1. 15.09.2012
KARTLEGGING
-OG HVA SÅ?
AVDEKKING
FOREBYGGING
TILTAK
grete@tofteberg.net
gretof@ostfoldfk.no
Kan vi tenke oss en dag uten?
1

2. 15.09.2012
Agenda
 Matematikkvansker – hva er nå det?
 Grunnleggende regneferdigheter og
kompetansebegrepet
 Kartlegging som underveisvurdering
 Arbeidsmåter er tiltak
MATEMATIKKVANSKER
eleven har stagnert eller gått tilbake i relasjon til
en normal faglig utvikling
DYSKALKULI
 DYSFUNKSJON
eller
 TILLÆRTE VANSKER
Ulike definisjoner…
 Dyskalkuli = spesifikk matematikkvanske.
(minst 2 år bak normal)
Eleven har normalt evnenivå ellers.
 Dyskalkuli = resultatet av en dysfunksjon
eller forstyrrelse innen noen av følgende
områder: aktivitet, oppmerksomhet,
utholdenhet, motorisk kontroll, lateralitet og
retningsoppfatning, spatiale relasjoner
(romoppfatning), hukommelse, persepsjon,
språkutvikling, abstraksjonsferdighet eller
generaliseringsferdighet.
2

3. 15.09.2012
Forsinket eller ulik utvikling?
Snorre Ostad:
 ”Størsteparten av
dysmatematikerne, …, har ikke
forsinket, men kvalitativ forskjellig
matematikkfaglig utvikling.”
 ”grunnleggende
matematikkopplæring med
mangelfull fokusering på
strategiopplæring kan forsterke
denne utviklingen.”
4 forklaringsmåter
 Medisinske/nevrologiske
 Psykologiske
 Sosiologiske
 Didaktiske
, men…
 Matematikkvansker: 15 – 20 % av elevene
 Dyskalkuli: 4-5 % av elevene
 Det meste av matematikkvansker er tillært og
skyldes feil/mangelfull undervisning, eller
etablerte misoppfatninger som hindrer læring
3

4. 15.09.2012
Grunnleggende
regneferdigheter
Grunnleggende
regneferdigheter
 Danner basis for læring og utvikling i alle fag,
ikke bare som ferdigheter på et lavt og
elementært nivå, men for å møte dagligdagse,
allmenne utfordringer.
 Integrert i kompetansemålene i det enkelte fag,
og skal medvirke til å utvikle fagkompetansen.
 Handler først og fremst om bruk av kunnskap, i
tråd med fagenes målsettinger.
Grunnleggende regning krever
ferdigheter på ulike områder
 gjenkjenne og beskrive innebærer å kunne
identifisere situasjoner som involverer tall, størrelser
og former i hverdagen og i faglige situasjoner. Å
finne og formulere relevante problemstillinger og
analysere de på en hensiktsmessig måte.
 bruke og bearbeide innebærer å hente og bearbeide
informasjon, resonnere logisk, velge strategier for å
løse problemer og utføre beregninger
 kommunisere innebærer å kunne argumentere for
valg, beskrive prosesser og presentere resultater på
ulike måter
 reflektere og vurdere innebærer å tolke resultater,
reflektere over konklusjoner og vurdere gyldighet
4

5. 15.09.2012
Kilpatrick m. fl.
 God regning består av
fem sammenflettede
tråder
(oversatt utgave, hentet fra Kilpatrick,
Swafford & Findell, 2001, s. 117)
Kartlegging – en del av
underveisvurderingen
5

6. 15.09.2012
Hva sier forskriften?
 Undervegsvurdering skal
brukast som ein reiskap i
læreprosessen, som
grunnlag for tilpassa
opplæring.
 Undervegsvurderinga skal
innehalde grunngitt
informasjon om
kompetansen til eleven.
Tester forståelse…
Knut deler eplet sitt i to. Deretter deler han den ene halvdelen i to
igjen.
(a) Hvor mange eplebiter har han nå? _______
(b) Hvor stor del av hele eplet er en av de minste bitene?
Skriv som brøk ____________
Du skal gå langs de svarte strekene på bildet (rundt et kvadrat).
Du starter på hjørnet merket med S og går i retningen som pila
viser.
Merk med et kryss hvor langt du har kommet etter
å ha gått omtrent 1 av turen.
3
…eller ferdigheter?
6

