1. TaPL読書会 [#3]
2012.08.29

2. §. 8
Typed Arithmetic Expressions

3. 8章でやること
● 型付け規則の導入（Simple types）
●
型付けの一意性の証明（Simple typesの場合）
● 型安全性の証明
（* Safety = Progress + Preservation）

4. 8章でやること
● 型付け規則の導入（Simple types）
●
型付けの一意性の証明（Simple typesの場合）
● 型安全性の証明
（* Safety = Progress + Preservation）

5. おさらい
● Untyped booleans (3章)
●
Untyped arithmetic expressions (3章)

6. ●
Untyped booleans
Syntactic forms
t ::= v ::=
true true
false false
if t then t else t
Evaluation rules
if true then t2 else t3 → t2 (E-IfTrue)
if false then t2 else t3 → t3 (E-IfFalse)
t1 → t1'
if t1 then t2 else t3 → if t1' then t2 else t3
(E-If)

7. ●
Untyped arithmetic expressions
(Extends untyped booleans)
New Syntactic forms
t ::= ... v ::= ...
0 nv
succ t
pred t nv ::=
iszero t 0
succ nv

8. ●
Untyped arithmetic expressions (Extends booleans)
Evaluation rules
t1 → t1'
succ t1 → succ t1' (E-Succ)
pred 0 → 0 (E-PredZero)
pred (succ nv1) → nv1 (E-PredSucc)
t1 → t1'
pred t1 → pred t1' (E-Pred)
iszero 0 → true (E-IszeroZero)
iszero (succ nv1) → false (E-IszeroSucc)
t1 → t1'
iszero t1 → iszero t1' (E-Iszero)

9. おさらい
● Untyped arithmetic expressionsには、stuck
となる（valueでなく、評価規則も適用できな
い）項が存在
e.g.
pred false → ?
● Untyped arithmetic expressionsの世界では、
実際に評価しなければstuckかどうか判別でき
ない
⇒ある項がstuckとならないことを静的に知り
たい

10. 型付け規則の導入
● Untyped arithmetic expressionsの各項に
「型」を付ける
● そのために、以下の型のsyntaxと型付け規則を
導入する
● Notation
S, T, U, … metavariables of types
t : T typing relation
“a term t has type T”

11. ●
Simply typed booleans
New Syntactic forms
T ::= types
Bool type of booleans
New typing rules
true : Bool (T-True)
false : Bool (T-False)
t1 : Bool t2 : T t3 : T
if t1 then t2 else t3 : T
(T-If)

12. ● Simply typed arithmetic expressions
(Extends untyped A.E. and simply typed Bool.)
New Syntactic forms
T ::= ... types
Nat type of natural numbers
New typing rules
0 : Nat (T-True)
t1 : Nat
succ t1 : Nat (T-Succ)
t1 : Nat
pred t1 : Nat (T-Pred)
t1 : Nat
iszero t1 : Bool (T-Iszero)

13. 型付け規則の導入
● ある項 t について、ある型 T が存在し
t : T なるとき、t はwell typed（型付けされ
ている）という

14. 8章でやること
● 型付け規則の導入（Simple types）
●
型付けの一意性の証明（Simple typesの場合）
● 型安全性の証明
（* Safety = Progress + Preservation）

15. 型付けの一意性（Simple types）
● Simply typed arithmetic expressionsでは、
次の型付けの一意性定理が成り立つ：
任意の項 t は、高々1つの型しかもたない。
(つまり、t がwell typedならばその型は一意)
さらに、t の型付けを導く（直前の）型付け規
則は1つしかない。

16. 型付けの一意性（具体例）
t = if iszero 0 then 0 else pred 0

17. 型付けの一意性（具体例）
iszero 0 0 pred 0
↑ ↑ ↑ subterms
if iszero 0 then 0 else pred 0

18. 型付けの一意性（具体例）
0 0
↑ ↑ subterms
iszero 0 0 pred 0
↑ ↑ ↑
if iszero 0 then 0 else pred 0

19. 型付けの一意性（具体例）
0 : Nat 0 :Nat
iszero 0 0 pred 0
if iszero 0 then 0 else pred 0

20. 型付けの一意性（具体例）
0 : Nat 0 : Nat
iszero 0 : Bool 0 : Nat pred 0 : Nat
if iszero 0 then 0 else pred 0

21. 型付けの一意性（具体例）
0 : Nat 0 : Nat
iszero 0 : Bool 0 : Nat pred 0 : Nat
if iszero 0 then 0 else pred 0 : Nat

22. 型付けの一意性（証明）
● 方針：
subterms に関する数学的帰納法で証明する。
つまり、
項 t に対し、すべての直下のsubtermに関して定理の
主張（型付けの一意性）が成り立っていると仮定した
とき、
t の型が一意に定まることを示す。

23. 型付けの一意性（証明）
● 方針：
t の取りうるsyntax（項の形式）に応じて場合分けす
る。
● t = true (Case-True)
● t = false (Case-False)
●
t = if t1 then t2 else t3 (Case-If)
●
t = 0 (Case-Zero)
● t = succ t1 (Case-Succ)
● t = pred t1 (Case-Pred)
● t = iszero t1 (Case-Iszero)

24. 型付けの一意性（証明）
● t = if t1 then t2 else t3 (Case-If)
定理の仮定から、ある型 R が存在し
t = if t1 then t2 else t3 : R
このとき、Lemma 8.2.2 - 3 より
t1 : Bool, t2 : R, t3 : R
帰納法の仮定により、各 ti の型付けは一意。
したがって、型付け規則 (T-If) により
t はその型として R のみを持つ。

