi viene indicata l'equazione
('l cubo con le cose appresso) x3
+ px
è uguale ("se agguaglia") a q ("a qualche numero discreto) x3
+ px = q
Questa equazione è infatti, come sapevano bene i matematici del
Cinquecento, l'equazione alla quale si riduce una qualsiasi equazione di
terzo grado ax3
+ bx2
+ cx + d = 0
con alcuni semplici passaggi.
Si deve porre per questo x = y – b/3a
E si ottiene a (y – b/3a)3
+ b (y – b/3a)2
+ c (y – b/3a) + d = 0
Se svolgiamo i calcoli, vediamo che si elimina il termine di secondo grado e
con le opportune sostituzioni si arriva a un'equazione corrispondente a
quella descritta da Tartaglia.
3
32
3
32
27422742
pqqpqq
x ++−++
−
=

27. Nei primi anni del 1500, Scipione
del Ferro scoprì, ma non pubblicò,
la formula risolutiva per le
equazioni di terzo grado. La
confidò in punto di morte ad
Antonio maria del Fiore, un suo
studente, che, anni dopo, sfidò
Tartaglia ad una gara. Ognuno di
essi doveva rispondere a trenta
quesiti posti dall’altro. Mentre
Fiore, sicuro della sua soluzione,
pose a Tartaglia solo domande
relative alle equazioni di terzo
grado, non sapendo che il
matematico bresciano aveva
trovato anche lui una soluzione,
quest’ultimo diversificò molto le
domande facendo fare brutta
figura allo studente.
Il quadriportico della Basilica di Santa Maria dei
Servi a Bologna luogo delle sfide matematiche

28. 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Le prime 10 righe del triangolo di Tartaglia. Ogni numero, tranne il
numero generatore, è la somma dei due numeri sovrastanti. Ai bordi
si trova sempre 1, perché i due numeri sovrastanti sono, in questo
caso, 1 e nessun numero, cioè zero.
Il triangolo numerico,
presentato da Tartaglia in
un suo libro del 1556, il
General Trattato, e
battezzato “Triangolo di
Tartaglia”

29. Omar Khayyam, 1050 – 1122 circa
A cruccio verun del mondo
non dar peso, e insisti in tal
dovere.
Coi pianti di ieri e domani,
non avvilire la speme nel
cuore.
Vivi lieto da viandante d’una
dimora precaria e breve:
Non salverai alcun tesoro,
manco un chicco di grano
nero.
(a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5

30. Se aver puoi sol per te un pane di bianco frumento,
Due fiaschi colmi di vino, un coscio d’agnello sugoso,
E qualcuna, dolce al cuore, in un paesaggio deserto:
Ecco la felicità che nessun sultano ti può rubare.
A cruccio verun del mondo non dar peso, e insisti in tal dovere.
Coi pianti di ieri e domani, non avvilire la speme nel cuore.
Vivi lieto da viandante d’una dimora precaria e breve:
Non salverai alcun tesoro, manco un chicco di grano nero.
Quelli che oceani furono di scienza e perfezione,
E, con sferza di virtù, divennero luminari d’umanità,
Un passo non fecero fuor dalle tenebre del mondo:
Narrarono molte fiabe e, torpidi, ricaddero nel sonno.

31. Le avventure e gli amori di Omar
Khayyam, di William Mieterle del 1957,
con Cornel Wilde e Debra Paget.

32. La tomba di Omar Khayyàm, a
Neishapur, Iran

33. Il "Triangolo di Tartaglia" come venne proposto dal matematico
cinese Chu Shih-Chieh, nel suo libro del 1303, il Prezioso
Specchio dei Quattro Elementi. Chu Shih-Chieh lo chiama
“Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati moltiplicatori”.

34. Blaise Pascal, 1623 - 1662
Blaise Pascal, nel 1654,
scrisse un intero libro, Le
Triangle Aritmétique,
dedicato al triangolo e
alle sue proprietà, in
particolare nel campo del
calcolo combinatorio.

35. 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
...
Il triangolo nella configurazione di Pascal, a “triangolo rettangolo”.
Il termine n appartenente alla riga r e alla colonna s sarà:
r (r - 1) (r - 2) ... (r - s + 1)
n =
1 x 2 x 3 x .... s

36. 5 oggetti a, b, c, d ed e, si
possono combinare a due a due
in 10 modi diversi: ab, ac, ad,
ae, bc, bd, be, cd, ce, de, e 10 è
proprio il numero all’incrocio
della quinta riga con la seconda
colonna (si conta come zero, lo
ricordiamo, la riga dell’1
iniziale e la colonna di 1).