7. 15.09.2012
Alle Teller – formål
Hensikten med testen er å identifisere misforståelser og
misoppfatninger til elever innenfor området tall og tallforståelse.
Alle Teller tester elevenes forståelse.
 Håndboka har som mål
- å hjelpe lærere slik at de unngår å skape misoppfatninger når
nye begreper innføres
- å hjelpe elever som allerede har misforståelser
- å kunne bidra til at hver enkelt elev skal få ut sitt potensiale
innenfor området
 Håndboka gir en oversikt over omfanget og progresjon i
tallbehandling for hele grunnskolen.
15-Sep-12
Alle teller - oversikt
 DEL A:
Introduksjon – hvordan bruke håndboka
 DEL B:
Lærerveiledning i undervisning om
tall og tallbehandling
 DEL C:
Kartleggingstestene - elevintervju
 DEL D:
Aktiviteter og kopieringsoriginaler
15-Sep-12
Nivå – samme som trinn?
9. nivå
Elev 8. trinn 7. nivå
4. nivå
15-Sep-12 21
15-Sep-12
7

8. 15.09.2012
Et case – ulike nivåer
 Hvordan klarer klassen de enkelte oppgavene i settet?
Hvor vil dere sette grensen for et problem hele
(størstedelen av) klassen bør arbeide med?
 Hvilke tema handler oppgavene om?
Styrke-Svakhet i klassen som helhet.
 Hva skal vi prioritere (om flere svakheter er identifisert)?
 Hva er det elevene har problemer med
på det prioriterte området?
15-Sep-12 22
15-Sep-12
Fra analyse til undervisning 1
nivå 4
HVILKET PROBLEMOMRÅDE:
 Har valgt fire påfølgende oppgaver i fra testen.
Oppgavene er innenfor samme emne og under
halvparten av elevene har klart å svare riktig på oppgavene.
15-Sep-12
Fra analyse til undervisning 1
HVA DREIER DET SEG OM:
 Posisjonssystemet og sifrenes plassering dvs.
ener, tier og hundrerplass. Mulig usikkerhet rundt
begrepet siffer.
HVILKE RÅD GIR ALLE TELLER
 Å forstå posisjonssystemet er en lang prosess
 Oversette fra ord til tallsymboler
 Det å kunne se at ”4” i ”42” ikke bare er 4 tiere,
men også 40 enere
15-Sep-12 24
15-Sep-12
8

9. 15.09.2012
OPPGAVER/AKTIVITETER 1a
nivå 4
 Lage ulike tall med sifferkort.
- Hvor mange forskjellige tall kan lages med tre ulike
siffer?
- Hvordan legge sifrene for å få størst mulig tall/minst
mulig tall?
- Lag et tall mellom 200 og 400.
- Hva hvis du kan bruke et siffer mer enn en gang?
Hvilke tall kan du da lage?
- Sorter tallene du har laget.
3 Skriftliggjøring, muntlig aktivitet
15-Sep-12
OPPGAVER/AKTIVITETER 1b
nivå 4
 Bruke Base 10-materiell til å legge ulike tall.
- Vis 1439 med base 10-materiell.
- Hva skjer med tallet dersom du legger til/tar bort en 10-er? Skriv
det nye tallet og sammenlign med det opprinnelige. Hva er
forandret? Hva er likt?
- Hva hvis du legger til/tar bort 100? 200? 300? 400?
- Motsatt vei: Base 10-materiell viser et tall, skriv tallet
- Legg tallene 123, 231, 132, 321 med base 10-materiell. Hva er
likt/forskjellig? Hva med 105 og 150? Hva betyr forskjellen?
15-Sep-12 Skriftliggjøring, muntlig aktivitet
26
15-Sep-12
Fra analyse til undervisning 2
nivå 6
HVILKET PROBLEMOMRÅDE:
 Har valgt tre oppgaver i fra testen.
De to tallinjeoppgavene har ingen elever i gruppa klart å
svare riktig på.
15-Sep-12
9

