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1. すごいHaskell読書会 in 大阪 2週目 #5
第5章：高階関数 (2)
2014/05/14
なかやま よういち
1

2. Contents
5.5 畳み込み、見込みアリ！
5.6 $ を使った関数適用
5.7 関数合成
2

3. 力の階層
↑ 自由度：高、抽象度：低 ↑
• 再帰
• foldr、foldl など
• filter、take など
↓ 自由度：低、抽象度：高 ↓
3
}5.5 畳み込み
5.6, 5.7 簡素化
($)、(.)

4. 5.5 畳み込み、見込みアリ！
fold 【動詞】
〈紙・布などを〉折る，折り重ねる，折りたたむ
〈端などを〉折り曲げる，折り返す
(２引数関数, アキュムレータ初期値, リスト) → 答
アキュムレータ(accumulator)：演算装置による演算結果を累積
する、すなわち総和を得るといったような計算に使うレジスタや
変数のこと http://ja.wikipedia.org/wiki/アキュムレータ_(コン
ピュータ)
4

5. foldl（左畳み込み）
リストの左から畳み込んでいく!
foldl f z [x1, x2, ..., xn]!
= (...((z `f` x1) `f` x2) `f`...) `f` xn!
!
foldl (+) 0 [1, 2, 3, 4, 5]!
= ((((0 + 1) + 2) + 3) + 4) + 5
5

6. foldl（定義）
foldl f z [x1, x2, ..., xn]!
= (...((z `f` x1) `f` x2) `f`...) `f` xn!
!
再帰による定義：!
foldl :: (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b!
foldl _ z [] = z!
foldl f z (x:xs) = foldl f (f z x) xs!
!
再帰定義の右辺でfoldlが一番外側に→末尾再帰
6

7. foldr（右畳み込み）
リストの右から畳み込んでいく!
foldr f z [x1, x2, ..., xn]!
= x1 `f` (x2 `f` ... (xn `f` z)…)!
!
foldr (+) 0 [1, 2, 3, 4, 5]!
= 1 + (2 + (3 + (4 + (5 + 0))))!
!
評価順序については何も言っていないことに注意
7

8. foldr（定義）
foldr f z [x1, x2, ..., xn]!
= x1 `f` (x2 `f` ... (xn `f` z)…)!
!
再帰による定義：!
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b!
foldr _ z [] = z!
foldr f z (x:xs) = f x (foldr f z xs)
8

9. sum
suml = foldl (+) 0!
!
sumr = foldr (+) 0!
!
suml [1, 2, 3, 4, 5]!
= ((((0 + 1) + 2) + 3) + 4) + 5!
!
sumr [1, 2, 3, 4, 5]!
= 1 + (2 + (3 + (4 + (5 + 0))))
9

10. and
and :: [Bool] -> Bool!
再帰による定義：!
and [] = True!
and (x:xs) = x && and xs!
foldrを使って定義（一行で書ける！）：!
and = fold (&&) True
10

11. and(with foldr)
andr :: [Bool] -> Bool!
andr = foldr (&&) True!
!
andr [] == True!
andr [True] == True!
andr [False] == False!
andr [True, False] == False!
andr (repeat False) == False … 無限リストでもちゃんとFalseで止まる
11

12. andモドキ(with foldl)
andl :: [Bool] -> Bool!
andl = foldl (&&) True!
!
andl [] == True!
andl [True] == True!
andl [False] == False!
andl [True, False] == False!
andl (repeat False) …?
12

13. map
map :: (a -> b) -> [a] -> [b]!
!
再帰による定義：!
map _ [] = []!
map f (x:xs) = f x : map f xs!
!
foldrを使って定義：!
map f = foldr (x acc -> f x : acc) []!
13

14. map (with foldr)
mapr :: (a -> b) -> [a] -> [b]!
mapr f = foldr (x acc -> f x : acc) []!
!
mapr (*2) [] == []!
mapr (*2) [1..3] == [2,4,6]!
take 3 (mapr (*2) [1..]) == [2,4,6]!
不要な部分は評価されない→無限リストに使える
14

15. mapモドキ(with foldl)
mapl :: (a -> b) -> [a] -> [b]!
mapl f = foldl (acc x -> acc ++ [f x]) []!
!
mapl (*2) [] == []!
mapl (*2) [1..3] == [2,4,6]!
take 3 (mapl (*2) [1..]) …?
15

16. (:) vs (++)
ghci> :set +s!
ghci> foldr (x acc -> x : acc) [] [1..10000]!
(0.19 secs, 44499728 bytes)!
ghci> foldr (x acc -> acc ++ [x]) [] [1..10000]!
(4.83 secs, 4335728232 bytes)!
16

17. elem
elem’ :: (Eq a) => a -> [a] -> Bool!
elem’ y ys!
= foldr (x acc -> if x == y then True else acc) False ys!
elem’ 3 [1..]!
= 1 `f` (2 `f` (3 `f` (…)))!
= 2 `f` (3 `f` (…))!
= 3 `f` (…) = True
17

18. foldrと無限リスト
foldr f z [x1, x2, ..., xn]!
= x1 `f` (x2 `f` ... (xn `f` z)…)!
!
無限リストから答を取り出せる場合がある!
• `f` が右辺によらない!
• False && xxx!
• elem’ で何か見つかったとき!
• 有限個の評価でいい!
• take N [y1, y2, …]
18