37. 1 = 20
1 + 1 = 21
1 + 2 + 1 = 22
1 + 3 + 3 + 1 = 23
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 24
1 + 5 +10+10 + 5 + 1 = 25
1 + 6 +15+20+ 15 +6 + 1 = 26
1 + 7 +21+35+ 35+ 21 + 7 + 1 = 27
1 + 8 +28+56+ 70+ 56+ 28 + 8 + 1 = 28
1 + 9 +36+84+126+126+84+ 36 + 9 + 1 = 29
1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1= 210
...
Se si sommano i numeri di ogni riga si ottiene la
successione delle potenze del 2. Possiamo anche dire
che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della
somma dei termini della riga precedente.

38. 110
= 1
111
= 11
112
= 121
113
= 1331
114
= 14641
115
= 161051
116
= 1771561
117
= 19487171
1 6 15 20 15 6 1
1 (6+1) (5+2) (0+1) 5 6 1
1 7 7 1 5 6 1

39. Successione di Fibonacci

40. Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i
termini che lo precedono, nella colonna alla sua sinistra.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
...

41. La prima colonna del Triangolo di
Tartaglia è composta dalla successione dei
numeri naturali, la seconda dai numeri
triangolari, la terza dai numeri tetraedrici,
la quarta i numeri ipertetraedrici, cioè del
tetraedro in quattro dimensioni, la quinta
del tetraedro in cinque dimensioni e così
via.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
...
numeri
naturali
n
numeri
triangolari
n(n+1)/2
numeri tetraedrici
n(n+1)(n+2)/6
numeri tetraedrici in
quattro dimensioni
n(n+1)(n+2)(n+3)/24

42. 10011
= 1001
10012
= 1002001
10013
= 1003003001
10014
= 1004006004001
10015
= 1005010010005001
10016
= 1006015020015006001
10017
= 1007021035035021007001
...
Nelle potenze di 1001n
, come nelle potenze di
10001n
, 100001n
, … ritornano i numeri del
triangolo, separati dagli zeri.

43. Il Triangolo di Tartaglia, nel quale tutti i numeri pari sono stati sostituiti da punti
bianchi, mentre tutti i numeri dispari sono stati sostituiti da punti neri.

44. Il Triangolo di Tartaglia al computer, come frattale: i numeri pari sono
stati sostituiti da punti neri e i numeri dispari da punti rossi.

45. Luca De Alfaro
(a + b + c)4
= a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4a b3
+ b4
+ 4b3
c + 6b2
c2
+ 4bc3
+
+ c4
+ 4ac3
+ 6a2
c2
+ 4a3
c + 12a2
bc + 12ab2
c+ 12a bc2
2
2 2
1 2 1
1
3 3
3 6 3
1 3 3 1
1
4 4
6 12 6
4 12 12 4
1 4 6 4 1
1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1
1
1
1 1
La Piramide di
Tartaglia, un
tetraedro che ha
come numero
generatore 1. Gli
altri numeri sono la
somma dei tre
numeri sovrastanti.
Il numero di punti,
al livello n, è la
somma dei quadrati
da 1 a n2
: 1 + 22
+
… + n2
= n(n+1)
(2n+1)/6

46. 0
2 4
6 8 10
12 14 16 18
20 22 24 26 28
30 32 34 36 38 40
42 44 46 48 50 52 54
56 58 60 62 64 66 68 70
...
Il Triangolo dei numeri pari. Se si sommano i numeri di ogni riga si ottiene, a
parte lo zero iniziale, 2 + 4 = 1 x 2 x 3 per la prima riga, 6 + 8 + 10 = 2 x 3 x 4
per la seconda, 3 x 4 x 5 per la terza e successivamente 4 x 5 x 6, 5 x 6 x 7, 6 x
7 x 8 e così via. In generale la somma della riga n è uguale a n (n + 1) (n + 2).

47. 1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39 41
43 45 47 49 51 53 55
57 59 61 63 65 67 69 71
...
Il Triangolo dei numeri dispari. La somma dei numeri della riga n è uguale
a n3
. In questo caso si considera 1 iniziale come prima riga e si ha:
13
per la prima riga, 3 + 5 = 23
per la seconda riga,
7 + 9 + 11 = 33
per la terza riga, 43
per la quarta, 53
per quinta e così via.