10. 15.09.2012
Fra analyse til undervisning 2
nivå 6
HVA DREIER DET SEG OM:
 Sammenligne og vurdere størrelsen på desimaltall/ brøk
og plassere disse riktig i forhold til hverandre på tallinja.
HVILKE RÅD GIR ALLE TELLER
 Desimalsystemet er et resultat av mange års utvikling,
så det er vanskelig for den som skal lære det.
 Viktig å avdekke barns misoppfatninger om desimaltall.
 Viktig å oppmuntre elevene til aktivt å se på og vurdere
brøker som skal sammenlignes. Få elevene til å bruke
den kunnskapen de har om brøk og forklare hvordan de
tenker.
15-Sep-12 28
15-Sep-12
OPPGAVER/AKTIVITETER 2a
 Bruk base 10-materiell eller annet
konkretiseringsmateriell til å oversette
tallsymboler til mer visuelle bilder
1 HEL
15-Sep-12
OPPGAVER/AKTIVITETER 2b
Desimaltall
 Bruke plassverdiarket til å representere desimaltall
(Del D av håndboka)
Eks. oppgave: Gjør om 3 meter og 5 centimeter til meter
 Legg vekt på å lese og skrive desimaltallene, få elevene til å forklare og
begrunne. Plasser desimaltallene på tallinja.
15-Sep-12
10

11. 15.09.2012
OPPGAVER/AKTIVITETER 2c
Brøk
 Sammenligne brøker med en halv
3 1
8 11
7 3 1
3 9 22
5 5 9
14 1 28
17
29
2 31
15-Sep-12
15-Sep-12 31
15-Sep-12 32
15-Sep-12
OPPGAVER/AKTIVITETER 2d
Brøk
 Sortere brøker mellom 0 og 1 fra minst til størst og
plassere de på tallinja (Lapper, snor og klyper)
8 1 29
3
9 31
14 7 5
3 9
29 11
5 1 17
22
3
0
15-Sep-12 1 33 1
15-Sep-12
2
11

12. 15.09.2012
OPPGAVER/AKTIVITETER 2e
 Arbeide ”motsatt vei” ved å markere en plass på
tallinja og spørre:
Hvilket brøk kan dette være?
0 1
1
15-Sep-12
2
Elevintervju Hensikten
 Læreren skal bli oppmerksom på hvilke områder som
kan være vanskelig for enkeltelever.
 Testen forteller ikke årsaken til
misoppfatninger/misforståelser
 En måte å bli kjent med elevens måte å tenke på.
 Et ledd i det å drive tilpasset opplæring, individuell
oppfølging.
Forberedelser
Gjennomføring
Etterarbeid
15-Sep-12
 Et intervju er ikke en undervisningssituasjon
 Hovedhensikten er å finne ut hvordan eleven har
tenkt
La eleven stå for snakkingen
 fordi intervjuet skal avsløre hvordan eleven
tenker
(Matematikklærere snakker til vanlig omkring
åtte ganger så mye som alle elevene til sammen;
TIMSS video studie.)
 Oppmuntre eleven til å forklare og beskrive, selv
om det går tregt …
Læreren bryter bare inn for å forsikre seg om at
15-Sep-12 hun/han har forstått hva eleven mener.
36
12

13. 15.09.2012
Under intervjuet må læreren ikke
undervise.
 Hensikten med intervjuet er å hjelpe læreren til å
finne elevens styrker og svakheter
 Under intervjuet skal ikke læreren prøve å
hjelpe eleven til å finne riktig svar, passende
strategier eller korrekt måte å tenke på.
Prøver læreren å hjelpe, vil hun/han ikke lære
noe om elevens tenkemåte.
 Lærerens rolle er å lytte!
15-Sep-12 37
Ikke vis hva du tenker underveis
Bryter man dette prinsippet, kan det ta fra elevene lysten til
å snakke og det vil vi unngå for enhver pris.
 Unngå at eleven prøver å svare slik hun/han oppfatter at
du ønsker hun/han skal svar (”gjett hva læreren tenker”)
 I intervjusituasjonen må læreren oppføre seg som en
vitenskapsmann:
hvert svar er ikke først å fremst å bli betraktet som riktig
eller galt, godt eller dårlig, men som interessant eller
informativt.
”Gale” svar er med på å gi informasjon om hva eleven har
misforstått eller har problemer med og er derfor like nyttige
for læreren som et ”rett” svar.
15-Sep-12 38
Løsningsstrategier
13

14. 15.09.2012
Jeg teller til 7, så
7+8= teller jeg videre til
8, så teller jeg alle
Jeg tar 2 fra 7. til slutt.
Jeg legger de 2 til 8
for å få 10. Jeg starter med 7 og
Da er det 5 igjen, teller videre mens jeg
og svaret er 15. samler 8 fingre, da er
jeg kommet til 15.
7 pluss 7 er 14.
Jeg har 1 mer, 2  8 =16.
så svaret er 15. Jeg har 1 mindre,
så svaret er 15.
Hvordan tenker du?
Snakke, lese, skrive…
14