19. foldr vs foldl
ghci> :set +s!
ghci> sumr [1..10000000]!
(2.02 secs, 1621588592 bytes)!
ghci> suml [1..10000000]!
(3.30 secs, 1694662448 bytes)!
ghci> suml' [1..10000000] … foldl’ (正格なfoldl, see 6.2)!
(0.27 secs, 969254424 bytes)!
http://sikhote.wordpress.com/2010/12/01/foldr-vs-foldl-a-small-survey-with-the-help-of-ghc/
http://ja.wikipedia.org/wiki/評価戦略
19

20. foldl1,foldr1
リストからアキュムレータ初期値を取る!
foldl1 :: (a -> a -> a) -> [a] -> a!
foldl1 f (x:xs) = foldl f x xs!
foldl1 _ [] = error “empty list”!
foldr1 も同様!
20

21. 例
reverse’ :: [a] -> [a]!
reverse’ = foldl (acc x -> x : acc) []!
!!
reverse’ = foldl (flip (:)) []
21

22. 例
product’ :: (Num a) => [a] -> a!
product’ = fold (*) 1!
!
filter’ :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]!
filter’ p = foldr (x acc -> if p x then x : acc else acc) []!
!
last’ :: [a] -> a!
last’ = foldl1 (_ x -> x)
22

23. スキャン
中間状態すべてをリストとして返す!
ghci> scanl (+) 0 [3,5,2,1]!
[0,3,8,10,11]!
ghci> scanr (+) 0 [3,5,2,1]!
[11,8,3,1,0]
23

24. スキャン
ghci> scanl1 (acc x ->!
if x > acc then x else acc) [3,4,5,3,7,9,2,1]!
[3,4,5,5,7,9,9,9] !
ghci> scanl (flip (:)) [] [3,2,1]!
[[],[3],[2,3],[1,2,3]] !
ghci> take 10 (scanl1 (+) [1,3..])!
[1,4,9,16,25,36,49,64,81,100]
24

25. 5.6 $ を使った関数適用
($) :: (a -> b) -> a -> b!
f $ x = f x!
!
ghci> sum (map sqrt [1..130])!
993.6486803921487!
ghci> sum $ map sqrt [1..130]!
993.6486803921487!
… 括弧が減ってる。!
!
ghci> sum (filter (> 10) (map (*2) [2..10]))!
80!
ghci> sum $ filter (> 10) $ map (*2) [2..10]!
80!
25

26. 関数 引数
f: X -> Y <=> x: (X -> Y) -> Y!
(X -> Y) x X -> Y !
ghci> (x -> 2 * x + 1) 3!
7!
ghci> (x -> 2 * x + 1) $ 3!
ghci> ($ 3) (x -> 2 * x + 1) … セクション!
ghci> :t ($ 3)!
($ 3) :: Num a => (a -> b) -> b
26

27. 5.7 関数合成
(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c!
f . g = x -> f (g x)!
ghci> map ((+1) . (*2)) [1..10]!
[3,5,7,9,11,13,15,17,19,21]!
数式で書くと： g(x) = 2x, f(y) = y+1!
=> (f・g)(x) = 2x + 1
27

28. 多引数関数の関数合成
部分適用して一引数関数にできるなら関数合成で書き直せる
sum (replicate 5 (max 6.7 8.9))!
= (sum . replicate 5) (max 6.7 8.9)!
= sum . replicate 5 $ max 6.7 8.9!
!
replicate 2 (product (map (*3) (zipWith max [1,2] [4,5])))!
= replicate 2 . product . map (*3) $ zipWith [1,2] [4,5]
28

29. ポイントフリースタイル
sum’ :: (Num a) => [a] -> a!
sum’ xs = foldl (+) 0 xs!
! 関数はカリー化されており、引数を省略できる!
sum’ = foldl (+) 0
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30. 第５章 高階関数（まとめ）
• 再帰
• foldr、foldl など … 畳み込み(5.5)
• filter、take など … map,filter(5.3)
カリー化関数(5.1)、高階実演(5.2)
λ(5.4)、 $(5.6)、 .(5.7)
30

31. Exercise 1
or’ :: [Bool] -> Bool!
を foldr を使って定義せよ
• or’ [] == False!
• or’ [True] == True!
• or’ [False] == False!
• or’ [False, True] == True!
• or’ (repeat True) == True
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32. Exercise 2
concat’ :: [[a]] -> [a]
を畳み込みを使って定義せよ
• concat [] == []
• concat [[1,2,3],[4,5,6]] == [1,2,3,4,5,6]
• concat [[[1,2,3],[4,5,6]]] == [[1,2,4],[4,5,6]]
• take 3 $ concat $ map (:[]) [1..] == [1,2,3]
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33. Exercise 3
隣接した重複を取り除く関数remdupsを定義せよ
remdups :: Eq a => [a] -> [a]!
• remdups [1,1,2,2,3,3] == [1,2,3]!
• remdups [1,1,2,2,1,1] == [1,2,1]!
• take 3 $ remdups [1..] == [1,2,3]
33