25. 型付けの一意性（証明）
残りのケース
●
t = succ t1 (Case-Succ)
●
t = pred t1 (Case-Pred)
●
t = iszero t1 (Case-Iszero)
→ t = if t1 then t2 else t3 と同様
●
t = true (Case-True)
●
t = false (Case-False)
● t = 0 (Case-Zero)
→ Lemma 8.2.2 からダイレクトに従う

26. 型付けの一意性（証明）
● Lemma 8.2.2 の証明
それぞれの項のsyntaxから、適用できる型付け規則が
一意に定まる。
e.g. t = true に適用できる規則は (T-True) のみ
これにより、補題の主張が従う。

27. 型付けの一意性定理から分かること
Simply typed arithmetic expressionsにおいては
● 任意の項が唯一つの型を持つ
●
任意の項について、型の導出木は唯一つである
※注意
後の章で扱う、より複雑な型システムにおいて
は、一般にこのような定理は成り立たない
cf. subtyping

28. 8章でやること
● 型付け規則の導入（Simple types）
●
型付けの一意性の証明（Simple typesの場合）
● 型安全性の証明
（* Safety = Progress + Preservation）

29. 型安全性の証明
● ここでは、Simply typed arithmetic
expressionsにおいて下記2つの定理が成り立つ
ことを示す：
Theorem 8.3.2 (Thm. of Progress)
Well typedな項は非stuck
Theorem 8.3.3 (Thm. of Preservation)
項の評価は型を保存する。

30. 型安全性とは
● TaPLにおける型安全性（Safety = Progress +
Preservation）とは：
型付けされた項は、途中でstuckになることは
なくきちんと評価される
ということ。
● 型安全性は、後の章で扱うより複雑な型システ
ムにおいても成立する。

31. Progress（証明）
● 方針：
導出に関する数学的帰納法で証明する。
つまり、
t : T に対し、そのすべてのsubtermに関して定理の
主張（それらがvalueである、または前進評価が可能
であること）を仮定したときに、
t 自身も同様にvalueである、または前進評価が可能
であることを示す。

32. Progress（証明）
● 方針：
直前のtyping rule（導出規則）に応じて場合分け。
●
t = true : T-True
● t = false : T-False
●
t = if t1 then t2 else t3 : T-If
● t = 0 : T-Zero
● t = succ t1 : T-Succ
● t = pred t1 : T-Pred
● t = iszero t1 : T-Iszero

33. Progress（証明）
● 方針：
直前のtyping rule（導出規則）に応じて場合分け。
●
t = true : T-True
● t = false : T-False
●
t = if t1 then t2 else t3 : T-If
● t = 0 : T-Zero
● t = succ t1 : T-Succ
● t = pred t1 : T-Pred
● t = iszero t1 : T-Iszero

34. Progress（証明）
● Case-T-If
このとき、
t = if t1 then t2 else t3 (t : T)
t1 : Bool, t2 : T, t3 : T
帰納法の仮定より、subterm t1 について
(i) t1 は value
(ii) ある t1' が存在し、 t1 → t1'

35. Progress（証明）
● Case-T-If
(i) t1 は value のとき
Lemma 8.3.1 より、t1 = true or t1 = false
⇒ t に評価規則 E-IfTrue または E-IfFalse を
適用可能
⇒ t → t2 (E-IfTrue) または t → t3 (E-IfFalse)
(ii) ある t1' が存在し、 t1 → t1' のとき
t に評価規則 E-If を適用可能
⇒ t = if t1 then t2 else t3
→ if t1' then t2 else t3

36. Lemma8.3.1（Canonical Forms）
(i) v が Bool型のvalueのとき、
v = true or v = false
(ii) v が Nat型のvalueのとき、
v = nv
証明：
Simply typed A.E. において、valueの取りうる
syntactic form は true, false, 0, succ nv の4種
(i) v = 0 と仮定する。
補題の仮定より、0 : Bool
⇒ Lemma 8.2.2(inversion lemma)-4 に矛盾

37. Preservation（証明）
● 方針：
導出に関する数学的帰納法で証明する。
つまり、
t : T に対し、そのすべてのsubtermに関して定理の
主張（評価によって型が保存されること）を仮定した
ときに、
t 自身も同様に、評価によって型が保存されることを
示す。

38. Preservation（証明）
● 方針：
直前のtyping rule（導出規則）に応じて場合分け。
●
t = true : T-True
● t = false : T-False
●
t = if t1 then t2 else t3 : T-If
● t = 0 : T-Zero
● t = succ t1 : T-Succ
● t = pred t1 : T-Pred
● t = iszero t1 : T-Iszero

39. Preservation（証明）
● 最も非自明なCase-T-Ifを証明する。
このとき、
t = if t1 then t2 else t3 (t : T)
t1 : Bool, t2 : T, t3 : T
定理の仮定より、ある t' について
t → t'
このとき用いられる評価規則としては、 t のsyntax
より
E-IfTrue, E-IfFalse, E-If
の3通りが考えられる。

40. Preservation（証明）
(i) E-IfTrue の場合
このとき、t1 = true, t' = t2
t2 : T であったので、t' : T
(ii) E-IfFalse の場合
このとき、t1 = false, t' = t3
t3 : T であったので、t' : T
(iii) E-If の場合
このとき、t1 → t1', t' = if t1' then t2 else t3
いま、t1 : Bool であるから、
帰納法の仮定により、t1': Bool

41. Preservation（証明）
よって、
t' = if t1' then t2 else t3
t1' : Bool, t2 : T, t3 : T
⇒型付け規則 T-If により、
t' = if t1' then t2 else t3 : T
● その他のケースについても同様に示せる。

42. 8章のまとめ
● 3章で扱った Arithmetic expression の体系
に、Simpleな型付け規則を導入しました。
● Simply typed A.E. において、型付けの一意性
を証明しました。
● Simply typed A.E. において、型安全性
(Progress + Preservation) を証明しました。