15. 15.09.2012
Språkets betydning
 Vi må lytte aktivt til barnet og
respondere på barnas vilkår.
 Språk av 1.orden:
 Et språk man eier og tenker
igjennom.
 Språk av 2. orden:
 Et ikke-naturlig språk for den
det gjelder, et språk man ikke
umiddelbart forstår.
Begrepsdannelse i matematikken
Virkelighet
Konkrete modeller Språk
Bildemodell Symboler
Kilde: Lisen Häggblom, På spaning efter räknespår - 2000
Begreper og
misoppfatninger
 Svakt presterende elevers
problemer i matematikk
kan ofte knyttes til mang-
lende begrepsforståelse.
 Misoppfatninger av
begrepene fører igjen til feiltenkninger.
 Misoppfatninger og feiltenkninger innenfor et
bestemt tema, får ofte konsekvenser for
læring av nytt stoff.
15

16. 15.09.2012
Rot Kvadratrot
Begrepsoppbygging
 Elevene må ha inne
en del viktige
grunnbegrep.
 Elevene må ha et
meningsinnhold i
ordene vi bruker i
matematikken.
Samarbeidsoppgaver
16

17. 15.09.2012
Matematiske tekster
 Svært høy grad av multimodalitet.
 Krever egne lesestrategier som må læres.
 Mye informasjon stiller krav til leseren –
samlesing.
 Sterk grad av teknikalitet – mange fagtermer.
Dele opp problemet og tegne
- Singapormetoden
Marius, Frida og Anna selger boller på OD-
dagen. Marius selger 19 flere enn Frida, og
Frida selger 27 færre enn Anna. Til sammen
selger de 238 boller.
a Hvem selger flest boller?
b Hvor mange flere boller enn Marius selger
Anna?
c Hvor mange boller selger hver av dem?
Oppsummering
17

18. 15.09.2012
Undervisningen er mer
effektiv når den
 Bygger på den kunnskapen elevene allerede
har
 Eksponerer og diskuterer vanlige
misoppfatninger og andre overraskende
fenomener.
 Bruker spørsmål av høyere orden.
 Bruker interaktiv klasseundervisning,
individuelt arbeid og samarbeid i små grupper
på en hensiktsmessig måte.
 Oppmuntrer til resonering fremfor ”gjett på
svaret”.
 Bruker rike samarbeidsoppgaver.
 Skaper forbindelser mellom områder både
innen og utover matematikken og med den
virkelige verden.
 Bruker ressurser, inkludert teknologi, på
kreative og hensiktsmessige måter.
 Møter vansker snarere enn å unngå eller
foregripe dem.
18

19. 15.09.2012
 Utvikler matematisk språk gjennom aktiviteter
som fremmer kommunikasjon.
 Gjenkjenner både hva som er lært og
hvordan det ble lært.
Prinsipper som IKKE er effektive
 Lær oppskriften først –
forståelse kommer med tiden.
 Repetisjon gir økt forståelse.
 Det finnes en ‘beste metode’ for
undervisning, en ‘optimal rekkefølge’ for
læring, en ‘rett måte’ å løse hvert enkelt
problem på.
 Forklar grundig hvordan oppgaven skal løses
før du gir den til klassen. Instruksjon går forut
for læring.
Å avdekke vansker
 Avdekk elevens tallforståelse gjennom
samtale og tester.
 Lytt til elevenes matematikkspråk.
 Observer elevenes løsningsstrategier.
19

20. 15.09.2012
Kilder og eksempler…
 Alle teller – Allistair McIntosh
 De mangfoldige realfagtekstene – Maagerø/ Skjelbred
 Meningsfylt matematikk – Geir Botten
 På spaning efter räknespår – Lisen Heggblom
 www.dysleksisiden.no – Renee M. Newman
 www.matematikksenteret.no
– Ingvill M. S.-Johansen/ Svein Torkildsen
 www.ncetm.org.uk
 www.regjeringen.no
 www.statped.no – Tone Dalvang/ Olav Lunde
 http://folk.uio.no/snorreo/ - Snorre Onstad
 www.uis.no/
 http://www.fiboline.no/presentasjoner/Lamis_sommerkurs_rapport
_2008.pdf
Lykke til i arbeidet med å skape kompetanse!
-i deg selv -hos elever -for framtida!
15-Sep-12 59
20