48. 1 1
2 1 3 2
3 1 4 2 5 3
4 1 5 2 6 3 7 4
5 1 6 2 7 3 8 4 9 5
6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6
7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7
...
Nel Triangolo naturali - dispari si alternano colonne di numeri naturali
che partono dai successivi numeri dispari e colonne di valori costanti dei
successivi numeri naturali.
La somma dei numeri di una riga n è uguale a 2 x n2
. Ad esempio, sulla
quinta riga abbiamo: 5 + 1 + 6 + 2 + 7 + 3 + 8 + 4 + 9 + 5 = 50 = 2 x 52
.

49. 1
2 4
3 6 9
4 8 12 16
5 10 15 20 25
6 12 18 24 30 36
7 14 21 28 35 42 49
...
Il Triangolo dei multipli, costruito partendo, in diagonale, dai
numeri naturali in successione, seguiti dai rispettivi multipli
sulle altre diagonali.

50. 2
1 1
3 2 3
4 3 3 4
7 5 6 5 7
11 8 9 9 8 11
18 13 15 14 15 13 18
29 21 24 23 23 24 21 29
47 34 39 37 38 37 39 34 47
...
Il Triangolo di Lucas, proposto da Edouard Lucas, il grande esperto in
giochi matematici dell'Ottocento. Tranne i primi tre numeri al vertice in
alto, ogni altro termine è uguale alla somma dei due termini superiori in
diagonale. Quali sono le sue proprietà?

51. Qual è il nuovo
triangolo aritmetico,
tutto da scoprire,
con le proprietà più
interessanti?
Buona ricerca e
buon divertimento.
Wassily Kandinsky
Contrasting Sounds, 1924

53. n (n + 1)/2
1 + 3 => 4 + 3 => 7 + 3 => 10 + 3
=> 13 + 3 => 16
1 + 4 + 7 => 12 + 10 => 22

54. Triangoli magici - Charles W. Trigg

56. L'Italia è un Paese orientato verso la
cultura umanistica. Quasi ci si vanta
di non capire nulla di numeri.
Roberto Lucchetti

57. Io dico se lo vuoi sapere impisse prima
quella dalle oncie 3 piena che la sia
vodala in quella dalle oncie 5 poi impisse
un’altra fiata quella dalle 3 del resto del
balsamo, ch’è rimasto nella grande
trovarai che non gli ne restara anchora 2
poi voda anchora quella dalle 3 in quella
dalle 5 trovarai che non gli ne intrara se
non 2 e 1 ne restara in quella dalle 3 e 2
n’erano rimaste nella grande. Fatto che
hai così ritorna a vodar quella dalle 5
nella grande e così gli ne faranno 7 poi
quella che era in quella dalle 3 vodala in
quella dalle 5 poi riempie un’altra fiata
quella dalle 3 e poi la revoda in quella
dalle 5 dove era rimasta quella sola
faranno a ponto 4 e 4 ne sono rimaste ne
l’ampoletta grande, e così si trovorno
haver oncia 4 di balsamo a ponto ciascun
di loro, onde si partirno contenti e
andettero chi di qua chi di la.
Sono duoi, che hanno robbato
una ampoletta di balsamo a
uno signor, nella qual era
dentro oncie 8 di balsamo a
ponto accadette che costoro
nel suo partire trovorno uno
vedriaro, che haveva
solamente due ampolette
l’una delle quali teneva oncie
5, l’altra oncie 3 e così per la
pressa , che loro havevano gli
comprorno queste due e
caminorno di longo fin che
furono al luogo sicuro, poi si
missero a voler partir questo
balsamo, dimando come
fecero non havendo ne peso,
ne altra misura certa.

58. Sono tre belli gioveni freschi e
gagliardi, i quali hanno tre belle
damigelle per mogliere, e sono
gelosi tutti, così le moglier delli
mariti, come li mariti delle
moglier. Accadde che costoro si
parteno da casa di brigata per
esser vicini per voler andar a
una certa perdonanza, onde
accadette che nella via gli
trovorno un fiume molto largo da
passar, e non vi era ne ponte, ne
porto, ma per sua ventura gli
trovorno un navetto piccolo, che
non gli poteva star dentro più
che due persone, dimando,
come faranno a passare senza
alcun sospetto di gelosia.
Farai così prima manda fuora due donne, poi
che una di quelle torni di qua con il navetto, e
venga a torre l’altra, e la conduchi de la ,
condotte che sieno fuora tutte tre le donne,
se ne parte una, e vien di qua con il navetto,
e vassene appresso a suo marito, e lui la
piglia per la mano, poi quelli due altri
huomini, che hanno de la le sue donne si
parteno con il navetto, e ne vanno de la
appresso a loro,poi un di loro piglia sua
muglier in braccio, e la conduce di qua, poi
quelli due huomini, che son di qua intrano
nello navetto, e vanno de la, e quella femina
che è de la vien di qua con il navetto a torre
un’altra giovane , e la mena de la, poi vien
oltra uno degli huomini, e intra nello navetto,
e vien di qua, e piglia sua mogliere, e se la
mena de la, e attacca il navetto alla ripa, e se
ne vanno tutti a braccio a braccio con le sue
donne al suo viaggio tutti allegri, e gelosi.

59. Misser BERNARDINO:
"Io son stato a Bressa e
me stato fatto uno
quesito da un certo
Maestro Zoan da Coi el
quale sapendo haria da
caro che mel resolvesti el
qual quesito dice in
questa forma. Voria che
nel sottoscritto triangolo
ABC equilatero me gli
fusse inscritto
geometricamente un
quadrato."
•Disegnare l’altezza AD perpendicolare a BC. Dal
punto A tracciare una retta parallela a BC lunga
metà dell’altezza AD.
•Tracciare il segmento ED che interseca il lato AC
nel punto F.
•Tracciare la retta perpendicolare a BC passante
per F.
•Tracciare la retta parallela a BC passante per H.
•Tracciare la retta perpendicolare a BC passante
per H.
Il quadrato FGHI è inscritto nel triangolo ABC.
DIMOSTRAZIONE CHE FGHI E’ UN
QUADRATO
Il triangolo ADE È simile al triangolo FDG, e il
lato AD è il doppio di AE e allo stesso modo il lato
FG è doppio del lato DG e FH è il doppio di FK.
Quindi il lato FH è uguale a FG e così avviene per
gli altri due lati; i quattro angoli sono retti perché
FG e HI sono perpendicolari a BC.

60. Due fratelli avevano
insieme 40 soldi; se li
divisero; il primo con
venti soldi compera delle
uova ad 1 soldo l’uno e le
vende a 2 soldi; il secondo
compra delle uova a due
soldi l’uno e li rivende a 1
soldo; poi rimettono
insieme i loro soldi.
Hanno guadagnato?
Guadagnarono 10 soldi
Questo problema, con altri seguenti, trovasi nel General Trattato di numeri
et misure, di Tartaglia, illustre matematico, nato a Brescia nel 1506, morto a
Venezia nel 1557.
Giuseppe Peano, Giochi di Aritmetica e problemi interessanti, Paravia, 1924

61. Ci sono sette case e ogni casa ha sette gatti
Ogni gatto mangia sette topi
E ogni topo avrebbe mangiato sette spighe di grano
E ogni spiga avrebbe prodotto sette hekat di grano
Quale numero si ottiene aggiungendo case, gatti topi, spighe e Hekat?

62. Un contadino viaggiava con un lupo, una capra e un cesto di cavoli. Arrivato
ad un fiume, gli si presentò il problema di portare il suo carico sull'altra
sponda, avendo a disposizione una barca che ad ogni viaggio poteva
trasportare soltanto lui stesso e una delle sue cose. Il contadino non poteva
lasciare soli il lupo e la capra, né la capra e i cavoli, per non rischiare di
perdere "capra e cavoli". Come riuscì a trasportare tutto oltre il fiume?
Alcuino di York, circa 735 - 804

63. Il buon professore èIl buon professore è
un alchimista cheun alchimista che
trasforma un cervellotrasforma un cervello
fondamentalmentefondamentalmente
modulare in unamodulare in una
configurazione diconfigurazione di
rete interattivarete interattiva
Stanislas DehaeneStanislas Dehaene

64. E’ inutile bombardare unE’ inutile bombardare un
giovane cervello di assiomigiovane cervello di assiomi
astratti. Mi sembra che la solaastratti. Mi sembra che la sola
strategia ragionevole perstrategia ragionevole per
insegnare la matematica siainsegnare la matematica sia
quella che arricchiscequella che arricchisce
progressivamente l’intuizioneprogressivamente l’intuizione
dei bambini. Si tratta quasi didei bambini. Si tratta quasi di
tracciare, nel cervello ditracciare, nel cervello di
ciascun allievo, la storia dellaciascun allievo, la storia della
matematica e delle suematematica e delle sue
motivazioni.motivazioni.
Stanislas DehaeneStanislas Dehaene

65. Ben più importante di unoBen più importante di uno
specifico risultato matematico èspecifico risultato matematico è
l’abitol’abito mentalementale adottato dalleadottato dalle
persone che hanno ottenutopersone che hanno ottenuto
questo risultato e noiquesto risultato e noi
auspichiamo un curriculum cheauspichiamo un curriculum che
metta sullo stesso piano imetta sullo stesso piano i
metodi con cui la matematicametodi con cui la matematica
viene creata e i risultati dellaviene creata e i risultati della
ricerca. […] Un curriculum chericerca. […] Un curriculum che
incoraggi errori e falseincoraggi errori e false
partenze, calcoli, esperimenti epartenze, calcoli, esperimenti e
casi particolari.casi particolari.

66. L’obiettivo principale dellaL’obiettivo principale della
scuola dovrebbe essere quelloscuola dovrebbe essere quello
di creare una consapevolezzadi creare una consapevolezza
sull’importanza dellasull’importanza della
matematica e sul ruolo chematematica e sul ruolo che
gioca nella societàgioca nella società
contemporanea […] Dobbiamocontemporanea […] Dobbiamo
fare in modo di interessare glifare in modo di interessare gli
studenti alla matematica comestudenti alla matematica come
creazione del pensiero umano,creazione del pensiero umano,
sviluppato attraverso i secolisviluppato attraverso i secoli
allo scopo di migliorare laallo scopo di migliorare la
qualità della nostra vita.qualità della nostra vita.
Keith DevlinKeith Devlin

67. Fra il secondo e il terzo annoFra il secondo e il terzo anno
avvennero graduali scelte edavvennero graduali scelte ed
esclusioni. Anzitutto il rifiutoesclusioni. Anzitutto il rifiuto
viscerale della matematica e diviscerale della matematica e di
ogni scienza.ogni scienza.
Da un certo punto, laDa un certo punto, la
trigonometria, la geometria, latrigonometria, la geometria, la
fisica divennero per me dei murifisica divennero per me dei muri
opachi. Non capivo piùopachi. Non capivo più
letteralmente niente. Peggio:letteralmente niente. Peggio:
l’incapacità a controllarel’incapacità a controllare
razionalmente il numero, mi portòrazionalmente il numero, mi portò
piano piano adpiano piano ad
antropomorfizzarlo, a trattarlo inantropomorfizzarlo, a trattarlo in
termini di psicologia e di fantasia.termini di psicologia e di fantasia.
Sviluppai una simpatia per iSviluppai una simpatia per i
numeri dispari (il 5 innanzi anumeri dispari (il 5 innanzi a
tutti), un sospetto nei riguardi deltutti), un sospetto nei riguardi del
6, affetto per la senilità del 9, e così6, affetto per la senilità del 9, e così
via.via.
Vittorio Gassman, Un grandeVittorio Gassman, Un grande
avvenire dietro le spalleavvenire dietro le spalle

68. BIBLIOGRAFIA
Nicolò Tartaglia, La nova scientia (rist. anast. Venezia, 1550),
1984, Editore Forni
Bernardino Baldi, Le vite de' matematici - Ediz. annotata e
commentata della parte medievale e rinascimentale , 1998 Editore
Franco Angeli
Massimo Tamburini, De cubo et rebus aequalibus numero. La
genesi del metodo analitico nella teoria delle equazioni cubiche di
Girolamo Cardano, 1999, Franco Angeli
A. W. F. Edwards, Pascal's Arithmetical Triangle: The Story of a
Mathematical Idea, 2002, The Johns Hopkins University Press

69. SITOGRAFIA
L’Archivio Tartaglia a Brescia:
http://www.bibliotecavigano.it/archtartaglia.htm
Un articolo di Umberto Bottazzini:
http://lgxserver.uniba.it/lei/rassegna/010916g.htm
La traduzione degli Elementi di Euclide di Tartaglia, on line:
http://www.liberliber.it/biblioteca/e/euclides/index.htm
Quesiti et inventioni diverse di Niccolò Tartaglia, 1534:
http://it.wikisource.org/wiki/Quesiti_et_inventioni_diverse
SITOGRAFIA
L’Archivio Tartaglia a Brescia:
http://www.bibliotecavigano.it/archtartaglia.htm
Un articolo di Umberto Bottazzini:
http://lgxserver.uniba.it/lei/rassegna/010916g.htm
La traduzione degli Elementi di Euclide di Tartaglia, on line:
http://www.liberliber.it/biblioteca/e/euclides/index.htm
Quesiti et inventioni diverse di Niccolò Tartaglia, 1534:
http://it.wikisource.org/wiki/Quesiti_et_inventioni_diverse